Определение
Выпуклой областью называется открытое множество, любые две точки которого можно соединить отрезком, лежащим в области.
Теорема (Формула конечных приращений Лагранжа)
Пусть функция [latex] f(x) [/latex] дифференцируема в выпуклой области [latex] G\subset\mathbb{R}^{n} [/latex]. Тогда для любых двух точек [latex] x= \left ( x_{1},…,x_{n} \right )\in G[/latex], [latex]y= \left ( y_{1},…,y_{n} \right )\in G [/latex] найдется такое число [latex] \theta \in \left(0,1 \right ) [/latex], что
f(y)−f(x)=n∑i=1∂f∂xi(x+θ(y−x)(yi−xi)). (1)
Формула [latex](1)[/latex] называется формулой конечных приращений Лагранжа.
Доказательство
Пусть точки [latex] x,y \in G [/latex]. Так как область [latex]G[/latex] выпукла, то отрезок, соединяющий точки [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex], лежит в области [latex]G[/latex]. Поэтому определена функция одной переменной:
[latex] \varphi (t) = f(x_{1}+t(y_{1}-x_{1}),…,x_{n}+t(y_{n}-x_{n})), 0\leqslant t\leqslant 1 [/latex]. [latex](2)[/latex]
По теореме о производной сложной функции [latex]\varphi (t)[/latex] — дифференцирума на отрезке [latex][0,1][/latex] и очевидно, что [latex] \varphi (0) = f(x)[/latex], [latex]\varphi (1) = f(y) [/latex]. По правилу нахождения производной сложной функции имеем:
φ′(t)=n∑i=1∂f∂x(x1+t(y1−x1),…,xn+t(yn−xn))(yi−xi). (3)
Применим к функции [latex] \varphi(t) [/latex] формулу приращений Лагранжа для функции одной переменной. Получаем, что найдется число [latex] \theta \in \left(0,1 \right ) [/latex] такое, что [latex] \varphi(1) — \varphi(0) = \varphi{}’ (\theta ) [/latex]. Используя формулы [latex](2)[/latex] и [latex](3)[/latex], теперь легко получаем формулу [latex](1)[/latex].[latex]\square [/latex]
[spoilergroup]
[/spoilergroup]
Литература
Тест
Формула конечных приращений Лагранжа
Теста на знание формулы конечных приращений Лагранжа
Таблица лучших: Формула конечных приращений Лагранжа
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |