Частные производные высших порядков

Частные производные высших порядков определяются при помощи индукции. Если говорить неформально, то каждая частная производная порядка больше чем 1 определяется, как производная от производной предыдущего порядка.

Определение

Частная производная (по независимым переменным) от частной производной порядка $m-1$ называется частной производной порядка $m(m=1,2,…)$ .
Частная производная, полученная с помощью дифференцирования по разным переменным, называется смешанной частной производной.
Частные производные высших порядков сохраняют все те же свойства, что и обычные частные производные.

Пример

Пусть дана функция $f(x,y,z)$ .
Частной производной первого порядка по $x$ будет $\frac { df }{ dx }$ .
Частной производной второго порядка по $x$ будет $\frac { { d }^{ 2 }f }{ d{ x }^{ 2 } }$
Смешанной производной третьего порядка будет $\frac { { d }^{ 3 }f }{ d{ x }^{ 2 }dy }$

Геометрический смысл частной производной

Спойлер

Пусть нам дана функция $z(x,y)$ , которая имеет частную производную в точке ${ M }_{ 0 }({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })$ . Пусть на рисунке изображена поверхность графика функции $z$ . Проведем плоскость $y={y}_{0}$ . Плоскость пересечет поверхность по линии $T{ P }_{ 0 }$ . Проведем касательную ${ P }_{ 0 }A$ к линии ${ P }_{ 0 }T$ . Прямая ${ P }_{ 0 }A$ образует угол $\alpha$ с осью $Ox$ . Тангенс угла наклона к оси $Ox$ касательной к графику функции $f(x,{ y }_{ 0 })$ в точке ${ x }_{ 0 }$ и есть частная производная по $x$ функции $z$ в точке ${ M }_{ 0 }({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })$ .
${\rm \tg}\alpha =\frac { dz({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 }) }{ dx } ={ f }_{ x }^{ \prime }({ M }_{ 0 })$

[свернуть]

Использованная литература

Частные производные высших порядков

Тест на понимание темы «Частные производные высших порядков»

Задание 1 из 3

1.
Количество баллов: 1
Вставьте пропущенные слова.
- Частная производная, полученная с помощью дифференцирования по разным переменным, называется (смешанной) частной производной. Частная производная, полученная с помощью дифференцирования по одной переменной, называется (чистой) частной производной
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 3

2.
Количество баллов: 1
Выставьте производные функции z, в порядке их образования.
- $\frac { dz }{ dx }$
- $\frac { dz }{ dxdy }$
- $\frac { dz }{ dxd{ y }^{ 4 } }$
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 3

3.
Количество баллов: 1
Будет ли производная $\frac { dz }{ dt }$ смешанной производной функции $z$ ?
- Да, будет
- Нет, не будет
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Частные производные высших порядков

максимум из 3 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Знакоопределённые квадратичные формы

Определение

Квадратичная форма называется знакоопределённой, если она положительно определённая или отрицательно определённая.

Пусть $x \in \mathbb{R}^{n}$ .

Квадратичная форма $Q$ называется положительно определённой если для любого $x\neq 0$ справедливо неравенство $Q\left(x \right)>0$ .

Аналогично, если для любого $x\neq 0$ имеем $Q\left(x \right)<0$ , то такая квадратичная форма называется отрицательно определённой.

Примеры

Пример 1

Является ли квадратичная форма $Q\left(x_{1},x_{2} \right)=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}$ знакоопределённой? Если да, то какой именно?

Ответ

Пример 2

Является ли квадратичная форма $Q\left(x_{1},x_{2},…,x_{n} \right)=x_{1}^{2}+…+x_{m }^{2}-x_{m+1}^{2}-…-x_{n}^{2}$ , где $\left(m<n\right)$ , знакоопределённой? Если да, то какой именно?

Ответ

Да, является. Квадратичная форма положительно определённая, так как $Q\left(x_{1},x_{2} \right)>0$ для всех $x_{1},x_{2}$ , кроме $x_{1}=x_{2}=0$ .

[свернуть]

Литература

Коляда В. И., Кореновский А. А., Курс лекций по математическому анализу, 2010, т. 1, с. 293-294
Электронный учебник «Экономико-математические методы», Квадратичные формы
Федорчук В. В., Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, 1990, с. 255
Конспект лекций по математическому анализу Лысенко З. М.
Конспект лекций по линейной алгебре Белозёрова Г. С.

Тест на знание знакоопределённой квадратичной формы

Тест на умение распознать вид квадратичной формы.

Задание 1 из 2

1.
Является ли квадратичная форма $Q\left(x_{1},x_{2} \right)=x_{1}^{2}-6x_{1}x_{2}+9x_{2}^{2}$ знакоопределённой? Если да, то какой именно?
- Знакоопределённая. Положительная.
- Знакоопределённая. Отрицательная.
- Положительно полуопределённая.
- Отрицательно полуопределённая.
- Неопределённая.
Подсказка

$Q\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(x_{1}-3x_{2}\right)^{2}$
Задание 2 из 2

2.
Какой является квадратична форма $Q\left(x_{1},x_{2} \right)=-x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}$ ?
Подсказка

$Q\left(1,0\right)=-1$
$Q\left(0,1\right)=1$

Определение квадратичной формы

Определение

Квадратичной формой $Q\left(x_{1}, x_{2}, …, x_{n} \right)$ от $n$ неизвестных $x_{1}, x_{2}, …, x_{n}$ называется сумма, каждое слагаемое которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных.

Обозначая коэффициент при $x_{i}^{2}$ через $a_{ii}$ , а при произведении $x_{i}x_{j}=x_{j}x_{i}\left(i\neq j \right)$ — через $a_{ij}+a_{ji}\left(a_{ij}=a_{ji} \right)$ , квадратичную форму $Q$ можно представить в виде

$Q\left(x_{1}, x_{2}, …, x_{n} \right) = a_{11}x_{1}^{2}+a_{12}x_{1}x_{2}+…+a_{1n}x_{1}x_{n}+…+a_{n1}x_{n}x_{1}+a_{n2}x_{n}x_{2}+…+a_{nn}x_{n}^{2}=\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{a_{ij}x_{i}x_{j}}}$

Симметричная матрица $A= \left(a_{ij} \right)$ называется матрицей квадратичной формы $Q$ .

Примеры

Пример 1

Написать матрицу квадратичной формы.
$Q\left(x_{1}, x_{2}, x_{3} \right) = 2x_{1}^{2}-5x_{2}^{2}+8x_{3}^{2}+4x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3}+6x_{2}x_{3}$

Пример 2

Написать квадратичную форму по её матрице.
$A=\begin{pmatrix}4 & 0& 2\\ 0& 7 & 1\\ 2&1 &-5 \end{pmatrix}$

[spoilergroup]

Пример 1

$A=\begin{pmatrix}2 & 2& -1\\ 2& -5 & 3\\ -2&3 &8 \end{pmatrix}$

[свернуть]

Пример 2

$Q\left(x_{1}, x_{2},x_{3} \right) = 4x_{1}^{2}+7x_{2}^{2}-5x_{3}^{2}+4x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}$

[свернуть]

[/spoilergroup]

Литература

Тест на знание квадратичной формы

Тест на умение распознать квадратичную форму и составить для неё матрицу квадратичной формы, а также наоборот — написать квадратичную форму по её матрице.

Матрицам квадратичных форм поставить в соответствие их квадратичные формы.

Элементы сортировки

$Q\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}-3x_{1}x_{2}$
$Q\left(x_{1},x_{2}\right)=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}-3x_{1}x_{2}$
$Q\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=5x_{3}^{2}+2x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3}$
$Q\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=6x_{1}^{2}-7x_{3}^{2}+10x_{1}x_{3}$

$A=\begin{pmatrix}1&-1.5&0\\-1.5&2&0\\0&0&0\end{pmatrix}$

$A=\begin{pmatrix}1&-1.5\\-1.5&2\end{pmatrix}$

$A=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&2\\1&2&5\end{pmatrix}$

$A=\begin{pmatrix}6&0&5\\0&0&0\\5&0&-7\end{pmatrix}$

Задание 2 из 3

2.
Какие из выражений, приведённых ниже, являются квадратичными формами?
- $Q\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=x_{1}^{2}-2x_{2}^{2}+3x_{1}x_{3}$
- $Q\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=2x_{1}^{2}+4x_{1}x_{2}+7$
- $Q\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=x_{2}^{2}$
- $Q\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=x_{1}^{2}x_{3}^{2}+2x_{1}x_{3}-7x_{2}x_{3}$
- $Q\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=x_{1}^{2}-7x_{1}x_{2}-8x_{3}$
Задание 3 из 3

3.
Какая из матриц, приведённых ниже, соответствует квадратичной форме $Q\left(x_{1}, x_{2}, x_{3} \right) = x_{1}^{2}+4x_{2}^{2}-7x_{2}x_{3}$ ?
- $A=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&4&-3.5\\-2&-3.5&0\end{pmatrix}$
- $A=\begin{pmatrix}2&4&0\\4&-7&0\\0&0&-7\end{pmatrix}$
- $A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&4&-3.5\\0&-3.5&0\end{pmatrix}$

Компактные множества

КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА

Определение. Пусть множество $E \subset \mathbb{R}^n$ . Семейство открытых множеств $\left\{G_{\alpha}\right\}$ называется открытым покрытием множества $E$ , если каждая точка $x \in E$ принадлежит хотя бы одному из множеств $G_{\alpha}$ , т. е. если $E \subset \bigcup_{\alpha}G_{\alpha}$ .

Определение. Множество $E \subset \mathbb{R}^n$ называется компактным, если каждое его открытое покрытие содержит конечное подсемейство, также покрывающее множество $E$ . Это подсемейство называется конечным подпокрытием.

Например, множество, состоящее из одной точки, двух точек или любого конечного набора точек, очевидно, компактное. Пусть $E \subset \mathbb{R}^n$ . Диаметром множества $E$ называется число $diam \> E = sup_{x,y \in E} \left | x — y \right |$ , т. е. верхняя грань расстояний между всевозможными парами точек из $E$ . Например, если $E = \left [a^1,b^1;…;a^n,b^n \right ]$ – $n$ -мерный сегмент, то, очевидно, $diam \> E = |b-a|$ , где $a = (a^1,…,a^n), b = (b^1,…,b^n)$ .

Лемма (о вложенных сегментах). Пусть $\left\{I_{\nu}\right\}$ – последовательность вложенных сегментов из $\mathbb{R}^n$ , т. е. $I_1 \supset I_2 \supset…\supset I_{\nu} \supset…$ , диаметры которых стремятся к нулю при $\nu \mapsto \infty$ . Тогда существует, и притом единственная, точка $x_0$ , принадлежащая всем этим сегментам.
Доказательство. Пусть $I_{\nu} = \left [a^1_{\nu},b^1_{\nu};…;a^n{\nu},b^n_{\nu} \right ] (\nu = 1,2,…)$ . При каждом фиксированном $i = 1,…,n$ последовательность одномерных отрезков $\left [a^i_{\nu},b^i_{\nu} \right ] (\nu = 1,2,…)$ состоит из вложенных друг в друга отрезков, т. е. $[a^i_1,b^i_1] \subset [a^i_2,b^i_2] \subset … \subset [a^i_{\nu},b^i_{\nu}] \subset …$ , и длины этих отрезков стремятся к нулю при $\nu \mapsto \infty$ . По лемме Кантора, для зафиксированного $i$ найдется число $x^i_0$ , такое, что $x^i_0 \in [a^i_{\nu},b^i_{\nu}] (\nu = 1,2,…)$ , т. е. $a^i_{\nu} \leq x^i_0 \leq b^i_{\nu} (\nu = 1,2,…)$ . Но тогда точка $x_0 = (x^1_0,…,x^n_0)$ , очевидно, принадлежит всем $I_{\nu}$ . Двух различных точек, принадлежащих всем $I_{\nu}$ одновременно, быть не может. Действительно, если ${x}’,{x}» \in I_{\nu} (\nu = 1,2,…)$ , то $|{x}’-{x}»| \leq diam \> I_{\nu}$ . По условию правая часть стремится к нулю при $\nu \mapsto \infty$ , так что ${x}’={x}»$ .

Литература:

Компактные множества

Тест по теме «Компактные множества»

Таблица лучших: Компактные множества

максимум из 11 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Замкнутые множества

ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА

Определение. Назовем точку $x_0$ предельной точкой множества $E$ , если в произвольной окрестности точки $x_0$ существует хотя бы одна точка из $E$ , отличная от $x_0$ .
Предложение. Если $x_0$ – предельная точка множества $E$ , то в произвольной ее окрестности содержится бесконечное множество точек из $E$ . Доказательство. Обозначим через $U$ произвольную окрестность $x_0$ . Предположим, что в этой окрестности содержится лишь конечное число точек множества $E$ , отличных от $x_0$ . Тогда среди них найдется точка $x_1$ , ближайшая к $x_0$ . Но тогда в шаре радиуса $\left| x_1-x_0 \right| > 0$ с центром в $x_0$ нет ни одной точки из $E$ , отличной от $x_0$ , а это невозможно, поскольку $x_0$ – предельная точка множества $E$ .

Пример. Пусть $B_0 = \left \{ x : \left | x \right | < 1 \right \}$ – единичный шар. Очевидно, что любая точка этого шара является для него предельной. Если же $x_1$ находится на сфере, т. е. $\left| x_1 \right| = 1$ , то она не принадлежит шару, но является предельной для шара. Действительно, пусть $B(x_1,\rho)$ — произвольная окрестность точки $x_1$ . Тогда все точки вида $y = tx_1 (1-\rho < t < 1)$ принадлежат $B_0$ и содержатся в $B(x_1,\rho)$ . Следовательно, $x_1$ является предельной для шара $B_0$ по определению.

Рассмотрим теперь точку $x_2$ , такую, что $\left| x_2 \right| > 1$ . Докажем, что она не будет предельной для $B_0$ . Действительно, предположим, что $\rho = \left| x_2 \right| -1 > 0$ . Тогда в $B(x_2,\rho)$ нет ни одной точки из $B_0$ . Это легко можно показать, используя неравенство треугольника. Поэтому точка $x_2$ не является предельной для множества $B_0$ .

Таким образом, можно видеть, что предельные точки множества могут как содержаться, так и не содержаться в нем.

Определение.Множество $E$ называется замкнутым, если все его предельные точки содержатся в нем.

Условимся считать пустое множество $\varnothing$ замкнутым. Пространство $\mathbb{R}^n$ , очевидно, является замкнутым по определению.

Литература:

Замкнутые множества

Тест по теме «Замкнутые множества»

Задание 1 из 5

1.
Количество баллов: 3
Если в любой окрестности точки $x_0$ найдется хотя бы одна точка множества $E$ , отличная от $x_0$ , то такая точка называется…?
- центром множества
- предельной точкой множества
- краем множества
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 5

2.
Количество баллов: 3
Что из нижеуказанного верно
- Множество обязательно содержит все свои предельные точки
- Множество не содержит ни одной своей предельной точки
- Замкнутое множество не содержит ни одной своей предельной точки
- Замкнутое множество содержит все свои предельные точки
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 5

3.
Количество баллов: 4
Расположите в правильно порядке шаги доказательства свойства предельных точек (Если $x_0$ – предельная точка множества $E$ , то в любой ее окрестности содержится бесконечно много точек множества $E$ .)
- В произвольной окрестности точки x содержится лишь конечное число точек множества, отличных от x
- Найдется точка y, ближайшая к x.
- Тогда в шаре радиуса |y-x| > 0 с центром в точке x нет ни одной точки из множества, отличной от x
- Невозможно, поскольку x – предельная точка множества
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 5

4.
Количество баллов: 5
Множество $E$ называется замкнутым, если оно
Правильно

Неправильно
Задание 5 из 5

5.
Количество баллов: 5
Замкнуто ли пустое множество и если да, то почему (ответить через запятую).
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Замкнутые множества

максимум из 20 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Определение

Пример

Геометрический смысл частной производной

Использованная литература

Частные производные высших порядков

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Таблица лучших: Частные производные высших порядков

Определение

Примеры

Пример 1

Пример 2

Тест на знание знакоопределённой квадратичной формы

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Подсказка

2.

Подсказка

Определение

Примеры

Пример 1

Пример 2

Тест на знание квадратичной формы

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Элементы сортировки

2.

3.

Компактные множества

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

Таблица лучших: Компактные множества

Замкнутые множества

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Таблица лучших: Замкнутые множества