Processing math: 100%

Формула конечных приращений Лагранжа

Определение

Выпуклой областью называется открытое множество, любые две точки которого можно соединить отрезком, лежащим в области.

Теорема (Формула конечных приращений Лагранжа)

Пусть функция [latex] f(x) [/latex] дифференцируема в выпуклой области [latex] G\subset\mathbb{R}^{n} [/latex]. Тогда для любых двух точек [latex] x= \left ( x_{1},…,x_{n} \right )\in G[/latex], [latex]y= \left ( y_{1},…,y_{n} \right )\in G [/latex] найдется такое число [latex] \theta \in \left(0,1 \right ) [/latex], что
f(y)f(x)=ni=1fxi(x+θ(yx)(yixi)).          (1)

Формула [latex](1)[/latex] называется формулой конечных приращений Лагранжа.

Доказательство

Пусть точки [latex] x,y \in G [/latex]. Так как область [latex]G[/latex] выпукла, то отрезок, соединяющий точки [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex], лежит в области [latex]G[/latex]. Поэтому определена функция одной переменной:

[latex] \varphi (t) = f(x_{1}+t(y_{1}-x_{1}),…,x_{n}+t(y_{n}-x_{n})), 0\leqslant t\leqslant 1 [/latex]. [latex](2)[/latex]

По теореме о производной сложной функции [latex]\varphi (t)[/latex] — дифференцирума на отрезке [latex][0,1][/latex] и очевидно, что [latex] \varphi (0) = f(x)[/latex], [latex]\varphi (1) = f(y) [/latex]. По правилу нахождения производной сложной функции имеем:

φ(t)=ni=1fx(x1+t(y1x1),,xn+t(ynxn))(yixi).      (3)

Применим к функции [latex] \varphi(t) [/latex] формулу приращений Лагранжа для функции одной переменной. Получаем, что найдется число [latex] \theta \in \left(0,1 \right ) [/latex] такое, что [latex] \varphi(1) — \varphi(0) = \varphi{}’ (\theta ) [/latex]. Используя формулы [latex](2)[/latex] и [latex](3)[/latex], теперь легко получаем формулу [latex](1)[/latex].[latex]\square [/latex]

[spoilergroup]

Спойлер

[/spoilergroup]

Литература

Тест

Формула конечных приращений Лагранжа

Теста на знание формулы конечных приращений Лагранжа


Таблица лучших: Формула конечных приращений Лагранжа

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Формула конечных приращений Лагранжа

Теорема (Формула конечных приращений Лагранжа)

Если функция [latex] f\in C[a,b] [/latex] и дифференцируема на интервале [latex](a,b)[/latex], то [latex] \exists \theta \in (0,1)[/latex], [latex]f(a)-f(b)=f{}'(x_{0} )(b-a)[/latex], где [latex] x_{0}=a+ \theta(b-a)[/latex].

Геометрический смысл (для случая одной переменной): на дуге графика данной функции, соединяющей точки [latex](a,f(a))[/latex] и [latex](b,f(b))[/latex], найдется точка [latex](c,f(c))[/latex], (и, возможно, не одна), в которой касательная к графику функции параллельна хорде, соединяющей концы дуги.

RealyfinalVersion — копия

Доказательство

Рассмотрим функцию [latex]\varphi (x)=f(x)+\lambda x[/latex] где число [latex]\lambda[/latex] выберем таким, чтобы выполнялось условие [latex]\varphi (a)=\varphi (b)[/latex], т.е. [latex]f(a)+\lambda a=f(b)+\lambda b[/latex]. Отсюда находим: [latex]\lambda =-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/latex].

Так как функция [latex]\varphi (x)[/latex] непрерывна на отрезке [latex][a,b][/latex], дифференцируется на интервале [latex](a,b)[/latex] и принимает равные значения на концах этого интервала то, по теореме Ролля, существует точка [latex]x_{0}\in (a,b)[/latex] такая, что [latex]\varphi{}'(x_{0})=f{}'(x_{0})+\lambda =0[/latex]. Отсюда получаем, что [latex]f{}'(x_{0})=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} [/latex], или [latex]f(b)-f(a)=f{}'(x_{0})(b-a). [/latex] [latex]\square [/latex]

[spoilergroup]

Спойлер

[/spoilergroup]

Использованная литература

Рекомендованная литература

Тест

Формула конечных приращений Лагранжа

Теста на знание формулы конечных приращений Лагранжа

Таблица лучших: Формула конечных приращений Лагранжа

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Остатки формулы Тейлора



Остаток формулы Тейлора (стандартное обозначение- latexrn(x0,x)) можно определить, как:
  1. Погрешность, которая возникает при замене функции latexy=f(x) многочленом latexPn(x0,x). Если выполнены условия теоремы о представлении формулы latexf в виде многочлена Тейлора, то для значений latexx из окрестности точки latexx0, для которых погрешность latexrn(x0,x) достаточно мала, многочлен latexPn(x0,x) дает приближенное представление функции.
  2. (На рисунке) Разница значений функции latexf(x) и выражающим её многочленом Тейлора в точке latexx0:latexf(x)Pn(x0,x)=rn(x0,x) (уклонение полинома latexPn от функции latexf(x)).

r(x0,x)

Существует 3 основных представления остаточного члена:

  1. В форме Лагранжа: rn(x0,x)=f(n+1)(x+θ(xx0))(n+1)!(xx0)n+1, latex0<θ<1. 
  2. В форме Коши: rn(x0,x)=f(n+1)(x0+θ1(xx0))n!(1θ1(xx0))n(xx0)n+1, latex0<θ1<1. 
  3. В форме Пеано: rn(x0,x)=o((xa)n),  при latexxa.

Примеры:

  1. Написать разложение функции latexesin(x) до latexx3 с остатком в форме Пеано.
    Спойлер
  2. [свернуть]

  • Вычислить предел, используя формулу Тейлора: limx01+2tg(x)ex+x2arctg(x)sin(x)
    Спойлер
  • Список литературы:

    1. Г.М.Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 1, 1962 год, стр. 246-257.
    2. Тер-Крикоров А. М. Шабунин М. И. «Курс математического анализа» 3 издание 2001 года, стр. 158-172
    3. Л. Д. Кудрявцев «Курс математического анализа 1» стр. 339-353
    4. Варятанян Г. М. Математический анализ. Часть 1(3). 2009 с. 44-46

    Формула Тейлора. Виды остаточных членов.


    Таблица лучших: Остатки формулы Тейлора

    максимум из 30 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных