Критерий дифференцируемости функции

Определение

Функция f(x)=f(x_{1},...,x_{n}) называется дифференцируемой в точке x^{0}=(x^{0}_{1},...,x^{0}_{n}), если она определена в некоторой окрестности этой точки и существуют такие числа A_{1},...,A_{n}, что при x\rightarrow x^{0} выполняется равенство: $$f(x)-f(x^{0})=\sum_{i=1}^{n}A_{i}(x_{i}-x^{0}_{i})+o(\rho(x,x^{0})).  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$

Геометрический смысл

Рассмотрим случай двух переменных.

Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой \delta -окрестности U=U({M}',\delta ) точки {M}'=({x}',{y}') и пусть M=(x,y)\in U({M}';\delta ), \Delta x=x-{x}', \Delta y=y-{y}'. Тогда, \rho =\rho(M,{M}')=\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}<\delta .

Пусть, наконец, \Delta z=f({x}'+\Delta x,{y}'+\Delta y)-f({x}',{y}').

Обычно \Delta z называется полным приращением функции; это название объясняется тем, что здесь, вообще говоря, все независимые переменные получают приращения, отличные от нуля.

CircleUTF8NextVersionA

Теорема (Критерий дифференцируемости функции)

Функция f(x) дифференцируема в точке x^{0} тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности точки x^{0} функция f(x) может быть представлена в виде: $$f(x)=f(x^{0})+\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0}),(2)$$

где функции f_{i}(x) непрерывны в точке x^{0}.

Доказательство

Пусть функция f(x) дифференцируема в точке x^{0}. Тогда выполняется условие (1). Заметим, что равенство \psi (x)=o(\rho(x,x^{0})) при x\rightarrow x^{0} означает, что \psi (x)=\varepsilon (x)\rho(x,x^{0}), где \lim_{x\rightarrow x^{0}}\varepsilon (x)=0.

Тогда $$\psi (x)=\frac{\varepsilon (x)}{\rho(x,x^{0})}\sum_{i=1}^n{}(x_{i}-x^{0}_{i})^{2}=\sum_{i=1}^{n}\varepsilon _{i}(x)(x_{i}-x^{0}_{i}),(3)$$ где \varepsilon_{i} (x)=\varepsilon (x)\frac{x_{i}-x_{i}^{0}}{\rho(x,x^{0})}, \lim_{x\rightarrow x^{0}}\varepsilon _{i}(x)=0, так как 0\leqslant \frac{\left | x_{i}-x_{i}^{0} \right |}{\rho(x,x^{0})}\leqslant 1.

Доопределим функции \varepsilon _{i}(x) в точке x^{0} по непрерывности, полагая что \lim_{x\rightarrow x^{0}}\varepsilon _{i}(x)=\varepsilon _{i}(x^{0})=0.

Тогда из (1) и (3) получаем $$f(x)=f(x^{0})+\sum_{i=1}^{n}A_{i}(x_{i}-x_{i}^{0})+\sum_{i=1}^{n}\varepsilon _{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0})=$$ $$=f(x^{0})+\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0}),$$ f_{i}(x)=A_{i}+\varepsilon _{i}(x).

Так как функции \varepsilon _{i}(x) непрерывны в точке x^{0}, то и функции f_{i}(x) непрерывны в этой точке и f_{i}(x^{0})=A_{i}, i=\overline{1,n}.

Пусть выполнено (2). Тогда, воспользовавшись непрерывностью функции f_{i}(x) в точке x^{0}, положим A_{i}=f_{i}(x^{0}), f_{i}(x)=A_{i}+\varepsilon _{i}(x), \lim_{x\rightarrow x^{0}}\varepsilon _{i}(x)=0.

Получаем $$f(x)-f(x^{0})=\sum_{i=1}^{n}A_{i}(x_{i}-x_{i}^{0})+\sum_{i=1}^{n}\varepsilon _{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0})=$$ $$=\sum_{i=1}^{n}A_{i}(x_{i}-x_{i}^{0})+o(\rho(x,x^{0})),$$ так как при x\rightarrow x^{0}: $$\frac{\left | \sum_{i=1}^{n}\varepsilon _{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0}) \right |}{\rho(x,x^{0})}\leqslant \sum_{i=1}^n{\left | \varepsilon _{i}(x) \right |\rightarrow 0}.$$ \square

Литература

Тест

Тест:

Тест на проверку усвоения связи между производной и дифференциалом.

Критерий дифференцируемости функции

Тест на знание критерия дифференцируемости функции.

Таблица лучших: Критерий дифференцируемости функции

максимум из 20 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Формула конечных приращений Лагранжа

Определение

Выпуклой областью называется открытое множество, любые две точки которого можно соединить отрезком, лежащим в области.

Теорема (Формула конечных приращений Лагранжа)

Пусть функция  f(x) дифференцируема в выпуклой области  G\subset\mathbb{R}^{n} . Тогда для любых двух точек  x= \left ( x_{1},...,x_{n} \right )\in G, y= \left ( y_{1},...,y_{n} \right )\in G найдется такое число  \theta \in \left(0,1 \right ) , что
$$f(y)-f(x)= \sum _{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left (x+\theta \left ( y-x \right )\left ( y_{i}-x_{i} \right ) \right ).\ \ \ \ \ \ \ \ \ \  (1)$$

Формула (1) называется формулой конечных приращений Лагранжа.

Доказательство

Пусть точки  x,y \in G . Так как область G выпукла, то отрезок, соединяющий точки x и y, лежит в области G. Поэтому определена функция одной переменной:

 \varphi (t) = f(x_{1}+t(y_{1}-x_{1}),...,x_{n}+t(y_{n}-x_{n})), 0\leqslant t\leqslant 1 . (2)

По теореме о производной сложной функции \varphi (t) — дифференцирума на отрезке [0,1] и очевидно, что  \varphi (0) = f(x), \varphi (1) = f(y) . По правилу нахождения производной сложной функции имеем:

$$\varphi{}’ (t)=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x}\left ( x_{1}+t(y_{1}-x_{1}),…,x_{n}+t(y_{n}-x_{n}) \right )\left ( y_{i}-x_{i} \right ). \ \ \ \ \ \ (3)$$

Применим к функции  \varphi(t) формулу приращений Лагранжа для функции одной переменной. Получаем, что найдется число  \theta \in \left(0,1 \right ) такое, что  \varphi(1) - \varphi(0) = \varphi{}' (\theta ) . Используя формулы (2) и (3), теперь легко получаем формулу (1).\square

[spoilergroup]

Спойлер

Доказать, что \left | \arctan x_{2} -\arctan x_{1} \right |\leqslant \left | x_{2}-x_{1} \right |, x_{1}\in \mathbb{R}, x_{2}\in \mathbb{R}. (*)
По теореме Лагранжа для функции \arctan x на отрезке с концами x_{1} и x_{2} находим
$$\arctan x_{2} — \arctan x_{1}=\frac{1}{1+\xi ^{2}}(x_{2}-x_{1}),$$
откуда получаем \left | \arctan x_{2}-\arctan x_{1} \right |=\frac{\left | x_{2}-x_{1} \right |}{1+\xi ^{2}}\leqslant \left | x_{2}-x_{1} \right |, так как 0<\frac{1}{1+\xi^{2}}\leqslant 1.
Полагая в соотношении (*) x_{2}=x, x_{1}=0, получаем
\left | \arctan x \right |\leqslant \left | x \right |, x\in \mathbb{R},
и, в часности,
0\leqslant \arctan x\leqslant x, x\geqslant 0.

[свернуть]

[/spoilergroup]

Литература

Тест

Формула конечных приращений Лагранжа

Теста на знание формулы конечных приращений Лагранжа


Таблица лучших: Формула конечных приращений Лагранжа

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Достаточные условия дифференцируемости функции в точке

Теорема (Достаточные условия дифференцируемости функции в точке)

Пусть функция f принадлежит классу C^{1}(E), где открытое множество E\subset \mathbb{R}^{n} . Тогда f дифференцируема на E.

Через C^{1}(E) обозначается класс всех всех непрерывно дифференцируемых на множестве E функций.

Доказательство

Фиксируем x_{0}\in E. Поскольку множество E открыто, то существует шар U_{0} с центром в этой точке, целиком содержащийся в E. Пусть r– радиус этого шара и вектор h имеет длину \left | h \right |<r. Обозначим: x_{j}=x_{0}+h^{1}e_{1}+...+h^{j}e_{j}, (j=1,...,n). Ясно, что x_{n}=x_{0}+h.
Заметим, что все x_{j} принадлежат шару U_{0}. Действительно,$$\left | x_{0}-x_{j} \right |=\sqrt{\sum_{i=1}^{j}(h^{j})^{2}}\leq \left | h \right |< r.$$
Поскольку шар – выпуклое множество, то каждый из отрезков [ x_{j-1},x_{j} ] содержится в U_{0}. Действительно, этот отрезок – это множество точек x=(1-t)x_{j-1}+tx_{j}, где 0\leq t\leq 1, и мы получаем \left | x_{0}-x_{j} \right |\leq (1-t)\left | x_{0}-x_{j-1} \right |+\left | x_{0}-x_{j} \right |< r.
Воспользуемся равенством: $$f(x_{0}+h)-f(x_{0})=\sum_{j=1}^{n}\left [ f(x_{j})-f(x_{j-1}) \right ].$$
Рассмотрим отдельно каждое из слагаемых в правой части. При фиксированном j положим  g(t)=f(x_{j-1}+te_{j}), (0\leq t\leq h^{j}) . По определению частной производной имеем: $$ g{}'(t)=\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(x_{j-1}+te_{j}) .$$
По формуле Лагранжа получаем:
$$ f(x_{j})-f(x_{j-1})=g(h^{j})-g(0)=g{}'(\tau _{j})h^{j}=\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(\xi _{j})h^{j},$$
где \xi _{j}=x_{j-1}+\tau_{j}e_{j} — некоторая точка отрезка, соединяющего x_{j-1} и x_{j}.
Имеем  \left | x_{0}-\xi_{j} \right |\leq \left | h \right | .
Обозначим $$ \alpha _{j}(h)=\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(x_{0})-\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(\xi_{j}) .$$
По условию все частные производные непрерывны в точке x_{0} и поэтому \lim_{h\rightarrow 0}\alpha _{j}(h)=0 , (j=1,...,n).
В силу равенства $$f(x_{0}+h)-f(x_{0})=\sum_{j=1}^{n}\left [ f(x_{j})-f(x_{j-1}) \right ]$$ имеем:
$$f(x_{0}+h)-f(x_{0})=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(\xi_{j})h^{j}=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(x_{0})h^{j}-\sum_{j=1}^{n}\alpha _{j}(h)h^{j}=$$$$=A(h)+\rho (h),$$
где $$ A(h)=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(x_{0})h^{j} .$$
Итак, A является линейной формой аргумента h, а \left | \rho(h) \right |\leq \left | h \right |\sum_{j=1}^{n}\left | \alpha_{j}(h) \right |.
Поэтому, получаем, что \frac{\rho(h)}{\left | h \right |}\rightarrow 0 при h\rightarrow 0.
Согласно определению дифференцируемости, теорема доказана.\square

Замечание 1

Из доказательства видно, что если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки x_{0} и в этой точке все они непрерывны, то функция дифференцируема в точке x_{0}.

Замечание 2

Непрерывность частных производных – только достаточное условие дифференцируемости. Оно не является необходимым.

Следствие

Каждая функция класса C^{1} непрерывна.

[spoilergroup]

Спойлер

Пусть
f(x)=\left | x \right |^{2}\sin \frac{1}{\left | x \right |^{2}}, x\neq 0 и f(x)=0, x=0.
Найдем частные производные
\frac{\partial f}{\partial x^{i}}=2x^{j}\sin \frac{1}{\left | x \right |^{2}}-\frac{2x^{i}}{\left | x \right |^{2}}\cos \frac{1}{\left | x \right |^{2}}, (x\neq0).
При x=0 наша функция дифференцируема, т.к. f(h)-f(0)=f(h)=\bar{o}(\left | h \right |). Однако, как легко видеть, все частные производные разрывны в точке x=0.

[свернуть]

[/spoilergroup]

Использованная литература

Рекомендованная литература

Тест

Достаточное условие дифференцируемости функции в точке

Проверка знания достаточного условия дифференцируемости функции в точке


Таблица лучших: Достаточное условие дифференцируемости функции в точке

максимум из 11 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Формула конечных приращений Лагранжа

Теорема (Формула конечных приращений Лагранжа)

Если функция  f\in C[a,b] и дифференцируема на интервале (a,b), то  \exists \theta \in (0,1), f(a)-f(b)=f{}'(x_{0} )(b-a), где  x_{0}=a+ \theta(b-a).

Геометрический смысл (для случая одной переменной): на дуге графика данной функции, соединяющей точки (a,f(a)) и (b,f(b)), найдется точка (c,f(c)), (и, возможно, не одна), в которой касательная к графику функции параллельна хорде, соединяющей концы дуги.

RealyfinalVersion — копия

Доказательство

Рассмотрим функцию \varphi (x)=f(x)+\lambda x где число \lambda выберем таким, чтобы выполнялось условие \varphi (a)=\varphi (b), т.е. f(a)+\lambda a=f(b)+\lambda b. Отсюда находим: \lambda =-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.

Так как функция \varphi (x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируется на интервале (a,b) и принимает равные значения на концах этого интервала то, по теореме Ролля, существует точка x_{0}\in (a,b) такая, что \varphi{}'(x_{0})=f{}'(x_{0})+\lambda =0. Отсюда получаем, что f{}'(x_{0})=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} , или f(b)-f(a)=f{}'(x_{0})(b-a). \square

[spoilergroup]

Спойлер

Доказать, что \ln (1+x)\leqslant xx>0 (*),
\left | \arctan x_{2} -\arctan x_{1} \right |\leqslant \left | x_{2}-x_{1} \right |, x_{1}\in \mathbb{R}, x_{2}\in \mathbb{R}. (**)
а) Применяя теорему Лагранжа к функции f(x)=\ln (1+x) на отрезке [0,x], где x>0, получаем \ln(1+x)=\frac{1}{1+\xi }x, откуда следует неравенство (*), так как 0<\xi<x.
б) По теореме Лагранжа для функции \arctan x на отрезке с концами x_{1} и x_{2} находим
$$\arctan x_{2} — \arctan x_{1}=\frac{1}{1+\xi ^{2}}(x_{2}-x_{1}),$$
откуда получаем \left | \arctan x_{2}-\arctan x_{1} \right |=\frac{\left | x_{2}-x_{1} \right |}{1+\xi ^{2}}\leqslant \left | x_{2}-x_{1} \right |, так как 0<\frac{1}{1+\xi^{2}}\leqslant 1.
Полагая в соотношении (**) x_{2}=x, x_{1}=0, получаем
\left | \arctan x \right |\leqslant \left | x \right |, x\in \mathbb{R},
и, в часности,
0\leqslant \arctan x\leqslant x, x\geqslant 0.

[свернуть]

[/spoilergroup]

Использованная литература

Рекомендованная литература

Тест

Формула конечных приращений Лагранжа

Теста на знание формулы конечных приращений Лагранжа

Таблица лучших: Формула конечных приращений Лагранжа

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Критерий дифференцируемости функции

Определение

Если функция y=f(x) определена в некоторой \delta-окрестности точки x_{0}, а приращение \Delta y функции y=f(x) в точке x_{0} представимо в виде:
\Delta y = A\Delta x + \Delta x \varepsilon (\Delta x),
где A=A(x_{0}) не зависит от \Delta x, а \varepsilon(x) \rightarrow 0 при \Delta x \rightarrow 0, то функция f называется дифференцируемой в точке x_{0}, а произведение A\Delta x называется её дифференциалом в точке x_{0} и обозначается df(x_{0}) или dy.
Таким образом,
\Delta y=dy+o(\Delta x), при \Delta x \rightarrow 0, где dy=A\Delta x.

Теорема (Критерий дифференцируемости функции)

Для того, чтобы функция f была дифференцируема в точке x_{0} необходимо и достаточно, чтобы она имела производную в точке x_{0}. При этом дифференциал функции и её производная связаны следующим равенством:
dy={f}' (x^{0})\Delta x.

Доказательство

Необходимость

Если функция f(x)−дифференцируема в точке  x_{0} , то \exists A: \Delta f(x))=A+\Delta x\alpha (\Delta x), где: \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\alpha (\Delta x)=0.
Отсюда получаем, что \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{A}{\Delta x}+\frac{\Delta x\alpha (\Delta x)}{\Delta x}==\lim_{\Delta x\rightarrow 0}A+\alpha (\Delta x)=A. Отсюда \exists f{}'(x_{0})=A, откуда следут, что dy=f{}'(x_{0})\Delta x.

Достаточность

Если существует  f{}'(x_{0})=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} , то  \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}- f{}'(x_{0}) = \alpha (\Delta x) , где  \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\alpha (\Delta x)=0 . Отсюда следует, что  \Delta f(x)=f{}'(x_{0})\Delta x+\alpha (\Delta x)\Delta x . Полученное равенство означает, что функция  f(x) — дифференцируема в точке  x_{0} .  \square .

Замечание

Приращение  \Delta x часто обозначают символом  dx и называют дифференциалом независимого переменного. По-этому формулу  dy={f}' (x^{0})\Delta x записывают в виде  dy={f}' (x^{0})dx .

Использованная литература

Рекомендованная литература

Тест

Тест:

Тест на проверку усвоения связи между производной и дифференциалом.

Критерий дифференцируемости функции

Тест на знание критерия дифференцируемости функции.

Таблица лучших: Критерий дифференцируемости функции

максимум из 20 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных