12.8.1 Квадратичные формы

Определение. Квадратичной формой на

$\mathbb{R}^{n}$ называется каждая функция вида

$Q\left(h\right) = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}h^{i}h^{j},$
где

$a_{ij}$ — действительные числа. Матрица

$\left(a_{ij}\right)$ называется матрицей квадратичной формы.

Будем считать, что $a_{ij}=a_{ji},$ т. е. что матрица $\left(a_{ij}\right)$ симметрична. Заметим, что $Q$ — это многочлен второго порядка от $n$ переменных $h_{1},\cdots ,h_{n}.$ Ясно, что для любого действительного числа $t$
$Q\left(th\right) = t^{2}Q\left(h\right).$

Это свойство называется свойством однородности второго порядка.

Квадратичная форма $Q$ называется положительно определенной, если для любого $h \neq 0$ справедливо неравенство $Q\left(h\right) \gt 0.$

Аналогично, если для любого $h \neq 0$ имеем $Q\left(h\right)\lt 0,$ то такая квадратичная форма называется отрицательно определенной.

Если квадратичная форма принимает как положительные, так и отрицательные значения, то такая квадратичная форма называется неопределенной.

Если $Q\left(h\right)\geqslant 0$ для всех $h,$ то форма называется положительно полуопределенной, а если $Q\left(h\right)\leqslant 0$ для всех $h,$ то форма называется отрицательно полуопределенной.

Квадратичная форма называется знакоопределенной, если она положительно определенная или отрицательно определенная.

Пример 1. Если

$Q\left(x^{1},x^{2}\right) = (x^{1})^{2} + 2(x^{2})^{2},$ то для всех

$x^{1},x^{2}$ кроме

$x^{1}=x^{2}=0$ , имеем

$Q\left(x^{1},x^{2}\right) \gt 0,$ т.е. эта форма положительно определенная.

Пример 2. Если

$Q\left(x^{1},x^{2}\right) = (x^{1})^{2} — x^{1}x^{2} — (x^{2})^{2}$ имеем

$Q(1,0)=1, Q(0,1)= -1,$ так что эта форма неопределенная.

Пример 3. Если

$Q\left(x^{1},x^{2}\right) = (x^{1})^{2} — 2x^{1}x^{2} + (x^{2})^{2}$ положительно полуопределенная, поскольку для любых

$x^{1},x^{2}$ имеем

$Q\left(x^{1},x^{2}\right) \geqslant 0,$ но равенство

$Q\left(x^{1},x^{2}\right) = 0$ имеет место не только в точке

$x^{1}=x^{2}=0,$ а в каждой точке вида

$x^{1}=x^{2}$ .

Пример 4. Форма

$Q\left(h\right) = (h^{1})^{2} + \cdots + (h^{n})^{2} = |h|^{2},$ очевидно, положительно определенная.

Пример 5. Пусть

$Q\left(h\right) = (h^{1})^{2} + \cdots + (h^{m})^{2},$ где

$m \lt n$ . Эта форма положительно полуопределенная, поскольку

$Q(h) \geqslant 0$ , но при

$i\gt m$ значений этой формы на стандартном векторе

$e_{i}$ равно нулю.

Пример 6. Пусть

$Q\left(h\right) = (h^{1})^{2} + \cdots + (h^{m})^{2} — (h^{m+1})^{2} — \cdots — (h^{n})^{2},$ где

$m \lt n$ . Тогда эта форма неопределенная, поскольку

$Q(e_{i})=1$ при

$i\leqslant m$ и

$Q(e_{i})=-1,$ если

$i\gt m.$

Для любой квадратичной формы $Q$ $|Q(h)| \leqslant \sum_{i,j=1}^{n} |a_{i j}| |h^{i}| |h^{j}| \leqslant | h^{2} | \sum_{i,j=1}^{n} |a_{i j}| \equiv K | h^{2} |.$

Эта оценка показывает, что при $h \rightarrow 0$ квадратичная форма стремится к нулю. Если квадратичная форма знакоопределенная, то полученный порядок стремления к нулю оказывается точным. Именно, справедлива

Лемма 1. Пусть

$Q$ — положительно определенная квадратичная форма на

$\mathbb{R}^{n}$ . Тогда существует такое положительное число

$\lambda ,$ что

$Q(h) \geqslant \lambda |h|^{2} (h \subset \mathbb{R}^{n}).$

Обозначим через

$S$ единичную сферу в

$\mathbb{R}^{n},$ т.е.

$S=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} : |x|=1\right\}.$ Легко видеть, что

$S$ — замкнутое и ограниченное множество и, следовательно, компактное. Поэтому, по второй теореме Вейерштрасса, непрерывная функция

$Q$ достигает своего наименьшего значения, которое мы обозначим через

$\lambda.$ Но на

$S$ форма

$Q$ принимает положительные значения, так что

$\lambda \gt 0.$
Итак,

$Q(x)\geqslant \lambda (|x|=1).$ Если теперь

$h$ — произвольный вектор из

$\mathbb{R}^{n},$ то положим

$x = \frac{h}{|h|}.$ Тогда

$|x|=1,$ т.е.

$x$ лежит на единичной сфере, а поэтому

$Q(x)\geqslant \lambda .$ Если вместо

$x$ подставим его значение, то получим

$Q(\frac{h}{|h|})\geqslant \lambda .$ Воспользовавшись свойством однородности второго порядка для формы

$Q$ , имеем

$Q(h)\geqslant \lambda|h|^{2}.$

Теперь займемся таким вопросом. Как по матрице коэффициентов квадратичной формы судить о знакоопределенности формы? Рассмотрим подробно случай $n=2.$

Пусть $Q(h,k)=a_{11}h^{2}+2a_{12}hk+a_{22}k^{2}.$ Предположим сначала, что $a_{11}\neq 0.$ Тогда $Q(h,k)=\frac{1}{a_{11}}(a_{11}^{2} h^{2}+2a_{11}a_{12}hk+a_{11}a_{22}k^{2}) = \frac{1}{a_{11}}\left[(a_{11}h+a_{12}k)^{2}+\triangle k^{2} \right],$ где
$\triangle = a_{11}a_{22}-a_{12}^{2} = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}.$

Если $\triangle \gt 0,$ то выражение в квадратных скобках положительно для любых $h$ и $k,$ не равных одновременно нулю, т.е. $Q(h,k)\neq 0,$ причём $sign (Q(h,k)) = sign (a_{11}).$ В этом случае форма является знакоопределенной, она сохраняет свой знак.
Рассмотрим случай $\triangle \lt 0.$ Пусть, например, $k\neq 0.$ Тогда вынося за скобки $k^{2}$ и обозначая $t=\frac{h}{k},$ получаем $Q(h,k) = k^{2}\left[a_{11}t^{2}+2a_{12}t+a_{22} \right].$ Если $a_{11}\neq 0,$ то в скобках имеем квадратный трёхчлен относительно $t.$ Его дискриминант $-4\triangle \gt 0.$ Поэтому этот квадратный трёхчлен имеет различные действительные корни, а значит принимает, как и положительные, так и отрицательные значения.
Если же $a_{11}=0,$ то $a_{12}\neq 0$ (так как иначе бы получили, что $\triangle = 0$ ). Значит, в квадратных скобках линейный двучлен $2a_{12}t+a_{22},$ который также принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Итак, если $\triangle \lt 0,$ то квадратичная форма $Q$ является неопределенной.
Пусть $\triangle = 0.$ Если $a_{11}\neq 0,$ то получим $Q(h,k) = \frac{1}{a_{11}}(a_{11}h+a_{12}k)^{2}.$ Если, например, $a_{11} \gt 0,$ то всегда $Q(h,k) \geqslant 0,$ а при $h = -\frac{a_{12}k}{a_{11}}$ имеем $Q(h,k)=0.$ Это означает, что существуют ненулевые векторы, на которых форма обращается в нуль, и получаем, что форма полуопределена.
Если же $a_{11}=0,$ то в этом случае $\triangle = -a_{12}^{2}.$ Значит $a_{12}=0$ и $Q(h,k) = a_{22}k^{2}.$ Это — тоже полуопределенная форма.

Итак, если $\triangle = 0,$ то форма полуопределенная.

Окончательно приходим к следующему выводу.

Лемма 2. Пусть

$Q(h,k)=a_{11}h^{2}+2a_{12}hk+a_{22}k^{2}.$ и $\triangle = a_{11}a_{22}-a_{12}^{2}$

Тогда:

1) если $\triangle \gt 0$ , то форма $Q$ — знакоопределенная, причём $sign (Q) = sign (a_{11});$

2) если $\triangle \lt 0 ,$ то $Q$ — неопределенная форма.

2) если $\triangle = 0 ,$ то $Q$ — полуопределенная форма.

Пусть $Q(h)=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}h^{i}h^{j}$ — квадратичная форма на $\mathbb{R}^{n}$ с симметричной матрицей $\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}.$

Миноры этой матрицы, расположенные в её левом верхнем углу, называют главными минорами, т.е. главные миноры — это $\triangle_{1} = a_{11}, \triangle_{2} = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}, \cdots , \triangle_{n} =\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \cdots & \cdots & \cdots \ \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}.$

Для того, чтобы квадратичная форма $Q$ была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все её главные миноры были положительными.

Для того, чтобы квадратичная форма $Q$ была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие условия: $-\triangle_{1} \gt 0,\triangle_{2} \gt 0,\cdots ,(-1)^{n}\triangle_{n} \gt 0,$ т.е. главные миноры должны иметь чередующиеся знаки, причём первый должен быть отрицательным.

Эти два критерия здесь мы доказывать не будем.

Примеры решения задач

Найти матрицу квадратичной формы Q(x1,x2,x3)=2x21—4x1x2+x22+2x1x3—x23
Решение
1. Запишем квадратичную форму в виде $Q(x_{1},x_{2},x_{3}) = 2x_{1}^{2} — 2x_{1}x_{2} — 2x_{2}x_{1} + x_{2}^{2} + x_{1}x_{3} + x_{3}x_{1} — x_{3}^{2}.$
2. Здесь $a_{11}=2,a_{12}=-2,a_{13}=1,a_{21}=-2,a_{22}=1,a_{23}=0,a_{31}=1,a_{32}=0,a_{33}=-1,$ следовательно, матрица этой квадратичной формы есть $\begin{pmatrix} 2 & -2 &1 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1\\ \end{pmatrix}.$
Установить характер знакоопределенности квадратичной формы Q(x1,x2,x3)=4x21+6x22+2x23+6x1x2
Решение
1. Найдём матрицу квадратичной формы $A = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 0 \\ 3 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 2\\ \end{pmatrix}.$
2. Теперь проверим знакоопределенность формы по критерию Сильвестра $\triangle_{1} = 4 \gt 0, \triangle_{2} = \begin{vmatrix}4 & 3 \\3 & 6 \end{vmatrix} = 15 \gt 0, \triangle_{3} =\begin{vmatrix} 4 & 3 & 0 \\ 3 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 2\\ \end{vmatrix} = 2\cdot15 = 30 \gt 0,$ значит, квадратичная форма положительно определенная.
Найти все значения λ, при которых положительно определена квадратичная форма Q(x1,x2,x3)=2x21+λx22+5x23+4x1x2+4x1x3.
Решение
1. Найдём матрицу квадратичной формы $A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & \lambda & 0 \\ 2 & 0 & 5\\ \end{pmatrix}.$
2. Найдём главные миноры: $\triangle_{1} = 2 , \triangle_{2} = \begin{vmatrix}2 & 2 \\2 & \lambda \end{vmatrix} = 2\lambda — 4 , \triangle_{3} =\begin{vmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & \lambda & 0 \\ 2 & 0 & 5\\ \end{vmatrix} = 6\lambda — 20.$
3. По критерию Сильвестра, $Q$ положительно определена тогда и только тогда, когда $\begin{cases}2\lambda -4 \gt 0, \\6\lambda — 20 \gt 0\end{cases}\Leftrightarrow \lambda \gt \frac{10}{3}.$

Проверка знаний по пройденной теме

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме.

Задание 1 из 4

1.
Какое условие должно быть выполнено, для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной?
- Главные миноры должны иметь чередующиеся знаки, причём первый должен быть отрицательным.
- Главные миноры должны быть положительными.
- Главные миноры должны быть отрицательными.
- Ничего из выше перечисленного.
Правильно

Неправильно

Задание 2 из 4

2.

Установить соответствие между квадратичной формой и характером её знакоопределенности.

Элементы сортировки

Отрицательно определенная
Неопределенная
Положительно определенная

$Q(x_{1},x_{2})=-3x_{1}^{2}+8x_{1}x_{2}-7x_{2}^{2}$

$Q(x_{1},x_{2},x_{3})=9x_{1}^{2}+4x_{2}^{2}-12x_{1}x_{2}+4x_{1}x_{3}-8x_{2}x_{3}$

$Q(x_{1},x_{2})=13x_{1}^{2}-6x_{1}x_{2} + 5 x_{2}^{2}$

Задание 3 из 4

3.
Является ли функция $f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}$ квадратичной формой?
- Да
- Нет
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 4

4.
Вставьте пропущенные слова.
- Для того, чтобы квадратичная форма $Q$ была (отрицательно) определенной, , чтобы было выполнено следующее условие: (главные миноры) должны иметь чередующиеся знаки, причём первый должен быть отрицательным.
Правильно

Неправильно

Список использованной литературы

В. И. Коляда, А. А. Кореновский КУРС ЛЕКЦИЙ по МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ часть 1 (2009 года) глава 12.8.1 стр. 293
Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу

Теорема Вейерштрасса о равномерных приближениях непрерывных функций многочленами

Тригонометрическим многочленом степени $n$ называют бесконечно дифференцируемую и $2\pi$ -периодическую функцию $T_n(x) = \dfrac{a_0}{2} + \sum \limits_{k=1}^{n} a_k \cos kx + b_k \sin kx,$ где $a_0, a_1, \ldots, a_n, b_1, \ldots, b_n$ — некоторые вещественные числа, $a_n \cdot b_n \neq 0$ . Множество всех тригонометрических многочленов образует линейное пространство.

Теорема 1 (Вейерштрасса)

Любую непрерывную $2\pi$ -периодическую функцию можно с любой степенью точности равномерно приблизить тригонометрическим многочленом, то есть для любого $\varepsilon > 0$ найдётся такой тригонометрический многочлен $T_n(x)$ , что $\max \limits_{-\infty < x < +\infty} \left| f(x) — T_n(x) \right| < \varepsilon.$

Доказательство

Так, как сумма Фейера $\sigma_n(x)$ — это среднее арифметическое частичных сумм ряда Фурье функции $f(x)$ , которые являются тригонометрическими многочленами, то она также будет тригонометрическим многочленом. В силу теоремы Фейера, для любого $\varepsilon > 0$ найдётся сумма Фейера $\sigma_n(x)$ такая, что $\max \limits_{x \in \mathbb{R}} \left| f(x) — \sigma_n (x) \right| < \varepsilon.$

Замечание

Непрерывную функция $f(x)$ на отрезке $[-\pi, \pi]$ можно равномерно приблизить на этом отрезке тригонометрическим многочленом в том и только том случае, когда $f(\pi) = f(-\pi)$ .

Теорема 2 (Вейерштрасса)

Непрерывную на отрезке $[a, b]$ функцию $f(x)$ можно равномерно приблизить с любой степенью точности многочленом, то есть для любого $\varepsilon > 0$ найдётся многочлен $P_n(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n$ такой, что $\max \limits_{a \le x \le b} \left| f(x) — P_n(x) \right| < \varepsilon.$

Доказательство.

Пусть $[a, b] = [0, \pi]$ и чётным образом продолжим функцию $f(x)$ на отрезок $[-\pi, 0]$ , а затем на всю вещественную ось с периодом $2 \pi$ . Получим чётную, $2 \pi$ -периодическую непрерывную функцию, совпадающую с $f(x)$ на отрезке $[0, \pi]$ (рис.1).

В силу теоремы Фейера для любого $\varepsilon > 0$ найдётся тригонометрический многочлен $T_m(x)$ такой, что $\max \limits_{-\infty < x < +\infty} \left| f(x) — T_m(x) \right| < \dfrac{\varepsilon}{2}. (1)$

Каждая из функций $\sin kx$ и $\cos kx$ является аналитической и поэтому раскладывается в степенной ряд, сходящийся на всей числовой прямой. Так как $T_m(x)$ — это конечная линейная комбинация функций $\sin kx$ и $\cos kx$ , то $T_m(x)$ также раскладывается в степенной ряд, сходящийся для всех вещественных $x$ , $T_m(x) = c_0 + c_1 x + \ldots + c_n x^n + \ldots.$

Известно, что на любом отрезке $[\alpha, \beta]$ , лежащем внутри интервала сходимости, степенной ряд сходится равномерно. Следовательно, $\forall \varepsilon > 0$ существует такое $k$ , что $\max \limits_{0 \le x \le \pi} \left| T_m(x) — (c_0 + c_1 x + \ldots + c_k x^k) \right| < \dfrac{\varepsilon}{2}. (2)$

Если положить $P_k (x) = c_0 + c_1 x + \ldots + c_k x^k$ , то в силу (1) и (2) получаем $\left| f(x) — P_k(x) \right| \le \left| f(x) — T_m(x) \right| + \left| T_m(x) — P_k(x) \right| \le$ $\le \max \limits_{-\infty < x < +\infty} \left| f(x) — T_m(x) \right| + \max_{0 \le x \le \pi} \left| T_m(x) — P_k(x) \right| < \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.$

Следовательно, $\max \limits_{0 \le x \le \pi} \left| f(x) — P_k(x) \right| < \varepsilon.$

Пусть теперь функция $f(x)$ непрерывна на произвольном отрезке $[a, b]$ . Положим $F(t) = f(a + \dfrac{t}{\pi} (b — a))$ , $0 \le t \le \pi$ .

Тогда функция $F(t)$ непрерывна на $[0, \pi]$ и её можно равномерно приблизить на $[0, \pi]$ многочленом $Q_k(t)$ , т.е. $\max \limits_{0 \le t \le \pi} \left| f(a + \dfrac{t}{\pi} (b — a)) — Q_k(t) \right| < \varepsilon. (3)$

Полагая $x = a + \dfrac{t}{\pi} (b-a), P_k(x) = Q_k (\pi \dfrac{x — a}{b — a})$ ,
получаем из неравенства (3), что $\max \limits_{a \le x \le b} \left| f(x) — P_k(x) \right| < \varepsilon.$

Литература

Теорема Вейерштрасса о равномерных приближениях непрерывных функций многочленами

Тест по теме «Теорема Вейерштрасса о равномерных приближениях непрерывных функций многочленами».

Задание 1 из 5

1.
Что такое тригонометрический многочлен?
- $f(x) = f(a)+\sum \limits_{k=1}^\infty \frac{f^{(k)} (a)}{ k!} (x - a)^k$
- $T_n(x) = \dfrac{a_0}{2} + \sum \limits_{k=1}^{n} a_k \cos kx + b_k \sin kx,$ , где $a_0, a_1, \ldots, a_n, b_1, \ldots, b_n$ - некоторые вещественные числа.
Задание 2 из 5

2.
Почему $T_m(x)$ можно разложить в степенной ряд, сходящийся для всех вещественных $x$ , $T_m(x) = c_0 + c_1 x + \ldots + c_n x^n + \ldots$ ?
- Потому, что $T_m(x)$ равномерно непрерывна.
- Потому, что $T_m(x)$ бесконечно дифференцируема.
- Потому, что $T_m(x)$ - это конечная линейная комбинация функций $\sin kx$ и $\cos kx$ .
Задание 3 из 5

3.
Вставьте пропущенную фразу.
- Так, как $f(x)$ является , то сумма Фейера $\sigma_n(x)$ будет тригонометрическим многочленом.
Задание 4 из 5

4.
Какую функцию можно с любой степенью точности равномерно приблизить тригонометрическим многочленом?
- непрерывную $2\pi$ -периодическую непрерывную и $2\pi$ -периодическую
Задание 5 из 5

5.
Можно ли непрерывную функцию $f(x)$ на отрезке $[-\pi, \pi]$ равномерно приблизить на этом отрезке тригонометрическим многочленом, когда $f(\pi) = -f(\pi)$ .

Теоремы Вейерштрасса о непрерывных функциях на компактных множествах

Первая теорема Вейерштрасса

Пусть $K$ — компакт в $\mathbb{R}^{n}$ и функция $f: K\rightarrow \mathbb{R}^{m}$ непрерывна на $K$ . Тогда эта функция ограничена на $K$ .

Доказательство

В силу непрерывности $f$ , для любого $x\in K$ найдётся окрестность $U_{x}$ , такая что функция $f$ ограничена на множестве $U_{x}$ , то есть для каждого $y\in K \cap U_{x}$ справедливо неравенство $\begin{Vmatrix} f(y) \end{Vmatrix}\leq M_{x}$ , где $M_{x}$ зависит от $x$ . Совокупность открытых шаров $U_{x}$ образует открытое покрытие компактного множества $K$ . В силу компактности, из него можно выделить конечное подпокрытие $U_{x_{1}}, …, U_{x_{p}}$ . Этим шарам соответствуют числа $M_{x_{1}}, …, M_{x_{p}}$ . На каждом и этих шаров функция $f$ ограничена этим числом. Пускай $M=\max_{1\leq i\leq p}M_{x_{i}}$ . Тогда для любого $x\in K$ получим, что $\begin{Vmatrix} f(x) \end{Vmatrix}\leq M$ .

Пусть функция $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ непрерывна на $\left[a, b \right]$ . По первой теореме Вейерштрасса эта функция ограничена на $\left[a, b \right]$ .

Вторая теорема Вейерштрасса

Пусть $f: K\rightarrow \mathbb{R}$ — действительная непрерывная функция на компакте $K\subset \mathbb{R}^{n}$ . Тогда на этом множестве функция $f$ достигает своей верхней и нижней границы, то есть существуют такие $x^{‘}, x^{»}\in K$ , что

$f(x^{‘})=\sup_{x\in E}f\left(x \right)$ , $f(x^{»})=\inf_{x\in E}f\left(x \right)$ .

Доказательство

Пусть $f: E\rightarrow \mathbb{R}$ , где $E\subset \mathbb{R}^{n}$ . Функция $f$ называется ограниченной сверху на множестве $E$ , если существует такая постоянная $M$ , то для всех $x\in E$ справедливо неравенство $\begin{Vmatrix} f(x) \end{Vmatrix}\leq M$ . Каждое такое число $M$ называется верхней границей функции $f$ , а наименьшая из всех верхних границ называется точной верхней границей или верхней гранью функции $f$ и обозначается $\sup_{x\in E}f\left(x \right)$ .

Пойдём от противного. Допустим, верхняя грань не достигается, то есть для каждого $x\in K$ справедливо неравенство $f(x)<M$ , где $M$ — верхняя грань функции $f$ на $K$ .

Рассмотрим функцию $\varphi (x)=\frac{1}{M-f(x)}$ . Эта функция положительна и непрерывна в каждой точке $x\in K$ . По ранее доказанной первой теореме Вейерштрасса она ограничена, то есть существует такое число $\mu >0$ , что $\varphi (x)\leq \mu$ для любого $x\in K$ . Это означает, что $\frac{1}{M-f(x)}\leq \mu$ , или, что то же самое, $f(x)\leq M-\frac{1}{\mu}(x\in K)$ . Следовательно, число $M-\frac{1}{\mu}$ является верхней границей для функции $f$ . Но так как $\mu >0$ , то это противоречит тому, что $M$ является верхней гранью функции $f$ , то есть наименьшей из всех верхних границ.

Аналогично теорема доказывается и для нижней грани.

Пусть функция $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ непрерывна на $\left[a, b \right]$ . Тогда на этом множестве функция $f$ достигает своей верхней и нижней граней $M=f(x^{»})=\sup_{x\in E}f\left(x \right)$ , $m=f(x^{‘})=\inf_{x\in E}f\left(x \right)$ .

Пример

Пусть $f(x,y)=x^{5}+y^{4}+2x^{3}y^{2}+1$ . Будет ли $f$ ограничена на $\left[5, 7 \right]\times\left[8,9 \right]$ ?

Спойлер

$\left[5, 7 \right]\times\left[8,9 \right]$ — компактное множество (оно замкнуто и ограничено). $f(x,y)=x^{5}+y^{4}+2x^{3}y^{2}+1$ — непрерывна как композиция непрерывных функций.

Следовательно, по первой теореме Вейерштрасса $f$ ограничена на $\left[5, 7 \right]\times\left[8,9 \right]$ .

[свернуть]

Литература

Коляда В. И., Кореновский А. А., Курс лекций по математическому анализу, 2010, т. 1, с. 255-257
Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1, с. 369-370
Конспект лекций по математическому анализу Лысенко З. М.
Определение непрерывности функции
Первая теорема Вейерштрасса для случая двух переменных
Вторая теорема Вейерштрасса для случая двух переменных

Тест на знание теорем Вейерштрасса о непрерывных функциях на компакте

Тест поможет понять, как хорошо вы усвоили приведённый выше материал.

Задание 1 из 2

1.
Заполните пропуски.
- Если функция $f$ является непрерывной на множестве $R$ , то она (всегда/не всегда/никогда не) ограничена на $R$ .
  
  Если функция $f$ является непрерывной на отрезке $[a,b]$ , то её верхней границей (не всегда) (всегда/не всегда/никогда не) является один из концов этого отрезка.
Задание 2 из 2

2.
Возможно ли, чтобы непрерывная функция на компакте достигала только своей верхней грани либо только нижней?
- Нет.
- Да.
- Требует дополнительной проверки.

Вторая теорема Вейерштрасса о достижении верхней и нижней границ

Вторая теорема Вейерштрасса

Если $f\in C[a;b]$ , то она достигает своих точных граней, то есть

$\exists \xi \in [a;b]: f(\xi)= \sup\limits_{x \in [a;b]} f(x)$ и

$\exists \xi _{1}\in [a;b]: f(\xi_{1})= \inf\limits_{x \in [a;b]} f(x)$ .

Доказательство:

$\exists \xi \in [ a;b]: f(\xi)= \sup\limits_{x \in [a;b] } f(x)$
Обозначим $M=\sup f(x)$ (следует из первой теоремы Вейерштрасса)
В силу определения точной верхней грани выполняется условие: $\forall x\in [a;b]:f(x)\leq M$
$\forall \varepsilon >0\; \exists x_{\varepsilon }\in [a;b]:M-\varepsilon <f(x_{\varepsilon })$

Полагая $\varepsilon =1, \frac{1}{2},\frac{1}{3},…,\frac{1}{n},…$ получим последовательность $\left \{ x_{n} \right \}$ такую, что для всех $n\in N$ выполняются условия $\forall n\in \mathbb{N}:M-\frac{1}{n}<f(x_{n})\leq M$ откуда получаем $\lim\limits_{x \to \infty }f(x_{n})$ существует подпоследовательность $\left \{ x_{n_{k}} \right \}$ (по теореме Больцано-Вейерштрасса) последовательности $\left \{ x_{n} \right \}$ и точка $\xi$ , такие что $\lim\limits_{x \to \infty } x_{n_{k}}=\xi$ , где $\xi\in [a;b].$
В силу непрерывности функции $f$ в точке $\xi$ $\lim\limits_{x \to \infty }f(x_{n_{k}})=f(\xi )$

С другой стороны $\left \{ f(x_{n_{k}}) \right \}$ — подпоследовательность последовательности $\left \{ f(x_{n}) \right \}$ , сходящейся к числу $M.$
Поэтому $\lim\limits_{x \to \infty }f(x_{n_{k}})=M$
В силу единственности предела последовательности заключаем, что $f(\xi )=M=\sup\limits_{x \in [a;b]} f(x);$

Утверждение $\exists \xi \in [ a; b]:f(\xi)= \sup\limits_{x \in [a;b]} f(x)$ доказано.

Аналогично доказывается $\exists \xi _{1}\in [a;b]: f(\xi_{1})=\inf\limits_{x \in [a;b]} f(x)$
Функция непрерывна на интервале может не достигать своих точных граней (требовать непрерывности на сегменте существенно).

Литература

Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа.Том 1(стр. 176-178) 1968 Изд-во Наука.
Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (Тема «Свойства функций непрерывных на отрезке»).

Тест по теме «Вторая теорема Вейерштрасса»

Задание 1 из 6

1.
Продолжите условие теоремы:

Если функция непрерывна на отрезке, то она…
- достигает своих точных граней
- может не достигать своих точных граней
- не имеет сходящейся подпоследовательности
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 6

2.
Выберите правильные варианты:
- Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
- Любая ограниченная последовательность имеет хотя бы один конечный частичный предел
- Из любой непрерывной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
- Любая последовательность имеет хотя бы один конечный частичный предел
Правильно

Неправильно

Подсказка

правильными являются 2 варианта ответа
Задание 3 из 6

3.
Функция непрерывная на интервале может…
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 6

4.
Установите правильную последовательность докозательства:
- Обозначим $M= \sup f(x)$
- В силу определения точной верхней грани выполняется условие: $\forall x\in [a;b]:f(x)\leq M$
- Т.к. последовательность ограниченная , то по теореме Больцано-Вейерштрасса существует подпоследовательность $\left \{ x_{n_{k}} \right \}$
- В силу единственности предела последовательности $f(\xi )= M= \sup f(x) ; x\in [a;b]$
Правильно

Неправильно
Задание 5 из 6

5.
Дополните условие теоремы:
- Если функция , то она достигает своих
Правильно

Неправильно

Задание 6 из 6

6.

Установите соответствие:

Элементы сортировки

f є С[a;b]
f є [a;b]
lim f(x)=0 (x->a)

функция непрерывна [a;b]

функция ограничена на [a;b]

f(x)-бесконечно малая функция

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Примеры решения задач

Проверка знаний по пройденной теме

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Элементы сортировки

3.

4.

Список использованной литературы

Теорема 1 (Вейерштрасса)

Доказательство

Замечание

Теорема 2 (Вейерштрасса)

Доказательство.

Литература

Теорема Вейерштрасса о равномерных приближениях непрерывных функций многочленами

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Первая теорема Вейерштрасса

Доказательство

Вторая теорема Вейерштрасса

Доказательство

Пример

Тест на знание теорем Вейерштрасса о непрерывных функциях на компакте

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Вторая теорема Вейерштрасса

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Подсказка

3.

4.

5.

6.

Элементы сортировки