Метка: интегрирование

Оценка погрешности приближенного вычисления определенных интегралов по формуле Тейлора

Рассмотрим погрешность приближённого вычисления определённых интегралов по формуле Тейлора.

Обозначим погрешность через [latex]R_{n}[/latex]

[latex]R_{n}[/latex] представляет собой разность истинного значения определённого интеграла и полученного в результате приблизительного вычисления.

Разумеется, что истинное значение также считается приближённо. Иначе, можно было б использовать точные методы вычисления определённых интегралов.

Проанализируем погрешность вычисление примера 1 :

[latex]\int_{0}^{0.3} e^{-2x^{2}}=0.3-2\frac{0.3^{3}}{3}+2\frac{0.5^{5}}{5}-\frac{4*(0.3)^{7}}{21}+…=0.3-0.018+0.000972-…\approx[/latex]

[latex] \approx0.3-0.018=0.282[/latex]

Видем, что каждый следующий член суммы на порядки меньше предыдущего.

Если вычислить интеграл, взяв только первый член ряда, получим погрешность [latex]R_{n}\approx0.018972[/latex]

Два первых:

[latex]R_{n}\approx0.000972[/latex]

Имеем, что высокая точность достигается довольно быстро.

Аналогичные рассуждения можно провести с  примером 2.

Литература :

Примеры интегрирования рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x

(Прочитав разделы «Универсальная подстановка» и «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x», попробуйте решить следующие примеры. Если же решить не получиться, жмите «ПОКАЗАТЬ»)

 

1) Найти интеграл $latex \int \frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}$

Подсказка: используйте подстановку        $latex \tan \frac{x}{2}=t$

Спойлер

\small \inline \dpi{100} \fn_jvn \Delta Подынтегральная функция рационально зависит от  $latex \sin x$  и  $latex \cos x$; применим подстановку $latex \tan \frac{x}{2}=t$,

тогда  $latex \sin x=\frac{2t}{1+t^{2}}$ ;  $latex \cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ ;  $latex dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}$       и

$latex \int \frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}=$ $latex \int \frac{\frac{2dt}{1+t^{2}}}{4\cdot \frac{2t}{1+t^{2}}+3\cdot \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}=$

$latex =2 \int \frac{dt}{2t^{2}+8t+5}=$  $latex \int \frac{dt}{(t+2)^{2}}=$ $latex =-\frac{1}{t+2}+C$ .

Возвращаясь к старой переменной, получим: 

$latex \int \frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}=-\frac{1}{\tan \frac{x}{2}}+C$   $latex \blacktriangle$

[свернуть]

 

 

2) Найти интеграл $latex \int \frac{(\sin x+\sin ^{3}x)dx}{\cos 2x}$ .

Подсказка : используйте замену   $latex \cos x=t$   , а также свои знания по теме  «Тригонометрические тождества» 

Спойлер

$latex \triangle$ Так как подынтегральная функция нечетна относительно синуса, то полагаем $latex \cos x=t$.

Отсюда    $latex \sin ^{2}x=1-t^{2},\ \cos 2x=2\cos ^{2}x-1=2t^{2}-1,\ dt=-\sin x \ dx.$

Таким образом :

$latex \int \frac{(\sin x+\sin ^{3}x)dx}{\cos 2x}=\int \frac{(2-t^{2})(-dt)}{2t^{2}-1}=\int \frac{(2t^{2}-2)\ dt}{2t^{2}-1}=$

$latex =\frac{1}{2}\int \frac{2t^{2}-4}{2t^{2}-1}\ dt=\frac{1}{2}\int dt-\frac{3}{2}\int\frac{dt}{2t^{2}-1}=$

$latex =\frac{t}{2}-\frac{3}{2\sqrt{2}}\int \frac{d(t\sqrt{2})}{2t^{2}-1}=\frac{t}{2}-\frac{3}{2\sqrt{2}}\ln \left | \frac{t\sqrt{2}-1}{t\sqrt{2}+1} \right |+C.$

Следовательно:

$latex \int \frac{(\sin x+\sin ^{3}x)dx}{\cos 2x}=\frac{1}{2}\cos x-\frac{3}{2\sqrt{2}} \ln\left | \frac{\sqrt{2}\cos x-1}{\sqrt{2}\cos x+1} \right |+C .$          $latex \blacktriangle$

[свернуть]

 

 

3) Найти интеграл $latex \int \frac{\cosh x}{2+3\sinh x}dx$

Подсказка: используйте подстановку    $latex t=2+3\sinh x $ 

Спойлер

$latex \triangle$ Сделаем подстановку $latex t=2+3\sinh x,\ du=3\cosh xdx.$ Тогда $latex \cosh xdx=\frac{dt}{3}.$ Следовательно, интеграл равен

$latex \int \frac{\cosh x}{2+3\sinh x}dx=\int \frac{dt}{3}\cdot \frac{1}{t}=\frac{1}{3}\int \frac{dt}{t}=\frac{1}{3}\ln \left | t \right |+C=\frac{1}{3}\ln \left | 2+3\sinh x \right |+C.$       $latex \blacktriangle$

[свернуть]

 

 

4) Найти интеграл $latex \int \sinh ^{3}xdx$
Подсказка:  используйте гиперболиские соотношения 

Спойлер

$latex \triangle$ Поскольку $latex \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1$, и, следовательно, $latex \sinh ^{2}x=\cosh ^{2}x-1,$ интеграл можно переписать в виде

$latex \mathbb{I}=\int \sinh ^{3} xdx=\int \sinh ^{2}x\cosh xdx=\int (\cosh ^{2}x-1)\sinh xdx$

Делая замену $latex t=\cosh x,\ dt=\sinh xdx,$ получаем

$latex \mathbb{I}=\int (\cosh ^{2}x-1)\sinh xdx=\int (t^{2}-1)dt=$

$latex =\frac{t^{3}}{3}-t+C=\frac{\cosh ^{3}x}{3}-\sinh x+C$ $latex \blacktriangle$

[свернуть]

Список литературы:

  • А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г.  (Издание 6-е. Часть 1)  стр. 234-242
  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.

Дополнительные материалы :

 

 

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

по темам «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x» и «Универсальная подстановка«


Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x

Интегрирование любого рационального выражения тригонометрических функций можно всегда свести к интегрированию алгебраической рациональной функции используя универсальную тригонометрическую подстановку $latex x=2\arctan t$    или  $latex \tan \frac{x}{2}=t$ .

 

Интегралы вида $latex \int R(\sin x, \cos x)dx$   , где R-рациональная функция.

В результате подстановки   $latex t=\tan \frac{x}{2}$    в указанные интегралы получаем:

$latex \sin x=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^{2}}$ ;       $latex \cos x=\frac{1-\tan ^{2}\frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ , где    $latex dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}$ .

Гиперболические функции    определяются следующим образом:

$latex \sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ ;       $latex \cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ .


Приведем еще несколько полезных соотношений :   

  • $latex \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1$ ;
  • $latex \sinh 2x=2\sinh \cosh $ ;
  • $latex \cosh 2x=\cosh ^{2}+\sinh ^{2} $ . 

Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки : 

$latex t=e^{x}$ ;           $latex x=\ln t$ ;           $latex dx=\frac{dt} {t}$ .

 

Для усвоения материала на практике, переходим в раздел «Примеры интегрирования рациональных функций от $latex \sin x$, $latex \cos x$ и $latex \sinh x$, $latex \cosh x$»

Список литературы:

  • А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г.  (Издание 6-е. Часть 1)  стр. 234-242
  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.

Дополнительные материалы :

 

 

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

по темам «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x» и «Универсальная подстановка«


Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Примеры приближенного вычисления определенных интегралов по формуле Тейлора

Интегралы от некоторых функций не могут быть выражены через элементарные функции. Для нахождения таких интегралов применяются различные приближённые методы интегрирования, смысл которых состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию на «близкую» к ней функцию, проинтегрировав которую, мы получим элементарную функцию.

В частности, мы рассмотрим один из таких методов — разложение подынтегральной функции в ряд Тейлора.

Принцип этого метода состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию по формуле Тейлора и почленно проинтегрировать полученную сумму.

Проиллюстрируем данный метод на примере (вычислим с точностью до 0,001):

1) [latex]\int\limits_{0}^{0.3} e^{-2x^{2}}dx[/latex]

Спойлер

График функции [latex]e^{-2x^{2}}[/latex] имеет следующий вид:

график e^(-2(x^2)

Данная функция непрерывна на отрезке [0;0.3], а значит она интегрируема.

Значение данного определённого интеграла — площадь заштрихованной области графика.

Разложим функцию [latex]e^{-2x^{2}}[/latex] в ряд Маклорена, используя табличное разложение

[latex]e^{\alpha}=[/latex] [latex]1+\frac{\alpha}{1!}+\frac{\alpha^{2}}{2!}+\frac{\alpha^{3}}{3!}+…+\frac{\alpha^{n}}{n!}[/latex]

В данном случае [latex]\alpha=-2x^{2}[/latex](для достижения нужной точности распишем 4 первых члена ряда)

[latex]e^{-2x^{2}}=[/latex] [latex]1+\frac{-2x^{2}}{1!}+\frac{(-2x^{2})^{2}}{2!}+[/latex] [latex]\frac{(-2x^{2})^{3}}{3!}+…[/latex]

Меняем подынтегральное выражение на данный степенной ряд

[latex]\int\limits_{0}^{0.3} (1+\frac{-2x^{2}}{1!}+[/latex] [latex]\frac{(-2x^{2})^{2}}{2!}+\frac{(-2x^{2})^{3}}{3!}+…)dx[/latex]

Упрощаем все слагаемые

[latex]\int\limits_{0}^{0.3} (1-2x^{2}+2x^{4}[/latex] [latex]-\frac{4x^{6}}{3}+…)dx[/latex]

Почленно интегрируем подынтегральное выражение

[latex]\int\limits_{0}^{0.3} e^{-2x^{2}}=[/latex] [latex](x-\frac{2x^{3}}{3}+\frac{2x^{5}}{5}-\frac{4x^{7}}{21}+…)\mid_{0}^{0.3}[/latex]

Пользуемся формулой Ньютона-Лейбница

[latex]\int\limits_{0}^{0.3} e^{-2x^{2}}=[/latex] [latex]0.3-2\frac{0.3^{3}}{3}+2\frac{0.5^{5}}{5}-\frac{4*(0.3)^{7}}{21}+…=[/latex] [latex]0.3-0.018+0.000972-…\approx[/latex]

[latex] \approx0.3-0.018=0.282[/latex]

Для достижения точности 0.001 нам хватило взять первые два члена ряда.

[свернуть]

Рассмотрим ещё пример (вычислим с точностью до 0,0001):

2) [latex]\int\limits_{0}^{0.5} \frac{1-\cos(x)}{x^{2}}dx[/latex]

Спойлер

Так как интегрирование производится в окрестности точки [latex]x=0[/latex], то можно воспользоваться формулой Маклорена.
Разложение функции

[latex]\cos(x)=[/latex] [latex]1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}[/latex] [latex]+…+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+…=[/latex] [latex]\sum\limits_{n=0}^\infty{(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}}[/latex]

Отсюда легко найдём разложение функции [latex]1-\cos(x)[/latex]

[latex]1-\cos(x)=[/latex] [latex]\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}[/latex] [latex]+…+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+…=[/latex] [latex]\sum\limits_{n=1}^\infty{(-1)^{n+1}\frac{x^{2n}}{(2n)!}}[/latex]

Теперь представим в виде ряда подынтегральное выражение

[latex]\frac{1-\cos(x)}{x^{2}}=[/latex] [latex]\frac{{1}}{2!}+\frac{x^{2}}{4!}-\frac{x^{4}}{6!}[/latex][latex]+…+(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-2}}{(2n)!}+…=[/latex] [latex]\sum\limits_{n=1}^\infty{(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-2}}{(2n)!}}[/latex]

Представим наш интеграл в виде

[latex]\int\limits_{0}^{0.5} \frac{1-\cos(x)}{x^{2}}dx=[/latex] [latex]\int\limits_{0}^{0.5}\sum\limits_{n=1}^\infty{(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-2}}{(2n)!}}dx[/latex]

Далее представим интеграл от суммы членов ряда в виде суммы интегралов членов ряда

[latex]\int\limits_{0}^{0.5}\frac{1-\cos(x)}{x^{2}}dx=[/latex] [latex]\int\limits_{0}^{0.5}\sum\limits_{n=1}^\infty{(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-2}}{(2n)!}}dx= [/latex] [latex]\sum\limits_{n=1}^\infty{\frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!}}\int\limits_{0}^{0.5}x^{2n-2}dx=[/latex]

[latex]=\sum\limits_{n=1}^\infty{\frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!}}{\frac{ x^{2n-1}}{(2n-1)}}\mid_{0}^{0.5}=[/latex] [latex]\sum\limits_{n=1}^\infty{\frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!}}{\frac{{0.5}^{2n-1}}{(2n-1)}}\approx0.25-0.0017=0.2483[/latex]

Для достижения точности 0.0001 нам хватило взять первые два члена ряда.

[свернуть]

Литература :

Приближённое интегрирование

Данный тест поможет Вам усвоить материал этой записи.

Таблица лучших: Приближённое интегрирование

максимум из 13 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Таблица основных интегралов

Таблица основных интегралов
Интеграл Значение
$\int dx$ $x+C$
$\int a^xdx$ $\frac{a^x}{\ln{a}}+C$
$\int e^xdx$ $e^x+C$
$\int x^adx$ $\frac{x^{a+1}}{a+1}+C$
$\int \frac{dx}{x}$ $\ln|{x}|+C$
$\int \frac{dx}{2\sqrt{x}}$ $\sqrt{x}+C$
$\int \cos xdx$ $ \sin x+C$
$\int \sin xdx$ $ -\cos x+C$
$\int \mathop{\rm sh} xdx$ $ \mathop{\rm ch} x+C$
$ \int\mathop{\rm ch} xdx$ $\mathop{\rm sh} x+C$
$\int \frac{dx}{\sin^2x}$ $ \mathop{\rm -ctg} x + C $
$\int \frac{dx}{\mathop{\rm ch}^2x}$ $ \mathop{\rm th} x+ C$
$\int \frac{dx}{\cos^2x}$ $ \mathop{\rm tg}x +C$
$\int \frac{dx}{a^2+x^2}$ $\frac{1}{a} \mathop{\rm arctg}\frac{x}{a}+C$
$\int \frac{dx}{\mathop{\rm sh}^2x}$ $\mathop{\rm -cth}x+C$
$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}$ $\ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C$
$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}$ $\arcsin \frac{x}{a}+C$
$\int \frac{dx}{a^2-x^2}$ $\frac{1}{2a}\ln|\frac{a+x}{a-x}|+C$
$\int \frac{dx}{x^2-a^2}$ $\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C$

Решите примеры:

  1. $\int (2x-3)dx$
    Спойлер

    $x^2-3x+C$

    [свернуть]
  2. $\int \cos^2xdx$ 
    Спойлер

    $\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2}\sin2x)+C$

    [свернуть]
  3. $\int (2x-3)^2dx$
    Спойлер

    $\frac{4}{3}x^3-6x^2+9x+C$

    [свернуть]

Литература

  1. Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа. — М.: Дрофа; 2003, Т.1. Стр. 459
  2. Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2012

Тест

Для решения интегралов нужно знать таблицу первообразных (таблицу интегралов) и свойства интегралов. Попробуйте проверить свои знания.


Таблица лучших: Таблица основных интегралов

максимум из 22 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных