12.8.2 Локальные экстремумы функций многих переменных

Определение. Пусть $f$ – действительная функция на открытом множестве $E \subset \mathbb{R}^{n}$. Говорят, что $f$ имеет локальный максимум в точке $x_{0} \in E$, если существует такая окрестность $U$ точки $x_{0}$, что для всех $x \in U$ выполняется неравенство $f\left(x\right) \leqslant f\left(x_{0}\right)$.

Локальный максимум называется строгим, если окрестность $U$ можно выбрать так, чтобы для всех $x \in U$, отличных от $x_{0}$, было $f\left(x\right) < f\left(x_{0}\right)$.

Определение
Пусть $f$ – действительная функция на открытом множестве $E \subset \mathbb{R}^{n}$. Говорят, что $f$ имеет локальный минимум в точке $x_{0} \in E$, если существует такая окрестность $U$ точки $x_{0}$, что для всех $x \in U$ выполняется неравенство $f\left(x\right) \geqslant f\left(x_{0}\right)$.

Локальный минимум называется строгим, если окрестность $U$ можно выбрать так, чтобы для всех $x \in U$, отличных от $x_{0}$, было $f\left(x\right) > f\left(x_{0}\right)$.

Локальный экстремум объединяет понятия локального минимума и локального максимума.

Теорема (необходимое условие экстремума дифференцируемой функции)
Пусть $f$ – действительная функция на открытом множестве $E \subset \mathbb{R}^{n}$. Если в точке $x_{0} \in E$ функция $f$ имеет локальный экстремум и дифференцируема в этой точке,то $$\text{d}f\left(x_{0}\right)=0.$$ Равенство нулю дифференциала равносильно тому, что все частные производные равны нулю, т.е. $$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left(x_{0}\right)=0.$$

В одномерном случае это – теорема Ферма. Обозначим $\phi \left(t\right) = f \left(x_{0}+th\right)$, где $h$ – произвольный вектор. Функция $\phi$ определена при достаточно малых по модулю значениях $t$. Кроме того, по теореме о производной сложной функции, она дифференцируема, и ${\phi}’ \left(t\right) = \text{d}f \left(x_{0}+th\right)h$.
Пусть $f$ имеет локальный максимум в точкеx $0$. Значит, функция $\phi$ при $t = 0$ имеет локальный максимум и, по теореме Ферма, ${\phi}’ \left(0\right)=0$.
Итак, мы получили, что $df \left(x_{0}\right) = 0$, т.е. дифференциал функции $f$ в точке $x_{0}$ равен нулю на любом векторе $h$.

Определение
Точки, в которых дифференциал равен нулю, т.е. такие, в которых все частные производные равны нулю, называются стационарными. Критическими точками функции $f$ называются такие точки, в которых $f$ не дифференцируема, либо ее градиент равен нулю. Если точка стационарная, то из этого еще не следует, что в этой точке функция имеет экстремум.

Пример 1.
Пусть $f \left(x,y\right)=x^{3}+y^{3}$. Тогда $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} = 3 \cdot x^{2}$,$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y} = 3 \cdot y^{2}$, так что $\left(0,0\right)$ – стационарная точка, но в этой точке у функции нет экстремума. Действительно, $f \left(0,0\right) = 0$, но легко видеть, что в любой окрестности точки $\left(0,0\right)$ функция принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Пример 2.
У функции $f \left(x,y\right) = x^{2} − y^{2}$ начало координат – стационарная точка, но ясно, что экстремума в этой точке нет.

Теорема (достаточное условие экстремума).
Пусть функция $f$ дважды непрерывно-дифференцируема на открытом множестве $E \subset \mathbb{R}^{n}$. Пусть $x_{0} \in E$ – стационарная точка и $$\displaystyle Q_{x_{0}} \left(h\right) \equiv \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)h^{i}h^{j}.$$ Тогда

  1. если $Q_{x_{0}}$ – знакоопределенная квадратичная форма, то функция $f$ в точке $x_{0}$ имеет локальный экстремум, а именно, минимум, если форма положительноопределенная, и максимум, если форма отрицательноопределенная;
  2. если квадратичная форма $Q_{x_{0}}$ неопределенная, то функция $f$ в точке $x_{0}$ не имеет экстремума.

Воспользуемся разложением по формуле Тейлора (12.7 стр. 292). Учитывая, что частные производные первого порядка в точке $x_{0}$ равны нулю, получим $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)h^{i}h^{j},$$ где $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290), $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все частные производные второго порядка непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left[Q_{x_{0}} \left(h\right)+\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}\right].$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left[Q_{x_{0}} \left(h\right)+\epsilon \left(h\right)|h|^{2}\right]. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1), существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, а $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$, то правая часть будет положительной при любом векторе $h$ достаточно малой длины.
Итак, мы пришли к тому, что в некоторой окрестности точки $x_{0}$ выполнено неравенство $f \left(x\right) >f \left(x_{0}\right)$, если только $x \neq x_{0}$ (мы положили $x=x_{0}+h$\right).  Это означает, что в точке $x_{0}$ функция имеет строгий локальный минимум, и тем самым доказана первая часть нашей теоремы.
Предположим теперь, что $Q_{x_{0}}$ – неопределенная форма. Тогда найдутся векторы $h_{1}$, $h_{2}$, такие, что $Q_{x_{0}} \left(h_{1}\right)=\lambda_{1}>0$, $Q_{x_{0}} \left(h_{2}\right)= \lambda_{2}<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0$. Тогда получим $$f \left(x_{0}+th_{1}\right)−f \left(x_{0}\right) = \frac{1}{2} \left[ t^{2} \lambda_{1} + t^{2} |h_{1}|^{2} \epsilon \left(th_{1}\right) \right] = \frac{1}{2} t^{2} \left[ \lambda_{1} + |h_{1}|^{2} \epsilon \left(th_{1}\right) \right].$$ При достаточно малых $t>0$ правая часть положительна. Это означает, что в любой окрестности точки $x_{0}$ функция $f$ принимает значения $f \left(x\right)$, большие, чем $f \left(x_{0}\right)$.
Аналогично получим, что в любой окрестности точки $x_{0}$ функция $f$ принимает значения, меньшие, чем $f \left(x_{0}\right)$. Это, вместе с предыдущим, означает, что в точке $x_{0}$ функция $f$ не имеет экстремума.

Рассмотрим частный случай этой теоремы для функции $f \left(x,y\right)$ двух переменных, определенной в некоторой окрестности точки $\left(x_{0},y_{0}\right)$ и имеющей в этой окрестности непрерывные частные производные первого и второго порядков. Предположим, что $\left(x_{0},y_{0}\right)$ – стационарная точка, и обозначим $$\displaystyle a_{11}= \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \left(x_{0} ,y_{0}\right), a_{12}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \left(x_{0}, y_{0}\right), a_{22}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \left(x_{0}, y_{0}\right).$$ Тогда предыдущая теорема примет следующий вид.

Теорема
Пусть $\Delta=a_{11} \cdot a_{22} − a_{12}^2$. Тогда:

  1. если $\Delta>0$, то функция $f$ имеет в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ локальный экстремум, а именно, минимум, если $a_{11}>0$, и максимум, если $a_{11}<0$;
  2. если $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Примеры решения задач

Алгоритм нахождения экстремума функции многих переменных:

  1. Находим стационарные точки;
  2. Находим дифференциал 2-ого порядка во всех стационарных точках
  3. Пользуясь достаточным условием экстремума функции многих переменных, рассматриваем дифференциал 2-ого порядка в каждой стационарной точке
  1. Исследовать функцию на экстремум $f \left(x,y\right) = x^{3} + 8 \cdot y^{3} + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
    Решение

    Найдем частные производные 1-го порядка: $$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=3 \cdot x^{2} — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=24 \cdot y^{2} — 6 \cdot x.$$ Составим и решим систему: $$\displaystyle \begin{cases}\frac{\partial f}{\partial x}= 0\\\frac{\partial f}{\partial y}= 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}3 \cdot x^{2} — 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^{2} — 6 \cdot x = 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x^{2} — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^{2} — x = 0\end{cases}$$ Из 2-го уравнения выразим $x=4 \cdot y^{2}$ — подставим в 1-ое уравнение: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^{2}\right)^{2}-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^{4} — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^{4} — y = 0$$ $$y \left(8 \cdot y^{3} -1\right)=0$$ В результате получены 2 стационарные точки:
    1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_{1} = \left(0, 0\right)$;
    2) $\displaystyle 8 \cdot y^{3} -1=0 \Rightarrow y^{3}=\frac{1}{8} \Rightarrow y = \frac{1}{2} \Rightarrow x=1, M_{2} = \left(\frac{1}{2}, 1\right)$
    Проверим выполнение достаточного условия экстремума:
    $$\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=6 \cdot x; \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=-6; \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=48 \cdot y$$
    1) Для точки $M_{1}= \left(0,0\right)$:
    $$\displaystyle A_{1}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \left(0,0\right)=0; B_{1}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \left(0,0\right)=-6; C_{1}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \left(0,0\right)=0;$$
    $A_{1} \cdot B_{1} — C_{1}^{2} = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
    2) Для точки $M_{2}$:
    $$\displaystyle A_{2}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \left(1,\frac{1}{2}\right)=6; B_{2}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \left(1,\frac{1}{2}\right)=-6; C_{2}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \left(1,\frac{1}{2}\right)=24;$$
    $A_{2} \cdot B_{2} — C_{2}^{2} = 108>0$, значит, в точке $M_{2}$ существует экстремум, и поскольку $A_{2}>0$, то это минимум.
    Ответ: Точка $\displaystyle M_{2} \left(1,\frac{1}{2}\right)$ является точкой минимума функции $f$.

  2. Исследовать функцию на экстремум $f=y^{2} + 2 \cdot x \cdot y — 4 \cdot x — 2 \cdot y — 3$.
    Решение

    Найдём стационарные точки: $$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2 \cdot y — 4;$$ $$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
    Составим и решим систему: $$\displaystyle \begin{cases}\frac{\partial f}{\partial x}= 0\\\frac{\partial f}{\partial y}= 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}2 \cdot y — 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x — 2 = 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 2\\y + x = 1\end{cases} \Rightarrow x = -1$$
    $M_{0} \left(-1, 2\right)$ – стационарная точка.
    Проверим выполнение достаточного условия экстремума: $$\displaystyle A=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \left(-1,2\right)=0; B=\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \left(-1,2\right)=2; C=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \left(-1,2\right)=2;$$
    $A \cdot B — C^{2} = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
    Ответ: экстремумы отсутствуют.

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме «Локальные экстремумы функций многих переменных».


Таблица лучших: Локальные экстремумы функций многих переменных

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Литература:
См. Также:

Необходимые и достаточные условия существования экстремумов. Примеры.

 Экстремумом функции называется максимальное (минимальное) значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум называется точкой экстремума.
Точка $latex x_{0}$ называется точкой локального максимума функции $latex f(x)$, если выполняется условие: [latex] \exists U_{\delta }(x_{0}) :[/latex][latex] \forall x\in U_{\delta }(x_{0}) f(x_{0})\geq[/latex][latex] f(x).[/latex]
Аналогично точка $latex x_{0}$ называется точкой локального минимума функции $latex f(x)$ , если выполняется условие: [latex] \exists U_{\delta }(x_{0}):[/latex][latex]\forall x\in U_{\delta}(x_{0}) f(x_{0})\leq [/latex][latex]f(x).[/latex]

Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками.
Точки, в которых функция непрерывна, а её производная либо равна нулю, либо не существует, называются критическими точками.

Теорема (необходимое условие экстремума)

Если точка $latex x_{0}$ — точка экстремума функции $latex f(x)$, то она критическая.

Доказательство

По условию точка $latex x_{0}$ — точка экстремума функции $latex f(x)$ $latex \Rightarrow $ по теореме Ферма производная $latex {f}'(x_{0})=0$ $latex \Rightarrow $ точка $latex x_{0}$ является критической.

Пример:

Найти экстремум функции $latex f(x)=x^{3}-$ $latex 6x^{2}+9x-4$.
Найдем производную этой функции:$latex {f}’=3x^{2}-12x+9$ $latex \Rightarrow $ критические точки задаются уравнением $latex 3x^{2}-12x+9 =0$. Корни этого уравнения $latex x_{1}=3$ и $latex x_{2}=1$.

Svg.4.ex

Как видно по рисунку функция имеет максимум в точке 1, а минимум в точке 3.
Подставим эти значения чтобы убедиться в исходную функцию: $latex f(3)=27-$ $latex 54+27-4=-4$ и $latex f(1)=1-6+9-4=0$ $latex \Rightarrow $ в точке  $latex x_{1}=3$ функция имеет минимум, равный -4, а в точке $latex x_{2}=1$ функция имеет максимум, равный 0.

Замечания:

Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Пример:

Рассмотрим функцию $latex f(x)=x^{3}$. Построим график этой функции:

Svg.4.ex

Производная данной функции в точке $latex x_{0}=0$ $latex {f}'(0)=0$ $latex \Rightarrow$ $latex x_{0}$ по определению является критической точкой, однако в этой точке функция не имеет экстремума.

 

Теорема (первое достаточное условие экстремума в терминах первой производной)

Пусть функция $latex f(x)$ определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки $latex x_{0}$, кроме, быть может, самой точки $latex x_{0}$ и непрерывна в этой точке. Тогда:

  1. Если производная $latex {f}’$ меняет знак с «-» на «+» при переходе через точку $latex x_{0}$: $latex \forall x\in $ $latex (x_{0}-\delta ;x_{0}) {f}'(x)<$ $latex 0$ и $latex \forall x\in $ $latex (x_{0}; x_{0}+\delta) {f}'(x)> $ $latex 0$, то $latex x_{0}$ — точка строго минимума функции $latex f(x).$
  2. Если производная $latex {f}’$ меняет знак с «+» на «-» при переходе через точку $latex x_{0}$: $latex \forall x\in $ $latex (x_{0}-\delta;x_{0} ){f}'(x)>$ $latex 0$ и  $latex \forall x\in $ $latex (x_{0}; x_{0}+\delta) {f}'(x)< $ $latex 0$, то $latex x_{0}$ — точка строго максимума функции $latex f(x).$

Доказательство

Пусть, например, $latex {f}’$ меняет знак с «-» на «+». Рассмотрим точку $latex x_{0}$ на сегменте $latex \left [ x;x_{0} \right ].$ Воспользуемся теоремой о конечных приращениях Лагранжа: $latex f(x)-f(x_{0})$ $latex ={f}'(\xi)(x-x_{0})$, $latex \xi \in (x;x_{0})$. Поскольку при переходе через точку $latex x_{0}$ функция меняет знак с «-» на «+», то $latex {f}'(\xi)<0$ и $latex x< x_{0}$, то $latex x- x_{0}<0$ $latex f(x)-f(x_{0})>0.$
Аналогично рассмотрим сегмент $latex \left [ x_{0};x \right ]$, получим
$latex f(x)-f(x_{0})>0$ $latex \Rightarrow$ $latex f(x_{0})< f(x)$ $latex \Rightarrow$   $latex x_{0}$ — точка строгого минимума функции.

Замечания:

Если $latex x_{0}$ — точка строго экстремума, то из этого не следует, что производная $latex {f}’ (x) $ меняет знак при переходе через точку $latex x_{0}.$

Теорема (второе достаточное условие строгого экстремума в терминах второй производной)

Пусть дана функция $latex f(x)$, она определена в некоторой окрестности точки $latex x_{0} $, ее первая производная $latex {f}'(x_{0})=0$ и пусть $latex \exists {f}»(x_{0})$, тогда:

  1. Если $latex {f}»(x_{0})>0$, то точка $latex x_{0}$ — точка строгого минимума;
  2. Если $latex {f}»(x_{0})<0$, то точка $latex x_{0}$ — точка строгого максимума.

Доказательство

Докажем теорему для первого случая, когда $latex {f}»(x_{0})>0$. По скольку $latex {f}»(x_{0})$ непрерывна, то на достаточно малом интервале $latex (x_{0}-\delta ;x_{0}+\delta)$, т.к $latex {f}»(x_{0})>0$, то $latex {f}'(x_{0})$ возрастает в этом интервале. $latex {f}'(x_{0})=0$, значит $latex {f}'(x_{0})<0$ на интервале $latex (x_{0}-\delta ;x_{0})$ и  $latex {f}'(x_{0})>0$ на интервале $latex (x_{0} ;x_{0}+\delta)$.
Таким образом функция $latex f(x)$ убывает на интервале $latex (x_{0}-\delta ;x_{0})$ и возрастает на интервале $latex (x_{0} ;x_{0}+\delta)$ $latex \Rightarrow$ по первому достаточному условию экстремума функция в точке $latex x_{0}$ имеет минимум.
Аналогично доказывается второй случай теоремы.

Замечания:

Если $latex {f}'(x)=0$ и $latex {f}»(x)=0$, то функция $latex f(x)$ может и не иметь экстремум в точке $latex x_{0}.$

Теорема (третье достаточное условие строгого экстремума в терминах производных порядка больше двух)

Пусть функция $latex f(x) $ определена в некоторой окрестности точки $latex x_{0} $, и в этой точке существуют производные до n-го порядка пусть $latex \exists f^{(n)}(x_{0})$, $latex n> 2$ и [latex] {f}'(x_{0})={f}»(x_{0})=…[/latex][latex]=f^{(n-1)}(x_{0})=0[/latex], [latex] f^{(n)}(x_{0})\neq 0.[/latex] Тогда:

  1. Если $latex n=2k$ (т.е $latex n$ — четное), то $latex x_{0}$ — точка экстремума:
    • если $latex f^{(n)}(x_{0})<0$, то $latex x_{0}$ — точка локального максимума;
    • если $latex f^{(n)}(x_{0})>0$, то $latex x_{0}$ — точка локального минимума;
  2. Если $latex n=2k+1$ (т.е $latex n$ — нечетное), то $latex x_{0}$ — не является точкой экстремума.

Доказательство

Воспользуемся формулой Тейлора в окрестности точки $latex x_{0}$ с остатком в форме Пеано: $latex f(x)=f(x_{0})+ $ $latex \frac{{f}'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+… +$ $latex \frac{f^{(n-1)}(x_{0})}{(n-1)!}(x-x_{0})^{n-1}+$ $latex \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+$ $latex o((x-x_{0})^{n}), x\rightarrow x_{0}$.
По скольку все производные до $latex (n-1) $ порядка включительно равны нулю получим: [latex] f(x)-f(x_{0})=[/latex][latex]\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+[/latex][latex]o((x-x_{0})^{n}), x\rightarrow x_{0}.[/latex] Запишем полученное выражение в виде: [latex] f(x)-f(x_{0})=[/latex][latex]\frac{f(n)(x_{0})}{n!}(x-[/latex][latex]x_{0})\left [ 1+\frac{o((x-x_{0})^{n})}{(x-x_{0})^{n}} \right ][/latex]. Выражение $latex [1+\frac{o((x-x_{0})^{n})}{(x-x_{0})^{n})}]>1$. Пусть $latex n=2k$ $latex \Rightarrow$ $latex (x-x_{0}) ^{n}> 0$, [latex] \text{sign}(f(x)-f(x_{0}))=[/latex] [latex] \text{sign} (\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n})[/latex]. Отсюда следует, что сохранение или изменение знака приращения функции во время перехода через точку $latex x_{0}$ зависит от четности $latex n$. Последний факт и доказывает теорему.

Список литературы:

Экстремум функции

Тест для проверки знаний по теме «Экстремум функции».

Таблица лучших: Экстремум функции

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных