Задача из журнала «Квант» (1992 год, 11 выпуск)

Условие

Три хорды окружности $\gamma$ попарно пересекаются в точках $A$, $B$, $C$. Построим еще три окружности: одна касается сторон угла $CAB$ и окружности $\gamma$ (изнутри) в точке $A_{1}$, вторая — сторон угла $ABC$ и окружности $\gamma$ (изнутри) в точке $B_{1}$, третья — сторон угла $ACB$ и окружности $\gamma$ (изнутри) в точке $C_{1}$. Докажите, что три отрезка $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$ пересекаются в одной точке (рис. 1)

Решение

Пусть $\gamma_{0}$ — окружность, вписанная в треугольник $ABC$, $I$ — ее центр, $K$ — центр окружности $\gamma$, $L$ — центр гомотетии $H$, переводящей окружность $\gamma$ в $\gamma_{0}$ (точка $K$ лежит на продолжении отрезка $К_{1}$ за точку $I$, причем отношение $LI/KI$ равно отношению радиусов окружностей $\gamma$ в $\gamma_{0}$).

Докажем, что отрезок $AA_{1}$, (рис. 2) проходит через точку $L$ (точно так же мы можем рассуждать и об отрезках $ВВ_{1}$ и $СС_{1}$).Гомотетию $H$ можно рассматривать как композицию двух гомотетий: первая из них $H_{1}$ с центром $A_{1}$ переводит у в окружность $\gamma_{A}$, касающуюся окружности $\gamma$ в точке $A_{1}$, вторая $H_{2}$ с центром $А$ переводит $\gamma_{A}$ в $\gamma_{0}$ при этом, конечно, $H = H_{2} \circ H_{1}$.Тот факт, что точка $L$ лежит на прямой (даже на отрезке) $AA_{1}$, вытекает из так называемой «теоремы о трех центрах подобия»: если $H_{1}$, и $H_{2}$ — две гомотетии с коэффициентами $k_{1}$ и $k_{2}$, $k_{1} k_{2} \neq 1$, то их композиция $H = H_{2} \circ H_{1}$, — тоже гомотетия с коэффициентом $k_{1} k_{2}$, причем центры всех трех гомотетий лежат на одной прямой.

Докажем это в интересующем нас случае, когда $0<k_{1}<1$ и $0<k_{2}<1$ (при этом центр гомотетии $H$ будет лежать на отрезке, соединяющем центры гомотетий $H_{1}$ и $H_{2}$).Возьмем три точки $P$, $Q$ и $X$, не лежащие на одной прямой (рис. 3). Пусть $P_{1}=H(P)$, $Q_{1}=H(Q)$, $X_{1}=H(X)$.Треугольник $P_{1}Q_{1}X_{1}$, подобен треугольнику $PQX$, причем их сходственные стороны либо параллельны, либо лежат на одной прямой. Отсюда следует, что найдутся две стороны (пусть для определенности это будут $PQ$ и $P_{1}Q_{1}$), лежащие на несовпадающих параллельных прямых.Прямые $PP_{1}$ и $QQ_{1}$ пересекаются в некоторой точке $O$ (поскольку $P_{1}Q_{1} = kPQ < PQ$), лежащей по ту же сторону от прямой $PQ$, что и точки $P_{1}$ и $Q_{1}$.

Теперь ясно, что точки $X$ и $X_{1}$ лежат на одной прямой, причем $OX_{1}/OX = k$, т. е. $H$ — гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k=k_{1}k_{2}$. Если $O_{1}$ — центр гомотетии $H_{1}$, а $O_{2}$ — центр гомотетии $H_{2}$, то $H(O)=H_{2}(O_{1})$ лежит на отрезке $O_{1}O_{2}(k_{2} < 1$); это значит, что прямая $O_{1}O_{2}$ проходит через точку $O$, причем точки$O_{1}$ и $O_{2}$ лежат по разные стороны от точки $O$ на прямой $O_{1}O_{2}$ ($0<k_{1}<1$ и $0<k_{2}<1$). Отсюда следует, что точка $О$ лежит на отрезке $O_{1}O_{2}$. Утверждение задачи тем самым доказано — все три отрезка $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$ проходят через точку $L$.

Н.Васильев

Задача из журнала «Квант» (1982 год, 12 выпуск)

Условие

Дан неравнобедренный треугольник $A_{1}A_{2}A_{3}$. Пусть $a_{i}$ – его сторона, лежащая против вершины $A_{i}$ $(i = 1, 2, 3)$, $M_{i}$ – середина стороны $a_{i}$, $T_{i}$ – точка касания стороны с окружностью, вписанной в данный треугольник, $S_{i}$ – точка, симметричная $T_{i}$ относительно биссектрисы угла $A_{i}$ треугольника.

Докажите, что прямые $M_{1}S_{1}$, $M_{2}S_{2}$ и $M_{3}S_{3}$ имеют общую точку.

Доказательство

Стороны треугольника $M_{1}M_{2}M_{3}$ соответственно параллельны сторонам треугольника $A_{1}A_{2}A_{3}$. Мы докажем, что и стороны треугольника $S_{1}S_{2}S_{3}$ параллельны сторонам $A_{1}A_{2}A_{3}$. Отсюда вытекает, что $\triangle$$S_{1}S_{2}S_{3}$ гомотетичен $\triangle$$M_{1}M_{2}M_{3}$ или переводится в него параллельным переносом. Второй случай отпадает, ибо окружность, описанная около треугольника $M_{1}M_{2}M_{3}$, больше описанной окружности треугольника $S_{1}S_{2}S_{3}$. Следовательно, прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников $S_{1}S_{2}S_{3}$ и $M_{1}M_{2}M_{3}$, должны пересечься в одной точке — центре гомотетии.

Покажем, например, что прямые $S_{1}S_{2}$ и $A_{1}A_{2}$ параллельны (см. рисунок). При симметрии относительно биссектрисы угла $A_{1}$ точка $S_{1}$ перейдет в $T_{1}$, а $T_{3}$ — в $T_{2}$, поэтому дуги $S_{1}T_{3}$ и $T_{1}T_{2}$ вписанной окружности треугольника $A_{1}A_{2}A_{3}$ равны. Аналогично, при симметрии относительно биссектрисы угла $A_{2}$ дуга $T_{1}T_{2}$ перейдет в дугу $T_{3}S_{2}$. Следовательно, дуги $S_{1}T_{3}$ и $T_{3}S_{2}$ равны, и поэтому точки $S_{1}$ и $S_{2}$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой $A_{1}A_{2}$, то есть $S_{1}S_{2}$$\parallel$$A_{1}A_{2}$. Аналогично доказывается, что и две другие стороны треугольника $S_{1}S_{2}S_{3}$ параллельны соответствующим сторонам треугольника $A_{1}A_{2}A_{3}$.

А. П. Савин

Задача из журнала «Квант» (1981 год, 2 выпуск)

Условие

Внутри треугольника расположены окружности $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ одинакового радиуса так, что каждая из окружностей $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ касается двух сторон треугольника и окружности $\delta$. Докажите, что центр окружности $\delta$ принадлежит прямой, проходящей через центры вписанной в данный треугольник окружности и окружности, описанной около него.

Решение

Пусть $ABC$ — данный треугольник и $O_1$, $O_2$, $O_3$ — центры конгруэнтных окружностей, касающихся пар его сторон, а $O_4$ — центр четвертой окружности — той, которая касается указанны трех (см. рисунок). Длины их радиусов обозначим через $\varrho$. Треугольник $O_1O_2O_3$ гомотетичен треугольнику $ABC$, так как его стороны соответственно параллельны сторонам треугольника $ABC$. Не трудно видеть, что центром этой гомотетии будет точка $N$, являющаяся одновременно центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$, и центром окружности, вписанной в треугольник $O_1O_2O_3$. Действительно, прямые $AO_1$, $BO_2$, $CO_3$ являются биссектрисами углов как треугольника $ABC$, так и треугольника $O_1O_2O_3$, а точка $N$ — точка пересечения этих биссектрис.

Теперь заметим, что точка $O_4$ является центром окружности, описанной вокруг треугольника $O_1O_2O_3$ (её расстояния до каждой из вершин этого треугольника равно $2\varrho$).

Рассмотрим гомотетию с центром в точке $N$, переводящую треугольник $O_1O_2O_3$ в треугольник $ABC$. Точка $O_4$ переходит при этом в некоторую точку $M$, лежащую на прямой $NO_4$. Мы уже знаем, что точка $O_4$ была центром окружности, описанной вокруг треугольника $O_1O_2O_3$; следовательно, её образ — точка $M$ — будет центром окружности, описанной вокруг треугольника $ABC$. Тем самым доказано утверждение задачи.

Нетрудно вычислить величину радиуса $\varrho$ этих четырех окружностей через $r$ и $R$ — радиусы вписанной в треугольник $ABC$ окружности и окружности, описанной около него.

Заметим, что радиус окружности, вписанной в треугольник $O_1O_2O_3$, равен $r -\varrho$, а радиус окружности, описанной вокруг этого треугольника, равен $2\varrho$.

Пусть $k$ — коэффициент рассмотренной выше гомотетии. Тогда $(r — \varrho)k = r$ и $2\varrho k = R$. Выразив $k$ из каждого соотношения и приравняв полученные выражения, найдем $$\frac{r}{r-\varrho} = \frac{R}{2\varrho}\;,$$ откуда $$\varrho = \frac{rR}{R+2r}\;.$$

А.Савин