Формула конечных приращений Лагранжа

Теорема (Формула конечных приращений Лагранжа)

Если функция  f\in C[a,b] и дифференцируема на интервале (a,b), то  \exists \theta \in (0,1), f(a)-f(b)=f{}'(x_{0} )(b-a), где  x_{0}=a+ \theta(b-a).

Геометрический смысл (для случая одной переменной): на дуге графика данной функции, соединяющей точки (a,f(a)) и (b,f(b)), найдется точка (c,f(c)), (и, возможно, не одна), в которой касательная к графику функции параллельна хорде, соединяющей концы дуги.

RealyfinalVersion — копия

Доказательство

Рассмотрим функцию \varphi (x)=f(x)+\lambda x где число \lambda выберем таким, чтобы выполнялось условие \varphi (a)=\varphi (b), т.е. f(a)+\lambda a=f(b)+\lambda b. Отсюда находим: \lambda =-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.

Так как функция \varphi (x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируется на интервале (a,b) и принимает равные значения на концах этого интервала то, по теореме Ролля, существует точка x_{0}\in (a,b) такая, что \varphi{}'(x_{0})=f{}'(x_{0})+\lambda =0. Отсюда получаем, что f{}'(x_{0})=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} , или f(b)-f(a)=f{}'(x_{0})(b-a). \square

[spoilergroup]

Спойлер

Доказать, что \ln (1+x)\leqslant xx>0 (*),
\left | \arctan x_{2} -\arctan x_{1} \right |\leqslant \left | x_{2}-x_{1} \right |, x_{1}\in \mathbb{R}, x_{2}\in \mathbb{R}. (**)
а) Применяя теорему Лагранжа к функции f(x)=\ln (1+x) на отрезке [0,x], где x>0, получаем \ln(1+x)=\frac{1}{1+\xi }x, откуда следует неравенство (*), так как 0<\xi<x.
б) По теореме Лагранжа для функции \arctan x на отрезке с концами x_{1} и x_{2} находим
$$\arctan x_{2} — \arctan x_{1}=\frac{1}{1+\xi ^{2}}(x_{2}-x_{1}),$$
откуда получаем \left | \arctan x_{2}-\arctan x_{1} \right |=\frac{\left | x_{2}-x_{1} \right |}{1+\xi ^{2}}\leqslant \left | x_{2}-x_{1} \right |, так как 0<\frac{1}{1+\xi^{2}}\leqslant 1.
Полагая в соотношении (**) x_{2}=x, x_{1}=0, получаем
\left | \arctan x \right |\leqslant \left | x \right |, x\in \mathbb{R},
и, в часности,
0\leqslant \arctan x\leqslant x, x\geqslant 0.

[свернуть]

[/spoilergroup]

Использованная литература

Рекомендованная литература

Тест

Формула конечных приращений Лагранжа

Теста на знание формулы конечных приращений Лагранжа

Таблица лучших: Формула конечных приращений Лагранжа

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Геометрический смысл формулы Лагранжа и её следствия

Сама теорема здесь.

Формулировка

\frac{f(b)-f(a)}{b-a} — угловой коэффициент секущей, которая проходит через точки A(a,f(a)) и B(b,f(b)) графика функции y=f(x), а f'(\xi ) — угловой коэффициент касательной к графику в точке (\xi ,f(\xi )). Поэтому теорема Лагранжа имеет следующую геометрическую интерпретацию: существует значение \xi \in (a,b) такое, что касательная к графику функции y=f(x) в точке (\xi ,f(\xi )) параллельна секущей, соединяющей точки A(a,f(a)) и B(b,f(b)).

  1. Следствие

    Если а дифференцируема на (a,b) и f'(x)=0 \forall x\in (a,b) то f(x)=c=const на (a,b)

    Его доказательство:

    Возьмем \forall x\in (a,b) и зафиксируем [x,x_{0}]\subset (a,b) ([x_{0},x]\subset (a,b)) Применим формулу конечных приращений Лагранжа на отрезке [x,x_{0}]
    f(x)-f(x_{0})=f'(\xi )(x-x_{0})\Rightarrow f(x)=f(x_{0}), \forall x\in (a,b).

  2. Следствие

    Если функция дифференцируема на (a,b) и f'(x)=k=const. \forall x\in (a,b)\Rightarrow f(x)=(kx+b) — линейная функция

    Его доказательство:

    Применяя теорему Лагранжа к функции f а на отрезке [a,x]\subset [a,b]: f(x)-f(a)=f'(\xi )(x-a). f(x)-f(a)=k(x-a). f(x)=kx+b. b=f(a)-ka

lag

  1. Следствие

    Пусть \varphi (x)

    1. Непрерывна на [a,b];
    2. Дифференцируема на (a,b) (кроме быть может некоторой точки x_{0}\in (a,b))
    3. \exists \lim_{x\rightarrow x_{0}}\varphi '(x)

    Тогда \exists \varphi '(x_{0}), причем эта производная равна \lim_{x\rightarrow x_{0}}\varphi '(x)

    Его доказательство:

    Пусть \lim_{x\rightarrow x_{0}}\varphi '(x)=A, a<x<b, x\neq x_{0}. По Теореме Лагранжа\varphi (x)-\varphi (x_{0})=\varphi '(\xi )(x-x_{0}), где \xi \in (x_{0},x)\cup \xi \in (x,x_{0})\Rightarrow \varphi '(\xi )=\frac{\varphi (x)-\varphi (x_{0})}{x-x_{0}}. (Будем считать, что функция однозначна) \xi =\xi (x): x_{0}<\xi (x)<x\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\xi (x)=x_{0}\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\varphi '(\xi)=A=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{\varphi (x)-\varphi (x_{0})}{x-x_{0}}=\varphi '(x_{0})

Пример

Найти функцию \Theta =\Theta (x_{0},\Delta x) такую, что f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})=\Delta xf(x_{0}+\Theta \Delta x), если f(x)=ax^{2}+bx+c, a\neq 0

Спойлер

a(x_{0}+\Delta x)^{2}+b(x_{0}+\Delta x)+c-(ax^{2}+bx+c)=\Delta x(2a(x_{0}+\Theta \Delta x)+b)
, откуда \Theta =\frac{1}{2}

[свернуть]

Геометрический смысл формулы Лагранжа и её следствия

Этот тест разработан для лучшего усвоения знаний

Литература

Теорема Коши (обобщенная формула конечных приращений)

Формулировка

Если функции f\left( x \right) и g\left(x\right) непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируемы на интервале (a,b), причем g'(x)\neq 0 во всех точках этого интервала, то найдется хотя бы одна точка \xi \in (a,b) такая, что \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.

Доказательство

Рассмотрим функцию \varphi(x)=f(x)+\lambda g(x), где число \lambda выберем таким, чтобы выполнялось равенство \varphi (a)=\varphi (b), которое равносильно следующему:
f(b)-f(a)+\lambda (g(b)-g(a))=0.

Заметим, что g(b)\neq g(a), так как в противном случае согласно Теореме Ролля существовала бы точка c\in (a,b) такая, что g'(c)=0 вопреки условиям данной теоремы. Из равенства f(b)-f(a)+\lambda (g(b)-g(a))=0 следует, что \lambda =-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.

Так как функция \varphi при любом \lambda непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b), а при значении \lambda, определяемом предыдущей формулой, принимает равные значения в точках a и b, то по теореме Ролля существует точка \xi \in (a,b) такая, что \varphi '(\xi )=0, т.е. f'(\xi )+\lambda g'(\xi )=0, откуда \frac{f'(\xi )}{g'(\xi )}=-\lambda. Из этого равенства и формулы \lambda =-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} следует \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.

  1. Замечание. Теорема Лагранжа — частный случай теоремы Коши (g(x)=x).
  2. Замечание. Теорему Коши нельзя получить используя теорему Лагранжа отдельно к числителю и к знаменателю.

Теорема Коши (обобщенная формула конечных приращений)

Правильно ли вы поняли обобщенную теорему Лагранжа?

Литература

  • Конспект лекций Лысенко З.М.
  • Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр.157-158