Ф3. Задача о растяжении пружины

Условие

Из двух одинаковых кусков стальной проволоки свили две пружины. Диаметр витков одной из них равен $d$, другой $2d$. Первая пружина под действием груза растянулась на одну десятую своей длины. На какую часть своей длины растянется под действием того же груза вторая пружина?

Решение

Удлинение пружины равно $\Delta l = n\cdot 2d\cdot \sin\frac{\alpha}{2}$, где $n$ — число витков пружины, а $\alpha$ — угол, на который разворачиваются соседние витки пружины (Рис.). Так как удлинение пружины мало, то этот угол мал и $\sin\frac{\alpha}{2} \approx\frac{\alpha}{2}$. Поэтому $\Delta l = nd\alpha$.
Угол $\alpha$ пропорционален моментам сил $F$, которые растягивают виток: $\alpha \simeq F\cdot d$. Сила $F$ равна весу груза, подвешенного к пружине, и одинакова в обоих случаях, поэтому $\Delta l\sim nd^2$.

Диаметр витков второй пружины вдвое больше, а число витков у неё вдвое меньше, следовательно, абсолютное удлинение второй пружины вдвое больше, чем у первой. Таким образом, вторая пружина растянется на $\frac{2}{5}$ своей длины.

Многие, приславшие решение этой задачи, правильно нашли, что удлинение второй пружины в два раза больше чем первой, но забыли, что вторая пружина в двое короче, чем первая, поэтому относительное удлинение второй пружины равно не $\frac{1}{5}$, как получилось у них, а $\frac{2}{5}$.

Ф2. Задача о пружинном маятнике

Условие

На горизонтальной плоскости лежат два шарика с массами $m_1$ и $m_2$, скреплённые между собой пружиной с жёсткостью $c$. Плоскость гладкая. Шарики сдвигают, сжимая пружину, затем их одновременно отпускают. Определите периоды возникших колебаний шариков.

Решение

Центр масс системы не должен двигаться (или может двигаться равномерно и прямолинейно), поэтому шарики колеблются в противофазе с одинаковой частотой, а их отклонения $x_1$ и $x_2$ от положения равновесия удовлетворяют соотношению $c_1x_1 = c_2x_2$, где $c_1$ и $c_2$ — коэффициенты жесткости соответствующих кусков пружины длиной $l_1$ и $l_2$ ($l_1$ и $l_2$ — расстояния от шариков до центра масс системы; $$\left.l_1 = l \frac{m_2}{m_1+m_2}, l_2 = l \frac{m_1}{m_1+m_2}\right).$$

Удлинение $^1/q$-й части пружины всегда в $q$ раз меньше удлинения всей пружины, т.е. $^1/q$-я часть пружины имеет жёсткость в $q$ раз большую, чем жёсткость всей пружины. Поэтому $c = \frac{m_1+m_2}{m_2}$. Отсюда следует, что период колебаний шариков
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m_1m_2}{\left(m_1+m_2\right)c}}.$$

Интересно проверить ответ, взяв какой-нибудь предельный случай. Предположим, что масса $m_2$ очень велика: $m_2\gg m_1$. Тогда шарик с массой $m_1$ должен колебаться так, как если бы второй шар был не подвижно закреплён, и $T = 2\pi\sqrt{\frac{m_1}{c}}$.

Проверим нашу формулу
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m_1}{c\left(1+\frac{m_1}{m_2}\right)}} \simeq 2\pi\sqrt{\frac{m_1}{c}}.$$

М1787. Диафантово уравнение

Задача из журнала «Квант» (2002 год, 2 выпуск)

Условие

Пусть $ p $ и $ q $ — натуральные числа, большие 1. Известно, что $ q^3-1 $ делится на $ p $, а $ p-1 $ делится на $ q $. Докажите, что $ p = q^{\frac{3}{2}}+1 $ или $ p = q^2 + q + 1 $.

Решение

Будем рассуждать так.
Имеем $ q^3 — 1 = pk $ для некоторого $ k \geqslant 1 $. Так как $ p = 1 \pmod {q}$, то $ k = -1 \pmod {q}$, т.е. $ k = lq-1$ для некоторого $ l \geqslant 1 $. Из равенства $ \displaystyle p = \frac{(q^3-1)}{(lq-1)}$ следует, что $ l < q^2 $, а также то, что числа $ q^2-l $ и $ q-l^2 $ делятся на $ lq-1 $. Предположим теперь, что $ p \neq q^{\frac{3}{2}} + 1$ (в частности, $ l \neq q^{1/2}$). Если $ 1 < l < q, l \neq q^{\frac{1}{2}} $, то $ 0 < \left|q-l^2\right| < lq-1 $ и, следовательно, делимость $ q-l^2 $ на $ lq-1 $ невозможна. Если же $ q \leqslant l < q^2$, то $ 0 < q^2-l < lq-1$ и невозможна делимость $ q^2-l$ на $ lq-1$. Таким образом, $ l = 1$ и $p = q^2 + q + 1 $. Этим всё доказано.

Н. Осипов

M1571. О доске, монете и возможных передвижениях

Задача из журнала «Квант» (1996, №6)

Условие

Дана прямоугольная доска [latex]ABCD[/latex] со сторонами [latex]AB=20[/latex] и [latex]BC=12[/latex], разбитая на [latex]20\times12[/latex] единичных квадратов. Пусть [latex]r[/latex] — данное положительное целое число. За один ход монету можно передвинуть из одного единичного квадрата в другой в том и только том случае, когда расстояние между их центрами равно [latex]\sqrt{r}[/latex]. Требуется найти последовательность ходов, переводящую монету из единичного квадрата с вершиной [latex]A[/latex] в единичный квадрат с вершиной [latex]B[/latex].

Докажите, что это невозможно, когда [latex]r[/latex] делится на [latex]2[/latex] или на [latex]3[/latex].
Докажите, что это можно сделать при [latex]r=73[/latex].
Можно ли это сделать при [latex]r=97[/latex]?

Решение

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке [latex]A[/latex] и направим оси [latex]Ax[/latex] и [latex]Ay[/latex] вдоль отрезков [latex]AB[/latex] и [latex]AD[/latex] соответственно. Единица длины будет равна стороне единичного квадрата. Нам необходимо найти путь из точки [latex](0;0)[/latex] в точку [latex](19;0)[/latex] такой, что для каждого хода [latex](x;y)\rightarrow(x+a,y+b)[/latex] выполняется равенство [latex]a^2+b^2=r^2[/latex].

Задание №1

Если [latex]r[/latex] чётно, то для каждого целого решения уравнения [latex]a^2+b^2=r^2[/latex] сумма [latex]a+b[/latex] чётна. Для каждой точки [latex](x;y)[/latex], в которую можно попасть из [latex](0;0)[/latex], [latex]x+y[/latex] чётно. Следовательно, в точку [latex](19;0)[/latex] попасть невозможно.

Задание №2

Один из примеров продвижения монеты из [latex](0;0)[/latex] в [latex](19;0)[/latex] при [latex]r=73[/latex] такой: [latex](0;0)\rightarrow(3;8)\rightarrow(11;5)\rightarrow(19;2)\rightarrow(16;10)\rightarrow(8;7)\rightarrow(0;4)\rightarrow(8;1)\rightarrow(11;9)\rightarrow(3;6)\rightarrow(11;3)\rightarrow(19;0)[/latex]

Задание №3

Пусть [latex]R=\left\{(i;j);0\leq{i}\leq19,0\leq{j}\leq19\right\}[/latex], [latex]P=\left\{(i;j);0\leq{i}\leq49,4\leq{j}\leq7\right\}[/latex], [latex]Q[/latex] — их разность: [latex]Q=R\setminus{P}[/latex]. Так как число [latex]97[/latex] представимо в виде суммы квадратом единственным образом: [latex]9^2+4^2[/latex], то каждый ход состоит из одного из векторов [latex](\pm4;\pm9)[/latex], [latex](\pm9;\pm4)[/latex]. Ход типа [latex](\pm9;\pm4)[/latex] приводит нас в точку [latex]Q[/latex] из точки из множества [latex]P[/latex] и наоборот, тогда как ход [latex](\pm4;\pm9)[/latex] не выводит нас из множества [latex]Q[/latex] (заметим, что за один шаг нашими ходами нельзя попасть из точки из [latex]P[/latex] в точку из [latex]P[/latex]). Каждый ход типа [latex](\pm9;\pm4)[/latex] изменяет чётность [latex]x[/latex]-координаты, поэтому, чтобы попасть из [latex](0;0)[/latex] в [latex](19;0)[/latex], требуется нечётное число таких ходов. Каждый такой ход от точки из [latex]P[/latex] в точку из [latex]Q[/latex] и наоборот. Значит после нечётного числа ходов из точки [latex](0;0)\in{Q}[/latex] попадаем в точку из [latex]P[/latex], но [latex](19;0)\in{Q}[/latex]. Поэтому требуемое невозможно.

Д. Терешин

M1231. О разбиении плоскости графиками многочленов второй степени

Условие

На какое наибольшее число частей могут разбить плоскость [latex]Oxy[/latex] графики [latex]n[/latex] квадратных трехчленов вида [latex]y=ax^{2}+bx+c (n=1, 2, 3, …)[/latex]?

Ответ: [latex]n^{2}+1[/latex].

Решение

Докажем по индукции, что число частей не превосходит [latex]n^{2}+1[/latex]. Для [latex]n=1[/latex] это ясно: парабола делит плоскость на две части.
Пусть доказано, что [latex]n-1[/latex] графиков делят плоскость не более, чем на [latex](n-1)^{2}+1[/latex] частей. Проведем последний, [latex]n[/latex]-й график. Он пересекается с каждым из [latex]n-1[/latex] предыдущих максимум в двух точках, т.е. он будет разбит не более чем на [latex]2(n-1)+1=2n+1[/latex] кусков (включая два крайних, уходящих в бесконечность). Каждый из этих кусков параболы делит одну из имеющихся частей плоскости на две. Таким образом, при проведении последней параболы число частей увеличится не более чем на [latex]2n+1[/latex], т.е. не превзойдет [latex](n-1)^{2}+1+2n+1=n^{2}+1[/latex].

Легко строится пример, когда все графики попарно пересекаются в двух точках (см. рисунок) — при этом получится максимальное число частей, указанное в ответе.
Точно такие же образом можно подсчитать максимальное число частей, на которые делят плоскость [latex]n[/latex] прямых, [latex]n[/latex] окружностей и т.п.

Н.Васильев