Пусть задано метрическое пространство $X$. Последовательность $\{ x^{(n)} \}$ называется ограниченной, если существует $C > 0$ и существует $a \in X$ такие, что для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство: $\rho(x^{(n)}, a) \le C$.
Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Доказательство
Пусть дана последовательность $\{x^{(n)}\}$ и $\lim \limits_{n \to \infty} x^{(n)} = a$. По определению сходящейся последовательности, $\lim \limits_{n \to \infty} \rho(x^{(n)}, a) = 0$. По определению ограниченной числовой последовательности, числовая последовательность $\{\rho(x^{(n)}, a)\}$ ограничена, то есть существует $C \in \mathbb{R}$ такое, что для любого $k \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $\rho(x^{(k)}, a) \le C$. По определению ограниченной последовательности $\{x^{(n)}\}$ — ограничена.
Спойлер
Рассмотрим последовательность $x^{(n)} = ((-1)^n, \dfrac{1}{n}, \dfrac{1}{2^n})$, $(n = 1, 2, \ldots)$ точек в пространстве $\mathbb{R}^3$ с заданной евклидовой метрикой. Эта последовательность ограничена: $\rho(x^{(n)}, 0) \le \sqrt{3}$, но не имеет предела, поскольку не имеет предела числовая последовательность, составленная из первых координат данной последовательности.
Тестовые вопросы по темам «Определение предела сходящейся последовательности. Единственность предела сходящейся последоваетльности. Ограниченность сходящейся последовательности».
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 5
Ваше время:
Время вышло
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
Математический анализ0%
Спасибо за прохождение теста!
максимум из 8 баллов
Место
Имя
Записано
Баллы
Результат
Таблица загружается
Нет данных
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
1
2
3
4
5
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 5
1.
Количество баллов: 1
Если \(\lim\limits_{n\to\infty}\rho(x^{(n)}, x)=0\), то говорят, что последовательность \( \{x^{(n)}\} \)
(сходится, сходится к точке x, имеет предел, ограничена, стремится к x).
Задание 2 из 5
2.
Количество баллов: 2
Является ли утверждение верным? Если нет, укажите, где допущена ошибка.
Последовательность $\{x^{(n)}\}$ называется ограниченной, если $\exists C > 0$ $\exists a \in X: \exists n \in \mathbb{N}: \rho(x^{(n)}, a) \le C$.
Задание 3 из 5
3.
Количество баллов: 1
Следует ли из ограниченности сходящейся последовательности существование её предела?
Задание 4 из 5
4.
Количество баллов: 2
Выберите правильное утверждение.
Если предел последовательности $\{x^{(n)}\}$ равен $x$, то
Задание 5 из 5
5.
Количество баллов: 2
Может ли сходящаяся последовательность иметь несколько пределов?
Теорема:( о единственности предела последовательности )
Числовая последовательность может иметь только один предел.
Доказтельство:
Предположим, что последовательность [latex]X_{n}[/latex] имеет два различных предела b и a, причем b < a.
Выберем [latex] \varepsilon > 0[/latex] таким, чтобы [latex]\varepsilon[/latex]-oкрестности точек b и a не пересекались (не имели общих точек). Возьмем, например, [latex]\varepsilon = \frac{(a-b)}{3}[/latex]. Так как число b — предел последовательности [latex] X_{n} [/latex], то по заданному [latex]\varepsilon > 0[/latex] можно найти номер N такой, что [latex]X_{n}\in U_{\varepsilon }(b)[/latex] для всех [latex]n\geq N[/latex]. Поэтому вне интервала [latex] U_{\varepsilon }(b)[/latex] может оказаться лишь конечное число членов последовательности. В частности, интервал [latex] U_{\varepsilon }(a)[/latex] может cодержать лишь конечное число членов последовательности. Это противоречит тому, что a — предел последовательности (любая окрестность точки a должна содержать бесконечное число членов последовательности). Полученное противоречие показывает, что последовательность не может иметь два различных предела. Итак, сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Ограниченность сходящейся последовательности
Последовательность [latex]X_{n}[/latex] называется ограниченной снизу, если существует такое число [latex]C_{1}[/latex], что все члены последовательности удовлетворяют условию [latex]X_{n} \geq C_{1}[/latex], т. е.:
Последовательность, ограниченную как снизу, так и сверху, называют ограниченной, т. е. последовательность [latex]X_{n}[/latex] называется ограниченной, если:
Теорема:( об ограниченности сходящейся последовательности)
Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Доказтельство:
Пусть последовательность [latex]X_{n}[/latex] имеет предел, равный а. По определению предела для [latex]\varepsilon = 1[/latex] найдем номер N такой, что при всех [latex]n\geq N[/latex] имеет место неравенство [latex]\left | X_{n}-a \right | <1 [/latex]. Так как модуль суммы не превосходит суммы модулей, то:
Положим [latex]c= max\left ( 1+\left | a \right |, \left | X_{1} \right | , … , \left | X_{N-1} \right |\right )[/latex], тогда [latex]\left | X_{n} \right | \leq C[/latex] при всех [latex]n\in \mathbb{N}[/latex], т. е. последовательность [latex] X_{n} [/latex] ограничена.
Замечание: В силу предыдущей теоремы всякая сходящаяся последовательность является ограниченной. Обратное неверно: не всякая ограниченная последовательность является сходящейся! Например, последовательность [latex]\left \{ \left ( -1 \right )^{n} \right \}[/latex] ограничена, но не является сходящейся.
Замечание: Если условие [latex]\exists C> 0 :\forall n\in N\rightarrow \left |X_{n} \right |\leq C[/latex] не выполняется, т. е.
то говорят, что последовательность [latex]X_{n}[/latex] не ограничена.
Пример: Доказать, что последовательность [latex]\left \{\frac{1}{y_{n}} \right \} [/latex] является ограниченной, если [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty } y_{n} = b[/latex], [latex]b\not \neq 0[/latex] и [latex] y_{n}\not\neq0[/latex], для всех [latex]n\in \mathbb{N}[/latex].
Решение
Так как [latex]b\not \neq 0[/latex], то [latex]\left | b \right |> 0[/latex]. По заданному числу [latex]\varepsilon = \frac{\left |b \right |}{2}[/latex] в силу определения предела последовательности найдется номер [latex]N_{0}[/latex] такой, что: