Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

M1276. О высотах треугольников, пересекающихся в одной точке

Задача из журнала «Квант» (1991 год, 9 выпуск)

Условие

Для данной хорды MN окружности рассматриваются треугольники ABC, основаниями которых являются диаметры AB этой окружности, не пересекающие MN, а стороны AC и BC проходят через концы M и N хорды MN. Докажите, что высоты всех таких треугольников ABC, опущенные из вершины C на сторону AB, пересекаются в одной точке.

Доказательство

Точки M и N — основания высот треугольника ABC, опущенных из вершин A и B, поэтому третья высота проходит через точку H их пересечения, причем точки C, M, N и H лежат на одной окружности δ с диаметром CH. Пусть P — центр этой окружности. Заметим, что при движении диаметра AB величина угла C треугольника остаётся неизменной, — она измеряется полуразностью постоянных по величине дуг  AB и MN (см. рисунок). Поскольку хорда MN неподвижна, остаётся неизменной и окружность δ (по которой движутся точка C и диаметрально противоположная ей точка H), а тем самым и её центр P: диаметр CH — участок интересующей нас высоты — просто вращается вокруг точки P.

Cycle

 Е. Куланин

М1737. Параллелограмм в окружности

Задача из журнала «Квант» (2000 год, 4 выпуск)

Условие

Хорды AC и BD окружности с центром O пересекаются в точке K (рис.1). Точки M, N — центры окружностей, описанных около треугольников AKB и CKD. Докажите, что OMKN — параллелограмм.

А.Заславский

<12>Решение

Пусть X — середина KB (рис.2). Тогда KMX=12KMB=KAB=KDC. Поскольку MXBD, то KMCD. Так как при этом ONCD, то ONKM. Аналогично, OMKN. Если точки O, K, M, N не лежат на одной прямой, то OMKN — параллелограмм и OM=KN. В противном случае рассмотрим ортогональные проекции отрезков OM и KN на AC. Так как точки   O, M, N проектируются в середины отрезков AC, AK и KC соответственно, то проекции обоих параллельных отрезков равны KC2, следовательно, равны и длины самих отрезков.

M706. Задача о равенстве хорд двух окружностей.

Задача из журнала «Квант» (1981 год, выпуск 10)

Условие:

Из центра каждой из двух данных окружностей проведены касательные к другой окружности. Докажите, что хорды, соединяющие точки пересечения касательных с окружностями (на рисунке 1 эти хорды показаны красным цветом), имеют одинаковые длины.

M706 - Рисунок 1

Доказательство:

Из подобия соответствующих треугольников (см. рисунок 2) легко находим,что каждая хорда имеет длину 2RrO1O2.

m706 Рисунок 2

Источники:

  1. Условие задачи
  2. Решение задачи

М1604. Задача об опорных хордах многоугольника

Задача из журнала «Квант» (1997, №4)

Условие

Внутри выпуклого многоугольника F расположен второй выпуклый многоугольник G. Хорда многоугольника F — отрезок, концы которого лежат на границе F, — называется опорной к многоугольнику G, если она пересекается с G только по границе: содержит либо одну вершину, либо сторону G. Докажите, что:

  • найдется опорная хорда, середина которой лежит на границе G;
  • найдутся по крайней мере две такие хорды.

Решение

Идею решения можно сформулировать одной фразой. Рассмотрим площади сегментов, отрезаемых от F хордами, опорными к G (рис.1), и выберем среди них наибольшую и наименьшую. Соответствующие хорды касаются G своими серединами.

М1604_1

Рис.1

Изложим теперь решение более подробно. Пусть l(φ) — опорная к G прямая, составляющая угол φ с некоторым фиксированным направлением l0. Мы считаем, что l(φ) — направленная прямая, G содержится в её правой полуплоскости; G(φ)=Gl(φ) — одна точка (вершина G) или отрезок (сторона G). Ясно, что для каждого φ, 0φ<2π, прямая l(φ) определена однозначно. Рассмотрим площадь S=S(φ) «сегмента», отрезаемого прямой l(φ) от F, — пересечения F с левой полуплоскостью этой прямой. Очевидно, что S=S(φ) — непрерывная функция от φ на отрезке 0φ<2π, где S(2π)=S(0).

Пусть AB — хорда, высекаемая многоугольником F на прямой l(φ), и K — её середина. Докажем, что если K не лежит на границе с G, то в некоторой окрестности φ функция S монотонна (возрастает или убывает). Рассмотрим близкую к l(φ) прямую l(φ+δ) и соответствующую хорду A1B1. При достаточно малом δ прямая l(φ+δ) получается из l(φ) поворотом вокруг некоторой точки PG(φ), лежащей на границе G, а разность площадей S(φ+δ)S(φ) равна разности площадей треугольников APA1 и BPB1 (рис.2). Если PA<PB, то (при малом δ) PA1<PB1 и площадь треугольника APA1 меньше площади треугольника BPB1 (треугольник, симметричный APA1 относительно P, лежит внутри BPB1); таким образом, при всех достаточно малых δ>0 выполнено неравенство S(φ+δ)<S(φ).

М1604_2

Рис.2

Аналогично, S(φ)<S(φε) при достаточно малом ε — прямая l(φε) получается поворотом l(φ) вокруг точки PG(φ), либо совпадающей с P, либо, во всяком случае, лежащей по ту же сторону от середины K, так что AP<BP. Итак, если G(φ) лежит по одну (на рисунке 2 — левую) сторону от K, то в окрестности φ функция S убывает. Если G(φ) расположена по другую сторону от K, то в окрестности φ функция S возрастает.

Однако непрерывная функция S=S(φ) (принимающая равные значения на концах отрезка [0,2π]) должна достигать максимума и минимума. По доказанному выше, в этих точках середина хорды K должна лежать в G(φ), т.е. принадлежать границе G.

Н.Васильев