сходящаяся последовательность

Единственность предела сходящейся последовательности

Теорема (единственность предела)

Если последовательность $\{ x^{(n)} \}$ имеет предел, то он единственный.

Доказательство

Предположим противное. Пусть $\{ x^{(n)} \}$ сходится к точкам $a$ и $b$ , то есть $\lim \limits_{n \to \infty} x^{(n)} = a$ и $\lim \limits_{n \to \infty} x^{(n)} = b$ . Тогда, по определению предела сходящейся последовательности, $\lim \limits_{n \to \infty} \rho(x^{(n)}, a) = 0$ и $\lim \limits_{n \to \infty} \rho(x^{(n)}, b) = 0$ . В силу неравенства треугольника, для любого $n \in \mathbb{N}$ выполнено неравенство

$0 \le \rho(a, b) \le \rho(a, x^{(n)}) + \rho(b, x^{(n)}).$ Так как числовые последовательности

$\rho(a, x^{(n)})$ и

$\rho(b, x^{(n)})$ бесконечно малые, то

$\rho(a, b) = 0$ . Тогда, по аксиоме тождества в метрическом пространстве,

$a = b$ . Это доказывает единственность предела последовательности.

Источники

Конспект лекций по математическому анализу Лысенко З.М.

Литература

Ограниченность сходящейся последовательности

Определение

Пусть задано метрическое пространство $X$ . Последовательность $\{ x^{(n)} \}$ называется ограниченной, если существует $C > 0$ и существует $a \in X$ такие, что для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство: $\rho(x^{(n)}, a) \le C$ .

Теорема (ограниченность сходящейся последовательности)

Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Доказательство

Пусть дана последовательность $\{x^{(n)}\}$ и $\lim \limits_{n \to \infty} x^{(n)} = a$ . По определению сходящейся последовательности, $\lim \limits_{n \to \infty} \rho(x^{(n)}, a) = 0$ . По определению ограниченной числовой последовательности, числовая последовательность $\{\rho(x^{(n)}, a)\}$ ограничена, то есть существует $C \in \mathbb{R}$ такое, что для любого $k \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $\rho(x^{(k)}, a) \le C$ . По определению ограниченной последовательности $\{x^{(n)}\}$ — ограничена.

Спойлер

Рассмотрим последовательность $x^{(n)} = ((-1)^n, \dfrac{1}{n}, \dfrac{1}{2^n})$ , $(n = 1, 2, \ldots)$ точек в пространстве $\mathbb{R}^3$ с заданной евклидовой метрикой. Эта последовательность ограничена: $\rho(x^{(n)}, 0) \le \sqrt{3}$ , но не имеет предела, поскольку не имеет предела числовая последовательность, составленная из первых координат данной последовательности.

Последовательность $y_n = (\frac{n+1}{n}, \frac{1}{n}, \frac{2n-1}{n+3})$ $(n = 1, 2, \ldots)$ точек из $\mathbb{R}^3$ , очевидно, имеет пределом точку $y = (1, 0, 2)$ , так как сходимость в метрике $\mathbb{R}^n$ эквивалентна покоординатной.

[свернуть]

Источники

Конспект лекций по математическому анализу Лысенко З.М.

Литература

Предел сходящейся последовательности

Тестовые вопросы по темам «Определение предела сходящейся последовательности. Единственность предела сходящейся последоваетльности. Ограниченность сходящейся последовательности».

Определение предела сходящейся последовательности

Определение

Пусть $\{x^{(n)}\}$ — последовательность точек метрического пространства $X$ . Говорят, что последовательность $\{ x^{(n)} \}$ сходится к точке $x$ и обозначают $\lim \limits_{n \to \infty} x^{(n)} = x$ , то есть точка $x$ называется пределом последовательности ${x^{(n)}}$ , если $\lim \limits_{n \to \infty} \rho(x^{(n)}, x) = 0$ .

Эквивалентное геометрическое определение может быть сформулировано следующим образом.

Определение

Точка $x$ называется пределом последовательности $\{x^{(n)}\}$ , если в любой окрестности точки $x \in X$ содержатся все точки последовательности $\{x^{(n)}\}$ , за исключением, быть может, конечного их числа, то есть какой бы шар с центром в точке $x$ мы не взяли, в него попадут все точки последовательности $\{x^{(n)}\}$ , кроме, быть может, конечного их числа.

Источники

Конспект лекций по математическому анализу Лысенко З.М.

Литература

Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами

Теорема: (о трёх последовательностях)

Если последовательности [latex]\left \{ x_{n} \right \}, \left \{ y_{n} \right \}, \left \{ z_{n} \right \}[/latex] таковы, что [latex]x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}[/latex] для всех [latex]n \geq N_{0}[/latex], [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }z_{n}=a[/latex], то последовательность [latex]\left \{ y_{n} \right \}[/latex] сходится и [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}=a[/latex].

Доказательство:

По определению предела для любого [latex]\varepsilon > 0[/latex] найдутся номера [latex]N_{1}=N_{1}(\varepsilon )[/latex] и [latex]N_{2}=N_{2}(\varepsilon )[/latex] такие, что [latex]x_{n}\in U_{\varepsilon }(a)[/latex] при всех [latex]n\geq N_{1}[/latex] и [latex]z_{n}\in U_{\varepsilon }(a)[/latex] при всех [latex]n\geq N_{2}[/latex]. Отсюда и из условия [latex]x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}[/latex] для всех [latex]n \geq N_{0}[/latex] следует, что при всех [latex]n\geq N[/latex], где N = max [latex]\left ( N_{0},N_{1},N_{2} \right )[/latex], выполняется условие [latex]y_{n}\in U_{\varepsilon }(a)[/latex]. Это означает, что существует [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}=a[/latex].

Пример:

Пусть [latex]a_{n}\geq -1[/latex] при всех [latex]n\in \mathbb{N}[/latex] и [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty }a_{n}=0[/latex] Доказать, что

[latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sqrt[k]{1+a_{n}}=1, k\in \mathbb{N}[/latex]

Решение:

Докажем сначала, что

[latex]1-\left | a_{n} \right |\leq \sqrt[k]{1+a_{n}}\leq 1+\left | a_{n} \right |,~n\in \mathbb{N},~k\in \mathbb{N}.[/latex]

Действительно, если [latex]a_{n}\geq 0[/latex], то

[latex]1\leq \sqrt[k]{1+a_{n}}\leq \left ( \sqrt[k]{1+a_{n}} \right )^{k}=1+a_{n}=1+\left | a_{n} \right |[/latex]

а если [latex]-1\leq a_{n}\leq 0[/latex], то

[latex]1\geq \sqrt[k]{1+a_{n}}\geq \left ( \sqrt[k]{1+a_{n}} \right )^{k}=1+a_{n}=1-\left | a_{n} \right |[/latex],

откуда следуют неравенства [latex]1- \left | a_{n} \right | \leq \sqrt[k]{1+a_{n}}\leq 1+\left | a_{n} \right |,~n\in \mathbb{N},~k\in \mathbb{N}.[/latex]. Применяя теорему (о трёх последовательностях), получаем утверждение [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sqrt[k]{1+a_{n}}=1, k\in \mathbb{N}[/latex].

Теорема:

Если [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a,~ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}=b[/latex], причем [latex]a<b[/latex], то
[latex]\exists N_{0} :\forall n\geq N_{0} \rightarrow x_{n}< y_{n}[/latex].

Доказательство:

Выберем [latex]\varepsilon > 0[/latex] таким, чтобы [latex]\varepsilon[/latex]-окрестности точек а и b не пересекались (возьмем, например, [latex]\varepsilon =\frac{\left ( b-a \right )}{3}>0[/latex]). Согласно определению предела по заданному [latex]\varepsilon[/latex] можно найти номера [latex] N_{1}[/latex] и [latex] N_{2}[/latex] такие, что [latex] x_{n}\in U_{\varepsilon}(a)[/latex] при всех [latex] n\geq N_{1}[/latex] и [latex] y_{n}\in U_{\varepsilon}(b)[/latex] при всех [latex] n\geq N_{2}[/latex]. Пусть [latex]N_{0}= max\left ( N, N_{2} \right )[/latex]. Тогда при всех [latex] n\geq N_{0}[/latex] выполняются неравенства

[latex]x_{n}<a+\varepsilon <b-\varepsilon < y_{n}[/latex]

откуда следует утверждение

[latex]\exists N_{0} :\forall n\geq N_{0} \rightarrow x_{n}< y_{n}[/latex].

Следствие:

Если [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a,~ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}=b[/latex], и [latex]\forall n\in \mathbb{N}\rightarrow x_{n}\geq y_{n}[/latex] то

[latex]a\geq b[/latex].

Доказательство:

Предположим, что неравенство [latex]a\geq b[/latex] не выполняется. Тогда [latex]a < b[/latex]
и по предыдущей теореме справедливо утверждение

[latex]\exists N_{0} :\forall n\geq N_{0} \rightarrow x_{n}< y_{n}[/latex],

которое противоречит условию

[latex]\forall n\in \mathbb{N}\rightarrow x_{n}\geq y_{n}[/latex].

Поэтому должно выполняться неравенство [latex]a\geq b[/latex].

Замечание:

В следствии утверждается, что если соответствующие члены двух сходящихся последовательностей связаны знаком нестрогого неравенства, то такое же неравенство справедливо и для пределов этих последовательностей. Однако знак строгого неравенства, вообще говоря, не сохраняется, т. е. если [latex]x_{n}>y_{n}[/latex] при [latex]n\geq N_{0}[/latex] и последовательности [latex]\left \{ x_{n} \right \},\left \{ y_{n} \right \}[/latex] сходятся, то [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}\geq \lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}[/latex].

Например:

Если [latex]x_{n}=1+\frac{1}{n},~ y_{n}=1-\frac{1}{n},[/latex], то [latex]x_{n}> y_{n},~ n\in \mathbb{N}[/latex], но

[latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}=1[/latex].

Литература:

Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу
Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа, физмат-лит, 2001, стр.42-44