Теорема Гейне – Бореля. Чтобы множество $K \subset \mathbb{R}^n$ являлось компактным, необходимо и достаточно, чтобы $K$ было ограниченным и замкнутым.

Доказательство. Достаточность. Пусть $K$ замкнуто и ограничено. Тогда найдется сегмент $I \subset \mathbb{R}^n$, содержащий $K$. В силу леммы Гейне – Бореля, этот сегмент $I$ компактен. Поэтому, в силу свойств компактных множеств, компактно также его замкнутое подмножество $K$. Необходимость. Пусть $K$ —  компакт. Докажем, что данное множество ограничено. Обозначим через $B_s$ открытый шар с центром в точке $0$ радиуса $s$. Тогда последовательность шаров$\left\{B_s\right\}^{\infty}_{s=1}$ покрывает все пространство $\mathbb{R}^n$, а следовательно, и множество $K$. Так как $K$ компактно, следовательно, оно может быть покрыто конечным набором шаров $B_s$. Среди всех этих шаров выберем шар с наибольшим радиусом. Пусть это шар $B^{\ast}$. Тогда ясно, что $K \subset B^{\ast}$, так что $K$ ограничено. Покажем теперь, замкнутость множества $K$. Для этого достаточно показать, что любая точка $y \notin K$, не будет предельной для $K$. Итак, пусть $y \notin K$. Рассмотрим множества $G_k = c\overline{B}(y, \frac{1}{k}) (k = 1,2,…)$. Так как замкнутый шар $\overline{B}(y, \frac{1}{k})$ – множество замкнутое, следовательно его дополнение $G_k$ открыто. Кроме того, ясно, что$\bigcup^{\infty}_{k=1}G_k = \mathbb{R}^n \setminus \left\{y\right\}$. Поскольку $y \notin K$, то совокупность множеств $G_k (k = 1,2,…)$ образует открытое покрытие множества $K$. Пользуясь компактностью $K$, выберем из этого покрытия конечное подпокрытие $\left\{G_{k_1},…,G_{k_s}\right\}$ и положим $\rho = \frac{1}{max\left\{k_1,…,k_s\right\}} > 0$. Отсюда следует, что шар $B(y,\rho)$ не имеет общих точек с множеством $K$. Получаем, что точка $y$ не будет предельной для $K$. $\square$

Литература:

• В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу — Одесса, «Астропринт», 2009. (с.235)
• Портнов И.В. Понятие и критерии компактности.

 Определение: 

Функция $f(x)$, называется непрерывной в точке $x_{0}$, если  $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} f(x)=f(x_{0})$

Определение(по Коши):

Функция $f(x)$, называется непрерывной в точке $x_{0}$, если: $\forall \varepsilon > 0,\exists \delta _{\varepsilon }> 0, \forall x\in X,| x-x_{0}|<\delta :|f(x)-f(x_{0})|< \varepsilon$

Определение (по Гейне):

Функция $f(x)$, называется непрерывной в точке $x_{0}$, если для любой последовательности $\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }$, $x_{n}\in X, n\in N$, такого что, $\lim\limits_{n\rightarrow {\infty}}x_{n}=x_{0}$:

$\lim\limits_{n\rightarrow {\infty}}f(x_{n})=f(x_{0})$

Определение:

Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_{0}$, если $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta f=0$  , то есть бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Определение:

Функция $f(x)$ — непрерывна справа, если $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}+0}f(x)=f(x_{0})$ Функция $f(x)$ — непрерывна слева, если $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}-0}f(x)=f(x_{0})$ Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_{0}$, если $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}+0}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}-0}f(x)=f(x_{0})$

Замечание:

Все эти определения непрерывности функции в точке эквивалентны. Кроме того, основные элементарные функции непрерывны во всех точках своей области определения.

Пример:

1) $x_{0}\geq 0$ $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\sqrt{x}=\sqrt{x_{0}}$        ($\sqrt{x}$- непрерывна на всей области определения)

Докажем:

$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta _{\varepsilon }> 0, \forall x:|x-x_{0}|< \delta \Rightarrow |\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}}|< \varepsilon$ $|\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}}|=$ $|\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}})(\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}})}{\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}}}| =$ $|\frac{x-x_{0}}{\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}}}|=$ $\frac{|x-x_{0}|}{\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}}}\leq \frac{|x-x_{0}|}{\sqrt{x_{0}}}<$ $\frac{\delta }{\sqrt{x_{0}}}<$ $\varepsilon$ $0< \delta < \varepsilon \sqrt{x_{0}}$ ($\delta =\frac{\varepsilon \sqrt{x_{0}}}{2})$

Рекомендации:

  Учебники :

• Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ»  Том 1, Глава 1, § 5 «Непрерывность функции в точке» стр.84-89;
• Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, Глава 2, § 4 «Непрерывность и разрывы функций» стр.146-167.
•  Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Часть 1, Глава 4, § 7 «Непрерывность и предельные значения некоторых сложных функций» стр.138-143.

 Сборники задач:

• Демидович Б.П. «Сборник упражнений по математическому анализу» 13-е издание, исправленное, Отдел 1, § 7 «Непрерывность функции» стр.77-87;
• Дороговцев А.Я. «Математический анализ» Глава 3, § 2 «Непрерывные функции» стр.50-58.

Непрерывные функции

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест проверяет знания по тексту «Непрерывные функции»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 6

   Вставьте пропущенные слова:
   Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_{0}$, если

   • бесконечно (малому) (приращению) аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Подсказка
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 6

   Дополните выражение!

   • Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические функции (непрерывны) везде в своей области определения.
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 6

   Соберите определение непрерывности по Коши!

   • $$\forall \varepsilon > 0,$$
   • $$\exists \delta _{\varepsilon }> 0,$$
   • $$\forall x\in X,$$
   • $$|x-x_{0}|< \delta$$
   • $$|f(x)-f(x_{0})|< \varepsilon$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 6

   Запись $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$ не может означать, что…

   • Функция $f(x)$ определена в точке $x_{0}$ и в её окрестности;
   • Функция $f(x)$ имеет предел при $x\rightarrow x_{0}$;
   • Предел функции в точке $x_{0}$ равен значению функции в этой точке, т.е. выполняется равенство $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$;
   • Функция не имеет предела в точке $x_{0}$;
   Правильно
   

   Неправильно
   

1. Определение предела по Коши и по Гейне

Определение 1.1. (определение по Коши или на языке $\varepsilon — \delta$):

$A$ — предел функции $f(x)$ в точке $a$ (и пишут $\lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = A$), если: $\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0:\forall x: 0 < |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x) — A| < \varepsilon$
В определении допускается, что $x \neq a$, то есть $a$ может не принадлежать области определения функции.

Определение 1.2. (определение по Гейне):

$A$ называется пределом функции $f(x)$ в точке $a$, если $\forall \left \{ x_{n} \right \}\rightarrow a$, $x_n\ne a$ то есть $\lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} = a$, соответствующая последовательность значений ${f(x_{n})} \rightarrow A$, то есть $\lim\limits_{n\rightarrow \infty } f(x_{n}) = A$.

Замечание 1.1.

Из определения предела функции по Гейне следует, что функция не может иметь в точке два разные предела.

Замечание 1.2.

Понятие предела функции в точке есть локальное понятие: существование и значение предела полностью определяется значениями функции в как угодно малой окрестности этой точки.

Замечание 1.3.

$\forall x:0<|x-a|<\delta$

Данную запись в определении можно сформулировать иначе: точка $x$ принадлежит проколотой $\delta$-окрестности точки $a$($x\in \dot{U_{\delta }}(a)$)

2. Эквивалентность определений

Пусть число $A$ является пределом функции $f(x)$ в точке $a$ по Коши. Выберем произвольную подходящую последовательность $x_{n}$ , $n \in N$, то есть такую, для которой $\lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} = a$. Покажем, что $A$ является пределом по Гейне.

Зададим произвольное $\varepsilon > 0$ и укажем для него такое $\delta > 0$, что для всех $x$ из условия $0 < |x-a| < \delta$ следует неравенство $|f(x)-A | < \varepsilon$. В силу того, что $\lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} = a$, для $\delta > 0$ найдётся такой номер $n_{\delta }\in N$, что $\forall n\geq n_{\delta }$ будет выполняться неравенство $|f(x_{n})-A| < \varepsilon$, то есть $\lim\limits_{n\rightarrow \infty } f(x_{n}) = A$.

Докажем теперь обратное утверждение: предположим, что $\lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = A$ по Гейне, и покажем, что число $A$ является пределом функции $f(x)$ в точке $a$ по Коши. Предположим, что это неверно, то есть: $\exists \varepsilon_{0} > 0 \forall \delta > 0 :\exists x_{\delta }:0<|x_{\delta }-a|<\delta \Rightarrow |f(x_{\delta })-A|\geq \varepsilon$. В качестве $\delta$ рассмотрим $\delta = \frac{1}{n}$, а соответствующие значения $x_{\delta }$ будем обозначать $x_{n}$. Тогда при любом $n\in N$ выполняются условия $|x_{n}-a|<\frac{1}{n}$ и $|f(x_{n})- A | \geq \varepsilon$. Отсюда следует, что последовательность  является подходящей, но число $A$ не является пределом функции $f(x)$ в точке $a$. Получили противоречие.

3. Примеры

Пример 3.1.

а) $\lim\limits_{x\rightarrow 2 } x^{2} = 4$

$\forall \varepsilon >0\exists \delta >0:\forall x:0<|x-2|<\delta \Rightarrow |x^{2}-4|<\varepsilon$$|x^{2}-4|=|(x-2)(x+2)|=|x-2|\cdot|x+2|<5\delta <\varepsilon \Rightarrow 0<\delta <\frac{\varepsilon }{5}$ , например $\delta =\frac{\varepsilon }{6}$

б) $\forall\left \{ x_{n} \right \}\rightarrow 2$                                                                                 $\lim\limits_{n\rightarrow 2 } f(x_{n}) =\lim\limits_{n\rightarrow 2} x_{n}^{2}=4$

Пример 3.2.

Доказать, что $f(x)=\sin \frac{1}{x}$ не имеет предела в точке 0.

$\exists \left \{ {x_{n}}’ \right \}\rightarrow 0$ $\exists \left \{ {x_{n}}» \right \}\rightarrow 0$

$\left \{ f({x_{n}}’) \right \}\rightarrow A_{1}$ $\left \{ f({x_{n}}») \right \}\rightarrow A_{2}$

${x_{n}}’:\sin \frac{1}{{x_{n}}’}=0\Leftrightarrow \frac{1}{{x_{n}}’}=\pi n\Rightarrow {x_{n}}’ = \frac{1}{\pi n}\xrightarrow[ n\neq 0]{n\rightarrow \infty}0$                                                            ${x_{n}}’= \frac{1}{\pi n} \rightarrow 0:f({x_{n}}’)=0\rightarrow 0$                                                                                                ${x_{n}}»:\sin \frac{1}{{x_{n}}»}=1\Leftrightarrow \frac{1}{{x_{n}}»}=\frac{\pi }{2}+2\pi n\Rightarrow {x_{n}}» = \frac{1}{\frac{\pi }{2}+2\pi n}\xrightarrow[n\neq 0]{n\rightarrow \infty }0$                  ${x_{n}}»= \frac{1}{\frac{\pi }{2}+2\pi n} \rightarrow 0:f({x_{n}}»)=1\rightarrow 1$

Вывод: последовательность по Гейне не имеет предела.

Литература

• Математический энциклопедический словарь / Под ред. Ю. В. Прохорова. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 482—483. — 847 с.
• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу. Тема «Предел функции»
• Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления. Глава 2. Функции одной переменной. 2.52. Определение предела функции. (с. 115-117)

 Тест

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по теме Определение предела по Коши и по Гейне, их эквивалентность.

Желаем удачи!

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

• Спасибо Вам за прохождение данного теста, надеюсь вы узнали для себя что-нибудь новое!

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 10 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 2

   Может ли функция иметь два разных предела в одной и той же точке?

   • Да, может.
   • Нет, не может.
   • Затрудняюсь ответить.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 2

   Отнесите заданные функции к соответствующему критерию.

   Элементы сортировки

   • $$\sin\frac{1}{x}$$
   • $$x^{2}$$

   • Не имеет предела в точке 0.

   • Имеет предел равный 4 при $$x\rightarrow 2$$

   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 2

   Что означает следующая фраза:

   $x$ принадлежит проколотой окрестности точки $a$

   • $$0<|x-a|<\delta$$
   • $$|x-a|<\delta$$
   • $$x\in U_{\delta }(a)$$
   • $$x\in \dot{U_{\varepsilon }}(a)$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 2

   Определения по Коши и по Гейне…
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 2

   Дайте определение предела функции по Коши.

   • $$\forall \varepsilon >0$$
   • $$\exists \delta >0$$
   • $$\forall x: 0<|x-a|<\delta$$
   • $$|f(x)-A|<\varepsilon$$
   Правильно
   

   Неправильно