Метка: Коши

Первая теорема Коши о нулях непрерывной функции

Формулировка:

Если функция непрерывна на сегменте  и на своих концах принимает значение разных знаков, то существует такая точка, принадлежащая этому отрезку, в которой функция обращается в нуль.

Если $latex f \ \in \ C[a,b] $ и $latex f(a)f(b)<0 $ , то
$latex \exists c \ \in \ [a,b] : f(c)=0 $

Спойлер

Разделим отрезок [a,b] пополам и пусть точка $latex \alpha $ — середина этого отрезка.
Если $latex f(\alpha)=0 $ , то теорема доказана, если $latex f(\alpha) \neq 0 $ , то
на концах хотя бы одного из отрезков она принимает значение разных знаков.
$latex \Delta_1=[a_1,b_1] $, его длина $latex b_1-a_1 =\frac{b-a}{2} $
Пусть точка $latex \alpha_1 $ середина $latex \Delta_1 $
Если $latex f(\alpha_1)=0 $ , то теорема доказана, если $latex f(\alpha_1) \neq 0 $ , то
на концах хотя бы одного из отрезков она принимает значение разных знаков.
$latex \Delta_2=[a_2,b_2] $ , его длина $latex b_2-a_2 =\frac{b_1-a_1}{2} $
Продолжая этот процесс получим:

Для n-ого отрезке $latex \Delta_n=\frac{b-a}{2^{n}} \rightarrow 0 $ при $latex n \rightarrow \infty $

И $latex \forall n : f(a_n)f(b_n)<0 $

Так как последовательность стягивающаяся , то по теореме Кантора:

[latex]\exists c\ \forall n\ \in \ \mathbb{N} :[/latex] $latex c \ \in \ \Delta_n $

Докажем, что f(c)=0

Докажем от противного
$latex f(c)\neq 0 \Rightarrow f(c)>0 $ либо $latex f(c)<0 $ по свойству сохранения знака непрерывной функции
$latex \exists \delta \ \forall x \ \epsilon \ U_\delta(c) \Rightarrow f(x)>0 $
$latex b_n-a_n \rightarrow 0 $
$latex \forall \ \varepsilon>0 \ \exists N : \ \forall n \geq N \ |b_n-a_n|< \varepsilon $
Для $latex \delta>0 \ \exists n_0>N : b_{n_{0}}-a_{n_{0}}<\delta <2 \delta $
Отрезок с номером $latex n_0 $ будет лежать в этой окрестности $latex \Rightarrow $
$latex \forall x \ \epsilon \ U_\delta(c) \Rightarrow \ \forall x \ \epsilon \ \Delta_{n_{0}} : f(x)>0 $ ,
а это противоречит выбору $latex \Delta_{n_{0}} $ так как значение на левом и на правом конце отрезка, должны быть разных знаков
$latex \Rightarrow \ f(c)=0 $

$latex \blacksquare $

[свернуть]

Литература:

Тест:

Первая и вторая теоремы Коши

Тест на тему: «Первая и вторая теорема Коши»

Определение предела по Коши и по Гейне, их эквивалентность

1. Определение предела по Коши и по Гейне

Определение 1.1. (определение по Коши или на языке [latex]\varepsilon — \delta[/latex]):

[latex]A[/latex] — предел функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a[/latex] (и пишут \(\lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = A\)), если: [latex]\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0:\forall x: 0 < |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x) — A| < \varepsilon[/latex]
В определении допускается, что [latex]x \neq a[/latex], то есть [latex]a[/latex] может не принадлежать области определения функции.

Определение 1.2. (определение по Гейне):

[latex]A[/latex] называется пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a[/latex], если [latex]\forall \left \{ x_{n} \right \}\rightarrow a[/latex], [latex]x_n\ne a[/latex] то есть [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} = a[/latex], соответствующая последовательность значений [latex]{f(x_{n})} \rightarrow A[/latex], то есть [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty } f(x_{n}) = A[/latex].

Замечание 1.1.

Из определения предела функции по Гейне следует, что функция не может иметь в точке два разные предела.

Замечание 1.2.

Понятие предела функции в точке есть локальное понятие: существование и значение предела полностью определяется значениями функции в как угодно малой окрестности этой точки.

Замечание 1.3.

[latex]\forall x:0<|x-a|<\delta[/latex]

Данную запись в определении можно сформулировать иначе: точка [latex]x[/latex] принадлежит проколотой [latex]\delta[/latex]-окрестности точки [latex]a[/latex]([latex]x\in \dot{U_{\delta }}(a)[/latex])

2. Эквивалентность определений

Пусть число [latex]A[/latex] является пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a[/latex] по Коши. Выберем произвольную подходящую последовательность [latex]x_{n}[/latex] , [latex]n \in N[/latex], то есть такую, для которой [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} = a[/latex]. Покажем, что [latex]A[/latex] является пределом по Гейне.

Зададим произвольное [latex]\varepsilon > 0[/latex] и укажем для него такое [latex]\delta > 0[/latex], что для всех [latex]x[/latex] из условия [latex]0 < |x-a| < \delta[/latex] следует неравенство [latex]|f(x)-A | < \varepsilon[/latex]. В силу того, что [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} = a[/latex], для [latex]\delta > 0[/latex] найдётся такой номер [latex]n_{\delta }\in N[/latex], что [latex]\forall n\geq n_{\delta }[/latex] будет выполняться неравенство [latex]|f(x_{n})-A| < \varepsilon[/latex], то есть [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty } f(x_{n}) = A[/latex].

Докажем теперь обратное утверждение: предположим, что [latex]\lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = A[/latex] по Гейне, и покажем, что число [latex]A[/latex] является пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a[/latex] по Коши. Предположим, что это неверно, то есть: [latex]\exists \varepsilon_{0} > 0 \forall \delta > 0 :\exists x_{\delta }:0<|x_{\delta }-a|<\delta \Rightarrow |f(x_{\delta })-A|\geq \varepsilon[/latex]. В качестве [latex]\delta[/latex] рассмотрим [latex]\delta = \frac{1}{n}[/latex], а соответствующие значения [latex]x_{\delta }[/latex] будем обозначать [latex]x_{n}[/latex]. Тогда при любом [latex]n\in N[/latex] выполняются условия [latex]|x_{n}-a|<\frac{1}{n}[/latex] и [latex]|f(x_{n})- A | \geq \varepsilon[/latex]. Отсюда следует, что последовательность x_{n} является подходящей, но число [latex]A[/latex] не является пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a[/latex]. Получили противоречие.

3. Примеры

Пример 3.1.

а) [latex]\lim\limits_{x\rightarrow 2 } x^{2} = 4[/latex]

[latex]\forall \varepsilon >0\exists \delta >0:\forall x:0<|x-2|<\delta \Rightarrow |x^{2}-4|<\varepsilon[/latex][latex]|x^{2}-4|=|(x-2)(x+2)|=|x-2|\cdot|x+2|<5\delta <\varepsilon \Rightarrow 0<\delta <\frac{\varepsilon }{5}[/latex] , например [latex]\delta =\frac{\varepsilon }{6}[/latex]

б) [latex]\forall\left \{ x_{n} \right \}\rightarrow 2[/latex]                                                                                 [latex]\lim\limits_{n\rightarrow 2 } f(x_{n}) =\lim\limits_{n\rightarrow 2} x_{n}^{2}=4[/latex]

Пример 3.2.

Доказать, что [latex]f(x)=\sin \frac{1}{x}[/latex] не имеет предела в точке 0.

[latex]\exists \left \{ {x_{n}}’ \right \}\rightarrow 0[/latex] [latex]\exists \left \{ {x_{n}}» \right \}\rightarrow 0[/latex]

[latex]\left \{ f({x_{n}}’) \right \}\rightarrow A_{1}[/latex] [latex]\left \{ f({x_{n}}») \right \}\rightarrow A_{2}[/latex]

[latex]{x_{n}}’:\sin \frac{1}{{x_{n}}’}=0\Leftrightarrow \frac{1}{{x_{n}}’}=\pi n\Rightarrow {x_{n}}’ = \frac{1}{\pi n}\xrightarrow[ n\neq 0]{n\rightarrow \infty}0[/latex]                                                            [latex]{x_{n}}’= \frac{1}{\pi n} \rightarrow 0:f({x_{n}}’)=0\rightarrow 0[/latex]                                                                                                [latex]{x_{n}}»:\sin \frac{1}{{x_{n}}»}=1\Leftrightarrow \frac{1}{{x_{n}}»}=\frac{\pi }{2}+2\pi n\Rightarrow {x_{n}}» = \frac{1}{\frac{\pi }{2}+2\pi n}\xrightarrow[n\neq 0]{n\rightarrow \infty }0[/latex]                  [latex]{x_{n}}»= \frac{1}{\frac{\pi }{2}+2\pi n} \rightarrow 0:f({x_{n}}»)=1\rightarrow 1[/latex]

Вывод: последовательность по Гейне не имеет предела.

Литература

 Тест

Тест по теме Определение предела по Коши и по Гейне, их эквивалентность.

Желаем удачи!

Таблица лучших: Предел последовательности

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных
 

 

Остатки формулы Тейлора



Остаток формулы Тейлора (стандартное обозначение- $latex r_{n} (x_{0},x) $) можно определить, как:
  1. Погрешность, которая возникает при замене функции $latex y=f(x) $ многочленом $latex P_{n}(x_{0},x) .$ Если выполнены условия теоремы о представлении формулы $latex f$ в виде многочлена Тейлора, то для значений $latex x$ из окрестности точки $latex x_{0},$ для которых погрешность $latex r_{n}(x_{0},x) $ достаточно мала, многочлен $latex P_{n}(x_{0},x) $ дает приближенное представление функции.
  2. (На рисунке) Разница значений функции $latex f(x) $ и выражающим её многочленом Тейлора в точке $latex x_{0} :$$latex f(x)-P_{n}(x_{0},x)=r_{n}(x_{0},x) $ (уклонение полинома $latex P_{n} $ от функции $latex f(x) $).

r(x0,x)

Существует 3 основных представления остаточного члена:

  1. В форме Лагранжа: $$ \large r_{n} (x_{0},x)=\frac{f^{(n+1)}(x+\theta(x-x_{0}))}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1} , \ $$$latex 0< \theta < 1 .$$$\ $$
  2. В форме Коши: $$\large r_{n} (x_{0},x) =\frac{f^{(n+1)}(x_{0}+\theta_{1}(x-x_{0}))}{n!}(1-\theta_{1}(x-x_{0}))^{n}(x-x_{0})^{n+1} , \ $$$latex 0< \theta_{1} < 1 .$$$\ $$
  3. В форме Пеано: $$ \large r_{n} (x_{0},x) =o((x-a)^{n}) , \ $$ при $latex x\rightarrow a .$

Примеры:

  1. Написать разложение функции $latex e^{\sin (x)} $ до $latex x^{3} $ с остатком в форме Пеано.
    Спойлер

    $$ e^{\sin (x)}=1+\sin (x)+\frac{1}{2} \sin ^{2}(x)+\frac{1}{6}\sin ^{3}(x)+o(\sin ^{3}(x)) $$ Ввиду эквивалентности бесконечно малых $latex x $ и $latex \sin (x) $ это все равно, что $latex o(x^{3}) ,$ то есть:
    $latex e^{\sin (x)}=1+\sin (x)+ $$latex \frac{1}{2} \sin ^{2}(x)+ $$latex \frac{1}{6} \sin ^{3}(x)+o(x^{3}) \sin(x)= $$latex x-\frac{1}{6}x^{3}+o(x^{4}) \Rightarrow $$latex e^{sin(x)}=1+(x-\frac{1}{6} x^{3} )+ $$latex \frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{6}x^{3}+o(x^{3}) $
    Член с $latex x^{3} $ аннулируется и, окончательно, имеем: $$ e^{ \sin (x)}=1+x+\frac{1}{2}x^{2}+o(x^{3}) $$ $$\ $$

    2. [свернуть]

  • Вычислить предел, используя формулу Тейлора: $$ \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+2\cdot \mathrm{tg} (x)}-e^x+x^2}{\mathrm{arctg} (x)-\sin (x)} $$
    Спойлер

    Разложим числитель по формуле Тейлора: $$\mathrm{tg} (x)=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3),\,\, x\rightarrow 0; \ $$ $$ 2 \cdot \mathrm{tg} (x)=2\cdot x+ \frac {2\cdot x^{3}}{3}+o(x^{3}),\,\, x\rightarrow 0;$$ $$\sqrt {1+t}=(1+t)^{\frac {1}{2}}=1+\frac {1}{2}t-\frac {1}{8}t^2+\frac {1}{16}t^{3}+o(t^{3}),\,\, t\rightarrow 0;$$ Таким образом: $latex \sqrt{1+2\cdot \mathrm{tg} (x)}= $$latex 1+\frac{1}{2}2 \cdot \mathrm{tg} (x)- $$latex \frac{1}{8}(2 \mathrm{tg} (x))^2+$$latex \frac{1}{16}(2 \cdot \mathrm{tg} (x))^3+o(\mathrm{tg} ^{3} (x))= $$latex 1+\mathrm{tg} (x)-\frac{1}{2} \mathrm{tg} ^{2} x+$$latex \frac{1}{2} \mathrm{tg} ^3 (x)+o(\mathrm{tg} ^{3} (x))= $$latex 1+x+\frac{x^3}{3}-\frac{1}{2}x^2+\frac{x^3}{2}+o(x^3)= $$latex 1+x-\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{6}x^3+o(x^3) . \ $
    Учитывая, что $latex e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3) ,$ находим, по формуле Тейлора ($latex x_{0}=0$) числитель дроби $latex \sqrt{1+2\cdot \mathrm{tg} (x)}-e^x+x^2= $$latex 1+x-\frac{1}{2}x^2+$$latex \frac{5}{6}x^3-1-x-$$latex \frac{x^2}{2}-$$latex \frac{x^3}{6}+$$latex x^2+o(x^3)= $$latex \frac{2}{3}x^3+o(x^3),\, x\rightarrow 0 .$
    Далее раскладываем знаменатель: $latex \sin x= x-$$latex \frac{x^3}{6}+o(x^3);\ $$latex \arcsin x=x+$$latex \frac{x^3}{6}+o(x^3). $ Отсюда $latex \arcsin(x)- \sin (x) = $$latex \frac {x ^{3}}{3} + o (x ^{3}) $ Таким образом, дробь представляется в виде: $$\frac{\frac{2}{3}x^3+o(x^3)}{\frac{1}{3}x^3+o(x^3)}$$ Следовательно:
    $$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac {\sqrt {1+2\cdot \mathrm{tg} (x)}-e^{x}+x^{2}}{ \mathrm{arctg} (x)-\sin (x)}=\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{2}{3}x^3+o(x^3)}{\frac{1}{3}x^3+o(x^3)} = 2 $$

    [свернуть]

    • Список литературы:

    1. Г.М.Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 1, 1962 год, стр. 246-257.
    2. Тер-Крикоров А. М. Шабунин М. И. «Курс математического анализа» 3 издание 2001 года, стр. 158-172
    3. Л. Д. Кудрявцев «Курс математического анализа 1» стр. 339-353
    4. Варятанян Г. М. Математический анализ. Часть 1(3). 2009 с. 44-46

    Формула Тейлора. Виды остаточных членов.


    Таблица лучших: Остатки формулы Тейлора

    максимум из 30 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных