Processing math: 100%

Метка: конечные приращения

Формула конечных приращений Лагранжа

Теорема (Формула конечных приращений Лагранжа)

Если функция f∈C[a,b] и дифференцируема на интервале (a,b), то ∃θ∈(0,1), f(a)−f(b)=f′(x0)(b−a), где x0=a+θ(b−a).

Геометрический смысл (для случая одной переменной): на дуге графика данной функции, соединяющей точки (a,f(a)) и (b,f(b)), найдется точка (c,f(c)), (и, возможно, не одна), в которой касательная к графику функции параллельна хорде, соединяющей концы дуги.

RealyfinalVersion — копия

Доказательство

Рассмотрим функцию φ(x)=f(x)+λx где число λ выберем таким, чтобы выполнялось условие φ(a)=φ(b), т.е. f(a)+λa=f(b)+λb. Отсюда находим: λ=−f(b)−f(a)b−a.

Так как функция φ(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируется на интервале (a,b) и принимает равные значения на концах этого интервала то, по теореме Ролля, существует точка x0∈(a,b) такая, что φ′(x0)=f′(x0)+λ=0. Отсюда получаем, что f′(x0)=f(b)−f(a)b−a, или f(b)−f(a)=f′(x0)(b−a). ◻

[spoilergroup]

Спойлер

[/spoilergroup]

Использованная литература

Рекомендованная литература

Тест

Формула конечных приращений Лагранжа

Теста на знание формулы конечных приращений Лагранжа

Таблица лучших: Формула конечных приращений Лагранжа

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Геометрический смысл формулы Лагранжа и её следствия

Сама теорема здесь.

Формулировка

f(b)−f(a)b−a — угловой коэффициент секущей, которая проходит через точки A(a,f(a)) и B(b,f(b)) графика функции y=f(x), а f′(ξ) — угловой коэффициент касательной к графику в точке (ξ,f(ξ)). Поэтому теорема Лагранжа имеет следующую геометрическую интерпретацию: существует значение ξ∈(a,b) такое, что касательная к графику функции y=f(x) в точке (ξ,f(ξ)) параллельна секущей, соединяющей точки A(a,f(a)) и B(b,f(b)).

  1. Следствие

    Если а дифференцируема на (a,b) и f'(x)=0 ∀x∈(a,b) то f(x)=c=const на (a,b)

    Его доказательство:

    Возьмем ∀x∈(a,b) и зафиксируем [x,x0]⊂(a,b) ([x0,x]⊂(a,b)) Применим формулу конечных приращений Лагранжа на отрезке [x,x0]
    f(x)−f(x0)=f′(ξ)(x−x0)⇒f(x)=f(x0), ∀x∈(a,b).

  2. Следствие

    Если функция дифференцируема на (a,b) и f'(x)=k=const. ∀x∈(a,b)⇒f(x)=(kx+b) — линейная функция

    Его доказательство:

    Применяя теорему Лагранжа к функции f а на отрезке [a,x]⊂[a,b]: f(x)−f(a)=f′(ξ)(x−a). f(x)−f(a)=k(x−a). f(x)=kx+b.b=f(a)−ka

lag

  1. Следствие

    Пусть φ(x)

    1. Непрерывна на [a,b];
    2. Дифференцируема на (a,b) (кроме быть может некоторой точки x0∈(a,b))
    3. ∃limx→x0φ‘(x)

    Тогда ∃φ‘(x0), причем эта производная равна limx→x0φ‘(x)

    Его доказательство:

    Пусть limx→x0φ‘(x)=A, a<x<b, x≠x0. По Теореме Лагранжаφ(x)−φ(x0)=φ‘(ξ)(x−x0), где ξ∈(x0,x)∪ξ∈(x,x0)⇒ φ‘(ξ)=φ(x)−φ(x0)x−x0. (Будем считать, что функция однозначна) ξ=ξ(x):x0<ξ(x)<x⇒limx→x0ξ(x)=x0⇒limx→x0φ‘(ξ)=A=limx→x0φ(x)−φ(x0)x−x0=φ‘(x0)

Пример

Найти функцию Θ=Θ(x0,Δx) такую, что f(x0+Δx)−f(x0)=Δxf(x0+ΘΔx), если f(x)=ax2+bx+c,a≠0

Спойлер

Геометрический смысл формулы Лагранжа и её следствия

Этот тест разработан для лучшего усвоения знаний

Литература

Теорема Коши (обобщенная формула конечных приращений)

Формулировка

Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируемы на интервале (a,b), причем g′(x)≠0 во всех точках этого интервала, то найдется хотя бы одна точка ξ∈(a,b) такая, что f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ).

Доказательство

Рассмотрим функцию φ(x)=f(x)+λg(x), где число λ выберем таким, чтобы выполнялось равенство φ(a)=φ(b), которое равносильно следующему:
f(b)−f(a)+λ(g(b)−g(a))=0.

Заметим, что g(b)≠g(a), так как в противном случае согласно Теореме Ролля существовала бы точка c∈(a,b) такая, что g′(c)=0 вопреки условиям данной теоремы. Из равенства f(b)−f(a)+λ(g(b)−g(a))=0 следует, что λ=−f(b)−f(a)g(b)−g(a).

Так как функция φ при любом λ непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b), а при значении λ, определяемом предыдущей формулой, принимает равные значения в точках a и b, то по теореме Ролля существует точка ξ∈(a,b) такая, что φ‘(ξ)=0, т.е. f′(ξ)+λg′(ξ)=0, откуда f′(ξ)g′(ξ)=−λ. Из этого равенства и формулы λ=−f(b)−f(a)g(b)−g(a) следует f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ).

  1. Замечание. Теорема Лагранжа — частный случай теоремы Коши (g(x)=x).
  2. Замечание. Теорему Коши нельзя получить используя теорему Лагранжа отдельно к числителю и к знаменателю.

Теорема Коши (обобщенная формула конечных приращений)

Правильно ли вы поняли обобщенную теорему Лагранжа?

Литература

  • Конспект лекций Лысенко З.М.
  • Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр.157-158