Формула конечных приращений Лагранжа

Определение

Выпуклой областью называется открытое множество, любые две точки которого можно соединить отрезком, лежащим в области.

Теорема (Формула конечных приращений Лагранжа)

Пусть функция [latex] f(x) [/latex] дифференцируема в выпуклой области [latex] G\subset\mathbb{R}^{n} [/latex]. Тогда для любых двух точек [latex] x= \left ( x_{1},…,x_{n} \right )\in G[/latex], [latex]y= \left ( y_{1},…,y_{n} \right )\in G [/latex] найдется такое число [latex] \theta \in \left(0,1 \right ) [/latex], что
$f(y)-f(x)= \sum _{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left (x+\theta \left ( y-x \right )\left ( y_{i}-x_{i} \right ) \right ).\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

Формула [latex](1)[/latex] называется формулой конечных приращений Лагранжа.

Доказательство

Пусть точки [latex] x,y \in G [/latex]. Так как область [latex]G[/latex] выпукла, то отрезок, соединяющий точки [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex], лежит в области [latex]G[/latex]. Поэтому определена функция одной переменной:

[latex] \varphi (t) = f(x_{1}+t(y_{1}-x_{1}),…,x_{n}+t(y_{n}-x_{n})), 0\leqslant t\leqslant 1 [/latex]. [latex](2)[/latex]

По теореме о производной сложной функции [latex]\varphi (t)[/latex] — дифференцирума на отрезке [latex][0,1][/latex] и очевидно, что [latex] \varphi (0) = f(x)[/latex], [latex]\varphi (1) = f(y) [/latex]. По правилу нахождения производной сложной функции имеем:

$\varphi{}’ (t)=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x}\left ( x_{1}+t(y_{1}-x_{1}),…,x_{n}+t(y_{n}-x_{n}) \right )\left ( y_{i}-x_{i} \right ). \ \ \ \ \ \ (3)$

Применим к функции [latex] \varphi(t) [/latex] формулу приращений Лагранжа для функции одной переменной. Получаем, что найдется число [latex] \theta \in \left(0,1 \right ) [/latex] такое, что [latex] \varphi(1) — \varphi(0) = \varphi{}’ (\theta ) [/latex]. Используя формулы [latex](2)[/latex] и [latex](3)[/latex], теперь легко получаем формулу [latex](1)[/latex].[latex]\square [/latex]

[spoilergroup]

Спойлер

Доказать, что [latex]\left | \arctan x_{2} -\arctan x_{1} \right |\leqslant \left | x_{2}-x_{1} \right |[/latex], [latex]x_{1}\in \mathbb{R}[/latex], [latex]x_{2}\in \mathbb{R}[/latex]. (*)
По теореме Лагранжа для функции [latex]\arctan x[/latex] на отрезке с концами [latex]x_{1}[/latex] и [latex]x_{2}[/latex] находим
$\arctan x_{2} — \arctan x_{1}=\frac{1}{1+\xi ^{2}}(x_{2}-x_{1}),$
откуда получаем [latex]\left | \arctan x_{2}-\arctan x_{1} \right |=\frac{\left | x_{2}-x_{1} \right |}{1+\xi ^{2}}\leqslant \left | x_{2}-x_{1} \right |[/latex], так как [latex]0<\frac{1}{1+\xi^{2}}\leqslant 1[/latex].
Полагая в соотношении (*) [latex]x_{2}=x[/latex], [latex]x_{1}=0[/latex], получаем
[latex]\left | \arctan x \right |\leqslant \left | x \right |[/latex], [latex]x\in \mathbb{R}[/latex],
и, в часности,
[latex]0\leqslant \arctan x\leqslant x[/latex], [latex]x\geqslant 0[/latex].

[свернуть]

[/spoilergroup]

Литература

Конспект лекций Лысенко З.М.
Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр.251-252
Л.Д.Кудрявцев, Курс Математического Анализа, Том 2, стр.248-252.

Тест

Формула конечных приращений Лагранжа

Теста на знание формулы конечных приращений Лагранжа

Задание 1 из 2

1.
Количество баллов: 4

Рубрика: Математический анализ
В каком случае формула конечных приращений Лагранжа написана правильно? Выберете один вариант.
- $f(x)-f(y)= \sum _{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left (x+\theta \left ( y-x \right )\left ( y_{i}-x_{i} \right ) \right )$
- $f(y)-f(x)= \sum _{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left (x+\theta \left ( y-x \right )\left ( y_{i}-x_{i} \right ) \right )$
- $f(y)-f(x)= \sum _{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left (x+\theta \left ( x-y \right )\left (x_{i}+ y_{i} \right ) \right )$
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 2

2.
Количество баллов: 6
Допшите правильно оставшиеся части формулы конечных приращений Лагранжа
[latex]\sum _{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left (x+\theta \left ( y-x \right )\left ( y_{i}-x_{i} \right ) \right )=[/latex]…….
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Формула конечных приращений Лагранжа

максимум из 10 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Формула конечных приращений Лагранжа

Теорема (Формула конечных приращений Лагранжа)

Если функция [latex] f\in C[a,b] [/latex] и дифференцируема на интервале [latex](a,b)[/latex], то [latex] \exists \theta \in (0,1)[/latex], [latex]f(a)-f(b)=f{}'(x_{0} )(b-a)[/latex], где [latex] x_{0}=a+ \theta(b-a)[/latex].

Геометрический смысл (для случая одной переменной): на дуге графика данной функции, соединяющей точки [latex](a,f(a))[/latex] и [latex](b,f(b))[/latex], найдется точка [latex](c,f(c))[/latex], (и, возможно, не одна), в которой касательная к графику функции параллельна хорде, соединяющей концы дуги.

Доказательство

Рассмотрим функцию [latex]\varphi (x)=f(x)+\lambda x[/latex] где число [latex]\lambda[/latex] выберем таким, чтобы выполнялось условие [latex]\varphi (a)=\varphi (b)[/latex], т.е. [latex]f(a)+\lambda a=f(b)+\lambda b[/latex]. Отсюда находим: [latex]\lambda =-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/latex].

Так как функция [latex]\varphi (x)[/latex] непрерывна на отрезке [latex][a,b][/latex], дифференцируется на интервале [latex](a,b)[/latex] и принимает равные значения на концах этого интервала то, по теореме Ролля, существует точка [latex]x_{0}\in (a,b)[/latex] такая, что [latex]\varphi{}'(x_{0})=f{}'(x_{0})+\lambda =0[/latex]. Отсюда получаем, что [latex]f{}'(x_{0})=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} [/latex], или [latex]f(b)-f(a)=f{}'(x_{0})(b-a). [/latex] [latex]\square [/latex]

[spoilergroup]

Спойлер

Доказать, что [latex]\ln (1+x)\leqslant x[/latex], [latex]x>0[/latex] (*),
[latex]\left | \arctan x_{2} -\arctan x_{1} \right |\leqslant \left | x_{2}-x_{1} \right |[/latex], [latex]x_{1}\in \mathbb{R}[/latex], [latex]x_{2}\in \mathbb{R}[/latex]. (**)
а) Применяя теорему Лагранжа к функции [latex]f(x)=\ln (1+x)[/latex] на отрезке [latex][0,x][/latex], где [latex]x>0[/latex], получаем [latex]\ln(1+x)=\frac{1}{1+\xi }x[/latex], откуда следует неравенство (*), так как [latex]0<\xi<x[/latex].
б) По теореме Лагранжа для функции [latex]\arctan x[/latex] на отрезке с концами [latex]x_{1}[/latex] и [latex]x_{2}[/latex] находим
$\arctan x_{2} — \arctan x_{1}=\frac{1}{1+\xi ^{2}}(x_{2}-x_{1}),$
откуда получаем [latex]\left | \arctan x_{2}-\arctan x_{1} \right |=\frac{\left | x_{2}-x_{1} \right |}{1+\xi ^{2}}\leqslant \left | x_{2}-x_{1} \right |[/latex], так как [latex]0<\frac{1}{1+\xi^{2}}\leqslant 1[/latex].
Полагая в соотношении (**) [latex]x_{2}=x[/latex], [latex]x_{1}=0[/latex], получаем
[latex]\left | \arctan x \right |\leqslant \left | x \right |[/latex], [latex]x\in \mathbb{R}[/latex],
и, в часности,
[latex]0\leqslant \arctan x\leqslant x[/latex], [latex]x\geqslant 0[/latex].

[свернуть]

[/spoilergroup]

Использованная литература

Конспект лекций Лысенко З.М.
Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр.153-154
Л.Д.Кудрявцев, Курс Математического Анализа, Том 1, стр.318-323

Тест

Формула конечных приращений Лагранжа

Теста на знание формулы конечных приращений Лагранжа

Задание 1 из 2

1.
Количество баллов: 4

Рубрика: Математический анализ
В каком случае формула конечных приращений Лагранжа написана правильно? Выберете один вариант.
- $f(x)-f(y)= \sum _{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left (x+\theta \left ( y-x \right )\left ( y_{i}-x_{i} \right ) \right )$
- $f(y)-f(x)= \sum _{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left (x+\theta \left ( y-x \right )\left ( y_{i}-x_{i} \right ) \right )$
- $f(y)-f(x)= \sum _{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left (x+\theta \left ( x-y \right )\left (x_{i}+ y_{i} \right ) \right )$
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 2

2.
Количество баллов: 6
Допшите правильно оставшиеся части формулы конечных приращений Лагранжа
[latex]\sum _{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left (x+\theta \left ( y-x \right )\left ( y_{i}-x_{i} \right ) \right )=[/latex]…….
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Формула конечных приращений Лагранжа

максимум из 10 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Остатки формулы Тейлора

Остаток формулы Тейлора (стандартное обозначение- $latex r_{n} (x_{0},x)$ ) можно определить, как:

Погрешность, которая возникает при замене функции $latex y=f(x)$ многочленом $latex P_{n}(x_{0},x) .$ Если выполнены условия теоремы о представлении формулы $latex f$ в виде многочлена Тейлора, то для значений $latex x$ из окрестности точки $latex x_{0},$ для которых погрешность $latex r_{n}(x_{0},x)$ достаточно мала, многочлен $latex P_{n}(x_{0},x)$ дает приближенное представление функции.
(На рисунке) Разница значений функции $latex f(x)$ и выражающим её многочленом Тейлора в точке $latex x_{0} :$ $latex f(x)-P_{n}(x_{0},x)=r_{n}(x_{0},x)$ (уклонение полинома $latex P_{n}$ от функции $latex f(x)$ ).

Существует 3 основных представления остаточного члена:

В форме Лагранжа: $\large r_{n} (x_{0},x)=\frac{f^{(n+1)}(x+\theta(x-x_{0}))}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1} , \$ $latex 0< \theta < 1 .$ $\$
В форме Коши: $\large r_{n} (x_{0},x) =\frac{f^{(n+1)}(x_{0}+\theta_{1}(x-x_{0}))}{n!}(1-\theta_{1}(x-x_{0}))^{n}(x-x_{0})^{n+1} , \$ $latex 0< \theta_{1} < 1 .$ $\$
В форме Пеано: $\large r_{n} (x_{0},x) =o((x-a)^{n}) , \$ при $latex x\rightarrow a .$

Примеры:

Написать разложение функции $latex e^{\sin (x)}$ до $latex x^{3}$ с остатком в форме Пеано.

Спойлер

$e^{\sin (x)}=1+\sin (x)+\frac{1}{2} \sin ^{2}(x)+\frac{1}{6}\sin ^{3}(x)+o(\sin ^{3}(x))$ Ввиду эквивалентности бесконечно малых $latex x$ и $latex \sin (x)$ это все равно, что $latex o(x^{3}) ,$ то есть:
$latex e^{\sin (x)}=1+\sin (x)+$ $latex \frac{1}{2} \sin ^{2}(x)+$ $latex \frac{1}{6} \sin ^{3}(x)+o(x^{3}) \sin(x)=$ $latex x-\frac{1}{6}x^{3}+o(x^{4}) \Rightarrow$ $latex e^{sin(x)}=1+(x-\frac{1}{6} x^{3} )+$ $latex \frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{6}x^{3}+o(x^{3})$
Член с $latex x^{3}$ аннулируется и, окончательно, имеем: $e^{ \sin (x)}=1+x+\frac{1}{2}x^{2}+o(x^{3})$ $\$

[свернуть]

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Определение

Теорема (Формула конечных приращений Лагранжа)

Доказательство

Литература

Тест

Формула конечных приращений Лагранжа

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Таблица лучших: Формула конечных приращений Лагранжа

Теорема (Формула конечных приращений Лагранжа)

Доказательство

Использованная литература

Рекомендованная литература

Тест

Формула конечных приращений Лагранжа

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Таблица лучших: Формула конечных приращений Лагранжа

Существует 3 основных представления остаточного члена:

Примеры:

Список литературы:

Навигация (только номера заданий)

Информация

Формула Тейлора. Виды остаточных членов.

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Таблица лучших: Остатки формулы Тейлора