Теорема об умножении определителей. Определитель произведения двух квадратных матриц порядка n равен произведению определителей этих матриц: det(A⋅B)=det(A)⋅det(B) или полная формула: det(k∏i=1Ai)=k∏i=1detAi,Ai∈(P),i=1,…,k.
Для доказательства рассмотрим случай k=2. Допустим заданы две матрицы A=‖aij‖∈Mn(P) и B=‖bij‖∈Mn(P). Воспользуемся вспомогательной блочной матрицейC=‖A0−EB‖ размера 2n×2n, определитель которой имеет вид: Δ=|a11a12⋯a1n00⋯0a21a22⋯a2n00⋯0⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅an1an2⋯ann00⋯0−10⋯0b11b12⋯b1n0−1⋯0b21b22⋯b2n⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅00⋯−1bn1bn2⋯bnn|
Вычислим Δ используя теорему Лапласа. Замечаем, что отличным от нуля будет только det(A). Следовательно, Δ=det(A)⋅det(B). Теперь с помощью элементарных преобразований изменим Δ так, что в итоге получим определитель вида |AC−EO|. Где C является произведением матриц A и B. Первый столбец умножим на b11 и прибавим к (n+1)-му столбцу, второй на элемент b21 и вновь прибавим к (n+1)-му столбцу. Так же обнулим остальные элементы матрицы B. Записав подробнее полученный определитель имеем: Δ=|a11a12⋯a1nc11c12⋯c1na21a22⋯a2nc21c22⋯c2n⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅an1an2⋯anncn1cn2⋯cnn−10⋯000⋯00−1⋯000⋯0⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅00⋯−100⋯0| Снова вычислим определитель Δ, разложением по последним n столбцам. В этом случае отличным от нуля минором n−го порядка будет определитель матрицы C. Поэтому Δ=detC⋅det(−E)=detC⋅(−1)n⋅(−1)S1+S2, где S1=2n∑k=n+1k, a S2=n∑k=1k. В результате получаем Δ=detC⋅(−1)2n(n2+n)=detC. Теперь, подставляя имеем доказательство теоремы: Δ=detC=det(A⋅B)=det(A)⋅det(B).
Замечание Известно, что произведение матриц в общем случае не коммутативно, т.е. AB≠BA. Но определитель это действительное число, а произведение действительных чисел коммутативно. Следовательно, det(AB)=detA⋅detB=detB⋅detA=det(BA)
Теорема об умножении определителей является следствием формулы Бине-Коши. Это теорема об определителе произведения прямоугольных матриц, в случае если это произведение дает квадратную матрицу. Справедлива для матриц с элементами любого коммутативного кольца.
Теорема (формула Бине-Коши). Пусть даны две матрицы A и B размеров (m×n) и (n×m) соответственно. Определитель матрицы равен нулю, если m>n, и равен сумме произведений всех соответствующих миноровm-го порядка мaтрицы A на соответствующие миноры m-го порядка матрицы B, если m⩽n. Миноры матриц A и B одинакового порядка, равного наименьшему из чисел n и m, называются соответствующими друг другу, если они стоят в столбцах матрицы A и строках матрицы B с одинаковыми номерами: detAB=∑γ1<γ2<⋯<γmAγ1<γ2<⋯<γmBγ1<γ2<⋯<γm,
где Aγ1<γ2<⋯<γm — минор матрицы A, составленный из столбцов с номерами γ1<γ2<⋯<γm, и Bγ1<γ2<⋯<γm — минор матрицы B, составленный из строк с номерами γ1<γ2<⋯<γm.
Допустим C=AB, cij=∑mγ=1aiγbγi. Значит detC=∑σ(−1)σ∑γ1a1γ1bγ1σ(1)…∑γnanγnbγnσ(n)==m∑γ1,…,γn=1a1γ1…ann∑σ(−1)σbγ1σ(1)…bγnσ(n)=∑γ1,…,γn=1a1γ1…anγnBγ1…γn. Минор Bγ1…γn не равен нулю только в том случае, когда γ1,…,γn попарно различны, значит и суммировать можно по парно различные номера γ1,…,γn. Для любой перестановки τ этих номеров справедливо Bτ(γ1)…τ(γn)=(−1)τBγ1…γn, из чего следует ∑γ1,…,γn=1a1γ1…anγnBγ1…γn=∑γ1<γ2<…<γn(−1)τa1τ(1)…anτ(n)Bγ1…γn==∑γ1<γ2<…<γmAγ1<γ2<…<γmBγ1<γ2<…<γm.
Примеры решения задач
Рассмотрим примеры решения задач связанных с рассмотренной теоремой. Читателю рекомендовано попытаться решить задачи самостоятельно, а затем сверить свое решение с приведенным ниже.
Найти определитель произведения матриц: A=‖341−8‖,B=‖29−15‖Решение
Находим определители данных матриц второго порядка: |3−41−6|=−18+4=−14 и |2715|=10−7=3. По теореме об определителе произведения матриц получаем: det(A⋅B)=det(A)⋅det(B)=(−14)⋅(3)=−42. Вычислим этот же определитель, находя произведение матриц: A⋅B=|3−41−6|⋅|2715|=|21−4−23| Следовательно, det(A⋅B)=−46+4=−42. Результаты совпадают.
Найти определитель матрицы пятого порядка: M=‖12uvw34xyz003210025300342‖Решение
Разобьём данную матрицу на 4 блока, M=‖ABOC‖ где A=‖1234‖, B=‖uvwxyz‖, O=‖000000‖, C=‖321253342‖.
Представим блочную матрицу как произведение (в справедливости этого представления можно убедиться, найдя произведение по правилам умножения блочных матриц). D=‖ABCD‖=‖E2OTOC‖⋅‖E2BOE3‖⋅‖AOTOE3‖, где E2,E3 — единичные матрицы соответствующих порядков. |AOTOE3|=detA=|A|, |E2OTOC|=detC=|C|.
Матрица ‖E2BOE3‖ — треугольная с единицами на главной диагонали, следовательно ее определитель равен 1 По теореме об определителе произведения получаем: |ABOC|=|E2OTOC|⋅|E2BOE3|⋅|AOTOE3|=|C|⋅1⋅|A|=|A|⋅|C| Найдем detA и detC. |1234|=−2|321253342|=−15−8−36+30+18=−3. Подставляя, получаем, detM=−2⋅−3=−6
Представьте в виде определителя произведение определителей: |2111−1211−1−121−1−1−12|⋅|4114|⋅|−31−13| Решение
По теореме об определителе ступенчатой матрицы имеем: |4114|⋅|−31−13|=|4100140000−3100−13| Предположим A=‖2111−1211−1−121−1−1−12‖,B=‖4100140000−3100−13‖,
тогда AB=‖96−44−27−44−5−5−75−5−515‖, по теореме об определителе произведения получаем искомый определитель det(A⋅B)=|96−44−27−44−5−5−75−5−515|.
Литература
Белозеров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре.
Тест на знание темы «Теорема об умножении определителей».
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 3
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Рубрики
Нет рубрики0%
Алгебра0%
1
2
3
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 3
1.
Чему равен определитель произведения нескольких квадратных матриц?
Правильно
Неправильно
Задание 2 из 3
2.
Сопоставьте, если даны прямоугольные матрицы DK(m×n) и (n×m) размеров соответственно
Элементы сортировки
detDK равен сумме произведений всех соответствующих миноров
detDK равен произведению определителей матриц D и K
detDK равен нулю
если m<n
если m=n
если m>n
Правильно
Неправильно
Задание 3 из 3
3.
Заполните пропуски.
Обобщением теоремы об определителе произведения матриц
служит формула (Бине-Коши, теорема Бине-Коши, формула Бине Коши, теорема Бине Коши, теорема бине коши, формула бине коши), которая выражает определитель произведения прямоугольных матриц через (сумму) произведений всевозможных миноров матрицы A на (соответствующие) миноры того же порядка матрицы B.
Теорема. Любое натуральное число больше единицы может быть разложено в виде простых множителей и это разложение единственно (если не учитывать порядок множителей).
Докажем существование такого разложения и то, что оно единственно.
Существование. Пусть n∈N,n>1 и мы имеем два варианта.Если n простое, и тогда разложение уже получено, либо n составное, а значит может быть представлено в виде n=p0a0, где p0 — наименьший делитель n. Допустим a0>1, а значит у нас снова два варианта. Либо a0 — простое, либо оно составное и может быть представлено как a0=p1a1, где p1 — наименьший делитель a0. Таким образом мы дойдем до am−1=pmam, где am=1. Тогда n=p0p1p2…pm, где pi,i=¯0,m является простым по лемме (1) о простоте наименьшего делителя.
Единственность. Пусть существуют два разложения числа n∈N,n>1 на простые множители. Тогда p1p2…pn=q1q2…qm. Так как p1p2…pn разложение n, а значит является его делителем, то p1∣q1q2…qm. Если точнее, оно делит qj,j=¯1,m.Но так как qj и p1 — простые, то это возможно только в том случае, если p1=qi. Так как порядок множителей не имеет значения, пусть это будет q1. И тогда мы можем сократить равенство на p1 и получим p2…pn=q2…qm. Повторяя рассуждения, мы придем к тому, что кончатся множители одного разложения (предположим что n<m) и мы получим такое равенство 1=qnqn+1…qm. Однако, так как все множители — простые, а значит (по определению простого числа) найдено противоречие. Это доказывает единственность.
Так как в разложении целого числа могут оказаться одинаковые множители, то можно обозначить количество вхождений множителя его степенью : n=pa11pa22…pann, где pi≠pj при i,j=¯1,n,i≠j. Это называется каноническим разложением числа.
Примеры
Каноническим разложением числа 100 будет 22⋅52.
Каноническим разложением числа 255 будет 31⋅51⋅171.
Каноническим разложением числа 53 будет 531.
Тест на канонические разложения
Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 1 заданий окончено
Вопросы:
1
Информация
Тест для проверки понимания изложенной выше темы.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 1
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
Алгебра0%
1
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 1
1.
Разделите данные ниже разложения на канонические и неканонические.
Элементы сортировки
22⋅53
26
2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2
2⋅2⋅5⋅5
24⋅3
Каноническое разложение 500
Каноническое разложение числа 64
Неканоническое разложение числа 64
Неканоническое разложение числа 100
Каноническое разложение числа 48
Правильно 10 / 10Баллы
Неправильно / 10 Баллы
Литература
Электронный конспект по алгебре. Автор Белозеров.Г.С.
Теорема Кронекера-Капелли. Критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений. СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. То есть, если в СЛАУ r=rangA=rang˜A, где rangA — обозначает ранг матрицы системы, а rang˜A — ранг расширенной матрицы, тогда данная матрица совместна, причём система имеет единственное решение, если rangA=rang˜A=n, где n — число неизвестных, и бесконечное число решений, если rangA=rang˜A<n.
Скажем, что данная система совместна, в таком случае существуют числа (c1,c2,…,cn), которые являются частным решением матрицы, при подстановке их в систему. Мы получим равенство:
Следовательно, вектор-столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов (a1,a2,…,an), матрицы A. Так же, мы можем заметить, что сколько бы мы раз не приписали или не вычеркнули строку(столбец), от этого не меняется ранг системы, из этого следует, что rangA=rang˜A.
Достаточность. Если rangA=rang˜A, то это означает, что у них один и тот же базисный минор. Тогда, согласно теореме о базисном миноре, последний столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора.
Следствие:
rangA=rang˜A=n единственное решение.
rangA=rang˜A<n бесконечное число решений.
Количество главных переменных равно рангу системы.
Примеры решения задач
Рассмотрим примеры задач, в которых используеться критерий совместности rangA=rang˜A.
{2x1—x2+5x3=43x1—x2+5x3=05x1—2x2+3x3=2Решение
Сначала, приведем матрицу к треугольному виду.
(2−1543−1505−232)∼(−1254−1350−2532)∼
(−1154010−401−7−7)∼(−1154010−400−7−3)
Элементарные преобразования не меняют ранга матриц, поэтому в результате выполненных действий, получены эквивалентные исходнной матрице системы A=(−11501000−7) и расширенная матрица системы ˜A=(−1154010−400−7−3)
rangA=rang˜A=3 значит, по теореме Кронекера-Капелли система совместна.
«G» — множество, на котором определена соответствующая БАО;
«g1», «g2», «g3», «g′» — элементы множества G.
Ассоциативность
В общем виде аксиома ассоциативности группы выглядит так: ∀g1,g2,g3∈G(g1∗g2)∗g3=g1∗(g2∗g3). Запишем ее для множества матриц размеров m×n:∀A,B,C∈Mm×n(P)(A+B)+C=A+(B+C).
В общем виде аксиома нейтрального элемента группы выглядит так: ∃e∈G:∀g∈Gg∗e=e∗g=g. Запишем ее для множества матриц размеров m×n:∃O∈Mm×n(P):∀A∈Mm×n(P)A+O=O+A=A. В нашем случае нейтральным элементом является нулевая матрица O∈Mm×n(P).
В общем виде аксиома симметричных элементов группы выглядит так: ∀g∈G∃g′∈G:g∗g′=g′∗g=e. Запишем ее для множества матриц размеров m×n:∀A∈Mm×n(P)∃(−A)∈Mm×n(P):A+(−A)=−A+A=O.
Итак, прежде чем перейти к методу использования теоремы Лапласа, необходимо рассмотреть несколько важных определений.
Определение Пусть дана матрицаA∈Mm×n(P). Возьмем в ней любые i строк и i столбцов, причем i>0 и i меньше минимального из m и n. Элементы, которые располагаются на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют матрицу i−го порядка. Определитель этой матрицы называется минором i−го порядка исходной матрицы. Если порядок минора равен единице, то минор является элементом исходной матрицы.
Пример 1 Пусть дан определитель четвертого порядка |−8−52713−9−34−4−19−53−48|. Выберем, например, 2-й и 4-й столбцы и 1-ю и 3-ю строки. Таким образом, элементы, стоящие на пересечении этих столбцов и строк образуют минор2−го порядка: |−57−49|=−45+28=−17. Также мы можем выбрать любые строки и столбцы для получения миноров.
Определение Пусть дана матрицаA∈Mm(P). Выберем в ней минор i−го порядка, такой, что i>0 и i<m. Если мы вычеркнем строки и столбцы матрицы, в которых лежит данный минор, то мы получим новую матрицу. Определитель новой матрицы называется дополнительным минором к исходному.
Пример 2 Возьмем определитель и его минор 2−го порядка из первого примера. Дополнительным минором к нему будет |1−9−5−4|=−4−45=−49.
Определение Пусть дана матрицаA \in M_m(P). Выберем в ней минор i-го порядка, такой, что i > 0 и i < m. Если мы умножим дополнительный к нему минор на число (-1)^{S_1 + S_2}, в котором S_1 — это сумма номеров строк, а S_2 — это сумма номеров столбцов, в которых лежит исходный минор, то мы получим алгебраическое дополнение к этому минору.
Пример 3 Пусть дан определитель пятого порядка \begin{vmatrix} -7 & 5 & 3 & -2 & 6 \\ 9 & -8 & 7 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & -5 & 9 \\ -3 & 2 & -2 & -4 & -8 \\ 4 & 9 & 5 & -1 & 1 \end{vmatrix}. Выберем в нем, к примеру 1-ю и 4-ю строки, а также 2-й и 5-й столбцы. Тогда на пересечении выбранных строк и столбцов образуется минор2-го порядка \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 2 & -8 \end{vmatrix} = -40-12 = -52.Дополнительным минором к нему будет \begin{vmatrix} 9 & 7 & 3 \\ 0 & -1 & -5 \\ 4 & 5 & -1 \end{vmatrix} = 9 + 0-140 + 12 + 0 + 225 = 106. Наконец, алгебраическим дополнением к минору будет \begin{vmatrix} 9 & 7 & 3 \\ 0 & -1 & -5 \\ 4 & 5 & -1 \end{vmatrix} \cdot (-1)^{(1 + 4) + (2 + 5)} = 106 \cdot (-1)^{12} = 106, где степени -1 являются таковыми, так как элементы минора исходного определителя располагаются в 1-й и 4-й строках и во 2-м и в 5-м столбцах.
Итак, разобравшись с приведенными выше определениями, можно приступать к формулированию теоремы.
Теорема (Лапласа) Если в определителе порядка m выбрать i строк (столбцов), где i > 0 и i < m, то данный определитель будет равняться сумме миноров, которые расположены в этих строках (столбцах), умноженных на их алгебраические дополнения. Эти миноры будут иметь i-й порядок.
Таким образом, благодаря теореме Лапласа, при вычислении определителя m-го порядка, мы можем вычислить несколько определителей более малых порядков (i), что упрощает нам задачу.
Как мы могли заметить, для нахождения определителя 4-го порядка нам понадобилось искать лишь определители 2-го порядка, что намного легче. Разберем этот пример подробнее.
Для начала, вторым множителем каждого слагаемого является минор, расположенный в выбранных в начале решения строках. Мы берем все существующие в данных строках миноры. Далее, первым множителем каждого слагаемого является (-1) в степени, которая является суммой номеров строк и столбцов, в которых расположен соответствующий минор. Третьим же множителем является дополнительный минор к соответствующему. Произведение дополнительного минора и (-1) в соответствующей степени образует алгебраическое дополнение к своему минору.
Таким образом мы расписываем все миноры, находящиеся в выбранных строках, умножаем на их алгебраические дополнения и суммируем полученные произведения. После этого решаем полученное выражение, приходя к ответу, который является значением определителя исходной матрицы.
Личный конспект, составленный на основе лекций Г. С. Белозерова.
Теорема Лапласа
Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 5 заданий окончено
Вопросы:
1
2
3
4
5
Информация
Тест на проверку знаний о теореме Лапласа и определений, необходимых для формулировки данной теоремы.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 5
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
Нет рубрики0%
1
2
3
4
5
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 5
1.
Количество баллов: 1
Что означают числа S_1 и S_2 в множителе алгебраического дополнения, который имеет вид (-1)^{S_1 + S_2}?
Задание 2 из 5
2.
Количество баллов: 3
Дан определитель \begin{vmatrix} 5 & 7 & 1 & 0 \\ 4 & 9 & -2 & 1 \\ -7 & 11 & 8 & -4 \\ 0 & 2 & -9 & 4\end{vmatrix}. При условии, что мы раскладываем его по 1-й и 3-й строкам, каковыми могут быть дополнительные миноры?
Задание 3 из 5
3.
Количество баллов: 4
Вставьте пропущенные слова. В каждом пропуске может быть до двух слов включительно. Также ответом могут служить цифры.
Выберем в произвольной матрице 2 строки и 2 столбца. Тогда элементы, стоящие на пересечении этих строк образуют матрицу (второго, 2, 2-го, 2-о, другого, 2-ого) порядка. Определитель этой матрицы называется (минором, минор, мінор, мінором) 2-го порядка исходной матрицы. Если мы вычеркнем все строки и столбцы, в которых лежит данный минор, то мы получим новую (матрицу, матрица, матрицю). Определитель этой матрицы называется (дополнительным минором, дополнительный минор, додатковий мінор, додатковим мінором, доп. минором, доп. минор, доп минор, доп минором, дод. мінором, дод. мінор, дод мінором, дод мінор) к исходному.
Задание 4 из 5
4.
Количество баллов: 7
Расположите определители в порядке возрастания их значений.