неправильный треугольник

Условие

Для данной хорды

$MN$ окружности рассматриваются треугольники

$ABC$ , основаниями которых являются диаметры

$AB$ этой окружности, не пересекающие

$MN$ , а стороны

$AC$ и

$BC$ проходят через концы

$M$ и

$N$ хорды

$MN$ . Докажите, что высоты всех таких треугольников

$ABC$ , опущенные из вершины

$C$ на сторону

$AB$ , пересекаются в одной точке.

Доказательство

Точки

$M$ и

$N$ — основания высот треугольника

$ABC$ , опущенных из вершин

$A$ и

$B$ , поэтому третья высота проходит через точку

$H$ их пересечения, причем точки

$C$ ,

$M$ ,

$N$ и

$H$ лежат на одной окружности

$δ$ с диаметром

$CH$ . Пусть

$P$ — центр этой окружности. Заметим, что при движении диаметра

$AB$ величина угла

$C$ треугольника остаётся неизменной, — она измеряется полуразностью постоянных по величине дуг

$AB$ и

$MN$ (см. рисунок). Поскольку хорда

$MN$ неподвижна, остаётся неизменной и окружность

$δ$ (по которой движутся точка

$C$ и диаметрально противоположная ей точка

$H$ ), а тем самым и её центр

$P$ : диаметр

$CH$ — участок интересующей нас высоты — просто вращается вокруг точки

$P$ .

Е. Куланин

Задача из журнала «Квант» (выпуск №4, 2001)

Условие

Внутри остроугольного треугольника $ABC$ выбрана точка $M$ , являющаяся:

точкой пересечения медиан;
точкой пересечения биссектрис;
точкой пересечения высот.

Докажите, что если радиусы окружностей, вписанных в треугольники $AMB$ , $BMC$ , $AMC$ равны, то треугольник $ABC$ — правильный.

Решение

Рис.1

Площади треугольников $AMB$ , $BMC$ и $AMC$ (Рис. $1$ ) одинаковы – они равны $\frac{1}{3}S_{ABC}$ (докажите это).
Поскольку площадь $S$ треугольника, его полупериметр $p$ и радиус $r$ вписанной в него окружности связаны соотношением $S = pr$ , периметры треугольников $AMB$ , $BMC$ и $AMC$ также одинаковы.Предположим теперь, что треугольник $ABC$ – неправильный; пусть, например, $|AB| > |BC|$ . Тогда угол $BDA$ – тупой, поэтому $|AM| > |MC|$ , так что периметр треугольника $AMB$ больше периметра треугольника $BMC$ – противоречие.

Рис.2
Поскольку $\widehat{CBM} = \widehat{CBM}$ и радиусы окружностей, вписанных в треугольники $AMB$ и $BMC$ , равны, эти окружности касаются биссектрисы $BM$ в одной и той же точке (Рис. $2$ ).
Из этого следует, что все три окружности попарно касаются, и их центры $O_1$ , $O_2$ и $O_3$ образуют правильный треугольник, стороны которого перпендикулярны биссектрисам данного треугольника $ABC$ . Поэтому, например, $\widehat{BMC} = \frac{\pi + A }{ 2} = \frac{2\pi}{3}$ , то есть $\widehat{A} = \frac{\pi}{3}$ . Аналогично доказывается, что $B = C = \frac{\pi}{3}$ .

Рис.3
Как и в задаче $1$ , предположим, что треугольник $ABC$ – неправильный; пусть, например, $|BC| > |AC|$ . Обозначим через $D$ и $E$ точки касания окружностей, вписанных в треугольники $AMB$ и $BMC$ соответственно, со сторонами $AC$ и $BC$ (Рис. $3$ ). Поскольку радиусы этих окружностей равны и $\widehat{CAM} = \widehat{CBM}$ , $|AD| = |BE|$ . Значит, $|CD| < |CE|$ .

С другой стороны, при нашем предположении $\widehat{B } < \widehat{A}$ , так что $\widehat{MCA} = \frac{\pi}{2} – \widehat{A} < \frac{\pi}{2} – \widehat{B} = \widehat{BCM}$ . Поэтому $|CD| > |CE|$ – противоречие.

А.Егоров

Метка: неправильный треугольник

M1276. О высотах треугольников, пересекающихся в одной точке

Условие

Доказательство

M677. О высоте, медиане и биссектрисе, радиусе вписанной окружности в правильном треугольнике

Условие

Решение