Ограниченность сходящейся последовательности

Определение

Пусть задано метрическое пространство $X$. Последовательность $\{ x^{(n)} \}$ называется ограниченной, если существует $C > 0$ и существует $a \in X$ такие, что для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство: $\rho(x^{(n)}, a) \le C$.

Теорема (ограниченность сходящейся последовательности)

Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Доказательство

Пусть дана последовательность $\{x^{(n)}\}$ и $\lim \limits_{n \to \infty} x^{(n)} = a$. По определению сходящейся последовательности, $\lim \limits_{n \to \infty} \rho(x^{(n)}, a) = 0$. По определению ограниченной числовой последовательности, числовая последовательность $\{\rho(x^{(n)}, a)\}$ ограничена, то есть существует $C \in \mathbb{R}$ такое, что для любого $k \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $\rho(x^{(k)}, a) \le C$. По определению ограниченной последовательности $\{x^{(n)}\}$ — ограничена.

Спойлер

Рассмотрим последовательность $x^{(n)} = ((-1)^n, \dfrac{1}{n}, \dfrac{1}{2^n})$, $(n = 1, 2, \ldots)$ точек в пространстве $\mathbb{R}^3$ с заданной евклидовой метрикой. Эта последовательность ограничена: $\rho(x^{(n)}, 0) \le \sqrt{3}$, но не имеет предела, поскольку не имеет предела числовая последовательность, составленная из первых координат данной последовательности.

Последовательность $y_n = (\frac{n+1}{n}, \frac{1}{n}, \frac{2n-1}{n+3})$ $(n = 1, 2, \ldots)$ точек из $\mathbb{R}^3$, очевидно, имеет пределом точку $y = (1, 0, 2)$, так как сходимость в метрике $\mathbb{R}^n$ эквивалентна покоординатной.

[свернуть]

Источники

  • Конспект лекций по математическому анализу Лысенко З.М.

Литература

Предел сходящейся последовательности

Тестовые вопросы по темам «Определение предела сходящейся последовательности. Единственность предела сходящейся последоваетльности. Ограниченность сходящейся последовательности».

Единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности

Единственность предела последовательности.

Теорема: ( о единственности предела последовательности )

Числовая последовательность может иметь только один предел.

Доказтельство: 

Предположим, что последовательность  [latex]X_{n}[/latex] имеет два различных предела b и  a, причем      b < a.

2 Выберем  [latex] \varepsilon > 0[/latex] таким, чтобы [latex]\varepsilon[/latex]-oкрестности точек b и a не пересекались (не имели общих точек). Возьмем, например, [latex]\varepsilon = \frac{(a-b)}{3}[/latex]. Так как число b — предел последовательности  [latex] X_{n} [/latex], то по заданному  [latex]\varepsilon > 0[/latex] можно найти номер N такой, что  [latex]X_{n}\in U_{\varepsilon }(b)[/latex] для всех  [latex]n\geq N[/latex]. Поэтому вне интервала  [latex] U_{\varepsilon }(b)[/latex] может оказаться лишь конечное число членов  последовательности. В частности, интервал   [latex] U_{\varepsilon }(a)[/latex] может cодержать лишь конечное число членов последовательности. Это противоречит тому, что a — предел последовательности (любая окрестность точки a должна содержать бесконечное число членов последовательности). Полученное противоречие показывает, что последовательность не может иметь два различных предела. Итак, сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Ограниченность сходящейся последовательности

Последовательность  [latex]X_{n}[/latex] называется ограниченной снизу, если существует такое число [latex]C_{1}[/latex], что все члены последовательности удовлетворяют условию  [latex]X_{n} \geq C_{1}[/latex], т. е.:

[latex]\exists C_{1}:\forall n\in N\rightarrow X_{n}\geq C_{1}[/latex]

Последовательность  [latex]X_{n}[/latex] называется ограниченной сверху, если:

[latex]\exists C_{2}:\forall n\in N\rightarrow X_{n}\leq C_{2}[/latex]

Последовательность, ограниченную как снизу, так и сверху, называют ограниченной, т. е. последовательность  [latex]X_{n}[/latex] называется ограниченной, если:

[latex]\exists C_{1}, \exists C_{2}:\forall n\in N\rightarrow C_{1}\leq X_{n}\leq C_{2}[/latex]

это можно записать и так:

[latex]\exists C> 0 :\forall n\in N\rightarrow \left |X_{n} \right |\leq C[/latex]

Таким образом, последовательность называют ограниченной, если множество ее значений ограничено.

Примеры.

Теорема: ( об ограниченности сходящейся последовательности)

Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Доказтельство: 

Пусть последовательность [latex]X_{n}[/latex] имеет предел, равный а. По определению предела для  [latex]\varepsilon = 1[/latex] найдем номер N такой, что при всех  [latex]n\geq N[/latex] имеет место неравенство  [latex]\left | X_{n}-a \right | <1 [/latex]. Так как модуль суммы не превосходит суммы модулей, то:

[latex]\left | X_{n} \right | = \left | X_{n}-a+a \right |\leq \left | X_{n} -a\right |+\left | a \right |[/latex].

Поэтому при всех  [latex]n\geq N[/latex] выполняется неравенство:

[latex]\left | X_{n} \right | < 1+\left | a \right |[/latex].

Положим  [latex]c= max\left ( 1+\left | a \right |, \left | X_{1} \right | , … , \left | X_{N-1} \right |\right )[/latex], тогда [latex]\left | X_{n} \right | \leq C[/latex] при всех  [latex]n\in \mathbb{N}[/latex], т. е. последовательность  [latex] X_{n} [/latex] ограничена.

Замечание: В силу предыдущей теоремы всякая сходящаяся последовательность является ограниченной. Обратное неверно: не всякая ограниченная последовательность является сходящейся! Например, последовательность [latex]\left \{ \left ( -1 \right )^{n} \right \}[/latex] ограничена, но не является сходящейся.

Замечание: Если условие  [latex]\exists C> 0 :\forall n\in N\rightarrow \left |X_{n} \right |\leq C[/latex] не выполняется, т. е.

[latex]\forall C> 0:\exists n_{C} \in \mathbb{N}: \left | X_{n_{C}} \right | > C[/latex],

то говорят, что последовательность  [latex]X_{n}[/latex] не ограничена.

Пример:  Доказать, что последовательность  [latex]\left \{\frac{1}{y_{n}} \right \} [/latex] является  ограниченной, если  [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty } y_{n} = b[/latex],  [latex]b\not \neq 0[/latex] и [latex] y_{n}\not\neq0[/latex], для всех  [latex]n\in \mathbb{N}[/latex].

Решение

Так как [latex]b\not \neq 0[/latex], то [latex]\left | b \right |> 0[/latex]. По заданному числу  [latex]\varepsilon = \frac{\left |b \right |}{2}[/latex]  в силу определения предела последовательности найдется номер [latex]N_{0}[/latex] такой, что:

[latex]\forall n\geq N_{0}\rightarrow \left | y_{n}-b \right |< \frac{\left | b \right |}{2}[/latex].

Используя неравенство для модуля разности

[latex]\left | b \right |-\left | y_{n} \right |\leq \left | y_{n}-b \right |[/latex]

и неравенство  [latex]\forall n\geq N_{0}\rightarrow \left | y_{n}-b \right |< \frac{\left | b \right |}{2}[/latex], получаем [latex]\left | b \right |-\left | y_{n} \right |< \frac{\left | b \right |}{2}[/latex],  откуда  [latex]\left | y_{n} \right |> \frac{\left | b \right |}{2}[/latex]. И поэтому для всех  [latex]n\geq N_{0}[/latex] справедливо неравенство  [latex]\left | \frac{1}{y_{n}} \right |<\frac{2}{\left | b \right |}[/latex].

Пусть C = max  [latex]\left (\left | \frac{1}{y_{1}} \right |,…,\left |\frac{1}{y_{N_{0-1}}} \right |,\frac{2}{\left | b \right |} \right )[/latex], для всех  [latex]n\in \mathbb{N}[/latex] выполняется неравенство  [latex]\left | \frac{1}{y_{n}} \right | \leq C[/latex], т. е.  [latex]\left \{ \frac{1}{y_{n}} \right \}[/latex] — ограниченная последовательность.

Литература:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу
  2. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа, физмат-лит, 2001, стр.40-42

Единственность предела

Таблица лучших: Единственность предела

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных