Дирихле — ПриМат

Аналогом интегрирования по частям для сумм является следующее равенство, которое называют преобразованием Абеля:
$\sum_{i=1}^n\alpha_i \beta_i = \sum_{i=1}^{n-1}\left(\alpha_i — \alpha_{i+1}\right)B_i + \alpha_n B_n,$
где $B_i = \sum_{j = 1}^i\beta_j \left(i = 1,2,\ldots,n\right).$ Для его доказательства обозначим
$B_0 = 0.$ Тогда получим
$\sum_{i=1}^n\alpha_i \beta_i = \sum_{i=1}^n\alpha_i\left(B_i — B_{i-1}\right) = \sum_{i=1}^n\alpha_iB_i — \sum_{i=1}^n\alpha_iB_{i-1} =$ $= \sum_{i=1}^{n — 1}\alpha_iB_i + \alpha_nB_n — \sum_{i=1}^{n — 1}\alpha_{i + 1}B_i = \sum_{i=1}^{n — 1}\left(\alpha_i — \alpha_{i+1}\right)B_i + \alpha_nB_n,$
и тем самым завершается доказательство преобразования Абеля.

Лемма

Пусть числа $\alpha_i \left(i = 1,2,\ldots,n\right)$ монотонны (возрастают или убывают). Тогда справедливо неравенство
$\left|\sum_{i=1}^n\alpha_i \beta_i\right| \leqslant \max_{1\leqslant k\leqslant n} \left| B_k\right|\left(\left|\alpha_1\right| + 2\left|\alpha_n\right|\right)$

Применим преобразование Абеля
$\left|\sum_{i=1}^n\alpha_i \beta_i\right| = \left|\sum_{i=1}^{n — 1}\left(\alpha_i — \alpha_{i+1}\right)B_i + \alpha_nB_n\right| \leqslant$
$\leqslant \max_{1\leqslant k\leqslant n}\left| B_k\right|\left(\sum_{i=1}^{n — 1}\left|\alpha_i — \alpha_{i+1}\right| + \left|\alpha_n\right|\right) =$
$= \max_{1\leqslant k\leqslant n}\left| B_k\right|\left(\left|\alpha_1 — \alpha_n\right| + \left|\alpha_n\right|\right)\leqslant \max_{1\leqslant k\leqslant n}\left| B_k\right|\left(\left|\alpha_1\right| + 2\left|\alpha_n\right|\right),$
и тем самым лемма доказана.

Теорема (признак Абеля)

Пусть последовательность $\{a_n\}$ монотонна (возрастающая или убывающая) и ограничена, а последовательность $\{b_n\}$ такова, что сходится ряд $\sum_{n = 1}^{\infty}b_n.$ Тогда ряд $\sum_{n = 1}^{\infty}a_nb_n$ сходится.

Доказательство основано на применении критерия Коши . В силу этого критерия, нам нужно оценить отрезок Коши
$\sum_{k=n + 1}^{n + p}a_k b_k \equiv \sum_{i=1}^pa_{n + i}b_{n + i}$
Обозначим $\alpha_i = a_{n+i},\; \beta_i = b_{n+i}.$ Пользуясь леммой, получим
$\left|\sum_{k=n + 1}^{n + p}a_k b_k\right| = \left|\sum_{i=1}^p\alpha_i\beta_i\right| \leqslant \max_{1\leqslant k\leqslant p}\left| B_k\right|\left(\left|\alpha_1\right| + 2\left|\alpha_p\right|\right) =$
$= \max_{1\leqslant k\leqslant p}\left|\sum_{i=n+1}^{n+k}b_i\right|\left(\left|a_{n+1}\right| + 2\left|a_{n+p}\right|\right)\;\;\;\;\;\;\left(15.16\right)$
По условию, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ сходится. Поэтому, в силу критерия Коши, для любого $\varepsilon > 0$ найдется такой номер $N,$ что при любом $n \geqslant N$ и при любом $k \in \mathbb{N}$ справедливо неравенство $\left|\sum_{i=n+1}^{n+k}b_i\right| < \varepsilon .$ Далее, в силу
ограниченности последовательности $\{a_n\},$ найдется такое $M,$ что $\left|a_n\right| \leq M \left(n = 1,2,\ldots\right).$ Из неравенства $\left(15.16\right),$ для заданного $\varepsilon > 0$ и $n \geqslant N$ имеем
$\left|\sum_{i=n+1}^{n+p}a_ib_i\right| \leqslant 3M \cdot \varepsilon,$
где произвольное $p \in \mathbb{N}.$ Таким образом, для ряда $\sum_{i = 1}^{\infty}a_ib_i$ выполнено условие критерия Коши, в силу которого этот ряд сходится.

Теорема (признак Дирихле)

Пусть последовательность $\{a_n\}$ монотонно стремится к нулю, а последовательность $\{b_n\}$ такова, что частичные суммы $B_n = \sum_{i = 1}^{n}b_i$ ограничены, т.е существует такое $M,$ что $\left|B_n\right| \leq M \left(n = 1,2,\ldots\right).$ Тогда ряд $\sum_{n = 1}^{\infty}a_nb_n$ сходится.

В силу неравенства $\left(15.16\right),$ полученного при доказательстве предыдущей теоремы,
$\left|\sum_{k=n+1}^{n+p}a_kb_k\right| \leqslant \max_{1\leqslant k\leqslant p}\left| B_{n+k} — B_n\right|\left(\left|a_{n+1}\right| + 2\left|a_{n+p}\right|\right)\;\;\;\;\;\left(15.17\right)$
Зададим $\varepsilon > 0$ и, пользуясь условиями теоремы, найдем такой номер $N,$ что $\left|a_n\right| < \varepsilon$ при всех $n \geqslant N.$ Тогда из $\left(15.17\right)$ и из ограниченности $B_i$ следует
$\left|\sum_{k=n+1}^{n+p}a_kb_k\right| \leqslant 2M \cdot 3\varepsilon = 6M\varepsilon\;\;\left(n \geqslant N, p \in \mathbb{N}\right)$
Таким образом, для ряда $\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$ выполнено условие критерия Коши, в силу которого этот ряд сходится.

Теорема Лейбница является частным случаем признака Дирихле, в котором $a_n = u_n, b_n = \left(-1\right)^{n-1}.$

Примеры:

Доказать, что ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}\sin{n\alpha}$ сходится по Дирихле.

Решение:

Положим

$a_n = \frac{1}{n},$ тогда последовательность

$\{a_n\}_{n = 1}^{\infty}$ монотонно стремится к нулю т.к.

$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n} = 0$
$\frac{a_{n + 1}}{a_n} = \frac{n}{n + 1} < 1$

Положим также $b_n = \sin{n\alpha},$ тогда по формуле суммы синусов кратных углов получим
$\sum_{k=1}^{n}\sin{n\alpha} = \frac{\sin{\frac{n\alpha}{2}} \cdot \sin{\frac{\left(n+1\right)\alpha}{2}}}{\sin{\frac{\alpha}{2}}}, \;\; \alpha \neq 2\pi m, \;\; \left(m = 0,\pm 1,\ldots\right)$
и отсюда
$\left|\sum_{k=1}^{n}\sin{n\alpha}\right| = \left|\frac{\sin{\frac{n\alpha}{2}} \cdot \sin{\frac{\left(n+1\right)\alpha}{2}}}{\sin{\frac{\alpha}{2}}}\right| \leqslant \frac{1}{\left|\sin{\frac{\alpha}{2}}\right|} \equiv M, \;\; \alpha \neq 2\pi m, \;\; \left(m = 0,\pm 1,\ldots\right),$
что и значит что наши суммы ограничены константой $M$ . Подытожив, имеем последовательность $\{a_n\}_{n = 1}^{\infty},$ монотонно сходящуюся к $0$ и последовательность $\{b_n\}_{n = 1}^{\infty},$ частичные суммы которой ограниченны. Тогда по признаку Дирихле ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\sin{n\alpha}$ сходится.

Исследовать ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{\sin n \cdot \sin{n^2}}{n^2}$ на сходимость.

Решение:

Пусть

$\{b_n\}_{n=1}^{\infty} = \{\sin n \cdot \sin{n^2}\}_{n=1}^{\infty},$ покажем, что частичные суммы ограниченны.

$\sum_{k = 1}^{n}b_k = \sum_{k = 1}^{n}\sin k \cdot \sin{k^2} = \sum_{k = 1}^{n}\frac{\cos{\left(k — k^2\right)} — \cos{\left(k + k^2\right)}}{2} = \left(\frac{\cos0}{2} — \frac{\cos2}{2}\right) +$

$+ \left(\frac{\cos{\left(-2\right)}}{2} — \frac{\cos6}{2}\right) + \left(\frac{\cos{\left(-6\right)}}{2} — \frac{\cos12} {2}\right) + \left(\frac{\cos{\left(-12\right)}}{2} — \frac{\cos20}{2}\right) +\cdots$

$+ \left(\frac{\cos{\left(n — n^2\right)}}{2} — \frac{\cos{\left(n + n^2\right)}}{2}\right) = \frac{1}{2} — \frac{\cos{\left(n + n^2\right)}}{2}$

$\left|\sum_{k = 1}^{n}b_k\right| = \left|\frac{1}{2} — \frac{\cos{\left(n + n^2\right)}}{2}\right| \leqslant \frac{1}{2} + \frac{\left|\cos{\left(n + n^2\right)}\right|}{2} \leqslant \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$
Получили, что частичные суммы последовательности

$\{b_n\}_{n=1}^{\infty}$ в совокупности ограниченны единицей.
Теперь пусть

$\{a_n\}_{n=1}^{\infty} = \{n^2\}_{n=1}^{\infty}.$ Убедимся, что

$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ монотонно стремится к нулю.

$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n^2} = 0$
$\frac{a_{n + 1}}{a_n} = \frac{n^2}{\left(n + 1\right)^2} < 1$

Действительно, $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ монотонно стремится к нулю.
Значит ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{\sin n \cdot \sin{n^2}}{n^2}$ сходится по Дирихле.

Доказать, что ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{\sin{\frac{\pi n}{12}}}{\ln n}\cos{\frac{\pi}{n}}$ сходится по Абелю.

Решение:

Выделим в исходном ряде 2 последовательности:

$\{\frac{\sin{\frac{\pi n}{12}}}{\ln n}\}_{n=1}^{\infty}$ и

$\{\cos{\frac{\pi}{n}}\}_{n=1}^{\infty}.$ Докажем, что ряд

$\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\frac{\sin{\frac{\pi n}{12}}}{\ln n}$ сходится:
Пусть

$a_n = \frac{1}{\ln n},$ тогда последовательность

$\{a_n\}_{n = 1}^{\infty}$ монотонно стремится к нулю т.к.

$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{ln n} = 0$
$\frac{a_{n + 1}}{a_n} = \frac{\ln n}{\ln{n + 1}} < 1$

И пусть $b_n = \sin{\frac{\pi n}{12}},$ отсюда из формулы суммы синусов кратных углов следует, что
$\left|\sum_{k=1}^{n}\sin{\frac{\pi n}{12}}\right| = \left|\frac{\sin{\frac{\pi}{24} n} \cdot \sin{\left(\frac{\pi}{24}\left(n+1\right)\right)}}{\sin{\frac{\pi}{24}}}\right| \leqslant \frac{1}{\left|\sin{\frac{\pi}{24}}\right|} \equiv M,$
значит частичные суммы последовательности $\{b_n\}_{n=1}^{\infty}$ ограничены. По признаку Дирихле ряд сходится.
Последовательность $\{\cos{\frac{\pi}{n}}\}_{n=1}^{\infty}$ ограниченна единицей и монотонна т.к. косинус на промежутке $\left[\pi;0\right)$ монотонно убывает.

Оба условия признака Абеля выполнены, а значит ряд сходится.

Тест по теме: "Признаки Абеля и Дирихле"

Небольшой тест, чтобы закрепить теоретический материал.

Задание 1 из 5

1.
Для того, чтобы ряд $\sum_{n = 1}^{\infty}a_nb_n$ сходился по признаку Абеля необходимо, чтобы последовательность была $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ монотонной и ограниченной, а последовательность $\{b_n\}_{n=1}^{\infty}$ …
- Такова, что частичные суммы $B_n = \sum_{i = 1}^{n}b_i$ ограниченны
- Cтремится к нулю
- Такова, что ряд $\sum_{n = 1}^{\infty}b_n$ сходится
- Такова, что сумма ряда $\sum_{n = 1}^{\infty}b_n$ равна нулю
Правильно

Поздравляем! Это правильный ответ!

Неправильно

Увы, вы дали неверный ответ.
Задание 2 из 5

2.
Для того, чтобы ряд $\sum_{n = 1}^{\infty}a_nb_n$ сходился по Дирихле должны выполнятся 2 условия:
- Последовательность $\{a_n\}$ Монотонно стремится к нулю
- Последовательность $\{a_n\}$ стремится к нулю
- Ряд $\sum_{n = 1}^{\infty}a_nb_n$ имеет общий член $a_n$ , стремящийся к нулю
- Последовательность $\{b_n\}$ такая, что ряд $\sum_{n = 1}^{\infty}b_n$ сходится
- Последовательность $\{b_n\}$ такая, что частичные суммы $\sum_{i = 1}^{n}b_i$ ограничены
Правильно

Поздравляем! Это правильный ответ!

Неправильно

Увы, вы дали неверный ответ.
Задание 3 из 5

3.
Доказательство признака Абеля основано на применении…
Правильно

Поздравляем! Это правильный ответ!

Неправильно

Увы, вы дали неверный ответ.
Задание 4 из 5

4.
Расставить в порядке убывания выражения:
- $\max\limits_{1\leq k\leq n}\left| B_k\right|\left(\left|\alpha_1\right| + 2\left|\alpha_n\right|\right)$
- $\max\limits_{1\leq k\leq n}\left| B_k\right|\left(\left|\alpha_1 - \alpha_n\right| + \left|\alpha_n\right|\right)$
- $\left|\sum\limits_{i=1}^{n - 1}\left(\alpha_i - \alpha_{i+1}\right)B_i + \alpha_nB_n\right|$
Правильно

Поздравляем! Это правильный ответ!

Неправильно

Увы, вы дали неверный ответ.
Задание 5 из 5

5.
Вставьте пропущенное слово
- (Теорема Лейбница) является частным случаем признака Дирихле.
Правильно

Поздравляем! Это правильный ответ!

Неправильно

Увы, вы дали неверный ответ.

Теорема (признак Дирихле)

Пусть:

функция $f$ непрерывна и имеет ограниченную первообразную $F$ при $x\in[a;+\infty)$ ;
функция $g$ непрерывно дифференцируема и убывает на полуинтервале $[a;+\infty)$ ;
$\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=0.$

Тогда интеграл $I=\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx$ сходится.

Спойлер

Покажем, что функция $fg$ удовлетворяет условию Коши на промежутке $[a,+\infty)$ . Проинтегрируем эту функцию по частям:

$\int\limits_{\xi’}^{\xi»}f(x)g(x)dx=F(x)g(x)|_{\xi’}^{\xi»}-\int\limits_{\xi’}^{\xi»}F(x)g'(x)dx,$

где $\xi’,\xi»>a$ .
По первому условию теоремы можно утверждать, что:

$\begin{vmatrix}\left.\begin{matrix}(Fg)\end{matrix}\right|_{\xi’}^{\xi»}\end{vmatrix}\leq$

$M(|g(\xi’)|+|g(\xi»)|$

$\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi’}^{\xi»}F(x)g'(x)dx\end{vmatrix}\leq$

$M\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi’}^{\xi»}|g'(x)|dx\end{vmatrix}.$

Обратим внимание на то, что при $g'(x)\leq0$ выполняется $|g'(x)|=-g'(x)$ , и при $g'(x)\geq0$ выполняется $|g'(x)|=g'(x)$ . Рассмотрим эти два случая:

$I_{1}=\int\limits_{\xi’}^{\xi»}|g'(x)|dx=-\int\limits_{\xi’}^{\xi»}g'(x)dx=g(\xi’)-g(\xi»);$
$I_{1}=\int\limits_{\xi’}^{\xi»}|g'(x)|dx=\int\limits_{\xi’}^{\xi»}g'(x)dx=g(\xi»)-g(\xi’).$

Получается, что

$|I_{1}|=\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi’}^{\xi»}|g'(x)|dx\end{vmatrix}\leq(|g(\xi’)|+|g(\xi»)|).$

Тогда:

$\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi’}^{\xi»}f(x)g(x)dx\end{vmatrix}\leq2M(|g(\xi’)|+|g(\xi»)|)$ (*)

Поскольку $\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=0$ , то

$\forall\varepsilon>0\exists\delta_{\varepsilon}>0:\forall$

$x\in[\delta_{\varepsilon},+\infty)\rightarrow|g(x)|<\frac{\varepsilon}{4M}$

Для $\xi’,\xi»\in[\delta_{\varepsilon},+\infty)$ из неравенства (*) и предыдущего условия следует, что

$\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi’}^{\xi»}f(x)g(x)dx\end{vmatrix}\leq2M(\frac{\varepsilon}{4M}+\frac{\varepsilon}{4M})=\varepsilon.$

Получили, что функция $fg$ удовлетворяет условию Коши, и по критерию Коши сходимости интегралов $I=\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx$ сходится.

[свернуть]

Рассмотрим признак Абеля сходимости несобственных интегралов. Этот признак является следствием из признака Дирихле.

Теорема (признак Абеля)

Если на полуоси $[a,+\infty)$ :

функция $f$ непрерывна и интеграл $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ сходится;
функция $g$ непрерывно дифференцируема, ограничена и монотонна,

то интеграл $\int\limits_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx$ сходится.

Спойлер

Заметим, что интегралы $\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx$ и $\int_{a}^{+\infty}f(x)[-g(x)]dx$ имеют одинаковый характер сходимости. Также, в силу монотонности функции $g$ , одна из функций $g$ или $-g$ убывает.
Предположим, что убывает функция $g$ . Поскольку эта функция ограничена и монотонна, то существует конечный предел $\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=c$ . Так как функция $g$ убывает, то при $x$ стремящемся к $+\infty$ разность $g(x)-c$ тоже стремится к нулю.
Перепишем произведение функций $f$ и $g$ в следующем виде:

$f(x)g(x)=f(x)[g(x)-c]+cf(x).$

В силу сходимости интеграла $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ , интеграл $\int_{a}^{+\infty}cf(x)dx$ сходится. Из этого же условия следует, что интеграл $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ ограничен. Действительно, из существования конечного предела $\lim_{x\rightarrow+\infty}F(x)=\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ следует ограниченность функции $F$ в окрестности $U(+\infty)=\left\{x:x>b\right\}$ бесконечно удалённой точки $+\infty$ . Из непрерывности функции $F$ на сегменте $[a,b]$ следует её ограниченность. Получили, что $F$ ограничена на полуинтервале $[a,+\infty)$ . Поскольку первообразная функции $f$ это $F$ , то $f$ имеет ограниченную первообразную на $[a,+\infty)$ .
Для интеграла $\int_{a}^{+\infty}f(x)[g(x)-c]dx$ выполнены все условия признака Дирихле, следовательно этот интеграл сходится. В силу сходимости $\int_{a}^{+\infty}f(x)[g(x)-c]dx$ , интеграл $\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx$ сходится, что и требовалось доказать.

[свернуть]

Примеры

Рассмотрим интеграл $\int_{0}^{+\infty}\sin(x^2)dx$ . Исследуем его на сходимость.

Спойлер

Представим наш интеграл в виде суммы двух интегралов $\int_{0}^{\infty}=\int_{0}^{1}+\int_{1}^{\infty}$ и исследуем последний на сходимость. Запишем подынтегральное выражение в следующем виде:

$\sin(x^2)=(x\sin(x^2))(\frac{1}{x}).$

$f(x)=x\sin(x^2)$ , $g(x)=\frac{1}{x}$ . Пусть

$F(x)=\int_{1}^{x}t\sin(t^2)dt,$

и применим подстановку $z=t^2$ . Тогда

$\forall{x}:F(x)=\frac{\cos(1)-\cos(x^2)}{2},|F(x)|\leq1.$

Функция $g(x)\rightarrow0(x\rightarrow+\infty),g'(x)<0$ , а значит интеграл сходится по признаку Дирихле.

[свернуть]

Теперь рассмотрим интеграл $\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin{x}\cdot\;arctg{x}}{x^p}$ . Проверим его на сходимость.

Спойлер

Пусть $f(x)=\frac{\sin{x}}{x^p}$ , $g(x)=arctg(x)$ . Интеграл $\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ сходится по признаку Дирихле, т.к. интегралы $\begin{vmatrix}\int_{1}^{x}\sin(t)dt\end{vmatrix}\leq2$ , а $\frac{1}{x^p}$ монотонно стремится к $0$ . Функция $g(x)\rightarrow\frac{\pi}{2}(x\rightarrow+\infty),g'(x)>0$ . По признаку Абеля интеграл сходится.

[свернуть]

Литература

Тесты

Проверьте, как вы усвоили предоставленный материал.

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Метка: Дирихле

15.3.2 Признаки Абеля и Дирихле

Примеры:

Тест по теме: "Признаки Абеля и Дирихле"

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Признаки Дирихле и Абеля сходимости интегралов

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат