Допустим $z=r\cdot\left(\cos\phi+i\sin\phi\right)$ и $n$ принадлежит множеству целых чисел. Тогда можно считать, что $z^{n}=r^{n}\cdot\left(\cos\left(n\phi\right)+i\sin\left(n\phi\right)\right).$

Пусть $n=2,$ где $n\in \mathbb {Z}$ — база индукции. Тогда $z^{2}=r\cdot\left(\cos\phi+i\sin\phi\right)\cdot r\cdot\left(\cos\phi+i\sin\phi\right)=r^{2}(\cos\left(2\phi\right)+i\sin\left(2\phi\right)).$ Допустим, что теорема верна $\forall n\leqslant m, m\leqslant2$ и докажем, что она так же верна и для $n=m+1.$ Тогда $z^{m+1}=z^{m}\cdot z=r^{m}(\cos\left(m\phi\right)+i\sin\left(m\phi\right))\cdot r\cdot(\cos\phi+i\sin\phi)=$ $=r^{m+1}(\cos\left(m+1\right)\phi+i\sin\left(m+1\right)\phi).$ Для $n=1$ формула простая, а если $n=0,$ то $z=1,$ то есть $z^{0}=r^{0}\left(\cos\left(0\phi\right)+i\sin\left(0\phi\right)\right)=1\left(\cos0+i\sin0\right)=1.$ Следовательно, теорема справедлива $\forall n\geqslant0.$ Докажем, что она так же справедлива $\forall n\lt0.$ Тогда $z^{-n}=\dfrac{1}{z^{n}}=\dfrac{1}{\left(r\cdot\left(\cos\phi+i\sin\phi\right)\right)^{n}}=$ $=\dfrac{1}{r^{n}\left(\cos\left(n\phi\right)+i\sin\left(n\phi\right)\right)}=r^{-n}\dfrac{cos\left(n\phi\right)-i\sin\left(n\phi\right)}{\cos\left(n\phi\right)^{2}+\sin\left(n\phi\right)^{2}}=$ $=r^{-1}\dfrac{\cos\left(-n\phi\right)+i\sin\left(-n\phi\right)}{1}=r^{-n}\left(\cos\left(-n\phi\right)+i\sin\left(-n\phi\right)\right).$ Теорема доказана.

$\left|z^{n} \right|=\left|z \right|^{n} \forall n\in \mathbb {Z},$ $Arg\left(z^{n}\right)=n\cdot Arg\left(z\right)+2\pi k, k\in \mathbb {Z}, \forall n\in \mathbb {Z}.$

Примеры

Рассмотрим несколько примеров с использованием формулы Муавра.

Вычислить $\sqrt[5]{\dfrac{\left(-1+i\right)^{3}\cdot\left(\sqrt{3}+i\right)^{4}}{i^{1323}}}.$

Решение

Найдём сначала $r$ для $\left(-1+i\right)^{3}$ : $r=\sqrt{\left(-1\right)^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.$ Теперь найдём аргумент $z$ для $\left(-1+i\right)^{3}.$ Для этого нужно найти угол $\alpha :$ $\tan\alpha=1, \alpha=\dfrac{\pi}{4}+k\pi, k\in Z.$ Так как $\sin\alpha \lt0$ и $\cos\alpha \lt0,$ то $\alpha=\dfrac{3\pi}{4}.$
Теперь найдём $r$ и $z$ для $\left(\sqrt{3}+i\right)^{4}:$ $r=\sqrt{\sqrt{3}^{2}+1^{2}}=\sqrt{4}=2.$ Найдём $z:$
$\tan\beta=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, \beta=\dfrac{\pi}{6}+s\pi, s\in Z.$ Так как $\sin\beta\gt0$ и $\cos\beta\gt0,$ то $\beta=\dfrac{\pi}{6}.$ $\left(-1+i\right)^{3}\cdot\left(\sqrt{3}+i\right)^{4}=\left(\cos\left(\dfrac{9\pi}{4}+\dfrac{4\pi}{6}\right)\right)+i\sin\left(\dfrac{9\pi}{4}+\dfrac{4\pi}{6}\right)=$ $=\cos\dfrac{\pi}{12}+i\sin\dfrac{\pi}{12},$ $i^{1323}=-i.$ По формуле $\dfrac{\phi+2\pi k}{n},$ где $n=5,$ $k=\overline{0, 4}$ получаем: $w_{0}=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}}{5}\right)\right)=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{60}\right)+\right.$ $\left.+i\sin\left(\dfrac{\pi}{60}\right)\right),$ $w_{1}=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+2\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+2\pi}{5}\right)\right)=$ $=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{25\pi}{60}\right)+i\sin\left(\dfrac{25\pi}{60}\right)\right),$ $w_{2}=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+4\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+4\pi}{5}\right)\right)=$ $=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{49\pi}{60}\right)+i\sin\left(\dfrac{49\pi}{60}\right)\right),$ $w_{3}=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+6\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+6\pi}{5}\right)\right)=$ $=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{73\pi}{60}\right)+i\sin\left(\dfrac{73\pi}{60}\right)\right),$ $w_{4}=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+8\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+8\pi}{5}\right)\right)=$ $=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{97\pi}{60}\right)+i\sin\left(\dfrac{97\pi}{60}\right)\right).$
Вычислить $\left(\sqrt{3}+i\right)^{2020}.$

Решение

$\tan\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{3}, \alpha=\dfrac{\pi}{6}+k\pi, k\in Z.$ Так как $\sin\beta\gt0$ и $\cos\beta\gt0,$ то $\beta=\dfrac{\pi}{6}.$ $\left(\sqrt{3}+i\right)^{2020}=\left(2\left(\cos{\dfrac{\pi}{6}}+i\sin{\dfrac{\pi}{6}}\right)\right)^{2020}=$ $=2^{2020}\left(\cos\left({\dfrac{2018+2}{6}}\pi\right)+i\sin\left({\dfrac{2018+2}{6}}\pi\right)\right)=$ $=2^{2020}\left(cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin{\dfrac{\pi}{3}}\right)=2^{2020}\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).$

Смотрите также

А.И. Кострикин Введение в алгебру. Основы алгебры. — Москва: Физматлит, 1994. -320с. (с. 201-202).
Личный конспект, основанный на лекциях Г. С. Белозёрова.

Формула Муавра

Проверим как Вы усвоили материал.

Задание 1 из 5

1.
Количество баллов: 1

Рубрика: Алгебра
Верно ли $z^{n}=r^{n}\cdot(\cos(n\phi)+i\sin(n\phi))$ , если $n\in\mathbb {R}?$
- Да.
- Нет.
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 5

2.
Количество баллов: 1

Рубрика: Алгебра
Чему будет равно $\left(3 + \sqrt{3}\right)^{1939}?$
- $\left(\sqrt{3}\right)^{1939}\left(\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$
- $\left(2\sqrt{3}\right)^{1939}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + i\dfrac{1}{2}\right)$
- $\left(2\right)^{1939}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$
- $\left(2\right)^{1939}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + i\dfrac{1}{2}\right)$
Правильно

Неправильно

Задание 3 из 5

3.

Количество баллов: 1

Рубрика: Алгебра

Подставьте к каждому примеру его решение.

Элементы сортировки

$64$
$4\left(\cos{\dfrac{2\sqrt{3}}{3}}+i\sin{\dfrac{2\sqrt{3}}{3}}\right)$
$8\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}+i\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)$
$4\left(-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$\left(1+\sqrt{3}i\right)^{6}$

$\left(\sqrt{3}+i\right)^{2}$

$\left(\sqrt{3}+i\right)^{3}$

$\left(1+\sqrt{3}i\right)^{2}$

Задание 4 из 5

4.
Количество баллов: 1

Рубрика: Алгебра
Впишите правильный ответ к примеру $\left(1+\sqrt{3}i\right)^{3}.$
Правильно

Неправильно
Задание 5 из 5

5.
Количество баллов: 1

Рубрика: Алгебра
Справедлива ли формула Муавра для всех $n \lt 0?$
Правильно

Неправильно

Векторы $a$ и $b$ называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. $\left(a, b\right)=0.$

Системы $S_{1} = \langle a_{1},a_{2},…,a_{n}\rangle,$ и $S_{2} = \langle b_{1},b_{2},…,b_{n}\rangle,$ называются эквивалентными, когда векторы каждой из систем, линейно выражаются через векторы, другой системы.

Допустим, у нас есть линейно независимая система $S = \langle a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\rangle.$ Тогда всегда найдется такая система $S_{орт} = \langle b_{1},b_{2},…,b_{n}\rangle,$ которая будет эквивалентной и ортогональной к $S,$ которая получается следующим методом:

$b_{1} = a_{1},$
$b_{j} = a_{j} + \sum\limits_{i=1}^{j-1}\lambda_{ji}b_{i},\: 2\leqslant j\leqslant k,$ при $\lambda_{ji}=-\dfrac{\left(a_{j}, b_{i}\right)}{\left(b_{i}, b_{i}\right)}.$

Докажем же существование $S_{орт}$ эквивалентной $S$ с помощью индукции. При $k = 1$ $b_{1} = a_{1}.$ При $k = 2$ $\left(b_{2}, b_{1}\right) = \left(a_{2} + \lambda_{21}b_{1}, b_{1}\right) = \left(a_{2}, b_{1}\right) + \lambda_{21}\left(b_{1}, b_{1}\right) =$ $= \left(a_{2}, b_{1}\right)-\dfrac{\left(a_{2}, b_{1}\right)}{\left(b_{2}, b_{1}\right)}\left(b_{1}, b_{1}\right) = 0.$ Из чего очевидно, что $S = \langle a_{1},a_{2}\rangle$ и $S_{1} = \langle b_{1},b_{2}\rangle$ — эквивалентны.

Теперь докажем для $k = m,$ при $2\leqslant j\leqslant k$ $\left(b_{m}, b_{i}\right) = \left(a_{m} + \sum\limits_{i=1}^{m}\lambda_{mi}b_{i}, b_{i}\right) = \left(a_{m}, b_{i}\right) + \sum\limits_{i=1}^{m}\lambda_{mi}\left(b_{i}, b_{i}\right) =$ $= \left(a_{m}, b_{i}\right)-\sum\limits_{i=1}^{m}\dfrac{\left(a_{m}, b_{i}\right)}{\left(b_{i}, b_{i}\right)}\left(b_{i}, b_{i}\right) = 0.$ Как видим, по индукции мы доказали, что любой ЛНЗ системе, методом Грама-Шмидта, можно найти эквивалентную ей ортогональную систему.

Примеры решения задач

Рассмотрим примеры задач, в которых может использоваться процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Постарайтесь решить данные примеры самостоятельно, а затем сверить свое решение с приведенным.

Применяя процесс ортогонализации по Грамму-Шмидту построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов $S = \langle a_{1}, a_{2}, a_{3}\rangle.$
$a_{1} = (1, 2, 2, -1), a_{2} = (1, 1, -5, 3), a_{3} = (3, 2, 8, -7).$

Решение

Первым делом, найдем $b_{1}$ . В первом пункте пишется, что $b_{1} = a_{1}.$

Дальше найдем $b_{2}.$ Из формулы пункта 2), мы видим, что: $b_{2} = a_{2} + \lambda_{21} \cdot b_{1}, \lambda_{21} = \dfrac{\left(a_{2}, b_{1}\right)}{\left(b_{1}, b_{1}\right)},$ все необходимое для решения мы нашли, осталось только решить. Итак: $\lambda_{21} = -\dfrac{\left(a_{2}, b_{1}\right)}{\left(b_{1}, b_{1}\right)} = -\dfrac{\left(1\cdot1 + 2\cdot1 + 2\cdot\left(-5\right) + 3\cdot\left(-1\right)\right)}{\left(1\cdot1 + 2\cdot2 + 2\cdot2 + \left(-1\cdot\left(-1\right)\right)\right)} = -\left(\dfrac{-10}{10}\right) = 1,$ лямбду мы нашли, $b_{1}$ у нас есть, теперь мы можем найти $b_{2}:$ $b_{2} = a_{2} + \lambda_{21}\cdot b_{1} = (1, 1, -5, 3) + (1, 2, 2, -1) = (2, 3, -3, 2).$

Выпишем же формулу для $b_{3}:$ $b_{3} = a_{3} + \lambda_{31} \cdot b_{1} + \lambda_{32} \cdot b_{2},$ при $\lambda_{31} = -\dfrac{\left(a_{3}, b_{1}\right)}{\left(b_{1}, b_{1}\right)},\quad \lambda_{32} = -\dfrac{\left(a_{3}, b_{2}\right)}{\left(b_{2}, b_{2}\right)},$ найдем все необходимое: $\lambda_{31} = -\dfrac{\left(3\cdot1 + 2\cdot2 + 8\cdot2 + (-7)\cdot\left(-1\right)\right)}{\left(1\cdot1 + 2\cdot2 + 2\cdot2 + \left(-1\cdot\left(-1\right)\right)\right)} = -3,$ $\lambda_{32} = -\dfrac{\left(3\cdot2 + 2\cdot3 + 8\cdot\left(-3\right) + (-7)\cdot2\right)}{\left(2\cdot2 + 3\cdot3 + \left(-3\cdot\left(-3\right)\right) + 2\cdot2\right)} = 1.$ Теперь вычислим $b_{3}:$ $b_{3} = (3, 2, 8, -7)-3(1, 2, 2, -1) + 1(2, 3, -3, 2) = (2, -1, -1, 2).$
Получили ортогональный базис $S_{Орт} = \langle b_{1}, b_{2}, b_{3}\rangle$ — систему, эквивалентную данной, $S = \langle a_{1}, a_{2}, a_{3}\rangle.$ $S_{Орт} = \langle (1, 2, 2, -1), (2, 3, -3, 2), (2, -1, -1, 2)\rangle.$
Применяя процесс ортогонализации по Грамму-Шмидту построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов $S = \langle a_{1}, a_{2}, a_{3}\rangle.$
$a_{1} = (1, 1, -1, -2), a_{2} = (5, 8, -2, -3), a_{3} = (3, 9, 3, 8).$

Решение

Первым делом, найдем $b_{1}$ , $b_{1} = a_{1}.$

Дальше найдем $b_{2}.$ Из формулы пункта 2) мы видим, что: $b_{2} = a_{2} + \lambda_{21} \cdot b_{1}, \lambda_{21} = \dfrac{\left(a_{2}, b_{1}\right)}{\left(b_{1}, b_{1}\right)},$ все необходимое для решения мы нашли, осталось только решить. Итак: $\lambda_{21} = -\dfrac{\left(5\cdot1 + 8\cdot1 + \left(-2\cdot\left(-1\right)\right) + \left(-3\cdot\left(-2\right)\right)\right)}{\left(1\cdot1 + 1\cdot1 + \left(-1\cdot\left(-1\right)\right) + \left(-2\cdot\left(-2\right)\right)\right)} = -\left(\dfrac{21}{7}\right) = 3,$ лямбду мы нашли, $b_{1}$ у нас есть, теперь мы можем найти $b_{2}:$ $b_{2} = a_{2} + \lambda_{21}\cdot b_{1} = (5, 8, -2, -3) + (-3, -3, 3, 6) = (2, 5, 1, 3).$

Выпишем же формулу для $b_{3}:$ $b_{3} = a_{3} + \lambda_{31} \cdot b_{1} + \lambda_{32} \cdot b_{2},$ при $\lambda_{31} = -\dfrac{\left(a_{3}, b_{1}\right)}{\left(b_{1}, b_{1}\right)},\quad \lambda_{32} = -\dfrac{\left(a_{3}, b_{2}\right)}{\left(b_{2}, b_{2}\right)},$ найдем все необходимое: $\lambda_{31} = -\dfrac{\left(3\cdot1 + 9\cdot1 + 3\cdot\left(-1\right) + 8\cdot\left(-2\right)\right)}{\left(1\cdot1 + 1\cdot1 + \left(-1\cdot\left(-1\right)\right) + \left(-2\cdot\left(-2\right)\right)\right)} = 1,$ $\lambda_{32} = -\dfrac{\left(3\cdot2 + 9\cdot5 + 3\cdot1 + 8\cdot3\right)}{\left(2\cdot2 + 5\cdot5 + 1\cdot1 + 3\cdot3\right)} = -2.$ Теперь вычислим $b_{3}:$ $b_{3} = (3, 9, 3, 8) + 1(1, 1, -1, -2)-2(2, 5, 1, 3) = (0, 0, 0, 0).$
Получили ортогональный базис $S_{Орт} = \langle b_{1}, b_{2}, b_{3}\rangle$ — систему, эквивалентную данной, $S = \langle a_{1}, a_{2}, a_{3}\rangle.$ $S_{Орт} = \langle(1, 1, -1, -2), (2, 5, 1, 3)\rangle.$

Смотрите также

Конспект лекций по линейной алгебре. Белозёров Г.С. Евклидовы пространства
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968, Глава 8, §34, «Определение евклидова пространства. Ортонормированные базы», c.213-214
Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, Глава 3, §28, «Ортогональность», стр. 92

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта

Тест на знание темы «Процесс ортогонализации Грама-Шмидта»

Задание 1 из 5

1.
Количество баллов: 8

Рубрика: Алгебра
Любой ЛНЗ системе, методом Грама-Шмидта, можно найти эквивалентную ей ортогональную систему?
- Да
- Нет
Правильно 8 / 8Баллы

Неправильно / 8 Баллы
Задание 2 из 5

2.
Количество баллов: 32

Рубрика: Алгебра
Имея систему $S =\langle a_{1}, a_{2}\rangle$ , при $a_{1} = (1, 4, 6, 8)$ и $a_{2} = (-2, 1, 3, 4)$ , найдите ортогональный базис подпространства, натянутого на эту систему.
- $b_{1} = (1, 4, 6, 8)$
- $b_{1} = (8, 6, 4, 1)$
- $b_{1} = (5, 2, 3, -1)$
- $b_{2} = (-2, 4, 8, 16)$
- $b_{2} = (\dfrac{112}{117}, \dfrac{209}{117}, \dfrac{48}{117}, \dfrac{68}{117})$
- $b_{2} = (-\dfrac{286}{117}, -\dfrac{91}{117}, \dfrac{39}{117}, \dfrac{52}{117})$
- $b_{2} = (-\dfrac{48}{57}, -\dfrac{79}{57}, -\dfrac{36}{57}, -\dfrac{62}{57})$
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 5

3.
Количество баллов: 20

Рубрика: Алгебра
Определение эквивалентности систем.
- Две системы называются (эквивалентными), когда (векторы, вектора) каждой из систем, (линейно выражаются) через векторы, другой системы.
Правильно

Неправильно

Задание 4 из 5

Количество баллов: 30

Рубрика: Алгебра

Применяя процесс ортогонализации по Грамму-Шмидту построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов $S = \langle a_{1},a_{2},a_{3}\rangle,$ при $a_{1} = (1, -2, 5, 3);$ $a_{2} = (2, -1, -2, 3);$ $a_{3} = (-1, -3, 3, 2).$ Расставить векторы в порядке их нахождения. Если получились дроби, то надо поделить и округлить до десятых.

Элементы сортировки

$(1; -2; 5; 3)$
$(1{,}9; 0{,}8; -2{,}4; 2{,}8)$
$(1; 4{,}6; 5{,}5; 4{,}9)$

$b_{1} =$

$b_{2} =$

$b_{3} =$

Задание 5 из 5

5.
Количество баллов: 5

Рубрика: Алгебра
Как называются векторы $a$ и $b$ , скалярное произведение которых равно нулю?
Правильно

Неправильно

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Метка: доказательство по индукции

Формула Муавра

Примеры

Смотрите также

Формула Муавра

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

4.

5.

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта

Примеры решения задач

Смотрите также

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Элементы сортировки

5.

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат