Метка: дополнение множеств

Пусть множество $E \subset \mathbb{R}^n$. Тогда множество всех точек $x \in \mathbb{R}^n$, не принадлежащих множеству $E$, называется дополнением множества $E$ и обозначается $cE$ или $E^c$.

Теорема. Для того чтобы множество $E \subset \mathbb{R}^n$ было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение $G \equiv cF$ было открытым. Доказательство.
Необходимость. Пусть $E$ замкнуто и $x$ – произвольная точка из $G$. Докажем, что она будет внутренней в $G$. Поскольку $x \notin E$, то она не будет предельной точкой для $E$ и найдется такая ее окрестность $U_x$, которая не содержит ни одной точки из $E$. Следовательно, эта окрестность полностью содержится в $G$, так что $x$ – внутренняя точка множества $G$.
Достаточность. Предположим теперь, что $G$ – открыто. Докажем тогда, что $E$ замкнуто. Для этого достаточно показать, что любая точка $x$, которая не принадлежит $E$, не будет предельной для $E$. Если $x \notin E$, то $x \in G$, а так как $G$ открыто, следовательно найдется окрестность $U_x \subset G$. Она не будет содержать точек из $E$, так что $x$ не является предельной для $E$, ч. т. д.

Отношение двойственности. Пусть $\left\{ E_{\alpha} \right\}$ – произвольное семейство множеств. Тогда дополнение к объединению множеств $E_{\alpha}$ равно пересечению дополнений множеств $E_{\alpha}$, а дополнение к пересечению равно объединению дополнений, т. е. $c(\bigcup E_{\alpha}) = \bigcap(cE_{\alpha}), c(\bigcap E_{\alpha}) = \bigcup(cE_{\alpha})$.

Литература:

• В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу — Одесса, «Астропринт», 2009. (с.236)
• Учебно-методические ресурсы Петрозаводского государственного университета, курс матанализа, часть 4, глава 7 «Функции многих переменных»
• Конспект лекций З.М. Лысенко.