М778. Общая точка

Задача из журнала «Квант» (1982 год, 12 выпуск)

Условие

Дан неравнобедренный треугольник $A_{1}A_{2}A_{3}$. Пусть $a_{i}$ – его сторона, лежащая против вершины $A_{i}$ $(i = 1, 2, 3)$, $M_{i}$ – середина стороны $a_{i}$, $T_{i}$ – точка касания стороны с окружностью, вписанной в данный треугольник, $S_{i}$ – точка, симметричная $T_{i}$ относительно биссектрисы угла $A_{i}$ треугольника.

Докажите, что прямые $M_{1}S_{1}$, $M_{2}S_{2}$ и $M_{3}S_{3}$ имеют общую точку.

Доказательство

Стороны треугольника $M_{1}M_{2}M_{3}$ соответственно параллельны сторонам треугольника $A_{1}A_{2}A_{3}$. Мы докажем, что и стороны треугольника $S_{1}S_{2}S_{3}$ параллельны сторонам $A_{1}A_{2}A_{3}$. Отсюда вытекает, что $\triangle$$S_{1}S_{2}S_{3}$ гомотетичен $\triangle$$M_{1}M_{2}M_{3}$ или переводится в него параллельным переносом. Второй случай отпадает, ибо окружность, описанная около треугольника $M_{1}M_{2}M_{3}$, больше описанной окружности треугольника $S_{1}S_{2}S_{3}$. Следовательно, прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников $S_{1}S_{2}S_{3}$ и $M_{1}M_{2}M_{3}$, должны пересечься в одной точке — центре гомотетии.

Покажем, например, что прямые $S_{1}S_{2}$ и $A_{1}A_{2}$ параллельны (см. рисунок). При симметрии относительно биссектрисы угла $A_{1}$ точка $S_{1}$ перейдет в $T_{1}$, а $T_{3}$ — в $T_{2}$,Рисунок задачи М778 поэтому дуги $S_{1}T_{3}$ и $T_{1}T_{2}$ вписанной окружности треугольника $A_{1}A_{2}A_{3}$ равны. Аналогично, при симметрии относительно биссектрисы угла $A_{2}$ дуга $T_{1}T_{2}$ перейдет в дугу $T_{3}S_{2}$. Следовательно, дуги $S_{1}T_{3}$ и $T_{3}S_{2}$ равны, и поэтому точки $S_{1}$ и $S_{2}$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой $A_{1}A_{2}$, то есть $S_{1}S_{2}$$\parallel$$A_{1}A_{2}$. Аналогично доказывается, что и две другие стороны треугольника $S_{1}S_{2}S_{3}$ параллельны соответствующим сторонам треугольника $A_{1}A_{2}A_{3}$.

А. П. Савин

М778. Общая точка: 9 комментариев

  1. >> поэтому дуги S1T2 и T1T2 вписанной окружности треугольника A1A2A3 равны.

    Вы на рисунок свой посмотрите, равны они или нет…

    1. Спасибо за замечание, действительно, я допустила ошибку при наборе текста. Исправила: «… поэтому дуги S1T3 и T1T2 вписанной окружности треугольника A1A2A3 равны.»

      1. В Кванте официальная политика Редакции вносить ошибки во все решения, чтоб те, кто эти решения читает, немного напрягали мозги

  2. По оформлению.
    — Зачем Вам понадобилось это \ usepackage{latexsym}?
    — Вы делаете переходы на новую строку прямо в середине предложения.
    — Вы используете «запрещенные» не семантические теги BR чтобы вставить переход на новую строку и там, где этого нет к авторов.

  3. По SVG.
    — Все дополнительные линии обозначения углов должны быть заметно тоньше линий построения, а сам исходный треугольник должен быть нарисован толще линий дополнительного построения. Для этого можно использовать нецелую толщину линий, например stroke-width=»0.5″, поскольку толщина задается не в пикселях, а в абстрактных единицах чертежа.
    — Для рисования точек вы используете отрезки нулевой длины с закругленными краями. Это извращенный но остроумный способ рисования закрашенной окружности. Даже не знаю, требовать переделки или оставить так. На ваше усмотрение.

        1. Прошу прощения, мне стыдно за мою невнимательность и спешку — такого больше не повторится. Теперь я точно всё исправила.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *