Линейная зависимость и независимость систем векторов. Критерии ЛЗ и ЛНЗ.

Теоретический материал

Задача

Выяснить, является ли система векторов линейно зависимой или линейно независимой.

$x_{1}=(1,2,3)$

$x_{2}=(3,6,7)$

Решение:

Построим линейную комбинацию из векторов системы.

$\alpha_{1}x_{1}+\alpha_{2}x_{2}=0$

$\alpha_{1}(1,2,3)+\alpha_{2}(3,6,7)=0$

$(\alpha_{1},2\alpha_{1},3\alpha_{1})+(3\alpha_{2},6\alpha_{2},7\alpha_{2})=0$

$(\alpha_{1}+3\alpha_{2},2\alpha_{1}+6\alpha_{2},3\alpha_{1}+7\alpha_{2})=0$

Далее, необходимо решить однородную систему линейных уравнений.

$\left\{\begin{matrix}
\alpha_{1} &+3\alpha_{2} &=0 \\
2\alpha_{1}&+6\alpha_{2} &=0 \\
3\alpha_{1}&+7\alpha_{2} &=0
\end{matrix}\right. $

Как видим, первое и второе уравнения линейно зависимы, т.е. ранг системы равен 2. Так как ранг системы совпадает с числом неизвестных, то система имеет только нулевое решение.

$\alpha_{1}=\alpha_{2}=0$

Система линейно независима по критерию ЛНЗ.

 Задача

Выяснить, является ли система векторов линейно зависимой или линейно независимой.

$x_{1}=(5,4,3)$

$x_{2}=(3,3,2)$

$x_{3}=(8,1,3)$

Решение:

Построим линейную комбинацию из векторов системы.

$\alpha_{1}x_{1}+\alpha_{2}x_{2}+\alpha_{3}x_{3}=0$

$\alpha_{1}(5,4,3)+\alpha_{2}(3,3,2)+\alpha_{3}(8,1,3)=0$

$(5\alpha_{1},4\alpha_{2},3\alpha_{3})+(3\alpha_{1},3\alpha_{2},2\alpha_{3})+(8\alpha_{1},\alpha_{2},3\alpha_{3})=0$

Составим систему линейных уравнений.

$
\left\{\begin{matrix}
5\alpha_{1}&+4\alpha_{2} &+,3\alpha_{3} &=0 \\
3\alpha_{1}&+3\alpha_{2} &+2\alpha_{3} &=0 \\
8\alpha_{1}&+\alpha_{2} &+3\alpha_{3} &=0
\end{matrix}\right. $

Решим систему уравнений методом Гаусса.

$\begin{pmatrix}
5 &4 &3 \\
3&3 &2 \\
8&1 &3
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
-1&-2 &-1 \\
0&-3 &-1 \\
0&-15 &-5
\end{pmatrix}
\sim$ $
\begin{pmatrix}
-1 &-2 &-1 \\
0&-3 &-1
\end{pmatrix}$

$\left\{\begin{matrix}
-\alpha_{1}&-2\alpha_{2} &-\alpha_{3} &=0 \\
&-3\alpha_{2} &-\alpha_{3} &=0
\end{matrix}\right.$

Общее решение системы будет иметь следующий вид:

$\alpha_{3}=-3\alpha_{2}$

$\alpha_{1}=\alpha_{2}$

Т.е. система линейно зависима по первому критерию ЛЗ.

Литература

Симметрическая группа

Множество всех подстановок порядка [latex]n[/latex] с операцией умножения подстановок образуют группу [latex]S_n[/latex]. Единичным элементом группы является подстановка [latex]e=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\1&2&\cdots&n\end{pmatrix}[/latex], обратной подстановкой для [latex]\pi=\begin{pmatrix}i_1&i_2&\cdots&i_n\\j_1&j_2&\cdots&j_n\end{pmatrix}[/latex] является [latex]\pi^{-1}=\begin{pmatrix}j_1&j_2&\cdots&j_n\\i_1&i_2&\cdots&i_n\end{pmatrix}[/latex]. Порядок этой группы равен [latex]n![/latex].
Группа [latex]S_n[/latex] называется симметрической группой порядка [latex]n[/latex] .
При [latex]n>2[/latex] группа [latex]S_n[/latex] не коммутативна.

Пример

Группа [latex]S_3[/latex] состоит из шести элементов: [latex]e=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}.[/latex] Эта группа не коммутативна: произведение [latex]\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}[/latex] равно [latex]\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}[/latex], что отлично от [latex]\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}[/latex].

Задача

Доказать, что порядок группы [latex]S_n[/latex] равен [latex]n![/latex].

Спойлер

Найдём порядок [latex]|S_n|[/latex] группы [latex]S_n[/latex]. Символ 1 можно подходящей перестановкой [latex]\sigma[/latex] перевести в любой другой символ [latex]\sigma (1)[/latex], для чего существует в точности [latex]n[/latex] различных возможностей. Но, зафиксировав [latex]\sigma (1)[/latex], в качестве [latex]\sigma (2)[/latex] мы имеем право брать только один из оставшихся [latex]n-1[/latex] символов (всего различных пар [latex]\sigma (1),\sigma (2)[/latex] имеется [latex](n-1)+(n-1)+…+(n-1)=n(n-1)[/latex] ), в качестве [latex]\sigma (3)[/latex] — соответственно [latex]n-2[/latex] символов и т.д. Всего возможностей выбора [latex]\sigma (1),\sigma (2),…\sigma (n)[/latex], а стало быть, и различных перестановок будет [latex]n(n-1)…2\cdot 1=n![/latex].

[свернуть]

Источники

Структуры и подструктуры

Тест на тему «Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля. Подструктуры.Циклическая группа. Симметрическая группа.». Прочтите все четыре статьи, прежде чем проходить тест.

Циклическая группа

Будем говорить, что группа [latex]G[/latex] является циклической, если существует такой элемент [latex]a\in G[/latex], что всякий элемент [latex]x\in G[/latex] может быть записан в виде [latex]x=a^n[/latex], где [latex]n\in Z[/latex](другими словами, если отображение [latex]f: Z\rightarrow G[/latex], определяемое формулой [latex]f(n)=a^n,[/latex]сюръективно). При этом элемент [latex]a[/latex] называется образующей группы [latex]G[/latex]. Всякая циклическая группа, очевидно, абелева.
Примером бесконечной циклической группы служит аддитивная группа целых чисел — всякое целое число кратно числу [latex]1[/latex], то есть это число служит образующим элементом рассматриваемой группы; в качестве образующего элемента можно было бы также взять число [latex]-1[/latex].
Примером конечной циклической группы порядка [latex]n[/latex] служит мультипликативная группа корней [latex]n[/latex]-ой степени из единицы. Все эти корни являются степенями одного их них, а именно первообразного корня.

Задача

Пусть [latex]G[/latex] — группа с групповой операцией [latex]\ast[/latex] и [latex]g\in G[/latex]. Доказать, что множество [latex]H=\{g^k, (g’)^k|k\in N\cup \{0\}\}[/latex] является группой. Группа [latex]H[/latex] является циклической, порождённой [latex]g[/latex]. [latex]H=\langle g\rangle[/latex].

Спойлер
[свернуть]

Решение.Введём обозначения:[latex] g’=g^{-1}, (g’)^k=g^{-k}[/latex]. Докажем, что для [latex]m,n\in Z[/latex] выполняется [latex]g^m\ast g^n=g^{m+n}[/latex].
[latex] m\geq 0, n\geq 0\Rightarrow g^m\ast g^n=g^{m+n}[/latex].
[latex]-n\leq m<0

Структуры и подструктуры

Тест на тему «Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля. Подструктуры.Циклическая группа. Симметрическая группа.». Прочтите все четыре статьи, прежде чем проходить тест.

Таблица лучших: Структуры и подструктуры

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определители n-го порядка и их свойства

Вычисление определителей приведением к треугольному виду, разложением по строке, применением общей теоремы Лапласа.

Cвойства определителя

Пример 1

Используя свойства определителя, доказать следующее тождество:
$$\begin{vmatrix}am+bp & an+bq \\ cm+dp & cn+dq \end{vmatrix} = \left(mq-np\right)\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}$$

Спойлер

Используя аддитивное свойство, представим определитель в виде суммы 4 определителей:
$$\begin{vmatrix}am+bp & an+bq \\ cm+dp & cn+dq \end{vmatrix} =$$ $$\begin{vmatrix}am & an \\ cm & cn \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}am & bq \\ cm & dq \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}bp & an \\ dp & cn \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}bp & bq \\ dp & dq \end{vmatrix}$$
Как видим, столбцы полученных определителей содержат общие множители, которые можно вынести за знак определителя. Получили, что 1 и 4 определители равны нулю, так как имеют равные столбцы:
$$mn\begin{vmatrix}a & a \\ c & c \end{vmatrix} + mq\begin{vmatrix}a & b \\ c & d \end{vmatrix} +np\begin{vmatrix}b & a \\ d & c \end{vmatrix} +pq\begin{vmatrix}b & b \\ d & d \end{vmatrix} =$$
$$= 0 + mq\begin{vmatrix}a & b \\ c & d \end{vmatrix} +np\begin{vmatrix}b & a \\ d & c \end{vmatrix}+0$$
Во втором определителе поменяем столбцы местами, знак перед этим определителем изменится на противоположный. Далее вынесем общий множитель и получим:
$$mq\begin{vmatrix}a & b \\ c & d \end{vmatrix} +np\begin{vmatrix}b & a \\ d & c \end{vmatrix} = mq\begin{vmatrix}a & b \\ c & d \end{vmatrix} — np\begin{vmatrix}a & b \\ c & d \end{vmatrix}=$$
$$=\left(mq-np\right)\begin{vmatrix}a & b \\ c & d \end{vmatrix}$$
Тождество доказано.$\blacksquare$

[свернуть]

Вычисление определителя приведением матрицы к треугольному виду.

Пример 2

Вычислить определитель:

$\Delta =\left|\begin{array}{rrrr}-3 & 9 & 3& 6\\ -5 & 8 & 2 & 7\\ 4 & -5 & -3 & -2\\ 7 & -8 & -4 & -5 \end{array}\right|$

Спойлер

Дальнейшие преобразования будут проще, если элемент $a_{11}$ равен 1 или -1. Для этого из первой строки вынесем 3 за знак определителя:

$\Delta =\left|\begin{array}{rrrr}-3 & 9 & 3& 6\\ -5 & 8 & 2 & 7\\ 4 & -5 & -3 & -2\\ 7 & -8 & -4 & -5 \end{array}\right|=3\cdot\left|\begin{array}{rrrr}-1 & 3 & 1& 2\\ -5 & 8 & 2 & 7\\ 4 & -5 & -3 & -2\\ 7 & -8 & -4 & -5 \end{array}\right|$

Далее нам нужно получить нули в первом столбце. Домножим первую строку на -5 и прибавим ко второй, на 4 и прибавим к третей, на 7 и прибавим к четвертой:

$\Delta =3\cdot\left|\begin{array}{rrrr}-1 & 3 & 1 & 2\\ 0 & -7 & -3 & -3\\ 0 & 7 & 1 & 6\\ 0 & 13 & 3 & 9 \end{array}\right|$

Аналогично, дальнейшие вычисления будут проще, если элемент $a_{22}$ равен 1 или -1. Для этого вторую строку умножим на 2 и прибавим к четвертой строке. Далее поменяем вторую и последнюю строку местами. Перед определителем появится знак «-«.

$\Delta =3\cdot\left|\begin{array}{rrrr}-1 & 3 & 1 & 2\\ 0 & -7 & -3 & -3\\ 0 & 7 & 1 & 6\\ 0 & -1 & -3 & 3 \end{array}\right|=-3\cdot\left|\begin{array}{rrrr}-1 & 3 & 1 & 2\\ 0 & -1 & -3 & 3\\ 0 & 7 & 1 & 6\\ 0 & -7 & -3 & -3 \end{array}\right|$

Далее нам нужно получить нули во втором столбце под элементом $a_{22}$. Для этого умножим вторую строку на 7 и прибавим к третей, на -7 и прибавим к четвертой.

$\Delta =-3\cdot\left|\begin{array}{rrrr}-1 & 3 & 1 & 2\\ 0 & -1 & -3 & 3\\ 0 & 0 & -20 & 27\\ 0 & 0 & 18 & -24 \end{array}\right|$

Прибавим последнюю строку к третьей, потом умножим третью строку на 9 и прибавим к четвертой:

$\Delta =-3\cdot\left|\begin{array}{rrrr}-1 & 3 & 1 & 2\\ 0 & -1 & -3 & 3\\ 0 & 0 & -2 & 3\\ 0 & 0 & 18 & -24 \end{array}\right|=-3\cdot\left|\begin{array}{rrrr}-1 & 3 & 1 & 2\\ 0 & -1 & -3 & 3\\ 0 & 0 & -2 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}\right|$

Привели определитель к треугольному виду. Его значение равно произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

$\Delta=-3\cdot\left(\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-2\right)\cdot\left(3\right)\right)=18$

[свернуть]

Разложение по строке или столбцу

Пример 3

Разлагая по 2-му столбцу, вычислить определитель:

$\Delta =\left|\begin{array}{rrrr}5 & \:\:a & \:\:2 & -1 \\ 4 & b & 4 & -3\\ 3 & c & 3 & -2\\ 4 & d & 5 & -4 \end{array}\right|$

Спойлер

Разложим по второму столбцу:

$\Delta =a\cdot(-1)^{3}\cdot\left|\begin{array}{rrr}4 & \:\:4 & -3 \\ 2 & 3 & -2 \\ 4 & 5 & -4 \end{array}\right|+b\cdot(-1)^{4}\cdot\left|\begin{array}{rrr}5 & \:\:2 & -1 \\ 2 & 3 & -2 \\ 4 & 5 & -4 \end{array}\right|+$

$+\,c\cdot(-1)^{5}\cdot\left|\begin{array}{rrr}5 & \:\:2 & -1 \\ 4 & 4 & -3 \\ 4 & 5 & -4 \end{array}\right|+d\cdot(-1)^{6}\cdot\left|\begin{array}{rrr}5 & \:\:2 & -1 \\ 4 & 4 & -3 \\ 2 & 3 & -2 \end{array}\right|$

Вычислим получившиеся определители по правилу треугольника:

$\Delta =-a\cdot \left(-48-30-32+36+32+40\right)+$

$+b\cdot\left(-60-16-10+12+16+50\right)-$

$-c\cdot \left(-80-24-20+16+32+75\right)+$

$+d\cdot \left(40-12-12+8+45+16\right)=$

$=2a-8b+c+5d$

[свернуть]

Применение общей теоремы Лапласа

Пример 4

Вычислить определитель:

$\Delta =\left|\begin{array}{rrrrr}2 & -1 & 3 & 4 & -5 \\ 4 & -2 & 7 & 8 & -7\\ -6 & 4 & -9 & -2 & 3\\ 3 & -2 & 4 & 1 & -2\\ -2 & 6 & 5 & 4 & -3 \end{array}\right|$

Спойлер

Чтобы облегчить дальнейшие преобразования, из второй строки вычтем удвоенную первую, к третьей строке прибавим удвоенную четвертую:

$\Delta =\left|\begin{array}{rrrrr}2 & -1 & 3 & \: \:\:\: 4 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & -1 & 0 & -1\\ 3 & -2 & 4 & 1 & -2\\ -2 & 6 & 5 & 4 & -3 \end{array}\right|$

Выберем в определителе вторую и третью строку и получим:

$\Delta = (-1)^{2+3+3+5}\cdot\left|\begin{array}{rr} 1 & 3 \\ -1 & -1\end{array}\right|\cdot \left|\begin{array}{rrr}2 & -1 & \:\:\: 4 \\ 3 & -2 & 1\\ -2 & 6 & 4 \end{array}\right|=$

$\left(-1+3\right)\cdot\left|\begin{array}{rrr}-1 & 2 & 4 \\ -2 & 3 & 1\\ 6 & -2 & \:\:\: 4 \end{array}\right|$

Умножим первый столбец на 2 и прибавим ко второму, на 4 и прибавим к третьему. Разложим по первой строке и получим:

$\Delta =2\cdot\left|\begin{array}{rrrr} -1 & 0 & 0 \\ -2 & -1 & -7 \\ 6 & 10 & 28 \end{array}\right|=2\cdot(-1)\cdot\left|\begin{array}{rr} -1 & -7 \\ 10 & 28 \end{array}\right|=$

$=-2\cdot\left(-28+70\right)=-84$

[свернуть]

Литература:

  1. Белозёров Г.С. Конспект лекций.
  2. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М., Физико-математическая литература, 1978 г., стр. 25, 28, 58

Тест


Таблица лучших: Определители n-го порядка и их свойства. Вычисление определителей.

максимум из 17 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля.

Группа

Множество [latex]G[/latex] с бинарной алгебраической операцией [latex]\ast[/latex] называется группой, если выполняются следующие условия:

  1. Операция [latex]\ast[/latex] в [latex]G[/latex] ассоциативна: [latex]a\ast (b\ast c)=(a\ast b)\ast c \forall a,b,c\in G[/latex];
  2. В [latex]G[/latex] существует нейтральный элемент [latex]\theta :a\ast\theta=\theta\ast a=a \forall a\in G;[/latex]
  3. Для каждого элемента [latex]a\in G[/latex] существует обратный ему элемент [latex]a^{-1}\in G: a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=\theta [/latex].

Если операция коммутативна, то группа называется коммутативной, или абелевой. В противном случае группа называется некоммутативной.

Задача

Доказать, что множество рациональных чисел R является абелевой группой относительно операции сложения.

Спойлер

  1. Ассоциативность очевидна
    [latex]\forall a,b,c\in R a+(b+c)=(a+b)+c[/latex]
  2. Нейтральным элементом является число 0.
    [latex] 0+a=a+0=a \forall a\in r[/latex]
  3. Для каждого элемента множества R существует обратные ему элемент, также принадлежащий множеству [latex]R[/latex] .
    [latex] a^{-1}=-a[/latex]
    [latex]\forall a\in R a+(-a)=(-a)+a=\theta=0[/latex]

[latex]\Rightarrow R[/latex] является группой относительно операции сложения.
Проверим коммутативность:
[latex] \forall a,b\in R a+b=b+a[/latex] — верно.
[latex]\Rightarrow[/latex]Группа абелева.
Что и требовалось доказать

[свернуть]

Кольцо

Множество [latex]K[/latex] , на котором заданы две операции — сложение (+) и умножение [latex]\cdot[/latex], называется кольцом, если выполняются следующие условия:

  1. Относительно операции сложения множество [latex]K[/latex] — коммутативная группа, т.е:
    1. Операция сложения коммутативна: [latex]a+b=b+a \forall a,b\in K;[/latex]
    2. Операция сложения ассоциативна:[latex] a+(b+c)=(a+b)+c \forall a,b,c\in K;[/latex]
    3. Существует нулевой элемент [latex]\theta: a+\theta =\theta +a=a \forall a\in K;[/latex]
    4. для каждого элемента существует противоположный ему элемент [latex](-a)\in K: a+(-a)=(-a)+a=\theta;[/latex]
  2. Операция умножения в множестве [latex]K[/latex] ассоциативна:
    [latex]a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c[/latex][latex] \forall a,b,c\in K[/latex]
  3. Операции сложения и умножения связаны законами дистрибутивности:
    [latex](a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b \forall a,b,c\in K[/latex]

Если операция умножения коммутативна:[latex]a\cdot b=b\cdot a[/latex], то кольцо называется коммутативным, в противном случае кольцо называется некоммутативным. Если для операции умножения существует единичный элемент [latex]e: a\cdot e=e\cdot a=a[/latex], то говорят, что кольцо — есть кольцо с единицей.

Задача

Проверить яляется ли кольцом множество комплексных чисел.

Спойлер

    1. Коммутативность сложения
      [latex] (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i=(c+a)+(d+b)i=(c+di)+(a+bi)[/latex] [latex] \forall (a+bi),(c+di)\in C[/latex]
    2. Ассоциативность сложения
      [latex] ((a+bi)+(c+di))+(e+fi)=((a+c)+(b+d)i)+(e+fi)=(a+c+e)+(b+d+f)i=(a+bi)+((c+e)+(d+f)i)=(a+bi)+((c+di)+(e+fi))[/latex] [latex] \forall (a+bi),(c+di),(e+fi)\in C[/latex]
    3. Существование нейтрального элемента
      [latex] \forall (a+bi)\in C (a+bi)+(0+0i)=(a+bi)[/latex]
    4. Существование обратного элемента
      [latex] \forall (a+bi)\in C \exists (-a-bi)\in C:
      (a+bi)+(-a-bi)=(0+0i)[/latex]
  1. Ассоциативность умножения
    [latex] \forall (a+bi),(c+di),(e+fi)\in C
    (a+bi)\cdot ((c+di)\cdot (e+fi))=(a+bi)\cdot ((ce-df)+(cf+de)i)=(a\cdot (ce-df)-b\cdot (cf+de))+(a\cdot (cf+de)+b\cdot (ce-df))i)=(ace-adf-bcf-bde)+(acf+ade+bce-bdf)i=(e\cdot (ac-bd)-f\cdot (ad+bc))+(e\cdot (ad+bc)+ f\cdot (ac-bd))=((a+bi)\cdot (c+di))\cdot (e+fi)[/latex]
  2. Дистрибутивность сложения и умножения
    [latex] \forall (a+bi),(c+di),(e+fi)\in C
    ((a+bi)+(c+di))\cdot (e+fi)=((a+c)+(b+d)i)\cdot (e+fi)=((a+c)e-(b+d)f)+((a+c)f+(b+d)e)i)=(ae+ce-bf-df)+(af+cf+be+de)i=(ae-bf)+(be+af)i+(ce-df)+(cf+de)i=(a+bi)\cdot (e+fi)+(c+di)\cdot (e+fi)[/latex]

Множество комплексных чисел является кольцом

[свернуть]

Поле

Полем называется кольцо [latex]P[/latex], обладающее следующими свойствами:
1. Обратимость умножения. [latex]\forall a,b\in P[/latex], где [latex]a\neq 0[/latex], уравнение [latex]ax = b[/latex] имеет (по крайней мере одно) решение, т. е. существует элемент такой, что [latex]aq = b[/latex].

2. [latex]P[/latex] содержит по крайней мере один элемент, отличный от нуля.

Источники

Структуры и подструктуры

Тест на тему «Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля. Подструктуры.Циклическая группа. Симметрическая группа.». Прочтите все четыре статьи, прежде чем проходить тест.

Таблица лучших: Структуры и подструктуры

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных