Задача М1314 з журналу «Квант» 1991 року №11

Умова

$ABCD$ — випуклий чотирикутник, діагоналі котрого перетинаються в точці $O$. Нехай $P$ та $Q$ — центри кіл, описаних навколо трикутників $ABO$ і $CDO$.

Доведіть, що $AB+CD\leq4PQ$

Розв’язання

Нехай $O$ — точка перетину діагоналей чоторикутника $ABCD$. Проведемо пряму, що ділить кути $BOA$ та $COD$ навпіл і, що перетинає кола, описані навколо трикутників $AOB$ і $COD$ у точках $K$ і $L$ відповідно. (малюнок)

Нехай $PM$ та $QN$ — перпендикуляри, опущені із точок $P$ і $Q$ на пряму $KL$.

Так як сума кутів $\angle KBO$ і $\angle KAO$ = $180^{\circ}$, один з цих двох кутів не є гострим. Будемо для визначенності вважати, що таким кутом є $KBO$.

З трикутника $KBO$ отримаємо, що $КО > KB$. А так як трикутник $AKB$ — рівнобедрений, $$2KB = KB + KA > AB.$$

Отже, $2KO > AB$. Аналогічно доводиться, що $2LO > CD$.

Але тоді $$4PQ \geq 4MN = 2KL = 2KO + 2LO > AB + CD.$$

Задача из журнала «Квант» (2005 год, 4 выпуск)

Условие

В параллелограмме $ABCD$ нашлась точка $Q$ такая, что $\angle AQB + \angle CQD=180°$. Докажите равенства углов: $\angle QBA = \angle QDA$ и $\angle QAD = \angle QCD$ (рис.1).

Треугольник $ABQ$ параллельно перенесем на вектор $\overrightarrow{\rm BC}$, и новое положение точки $Q$ обозначим через $P$ (рис. 2).

Ввиду условия задачи, около четырехугольника $QCPD$ можно описать окружность. Но тогда $$\angle DCP(= \angle QBA) = \angle PQD = \angle QDA,$$ а также $$\angle QCD = \angle QPD = \angle QAD,$$ т.е. утверждение доказано.

В.Произволов

---

Задача из журнала «Квант» М671(1981, выпуск №3)

Задача:

Во вписанном четырёхугольнике одна диагональ делит вторую пополам. Докажите, что квадрат длины первой диагонали равен половине суммы квадратов длин всех сторон четырёхугольника.

Решение:

Пусть $a, b, c, d$ — длины сторон четырёхугольника $ABCD$, $|BO| = |OD|, |AC| = l$ (см. рисунок). По теореме косинусов

$$\begin{equation} l^2 = a^2 + b^2 — 2ab\cdot \cos\hat{B} \end{equation}$$
$$\begin{equation} l^2 = c^2 + d^2 + 2cd\cdot \cos\hat{B} \end{equation}$$

($\hat{D} = 180^\circ — \hat{B}$, поскольку четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность).

Легко заметить, что треугольники $ABC$ и $ADC$ равновелики: $S_{ABC} = S_{ADC}$ — они имеют общее основание $AC$ и равные по длине высоты, опущеные на это основание. Поэтому $\frac{1}{2}ab\cdot \sin\hat{B} = \frac{1}{2}cd\cdot \sin(180^\circ — \hat{B})$, то есть $ab = cd$. Складывая $(1)$ и $(2)$, получаем требуемое.

Задача из журнала «Квант» (1999 год, 6 выпуск)

Условие

Окружность пересекает стороны прямоугольника в восьми точках, которые последовательно занумерованы. Докажите, что площадь четырехугольника с вершинами в точках с нечетными номерами равна площади четырехугольника с вершинами в точках с четными номерами (рис. 1).

Решение

Сначала запишем вспомогательное равенство для отрезков горизонтальных сторон прямоугольника $KLMN$, выступающих за пределы окружности (рис.2):

Это равенство следует хотя бы из того, что трапеция $A_{8}A_{3}A_{4}A_{7}$ — равнобочная. Аналогично получаем другое вспомогательное равенство для отрезков вертикальных сторон: $KA_{1}+MA_{5}=LA_{2}+NA_{6}.$ Третье вспомогательное равенство получим, если приравняем произведения левых и произведения правых частей первых двух. Обозначив через $a$ длину горизонтальной стороны прямоугольника $KLMN$, а через $b$ — длину его вертикальной стороны, запишем основное равенство:
$$\begin{multline} LA_{3}\left ( b-KA_{1} \right )+NA_{7}\left ( b-MA_{5} \right )+ \\ + KA_{1}\left ( a-NA_{7} \right )+MA_{5}\left ( a-LA_{3} \right )= \\ =MA_{4}\left ( b-NA_{6} \right )+KA_{8}\left ( b-LA_{2} \right )+ \\ + LA_{2}\left ( a-MA_{4} \right )+NA_{6}\left ( a-KA_{8} \right ). \end{multline}$$

Это равенство непосредственно следует из трех вспомогательных равенств. Оно означает, что сумма площадей четырех прямоугольных треугольников $LA_{1}A_{3}$, $NA_{5}A_{7}$, $KA_{7}A_{1}$ и $MA_{3}A_{5}$ равна сумме площадей треугольников $MA_{6}A_{4}$, $KA_{2}A_{8}$, $LA_{4}A_{2}$ и $NA_{8}A_{6}.$ Но в таком случае площади четырехугольников $A_{1}A_{3}A_{5}A_{7}$ и $A_{2}A_{4}A_{6}A_{8}$ равны.

В. Произволов