Двойственность открытых и замкнутых множеств

Пусть множество [latex]E \subset \mathbb{R}^n[/latex]. Тогда множество всех точек [latex]x \in \mathbb{R}^n[/latex], не принадлежащих множеству [latex]E[/latex], называется дополнением множества [latex]E[/latex] и обозначается [latex]cE[/latex] или [latex]E^c[/latex].

Теорема. Для того чтобы множество [latex]E \subset \mathbb{R}^n[/latex] было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение [latex]G \equiv cF[/latex] было открытым. Доказательство.
Необходимость. Пусть [latex]E[/latex] замкнуто и [latex]x[/latex] – произвольная точка из [latex]G[/latex]. Докажем, что она будет внутренней в [latex]G[/latex]. Поскольку [latex]x \notin E[/latex], то она не будет предельной точкой для [latex]E[/latex] и найдется такая ее окрестность [latex]U_x[/latex], которая не содержит ни одной точки из [latex]E[/latex]. Следовательно, эта окрестность полностью содержится в [latex]G[/latex], так что [latex]x[/latex] – внутренняя точка множества [latex]G[/latex].
Достаточность. Предположим теперь, что [latex]G[/latex] – открыто. Докажем тогда, что [latex]E[/latex] замкнуто. Для этого достаточно показать, что любая точка [latex]x[/latex], которая не принадлежит [latex]E[/latex], не будет предельной для [latex]E[/latex]. Если [latex]x \notin E[/latex], то [latex]x \in G[/latex], а так как [latex]G[/latex] открыто, следовательно найдется окрестность [latex]U_x \subset G[/latex]. Она не будет содержать точек из [latex]E[/latex], так что [latex]x[/latex] не является предельной для [latex]E[/latex], ч. т. д.

Отношение двойственности. Пусть [latex] \left\{ E_{\alpha} \right\} [/latex] – произвольное семейство множеств. Тогда дополнение к объединению множеств [latex]E_{\alpha}[/latex] равно пересечению дополнений множеств [latex]E_{\alpha}[/latex], а дополнение к пересечению равно объединению дополнений, т. е. [latex]c(\bigcup E_{\alpha}) = \bigcap(cE_{\alpha}), c(\bigcap E_{\alpha}) = \bigcup(cE_{\alpha})[/latex].

Литература: