Свойства сопряженного оператора

Рассмотрим свойства сопряженного оператора, которые связывают его с исходным линейным оператором:

$\Theta^*=\Theta$ $($ в том случае, если $\Theta \in \Omega\left(X\right)),$
$E=E^*,$
${\left(A^* \right)}^*=A,$
$\lambda A=\overline{\lambda} A^*, \ \forall \lambda \in C,$
$\left(A+B\right)^*=A^*+B^*,$
$\left(AB\right)^*=B^*A^*,$
${\left(A^{-1} \right)}^*={\left(A^*\right)}^{-1}.$

Заметим, что операторы $A$ и $B$ — произвольные, а черта над $\lambda$ означает комплексное сопряжение.

За исключением первых двух свойств, доказательство которых тривиально, докажем остальные свойства. Все они легко доказываются по одному шаблону, используя свойства линейных операторов, определение сопряженного оператора и свойства скалярного произведения.

$\left(A^*\right)^*=A$

$\forall x \in X$ и $\forall y \in Y$ имеем:
$\left({\left(A^*\right)}^*x,y\right)=$ (по определению сопряженного оператора) $=\left(x,A^*y\right)= \overline{\left(A^*y,x\right)}=$ (по определению сопряженного оператора) $= \overline{\left(y,Ax\right)} = \overline {\overline{\left(Ax,y\right)}} = (Ax,y).$

Получили равенство $\left({\left(A^*\right)}^*x,y\right)=\left(Ax,y\right).$ Так как данное равенство выполняется для $\forall y \in Y,$ то получаем ${\left(A^*\right)}^*x = Ax.$ Аналогично, так как равенство выполняется для $\forall x \in X,$ то ${\left(A^*\right)}^*=A.$
$\lambda A=\overline{\lambda} A^*, \ \forall \lambda \in C$

Если $A$ действует из $X \to Y,$ то $A^* \colon Y \to X$ и тогда $\overline{\lambda} A^*$ действует из $Y \to X.$ Рассмотрим скалярное произведение:

$\left(x, \overline{\lambda} \left(A^*y\right)\right) =$ (по определению операции над линейными операторами) $= \left(x,\left(\overline{\lambda} A^*\right)y\right) =$ (по свойству линейного оператора) $= \left(\left(\lambda A \right)x,y\right) = \lambda \left(Ax,y\right) =$ (по определению сопряженного оператора) $= \lambda \left(x,A^*y\right) =$ (по свойству скалярного произведения в унитарных пространствах) $= \left(x, \overline{\lambda} \left(A^*y\right)\right) =$ (по операции умножения линейного оператора на константу) $= \left(x, \left(\overline{\lambda} A^*\right)y\right).$

Так как для $\forall x \in X,$ выполняется равенство $\left(x,\left(\lambda A\right)^*y\right) = \left(x, \left(\overline{\lambda} A^*\right)y\right),$ получаем $\left(\lambda A\right)^*y=\left(\overline{\lambda} A^*\right)y.$ И так как полученное равенство выполняется для $\forall y \in Y,$ то получаем $\left(\lambda A\right)^* = \overline{\lambda} A^*.$
$\left(A+B\right)^*=A^*+B^*$

$\forall x \in X$ и $\forall y \in Y$ имеем:

$\left(\left(A+B\right)x,y\right)=$ (по определению операции сложения линейных операторов) $= \left(Ax+Bx,y\right) =$ (по свойству скалярного произведения) $= \left(Ax,y\right) + \left(Bx,y\right) =$ (по определению сопряженного оператора) $= \left(x,A^*y\right) + \left(x,B^*y\right) =$ (по по свойству скалярного произведения) $= \left(x,A^*y+B^*y\right) =$ (по определению операции сложения линейного оператора) $= \left(x,\left(A^*+B^*\right)y\right).$

Получили $\left(x\left(A+B\right),y\right) = \left(x,\left(A^*+B^*\right)y\right),$ или же $\left(x,\left(A+B\right)^*y\right) = \left(x,\left(A^*+B^*\right)y\right).$ Так как полученное равенство выполнимо $\forall x \in X,$ $\left(A+B\right)^*y = \left(A^*+B^*\right)y.$ И так как равенство также выполнимо для $\forall y \in Y,$ $\left(A+B\right)^* = \left(A^*+B^*\right).$
$\left(AB\right)^*=B^*A^*$

Для доказательства этого свойства необходимо взять три унитарных пространства — $\left(X,C\right), \left(Y,C\right), \left(Z,C\right),$ и пусть существуют операторы $A \in \Omega\left(Z,Y\right),$ $B \in \Omega\left(X,Z\right),$ где $AB \in \Omega\left(X,Y\right).$ Следовательно, по определению сопряженного оператора, $A^* \in \Omega\left(Y,Z\right),$ $B \in \Omega\left(Z,X\right),$ и $B^*A^* \in \Omega\left(Y,X\right).$ Так же, пусть $\forall x \in X$ и $\forall y \in Y.$ Тогда:

$\left(x,\left(AB\right)^*y\right) =$ (по определению сопряженного оператора) $= \left(\left(AB\right)x,y\right) =$ (по свойству скалярного произведения в унитарном пространстве) $=\left(A\left(Bx\right),y\right) =$ (по определению сопряженного оператора) $=\left(Bx,A^*y\right) =$ (по определению сопряженного оператора) $=\left(x,B^*\left(A^*y\right)\right) =$ (по свойству скалярного произведения в унитарном пространстве) $=\left(x,\left(B^*A^*\right)y\right).$

Кратко запишем из равенства выше: $\left(x,\left(AB\right)^*y\right) = \left(x,\left(B^*A^*\right)y\right).$ Следовательно, так как равенство выполнимо для $\forall x \in X,$ $\left(AB\right)^*y = \left(B^*A^*\right)y.$ И так как равенство выполнимо для $\forall y \in Y,$ $\left(AB\right)^* = \left(B^*A^*\right).$
${\left(A^{-1} \right)}^*={\left(A^*\right)}^{-1}$

Для этого доказательства нам потребуется обратимый оператор $A.$ Так же следует доказать обратимость оператора $A^*,$ но она следует из равенства единственности в теореме о существовании и единственности сопряженного оператора. Теперь, пусть $\forall x,y \in X,$ $\exists u,v \in X,$ для которых выполняется $Au=x,$ $A^*v=y.$ Составим равенство:

$\left(x,{\left(A^{-1}\right)}^*y \right) =$ (по определению сопряженного оператора) $= \left(A^{-1}x,y\right) =$ (по условию) $= \left(u,A^*v \right) =$ (по определению сопряженного оператора) $= \left(Au,y\right) =$ (по условию) $= \left(x,{\left(A^*\right)}^{-1}y\right).$

Следуя шаблону решений, так как равенство выполняется для $\forall x \in X,$ получаем ${\left(A^{-1}\right)}^*y = {\left(A^*\right)}^{-1}y,$ и так как это равенство выполняется $\forall y \in Y,$ получаем ${\left(A^{-1}\right)}^* = {\left(A^*\right)}^{-1}.$

Примеры решения задач

Найти сопряженный оператор для $AB+C.$

Решение

Воспользуемся $5$ -м и $6$ -м свойствами сопряженного оператора для решения этого примера. Тогда, $\forall x \in X,$ $\forall y \in Y,$ запишем равенство:

$\left(\left(AB+C\right)x,y\right) =$ (по определению операции сложения линейных операторов) $= \left(\left(AB\right)x+Cx,y\right) =$ (по свойству скалярного произведения) $=\left(\left(AB\right)x,y\right)+\left(Cx,y\right)=$ (для первой части воспользуемся свойством скалярного произведения в унитарном пространстве, а для второй — определением сопряженного оператора) $= \left(A\left(Bx\right),y\right)+\left(x,C^*y\right)=$ (для первой части воспользуемся определением сопряженного оператора) $=\left(Bx,A^*y\right)+\left(x,C^*y\right)=$ (для первой части воспользуемся определением сопряженного оператора) $=\left(x,B^*A^*y\right)+\left(x,C^*y\right)=$ (по по свойству скалярного произведения) $=\left(x,B^*A^*y+C^*y\right)=$ (по определению операции сложения линейного оператора) $=\left(x,\left(B^*A^*+C^*\right)y\right).$

Ответ: $\left(x,\left(B^*A^*+C^*\right)y\right).$

[свернуть]
Доказать, что $\left(\lambda A+BC\right)^*=\left(\overline{\lambda} A^*+C^*B^*\right).$

Решение

Доказываем по аналогии с доказательством свойств сопряженного оператора. А именно, пользуясь определением операции сложения линейных операторов, свойством скалярного произведения в унитарных пространствах, определением сопряженного оператора и $4$ -м свойством сопряженного оператора. Тогда $\forall x \in X,$ и $\forall y \in Y:$

$\left(\left(\lambda A+BC\right)x,y \right)=\left(\left(\lambda A\right)x+\left(BC\right)x,y\right)=$ $=\left(\left(\lambda A\right)x,y\right)+\left(\left(BC\right)x,y\right)= \lambda \left(Ax,y\right)+\left(B\left(Cx\right),y\right)=$ $= \lambda \left(x,A^*y\right)+\left(Cx,B^*y\right)=\left(x,\left(\overline{\lambda} A^*\right)y\right)+\left(x,\left(C^*B^*\right)y\right)=$ $=\left(x,\left(\overline{\lambda} A^*\right)y+\left(C^*B^*\right)y\right)=\left(x,\left(\overline{\lambda} A^*+C^*B^*\right)y\right).$

Получаем, что: $\left(x,\left(\lambda A+BC\right)^*y\right)=\left(x,\left(\overline{\lambda} A^*+C^*B^*\right)y\right).$ Так как равенство выполняется $\forall x \in X \Rightarrow$ $\left(\lambda A+BC\right)^*y=\left(\overline{\lambda} A^*+C^*B^*\right)y.$ И так как равенство выполняется $\forall y \in Y \Rightarrow$ $\left(\lambda A+BC\right)^*=\left(\overline{\lambda} A^*+C^*B^*\right).$

[свернуть]
Найти сопряженный оператор для $\overline{\lambda} B+ \lambda CD+{\left(A^*\right)}^*.$

Решение

Доказываем пользуясь определением операции сложения линейных операторов, свойством скалярного произведения в унитарных пространствах, определением и свойствами сопряженного оператора.

$\left(\overline{\lambda} B+ \lambda CD+{\left(A^*\right)}^*x,y \right)=\left(\left(\overline{\lambda} B\right)x + \left(\lambda CD\right)x + Ax,y\right) =$ $=\left(\left(\overline{\lambda} B\right)x,y\right) + \left(\left(\lambda CD\right)x,y\right) + \left(Ax,y\right) = \overline{\lambda} \left(Bx,y\right) + \lambda \left(C\left(Dx\right),y\right) +$ $+ \left(Ax,y\right) = \overline{\lambda} \left(x,B^*y\right) + \lambda \left(x,\left(D^*C^*\right)y\right) + \left(x,A^*y\right) = \left(x,\left( \lambda B^*\right)y\right) +$ $+ \left(x,\left( \overline{\lambda} D^*C^*\right)y\right) + \left(x,A^*y\right) = \left(x,\left( \lambda B^*\right)y + \left( \overline{\lambda} D^*C^*\right)y + A^*y\right) =$ $= \left(x,\left(\lambda B^* + \overline{\lambda} D^*C^* + A^*\right)y\right).$

Ответ: $\left(x,\left(\lambda B^* + \overline{\lambda} D^*C^* + A^*\right)y\right).$

[свернуть]

Свойства сопряженного оператора

Тест на знание темы «Свойства сопряженного оператора»

Смотрите также

Личный конспект, составленный на основе лекций Г. С. Белозерова.
Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, Глава 9, $§$ 75, «Сопряженный оператор» (стр. 241)
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984, Глава 13, $§$ 4, «Евклидово и унитарное пространства» (стр. 356)
Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: изд. московского ун-та, 1990, Часть 2, Глава 5, $§$ 30, «Линейные отображения евклидовых пространств. Изоморфизмы. Сопряженные операторы»(стр. 269-271)

Сопряженный оператор: существование и единственность

Пусть $X,Y$ — унитарные пространства. Отображение $Y \to X$ называется линейным оператором $A^*,$ с оператором $A,$ действующим из $X \to Y,$ если для любых $x \in X$ и $y \in Y$ выполняется условие: $\left(Ax,y\right)_y=\left(x,A^*y\right)_x.$

Так как определение не может гарантировать существование сопряженного оператора, введем следующую теорему.

Пусть $X,Y$ — унитарные пространства. Для всякого линейного оператора $A,$ действующего из $X \to Y,$ существует и притом единственный сопряженный ему оператор $A^*,$ действующий из $Y \to X.$

Доказательство. Единственность. В любом пространстве можно выбрать ортонормированный базис, то есть базис, векторы которого попарно ортогональны (произведение любых двух не равных векторов будет равно

$0$ ). Тогда длины всех векторов будут равны

$1.$ Обозначим этот базис как

$\langle e_1, e_2,…, e_m\rangle.$ Пусть

$A^*$ — линейный оператор, действующий из пространства

$Y \to X,$ сопряженный с оператором

$A.$ Возьмем произвольный вектор из пространства

$Y.$ Образ этого вектора будет принадлежать пространству

$X,$ а значит может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов пространства

$X.$ Тогда

$A^*y = \sum_{j=1}^m \left(A^*y,e_j\right)e_j =$ (по свойству скалярного произведения) $= \sum_{j=1}^m \overline{\left(e_j,A^*y\right)}e_j =$ (по определению сопряженного оператора) $= \sum_{j=1}^m \overline{\left(Ae_j,y\right)}e_j =$ (по свойству скалярного произведения) $= \sum_{j=1}^m \overline{ \overline{\left(y,Ae_j\right)}}e_j = \sum_{j=1}^m \left(y, Ae_j\right)e_j.$

Получили отображение, которое может быть задано единственным образом. Прослеживается это через вектор $A^*y \in X,$ который может быть однозначно определен правой частью полученного соотношения, если применить к нему теорему о координатах вектора в ортонормированном базисе (скалярное произведение двух векторов в ортонормированном базисе равно сумме попарных произведений координат этих векторов).

С помощью полученного равенства можем определить линейное отображение $A^*,$ ибо для $\forall \alpha, \beta \in C$ и $\forall y_1,y_2 \in Y$

$A^*\left(\alpha y_1+\beta y_2 \right) = \sum_{j=1}^m \left(\alpha y_1+\beta y_2,Ae_j \right)e_j = \\ = \alpha\sum_{j=1}^m \left(y_1,Ae_j \right)e_j + \beta\sum_{j=1}^m \left(y_2,Ae_j \right)e_j = \alpha A^*y_1+\beta A^*y_2.$

Проверим, что оператор $A^*,$ заданный равенством выше, удовлетворяет определению сопряженного оператора, то есть $\forall x \in X, \forall y \in Y$

$\left(Ax,y\right)=$ (согласно разложению вектора $x$ по ортонормированному базису) $= \left(A \sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right)e_i,y \right) =$ (по определению линейного оператора) $= \left(\sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right)Ae_j,y \right) =$ (по свойству скалярного произведения) $= \sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right)\left(Ae_j,y\right).$

Найдем скалярное произведение:

$\left(x,A^*y\right)=$ (согласно разложению вектора $x$ по ортонормированному базису и полученному ранее равенству) $= \left(\sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right)e_i, \sum_{j=1}^m \left(y, Ae_j \right)e_j \right) =$ (по свойству скалярного произведения) $= \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^m \left(x,e_i \right) \overline{\left(y,Ae_j \right)}\left(e_i,e_j \right)=$ (по свойству скалярного произведения) $=\sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right) \overline{\left(y,Ae_i \right)} = \sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right) \overline{\overline{\left(Ae_i,y\right)}} = \sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right)\left(Ae_i,y\right).$

Получили $\left(Ax,y\right)=\left(x,A^*y\right).$ Следовательно, оператор $A^*,$ определенный в равенстве, удовлетворяет определению сопряженного оператора, и полученные результаты совпадают.

Примеры решения задач

Пусть оператор $A$ действует в некотором геометрическом пространстве векторов, и задан следующим равенством $Ax=\left[a,x\right].$ Найти сопряженный оператор.

Решение

Для решения возьмем произвольные вектора $x,y,$ так, что:

$\left(Ax,y\right) = \left(\left[a,x\right],y\right) = \left \langle a,x,y \right \rangle = \left \langle x,y,a \right \rangle = \left(x,\left[y,a\right]\right) = \left(x,A^*y\right).$

Получили, что $A^*y = \left[y,a\right] = -\left[a,y\right] = -Ay \Leftrightarrow A^*=-A.$

Ответ: $-A.$

[свернуть]
Доказать, что если некоторое подпространство инвариантно относительно оператора $A,$ то его ортогональное дополнение инвариантно относительно оператора $A^*.$

Решение

Пусть $A$ — линейный оператор, и пусть $B$ — его инвариантное подпространство. Тогда $L$ — ортогональное дополнение. Пусть $x \in B, y \in L.$ Таким образом, из $Ax \in B \Rightarrow \left(Ax,y\right)=0,$ а в силу того, что по определению сопряженного оператора $\left(Ax,y\right)=\left(x,A^*y\right),$ получаем, что $\left(x,A^*y\right)=0.$ И так как $x$ это произвольный вектор из $B,$ то $A^*y \in L.$

[свернуть]
Доказать, что оператор $A^*$ — линейный.

Решение

Для этого необходимо проверить условие линейного оператора . А именно для $A \colon X \to Y,$ $\forall x,y \in X$ и для любого числа $\alpha$ выполняется:
$A^*\left(x+y\right)=A^*\left(x\right)+A^*\left(y\right),$ $A^*\left(\alpha x\right)= \alpha A^*\left(x\right).$

Проверим сначала для $A\left(x+y\right)=A\left(x\right)+A\left(y\right).$ Тогда $\forall x,y,z \in X$ имеем
$\left(Ax,y+z\right)=\left(x,A^*\left(y+z\right)\right).$

Подробно распишем правую часть

$\left(Ax,y+z\right)=\left(Ax,y\right)+\left(Ax,z\right)=$ $=\left(x,A^*y\right)+\left(x,A^*z\right)=\left(x,A^*y+A^*z\right).$

Получили, что $\left(x,A^*\left(y+z\right)\right)=\left(x,A^*y+A^*z\right),$ и, следовательно по условию, что равенство выполняется для $\forall x \in X$ $\Rightarrow$ $A^*\left(y+z\right)=A^*y+A^*z.$

Теперь докажем вторую часть, $A^*\left(\alpha x\right)= \alpha A^*\left(x\right).$ Тогда $\forall x,y \in X$ и для любого числа $\alpha$ имеем:
$\left(Ax, \alpha y\right)=\left(x,A^*\left(\alpha y\right)\right).$

По аналогии с первой частью

$\left(Ax, \alpha y\right)= \overline{\alpha}\left(Ax,y\right) = \overline{\alpha}\left(x,A^*y\right) = \left(x, \alpha A^*y\right).$

Получаем, что $\left(x,A^*\left(\alpha y\right)\right)=\left(x, \alpha A^*y\right),$ и, следовательно по условию, что равенство выполняется для $\forall x \in X$ $\Rightarrow$ $A^*\left(\alpha y\right)=\alpha A^*y.$

[свернуть]

Сопряженный оператор

Тест на знание темы «Сопряженный оператор: существование и единственность»

Смотрите также

Личный конспект, составленный на основе лекций Г. С. Белозерова.
Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, Глава 9, $§$ 75, «Сопряженный оператор» (стр. 241)
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984, Глава 13, $§$ 4, «Евклидово и унитарное пространства» (стр. 356)
Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: изд. московского ун-та, 1990, Часть 2, Глава 5, $§$ 30, «Линейные отображения евклидовых пространств. Изоморфизмы. Сопряженные операторы»(стр. 269-271)

Соответствие между действиями над операторами и действиями над их матрицами

Как известно, для любого линейного оператора можно определить матрицу этого оператора, при чем такая матрица будет единственной для заданной пары базисов (или одного базиса, в случае оператора из $\Omega \left(X\right)$ , где $\left(X,\:P\right)$ — линейное пространство). Тогда, действия над линейным операторами можно свести к операциям над их матрицами, заданными в фиксированных базисах.

Лемма. В фиксированных базисах, матрицей суммы операторов будет сумма матриц этих операторов.

Зададим два линейных пространства над одним и тем же полем $\left(X,\:P\right)$ и $\left(Y,\:P\right)$ и укажем их размерности, $\dim{X} = m$ , $\dim{Y} = n$ . В пространстве $X$ зададим базис $\left \langle e \right \rangle = \left \langle e_{1},\: e_{2},\: \cdots,\: e_{m}\right \rangle,$ а в пространстве $Y$ — $\left \langle g \right \rangle = \left \langle g_{1},\: g_{2},\: \cdots,\: g_{n}\right \rangle.$

Зададим линейный оператор $A\in\Omega \left(X,\:Y\right)$ . Для оператора $A$ можем записать систему: $\left\{\begin{matrix} Ae_{1}& = & a_{11}g_{1} & + & a_{21}g_{2} & + & \cdots & + & a_{n1}g_{n},\\ Ae_{2}& = & a_{12}g_{2} & + & a_{22}g_{2} & + & \cdots & + & a_{n2}g_{n},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Ae_{m}& = & a_{1m}g_{1} & + & a_{2m}g_{2} & + & \cdots & + & a_{nm}g_{n}.\\ \end{matrix}\right.$ Или можем записать кратко, через сумму: где $j = \overline{1,\:m}$ . Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle g \right \rangle$ матрица оператора $A$ будет иметь вид: $A_{ge} = \left(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m}\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm}\end{matrix}\right).$

Аналогично, зададим линейный оператор $B\in\Omega \left(X,\: Y\right)$ . Для него можем записать систему: $\left\{\begin{matrix} Be_{1}& = & b_{11}g_{1} & + & b_{21}g_{2} & + & \cdots & + & b_{n1}g_{n},\\ Be_{2}& = & b_{12}g_{2} & + & b_{22}g_{2} & + & \cdots & + & b_{n2}g_{n},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Be_{m}& = & b_{1m}g_{1} & + & b_{2m}g_{2} & + & \cdots & + & b_{nm}g_{n}.\\ \end{matrix}\right.$ Или можем записать кратко, через сумму: где $j = \overline{1,\:m}$ . Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle g \right \rangle$ матрица оператора $B$ будет иметь вид: $B_{ge} = \left(\begin{matrix}b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1m}\\b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2m}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nm}\end{matrix}\right).$

Определим линейный оператор $C = A + B,\:$ где $C\in\Omega \left(X,\: Y\right).$ Для оператора $C$ можем записать систему: $\left\{\begin{matrix} Ce_{1}& = & c_{11}g_{1} & + & c_{21}g_{2} & + & \cdots & + & c_{n1}g_{n},\\ Ce_{2}& = & c_{12}g_{2} & + & c_{22}g_{2} & + & \cdots & + & c_{n2}g_{n},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Ce_{m}& = & c_{1m}g_{1} & + & c_{2m}g_{2} & + & \cdots & + & c_{nm}g_{n}.\\ \end{matrix}\right.$ Или можем записать кратко, через сумму: где $j = \overline{1,\:m}$ . Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle g \right \rangle$ матрица оператора $C$ будет иметь вид: $C_{ge} = \left(\begin{matrix}c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1m}\\c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2m}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nm}\end{matrix}\right).$

Рассмотрим подробнее равенство. $\sum_{i=1}^{n}c_{ij}g_{i} = Ce_{j} =$ (по определению оператора суммы) $= \left(A + B\right)e_{j} = Ae_{j} + Be_{j} =$ (используя равенства для $Ae_{j}$ и для $Be_{j}$ ) $=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}g_{i} + \sum_{i=1}^{n}b_{ij}g_{i} = \sum_{i=1}^{n}\left(a_{ij}+b_{ij}\right)g_{i}.$ Следовательно, $\sum_{i=1}^{n}c_{ij}g_{i} = \sum_{i=1}^{n}\left(a_{ij}+b_{ij}\right)g_{i}.$

Таким образом, каждый элемент матрицы $C_{ge}$ представляет собой сумму соответствующих элементов матриц $A_{ge}$ и $B_{ge}$ , что и означает, что $C_{ge} = A_{ge} + B_{ge}.$

Лемма. В фиксированных базисах, матрицей произведения оператора на число будет матрица этого оператора, умноженная на это число.

Зададим линейный оператор $A\in\Omega \left(X,\: Y\right)$ . Для оператора $A$ можем записать систему: $\left\{\begin{matrix} Ae_{1}& = & a_{11}g_{1} & + & a_{21}g_{2} & + & \cdots & + & a_{n1}g_{n},\\ Ae_{2}& = & a_{12}g_{2} & + & a_{22}g_{2} & + & \cdots & + & a_{n2}g_{n},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Ae_{m}& = & a_{1m}g_{1} & + & a_{2m}g_{2} & + & \cdots & + & a_{nm}g_{n}.\\ \end{matrix}\right.$ Или можем записать кратко, через сумму: где $j = \overline{1,\:m}$ . Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle g \right \rangle$ матрица оператора $A$ будет иметь вид: $A_{ge} = \left(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m}\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm}\end{matrix}\right).$

Определим линейный оператор $C = \lambda A,$ где $C\in\Omega \left(X,\:Y\right)$ , $\:\forall \lambda \in P$ . Для оператора $C$ можем записать систему: $\left\{\begin{matrix} Ce_{1}& = & c_{11}g_{1} & + & c_{21}g_{2} & + & \cdots & + & c_{n1}g_{n},\\ Ce_{2}& = & c_{12}g_{2} & + & c_{22}g_{2} & + & \cdots & + & c_{n2}g_{n},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Ce_{m}& = & c_{1m}g_{1} & + & c_{2m}g_{2} & + & \cdots & + & c_{nm}g_{n}.\\ \end{matrix}\right.$ Или можем записать кратко, через сумму: где $j = \overline{1,\:m}$ . Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle g \right \rangle$ матрица оператора $C$ будет иметь вид: $C_{ge} = \left(\begin{matrix}c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1m}\\c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2m}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nm}\end{matrix}\right).$

Рассмотрим подробнее равенство. $\sum_{i=1}^{n}c_{ij}g_{i} = Ce_{j} =$ (по определению произведения оператора на число) $= \left(\lambda A\right)e_{j} = \lambda \left(Ae_{j}\right)=$ (используя равенство для $Ae_{j}$ ) $=\lambda\sum_{i=1}^{n}a_{ij}g_{i} = \sum_{i=1}^{n}\lambda a_{ij}g_{i}.$ Следовательно, $\sum_{i=1}^{n}c_{ij}g_{i} = \sum_{i=1}^{n}\lambda a_{ij}g_{i}.$

Таким образом, каждый элемент матрицы $C_{ge}$ представляет собой произведение числа $\lambda$ на соответствующий элемент матрицы $A_{ge}$ , что и означает, что $C_{ge} = \lambda A_{ge}.$

Лемма. В фиксированных базисах, матрицей произведения операторов будет произведение матриц этих операторов.

Зададим три линейных пространства над одним и тем же полем $\left(X,\:P\right)$ , $\left(Y,\:P\right)$ и $\left(Z,\:P\right)$ и укажем их размерности, $\dim{X} = m,$ $\dim{Y} = n,$ $\dim{Z} = k$ . В пространстве $X$ зададим базис $\left \langle e \right \rangle = \left \langle e_{1},\: e_{2},\: \cdots,\: e_{m}\right \rangle,$ в пространстве $Y$ — $\left \langle g \right \rangle = \left \langle g_{1},\: g_{2},\: \cdots,\: g_{n}\right \rangle,$ а в пространстве $Z$ — $\left \langle t \right \rangle = \left \langle t_{1},\: t_{2},\: \cdots,\: t_{k}\right \rangle.$

Зададим линейный оператор $A\in\Omega \left(X,\: Y\right)$ . Для оператора $A$ можем записать систему: $\left\{\begin{matrix} Ae_{1}& = & a_{11}g_{1} & + & a_{21}g_{2} & + & \cdots & + & a_{n1}g_{n},\\ Ae_{2}& = & a_{12}g_{2} & + & a_{22}g_{2} & + & \cdots & + & a_{n2}g_{n},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Ae_{m}& = & a_{1m}g_{1} & + & a_{2m}g_{2} & + & \cdots & + & a_{nm}g_{n}.\\ \end{matrix}\right.$ Или можем записать кратко, через сумму: где $j = \overline{1,\:m}$ . Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle g \right \rangle$ матрица оператора $A$ будет иметь вид: $A_{ge} = \left(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m}\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm}\end{matrix}\right).$

Аналогично, зададим линейный оператор $B\in\Omega \left(Y,\:Z\right)$ . Для него можем записать систему: $\left\{\begin{matrix} Bg_{1}& = & b_{11}t_{1} & + & b_{21}t_{2} & + & \cdots & + & b_{k1}t_{k},\\ Bg_{2}& = & b_{12}t_{2} & + & b_{22}t_{2} & + & \cdots & + & b_{k2}t_{k},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Bg_{n}& = & b_{1n}t_{1} & + & b_{2n}t_{2} & + & \cdots & + & b_{kn}t_{k}.\\ \end{matrix}\right.$ Или можем записать кратко, через сумму: где $i = \overline{1,\:n}$ . Тогда, в базисах $\left \langle g \right \rangle$ и $\left \langle t \right \rangle$ матрица оператора $B$ будет иметь вид: $B_{tg} = \left(\begin{matrix}b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\\b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ b_{k1} & b_{k2} & \cdots & b_{kn}\end{matrix}\right).$

Определим линейный оператор $C = BA,$ где $C\in\Omega \left(X,\:Z\right)$ . Для оператора $C$ можем записать систему: $\left\{\begin{matrix} Ce_{1}& = & c_{11}t_{1} & + & c_{21}t_{2} & + & \cdots & + & c_{k1}t_{k},\\ Ce_{2}& = & c_{12}t_{2} & + & c_{22}t_{2} & + & \cdots & + & c_{k2}t_{k},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Ce_{m}& = & c_{1m}t_{1} & + & c_{2m}t_{2} & + & \cdots & + & c_{km}t_{k}.\\ \end{matrix}\right.$ Или можем записать кратко, через сумму: где $j = \overline{1,\:m}$ . Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle t \right \rangle$ матрица оператора $C$ будет иметь вид: $C_{te} = \left(\begin{matrix}c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1k}\\c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2k}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ c_{k1} & c_{k2} & \cdots & c_{km}\end{matrix}\right).$

Рассмотрим подробнее равенство. $\sum_{d=1}^{k}c_{dj}t_{d} = Ce_{j} =$ (по определению произведения операторов) $= \left(BA\right)e_{j} = B\left(Ae_{j}\right) =$ (используя равенство для $Ae_{j}$ ) $= B\sum_{i=1}^{n}a_{ij}g_{i} = \sum_{i=1}^{n}a_{ij}Bg_{i} = \sum_{i=1}^{n}a_{ij}\left(Bg_{i}\right) =$ (используя равенство для $Bg_{i}$ ) $= \sum_{i=1}^{n} a_{ij} \sum_{f=1}^{k} b_{fi}t_{f} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{f=1}^{k} a_{ij}b_{fi}t_{f} =\\=\sum_{f=1}^{k} \sum_{i=1}^{n} b_{fi}a_{ij}t_{f} = \sum_{f=1}^{k} \left(\sum_{i=1}^{n} b_{fi}a_{ij} \right)t_{f}.$ Следовательно, получили равенство: $\sum_{d=1}^{k}c_{dj}t_{d} =\sum_{f=1}^{k} \left(\sum_{i=1}^{n} b_{fi}a_{ij} \right)t_{f},$ а так как $d = \overline{1,\:k}$ и $f = \overline{1,\:k}$ , то получаем следующее: $c_{dj} = \sum_{i=1}^{n} b_{di}a_{ij}.$

Таким образом, каждый элемент матрицы $C_{te}$ , с индексами $d$ и $j$ равен сумме попарных произведений каждого элемента $d$ -ой строки матрицы $B_{tg}$ на соответствующий элемент $j$ -ого столбца матрицы $A_{ge}$ . Это и означает, по определению произведения матриц, что $C_{te} = B_{tg}A_{ge}.$