Пусть на отрезке $\left[a,b\right]$ задана неотрицательная непрерывно дифференцируемая функция $f$. Будем вращать ее график вокруг оси $Ox$. В результате получим некоторую поверхность. Выведем формулу для вычисления ее площади.
Рассмотрим разбиение отрезка $\left[a,b\right]$ точками $a = x_{0} < x_{1} < . . . < x_{n}$. Вращая криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции $y = f(x), x_{i} \leqslant x \leqslant x_{i+1}$, получим усеченный «конус» с образующей $y = f(x)$ и радиусами оснований $f(x_{i})$ и $f(x_{i+1})$. Соединим точки $\left(x_{i},f\left(x_{i}\right)\right)$ и $\left(x_{i+1},f\left(x_{i+1}\right)\right)$ отрезком. В результате вращения получим усеченный конус с теми же радиусами оснований и этим отрезком в качестве образующей. Площадь боковой поверхности этого конуса равна
$$2\pi\frac{f\left(x_{i}\right)+f\left(x_{i+1}\right)}{2}l_{i},$$
где $l_{i}=\sqrt{\left(\Delta x_{i}\right)^{2}+\left(f\left(x_{i+1}\right)-f\left(x_{i}\right)\right)^{2}}$ — длина образующей. Складывая, получаем
$$\sigma\equiv2\pi\sum\limits_{i=0}^{n-1}{\frac{f\left(x_{i}\right)+f\left(x_{i+1}\right)}{2}l_{i}}.$$
При стремлении к нулю диаметра разбиения сумма σ стремится к определенному пределу, который естественно считать площадью поверхности вращения. С другой стороны, если в выражении для $l_{i}$ применить формулу Лагранжа, то получим
$$\sigma=2\pi\sum\limits_{i=0}^{n-1}{\frac{f\left(x_{i}\right)+f\left(x_{i+1}\right)}{2}\sqrt{1+\left[f^{\prime}\left(\xi_{i}\right)\right]^{2}}\Delta x_{i}},$$
где $\xi_{i}\epsilon\left[x_{i},x_{i+1}\right]$. Заменим в правой части $x_{i}$ и $x_{i+1}$ на $\xi_{i}$ и оценим погрешность. Имеем
$$\mid\sigma-2\pi\sum\limits_{i=0}^{n-1}{f\left(\xi_{i}\right)}\sqrt{1+\left[f^{\prime}\left(\xi_{i}\right)\right]^{2}}\Delta x_{i}\mid\leqslant2\pi\sum\limits_{i=0}^{n-1}\omega_{i}\sqrt{1+M^{2}}\Delta x_{i}$$
где $ω_{i}$ – колебание функции $f$ на $\left[x_{i},x_{i+1}\right]$, а $M$ – верхняя грань функции $\mid f^{\prime}\mid$ на $\left[a,b\right]$. Из условий на функцию $f$ следует, что правая часть стремится к нулю вместе с диаметром разбиения. Поэтому сумма $\sigma$ стремится к $2\pi\int\limits_{a}^{b} f\left(x\right)\sqrt{1+\left[f^{\prime}\left(x\right)\right]^{2}}{\text{d}x}$.
Итак, получили следующую формулу для нахождения площади поверхности вращения:
$$S=2\pi\int\limits_{a}^{b} f\left(x\right)\sqrt{1+\left[f^{\prime}\left(x\right)\right]^{2}}{\text{d}x}.$$
Примеры решения задач
- Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси $Ox$ дуги кубической параболы $y=x^{3}$, заключенной между прямыми $x=0$ и $x=1$.
Решение
$P=2\pi\int\limits_{a}^{b} f\left(x\right)\sqrt{1+\left(f^{\prime}\left(x\right)\right)^{2}}dx=2\pi\int\limits_{0}^{1}x^{3}\sqrt{1+\left(3x^{2}\right)^{2}}dx=$
$=2\pi\int\limits_{0}^{1}x^{3}\sqrt{1+9x^{4}}dx=\begin{bmatrix}t=1+9x^{4} \\dt=36x^{3}dx \end{bmatrix}=$
$=2\pi\int\limits_{1}^{10} \sqrt{t}\frac{\text{d}t}{36}=\frac{\pi}{18}\int\limits_{1}^{10} \sqrt{t}{\text{d}t}=\frac{\pi}{18}\cdot\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}\mid^{10}_{1}=\frac{\pi}{27}\left(10\sqrt{10}-1\right)$
- Вычислить площадь поверхности, которая образована вращением кривой $y^{2}=4+x$, которая отсекается прямой $x=2$ вокруг оси $Ox$.
Решение
$P=2\pi\int\limits_{a}^{b} \psi\left(t\right)\sqrt{\left(\varphi^{\prime}\left(t\right)\right)^{2}+\left(\psi^{\prime}\left(t\right)\right)^{2}}=2\pi\int\limits_{-4}^{2} y\sqrt{1+\left(y^{\prime}\right)^2}\text{d}x=$
$=2\pi\int\limits_{-4}^{2} \sqrt{\left(4+x\right)\left(1+\frac{1}{4(4+x)}\right)}\text{d}x=\pi\int\limits_{-4}^{2} \sqrt{17+4x}{\text{d}x}=$
$=\frac{\pi}{6}\left(125-1\right)=\frac{62}{3}\pi$
- Вычислить площадь поверхности тела вращения, заданными такими уравнениями: $x\left(t\right)=3\cos t$, $y\left(t\right)=3\sin t$.
Решение
$P=2\pi\int\limits_{a}^{b} y\left(t\right)\sqrt{\left(x^{\prime}\left(t\right)\right)^{2}+\left(y^{\prime}\left(t\right)\right)^{2}}\text{d}x=2\pi\int\limits_{0}^{\pi} 3\sin t\cdot3\text{d} t=$
$=\frac{\pi}{6}\left(17+4x\right)^{\frac{3}{2}}\mid^{2}_{-4}=-18\pi \left(\cos t\right)\mid^{\pi}_{0}=-18\pi\cdot\left(\cos \pi-\cos 0\right)\mid^{\pi}_{0}=$
$=-18\pi\left(-1-1\right)=36\pi$
Площадь поверхности тела вращения
Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме.