Задача из журнала «Квант» (выпуск №4, 2001)
Условие
Внутри остроугольного треугольника $ABC$ выбрана точка $M$, являющаяся:
- точкой пересечения медиан;
- точкой пересечения биссектрис;
- точкой пересечения высот.
Докажите, что если радиусы окружностей, вписанных в треугольники $AMB$, $BMC$, $AMC$ равны, то треугольник $ABC$ — правильный.
Решение
- Площади треугольников $AMB$, $BMC$ и $AMC$ (Рис.$1$) одинаковы – они равны $\frac{1}{3}S_{ABC}$(докажите это).
Поскольку площадь $S$ треугольника, его полупериметр $p$ и радиус $r$ вписанной в него окружности связаны соотношением $S = pr$, периметры треугольников $AMB$, $BMC$ и $AMC$ также одинаковы.Предположим теперь, что треугольник $ABC$ – неправильный; пусть, например, $|AB| > |BC|$. Тогда угол $BDA$ – тупой, поэтому $|AM| > |MC|$, так что периметр треугольника $AMB$ больше периметра треугольника $BMC$ – противоречие.
Рис.2 - Поскольку $\widehat{CBM} = \widehat{CBM}$ и радиусы окружностей, вписанных в треугольники $AMB$ и $BMC$, равны, эти окружности касаются биссектрисы $BM$ в одной и той же точке (Рис.$2$).
Из этого следует, что все три окружности попарно касаются, и их центры $O_1$, $O_2$ и $O_3$ образуют правильный треугольник, стороны которого перпендикулярны биссектрисам данного треугольника $ABC$. Поэтому, например, $\widehat{BMC} = \frac{\pi + A }{ 2} = \frac{2\pi}{3}$, то есть $\widehat{A} = \frac{\pi}{3}$. Аналогично доказывается, что $B = C = \frac{\pi}{3}$.
Рис.3 - Как и в задаче $1$, предположим, что треугольник $ABC$ – неправильный; пусть, например, $|BC| > |AC|$. Обозначим через $D$ и $E$ точки касания окружностей, вписанных в треугольники $AMB$ и $BMC$ соответственно, со сторонами $AC$ и $BC$ (Рис.$3$). Поскольку радиусы этих окружностей равны и $\widehat{CAM} = \widehat{CBM}$, $|AD| = |BE|$. Значит, $|CD| < |CE|$.
С другой стороны, при нашем предположении $\widehat{B } < \widehat{A}$, так что $\widehat{MCA} = \frac{\pi}{2} – \widehat{A} < \frac{\pi}{2} – \widehat{B} = \widehat{BCM}$. Поэтому $|CD| > |CE|$ – противоречие.
А.Егоров