Processing math: 97%

Символ Ландау

Символами Ландау являются «О» большое и «о» малое (O и o).

Определение:

Пусть f(x) и g(x) — две функции, определенные в некоторой проколотой окрестности точки x0, причем в этой окрестности g не обращается в ноль. Говорят, что:

  • f является «О» большим от g при xx0 и пишут f=O(g)xx0, если существует такая константа C>0, что для всех x из некоторой окрестности точки x0 имеет место неравенство |f(x)|C|g(x)|;
  • f является «о» маленьким от g при xx0 и пишут f=o(g)xx0, если для любого ε>0 найдется такая проколотая окрестность Ux0 точки x0, что для всех xUx0 имеет место неравенство |f(x)|<ε|g(x)|.

Иначе говоря, в первом случае отношение |f|/|g| в окрестности точки x0 ограничено сверху, а во втором оно стремится к нулю при xx0, то есть функция f является бесконечно малой в сравнении с g.

Примеры:

x2=o(x)x0, т.к. limx0x2x=limx0x=0;
sin2x=O(x)xx0,x0ϵR, т.к. limx1xx=limx1x2=0;
x3=O(x), т.к. limx0x3x=limx0x2; а функция x2 ограничена сверху в окрестности точки 0.
sin2x=O(x),x0ϵR, т.к. limxx0sin2xx=limxx0sinx; а функция sinx всегда ограничена сверху единицей.

Свойства «О» большого и «о» маленького

Для функций f=f(x),g=g(x) и xϵR справедливы равенства:

  1. o(f)+o(f)=o(f);
  2. o(f) тем более есть O(f);
  3. o(f)+O(f)=O(f);
  4. O(f)+O(f)=O(f);
  5. o(f(x))g(x)=o(f(x)g(x)) и O(f(x))g(x)=O(f(x)g(x)), если g0; 
  6. o(o(f))=o(f);
  7. o(Cf)=o(f);
  8. Co(f)=o(f);
  9. o(f+o(f))=o(f);
  10. o(f)±o(f)=o(f);
  11. o(fn)o(fm)=o(fn+m),n,mϵN;
  12. (o(f))n=o(fn),nϵN .

Примеры:

o(x2)+o(x2)x0=o(x2)x0
o(2x5)x0=o(x5)x0
o(x2)o(x3)x0=o(x5)x0.

Символ Ландау

Тест по теме «Символ Ландау»

Источники:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Непрерывные функции»).
  2. Википедия, статья «О большое и о малое»
  3. Кытманов А.А., Математический анализ, параграф 1.15.

Рекомендуемая к прочтению литература:

Наибольшее и наименьшее значения функции

Для функции, непрерывной на отрезке по первой теореме Вейерштрасса существует точка, в которой функция принимает наибольшее значение и точка, в которой функция принимает наименьшее значение.

Функция f(x) принимает наибольшее значение max на отрезке [a;b] в точке x0, если x0ϵ[a;b] и xϵ[a;b]: f(x0)>f(x).
Аналогично функция f(x) принимает наименьшее значение min на отрезке [a;b] в точке x1, если x1ϵ[a;b] и xϵ[a;b]: f(x1)<f(x).

Примеры:

1.Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=x24x+6 на сегменте [3;10].

Решение:

Найдем производную функции f(x)=2x4.  Найдем точки, в которых производная равна нулю: f(x)=2x4=0   x=2. Значение x=2 принадлежит сегменту [3;10]. Находим значения функции в полученной стационарной точке и на концах промежутка:

  1. f(2)=48+6=2;
  2. f(3)=9+12+6=27;
  3. f(10)=10040+6=66.

Таким образом:
f(x)min[0;5]=f(2)=2;
f(x)max[0;5]=f(10)=66.

2.Найти отношение радиуса основания к высоте цилиндра h, если при заданном объеме площадь полной поверхности S является наименьшей.

Решение:

Svg.5.ex

Пусть V — фиксированный объем цилиндра, площадь полной поверхности S=2πx2+2πhx, тогда V=S1×h=πx2h, где S1 — площадь основания цилиндра h=Vπx2.

Тогда S=2πx2+2πxVπx2=2(πx2+Vx). Найдем производную S: S=2(2πxVx2). Найдем стационарные точки: S=2(2πxVx2)=0 S=2πx3Vx2=0 x=3V2π. Получим: xh=xVπx2=πx3V=πV2πV=12 h=2x.

Вывод: цилиндр при заданном объеме имеет наименьшую площадь полной поверхности, если его высота в 2 раза больше радиуса, т.е в случае, когда осевое сечение — квадрат.

Список литературы:

Наибольшее и наименьшее значения функции

Тест на тему «Наибольшее и наименьшее значения функций».

Таблица лучших: Наибольшее и наименьшее значения функции

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Задачи, которые приводят к понятию производной

  1. Задача о скорости

    Пусть точка движется по прямой. S=S(t) — путь пройденый точкой за время t от начала движения. Путь пройденный точкой за время от t до t+Δt= S(t+Δt)S(t) .
    graph2
    Средняя скорость: Vcp=S(t+Δt)S(t)Δt
    Если движение точки — равномерное, то Vcp — постоянная.
    Если же движение неравномерное, то Vcp не меняется при изменении Δt .
    Определение:
    Мгновенной скоростью называют скорость точки в момент t: V(t)=limΔt0Vcp=limΔt0S(t+Δt)S(t)Δt .

  2. Задача о касательной

    Пусть функция f определена в δ-окрестности точки x0 и непрерывна в этой окрестности.
    test6
    Возьмем две точки на графике: M0(x0;y0) и M(x0+Δx;f(x0+Δx)) .
    Уравнение прямой, проходящей через точки M и M0 имеет вид yy0=ΔyΔx(xx0), где Δy=f(x0+Δx)f(x0), Δx=xx0.
    ΔyΔx=tanα
    Эту прямую называют секущей, а число k=tanαугловым коэффициентом секущей.
    Δx0=>Δy0=>MM0=(Δx)2+(Δy)20
    Определение:
    Касательной кривой заданной уравнением y=f(x) в точке x0 называют предельное положение секущей при Δx0.
    Если существует limΔx0ΔyΔx=k0, то существует предельное положение секущей.
    Таким образом, если существует limΔx0ΔyΔx, то прямая, проходящая через точку M0 с угловым коэффициентом k0 называется касательной к графику функции y=f(x) в точке x0 .

В обеих задачах речь идет о пределе отношения приращения функции к приращению аргумента.

Задачи, которые приводят к понятию производной

Тест по теме «Задачи, которые приводят к понятию производной»

Источники:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Дифференциальное вычисление функций с одной переменной»).

Рекомендуемая к прочтению литература

Бесконечно малая функция в сравнении с другой

Определение:

Если в некоторой проколотой окрестности точки x0 определены функции f,g и α, такие, что имеют место соотношения f(x)=g(x)α(x),limxx0α(x)=0, то функцию f называют бесконечно малой функцией в сравнении с g при xx0 и пишут f=o(g)xx0;f(x)=o(g(x))xx0 .

Замечание:

Если xϵUδ(x0):g(x)0, то limxx0f(x)g(x=limxx0α(x)=0 .

Примеры:

x2=o(x4)x, т.к. limxx2x4=limx1x2=0

limxsinxx=0:sinx=o(x)x
limxarctanxx=0:arctanx=o(x)x.

Определение:

  • В случае, когда в записи f=o(g)xx0   g — бесконечно малая функция, говорят, что fбесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем g, gбесконечно малая функция более низкого порядка малости, чем f.
  • В случае, когда в записи limxx0f(x)g(x)=a,a<,a0, f и g — бесконечно малые функции при xx0, говорят, что f и g являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.
  • В случае, когда в записи limxx0f(x)gm(x)=a,a<,a0  g — бесконечно малая функция, говорят, что бесконечно малая функция f имеет m-й порядок малости относительно функции g.

Примеры:

x2=o(x)x0, т.к. limx0x2x=limx0x=0. x2 — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем x;
x3sin1x=o(x)x0; т.к. limx0x3sin1xx=limx0x2sin1x=0 (т.к. sin1x — ограниченная функция). x3sin1x — функция более высокого порядка малости, чем x;
tan2x=o(x)x0, т.к. limx0tan2xx=limx0tanx=0. tan2x — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем x;
limx0tanxx=1. Функции tanx и x являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.
limx0tan6xx6=1. tan6x имеет 6-й порядок малости относительно x.

Бесконечно малая функция в сравнении с другой

Тест по теме «Бесконечно большая функция в сравнении с другой»

Источники:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Непрерывные функции»).
  2. Википедия, статья «Бесконечно малая и бесконечно большая»

Рекомендуемая к прочтению литература:

Необходимые и достаточные условия существования экстремумов. Примеры.

 Экстремумом функции называется максимальное (минимальное) значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум называется точкой экстремума.
Точка x0 называется точкой локального максимума функции f(x), если выполняется условие: Uδ(x0):xUδ(x0)f(x0)f(x).
Аналогично точка x0 называется точкой локального минимума функции f(x) , если выполняется условие: Uδ(x0):xUδ(x0)f(x0)f(x).

Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками.
Точки, в которых функция непрерывна, а её производная либо равна нулю, либо не существует, называются критическими точками.

Теорема (необходимое условие экстремума)

Если точка x0 — точка экстремума функции f(x), то она критическая.

Доказательство

По условию точка x0 — точка экстремума функции f(x) по теореме Ферма производная f(x0)=0 точка x0 является критической.

Пример:

Найти экстремум функции f(x)=x3 6x2+9x4.
Найдем производную этой функции:f=3x212x+9 критические точки задаются уравнением 3x212x+9=0. Корни этого уравнения x1=3 и x2=1.

Svg.4.ex

Как видно по рисунку функция имеет максимум в точке 1, а минимум в точке 3.
Подставим эти значения чтобы убедиться в исходную функцию: f(3)=27 54+274=4 и f(1)=16+94=0 в точке  x1=3 функция имеет минимум, равный -4, а в точке x2=1 функция имеет максимум, равный 0.

Замечания:

Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Пример:

Рассмотрим функцию f(x)=x3. Построим график этой функции:

Svg.4.ex

Производная данной функции в точке x0=0 f(0)=0 x0 по определению является критической точкой, однако в этой точке функция не имеет экстремума.

 

Теорема (первое достаточное условие экстремума в терминах первой производной)

Пусть функция f(x) определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может, самой точки x0 и непрерывна в этой точке. Тогда:

  1. Если производная f меняет знак с «-» на «+» при переходе через точку x0: x (x0δ;x0)f(x)< 0 и x (x0;x0+δ)f(x)> 0, то x0 — точка строго минимума функции f(x).
  2. Если производная f меняет знак с «+» на «-» при переходе через точку x0: x (x0δ;x0)f(x)> 0 и  x (x0;x0+δ)f(x)< 0, то x0 — точка строго максимума функции f(x).

Доказательство

Пусть, например, f меняет знак с «-» на «+». Рассмотрим точку x0 на сегменте [x;x0]. Воспользуемся теоремой о конечных приращениях Лагранжа: f(x)f(x0) =f(ξ)(xx0), ξ(x;x0). Поскольку при переходе через точку x0 функция меняет знак с «-» на «+», то f(ξ)<0 и x<x0, то xx0<0 f(x)f(x0)>0.
Аналогично рассмотрим сегмент [x0;x], получим
f(x)f(x0)>0 f(x0)<f(x)   x0 — точка строгого минимума функции.

Замечания:

Если x0 — точка строго экстремума, то из этого не следует, что производная f(x) меняет знак при переходе через точку x0.

Теорема (второе достаточное условие строгого экстремума в терминах второй производной)

Пусть дана функция f(x), она определена в некоторой окрестности точки x0, ее первая производная f(x0)=0 и пусть f»(x0), тогда:

  1. Если f»(x0)>0, то точка x0 — точка строгого минимума;
  2. Если f»(x0)<0, то точка x0 — точка строгого максимума.

Доказательство

Докажем теорему для первого случая, когда f»(x0)>0. По скольку f»(x0) непрерывна, то на достаточно малом интервале (x0δ;x0+δ), т.к f»(x0)>0, то f(x0) возрастает в этом интервале. f(x0)=0, значит f(x0)<0 на интервале (x0δ;x0) и  f(x0)>0 на интервале (x0;x0+δ).
Таким образом функция f(x) убывает на интервале (x0δ;x0) и возрастает на интервале (x0;x0+δ) по первому достаточному условию экстремума функция в точке x0 имеет минимум.
Аналогично доказывается второй случай теоремы.

Замечания:

Если f(x)=0 и f»(x)=0, то функция f(x) может и не иметь экстремум в точке x0.

Теорема (третье достаточное условие строгого экстремума в терминах производных порядка больше двух)

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0, и в этой точке существуют производные до n-го порядка пусть f(n)(x0), n>2 и f(x0)=f»(x0)==f(n1)(x0)=0, f(n)(x0)0. Тогда:

  1. Если n=2k (т.е n — четное), то x0 — точка экстремума:
    • если f(n)(x0)<0, то x0 — точка локального максимума;
    • если f(n)(x0)>0, то x0 — точка локального минимума;
  2. Если n=2k+1 (т.е n — нечетное), то x0 — не является точкой экстремума.

Доказательство

Воспользуемся формулой Тейлора в окрестности точки x0 с остатком в форме Пеано: f(x)=f(x0)+ f(x0)1!(xx0)++ f(n1)(x0)(n1)!(xx0)n1+ f(n)(x0)n!(xx0)n+ o((xx0)n),xx0.
По скольку все производные до (n1) порядка включительно равны нулю получим: f(x)f(x0)=fn(x0)n!(xx0)n+o((xx0)n),xx0. Запишем полученное выражение в виде: f(x)f(x0)=f(n)(x0)n!(xx0)[1+o((xx0)n)(xx0)n]. Выражение [1+o((xx0)n)(xx0)n)]>1. Пусть n=2k (xx0)n>0, \text{sign}(f(x)-f(x_{0}))= \text{sign} (\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}). Отсюда следует, что сохранение или изменение знака приращения функции во время перехода через точку x_{0} зависит от четности n. Последний факт и доказывает теорему.

Список литературы:

Экстремум функции

Тест для проверки знаний по теме «Экстремум функции».

Таблица лучших: Экстремум функции

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных