Метка: линейный оператор

Свойства сопряженного оператора

Рассмотрим свойства сопряженного оператора, которые связывают его с исходным линейным оператором:

  1. $\Theta^*=\Theta$ $($в том случае, если $\Theta \in \Omega\left(X\right)),$
  2. $E=E^*,$
  3. ${\left(A^* \right)}^*=A,$
  4. $\lambda A=\overline{\lambda} A^*, \ \forall \lambda \in C,$
  5. $\left(A+B\right)^*=A^*+B^*,$
  6. $\left(AB\right)^*=B^*A^*,$
  7. ${\left(A^{-1} \right)}^*={\left(A^*\right)}^{-1}.$

Заметим, что операторы $A$ и $B$ — произвольные, а черта над $\lambda$ означает комплексное сопряжение.

За исключением первых двух свойств, доказательство которых тривиально, докажем остальные свойства. Все они легко доказываются по одному шаблону, используя свойства линейных операторов, определение сопряженного оператора и свойства скалярного произведения.

  1. $\left(A^*\right)^*=A$

    $\forall x \in X$ и $\forall y \in Y$ имеем:
    $$\left({\left(A^*\right)}^*x,y\right)=$$ (по определению сопряженного оператора) $$=\left(x,A^*y\right)= \overline{\left(A^*y,x\right)}=$$ (по определению сопряженного оператора) $$= \overline{\left(y,Ax\right)} = \overline {\overline{\left(Ax,y\right)}} = (Ax,y).$$

    Получили равенство $$\left({\left(A^*\right)}^*x,y\right)=\left(Ax,y\right).$$ Так как данное равенство выполняется для $\forall y \in Y,$ то получаем $${\left(A^*\right)}^*x = Ax.$$ Аналогично, так как равенство выполняется для $\forall x \in X,$ то $${\left(A^*\right)}^*=A.$$

  2. $\lambda A=\overline{\lambda} A^*, \ \forall \lambda \in C$

    Если $A$ действует из $X \to Y,$ то $A^* \colon Y \to X$ и тогда $\overline{\lambda} A^*$ действует из $Y \to X.$ Рассмотрим скалярное произведение:

    $$\left(x, \overline{\lambda} \left(A^*y\right)\right) =$$ (по определению операции над линейными операторами) $$= \left(x,\left(\overline{\lambda} A^*\right)y\right) =$$ (по свойству линейного оператора) $$ = \left(\left(\lambda A \right)x,y\right) = \lambda \left(Ax,y\right) = $$ (по определению сопряженного оператора) $$ = \lambda \left(x,A^*y\right) = $$ (по свойству скалярного произведения в унитарных пространствах) $$ = \left(x, \overline{\lambda} \left(A^*y\right)\right) = $$ (по операции умножения линейного оператора на константу) $$ = \left(x, \left(\overline{\lambda} A^*\right)y\right).$$

    Так как для $\forall x \in X,$ выполняется равенство $$\left(x,\left(\lambda A\right)^*y\right) = \left(x, \left(\overline{\lambda} A^*\right)y\right),$$ получаем $$\left(\lambda A\right)^*y=\left(\overline{\lambda} A^*\right)y.$$ И так как полученное равенство выполняется для $\forall y \in Y,$ то получаем $$\left(\lambda A\right)^* = \overline{\lambda} A^*.$$

  3. $\left(A+B\right)^*=A^*+B^*$

    $\forall x \in X$ и $\forall y \in Y$ имеем:

    $$\left(\left(A+B\right)x,y\right)=$$ (по определению операции сложения линейных операторов) $$= \left(Ax+Bx,y\right) = $$ (по свойству скалярного произведения) $$ = \left(Ax,y\right) + \left(Bx,y\right) = $$ (по определению сопряженного оператора) $$ = \left(x,A^*y\right) + \left(x,B^*y\right) = $$ (по по свойству скалярного произведения) $$ = \left(x,A^*y+B^*y\right) = $$ (по определению операции сложения линейного оператора) $$ = \left(x,\left(A^*+B^*\right)y\right).$$

    Получили $$\left(x\left(A+B\right),y\right) = \left(x,\left(A^*+B^*\right)y\right),$$ или же $$\left(x,\left(A+B\right)^*y\right) = \left(x,\left(A^*+B^*\right)y\right).$$ Так как полученное равенство выполнимо $\forall x \in X,$ $$\left(A+B\right)^*y = \left(A^*+B^*\right)y.$$ И так как равенство также выполнимо для $\forall y \in Y,$ $$\left(A+B\right)^* = \left(A^*+B^*\right).$$

  4. $\left(AB\right)^*=B^*A^*$

    Для доказательства этого свойства необходимо взять три унитарных пространства — $\left(X,C\right), \left(Y,C\right), \left(Z,C\right),$ и пусть существуют операторы $A \in \Omega\left(Z,Y\right),$ $B \in \Omega\left(X,Z\right),$ где $AB \in \Omega\left(X,Y\right).$ Следовательно, по определению сопряженного оператора, $A^* \in \Omega\left(Y,Z\right),$ $B \in \Omega\left(Z,X\right),$ и $B^*A^* \in \Omega\left(Y,X\right).$ Так же, пусть $\forall x \in X$ и $\forall y \in Y.$ Тогда:

    $$\left(x,\left(AB\right)^*y\right) = $$ (по определению сопряженного оператора) $$ = \left(\left(AB\right)x,y\right) = $$ (по свойству скалярного произведения в унитарном пространстве) $$ =\left(A\left(Bx\right),y\right) = $$ (по определению сопряженного оператора) $$ =\left(Bx,A^*y\right) = $$ (по определению сопряженного оператора) $$ =\left(x,B^*\left(A^*y\right)\right) = $$ (по свойству скалярного произведения в унитарном пространстве) $$ =\left(x,\left(B^*A^*\right)y\right).$$

    Кратко запишем из равенства выше: $$\left(x,\left(AB\right)^*y\right) = \left(x,\left(B^*A^*\right)y\right).$$ Следовательно, так как равенство выполнимо для $\forall x \in X,$ $$\left(AB\right)^*y = \left(B^*A^*\right)y.$$ И так как равенство выполнимо для $\forall y \in Y,$ $$\left(AB\right)^* = \left(B^*A^*\right).$$

  5. ${\left(A^{-1} \right)}^*={\left(A^*\right)}^{-1}$

    Для этого доказательства нам потребуется обратимый оператор $A.$ Так же следует доказать обратимость оператора $A^*,$ но она следует из равенства единственности в теореме о существовании и единственности сопряженного оператора. Теперь, пусть $\forall x,y \in X,$ $\exists u,v \in X,$ для которых выполняется $Au=x,$ $A^*v=y.$ Составим равенство:

    $$\left(x,{\left(A^{-1}\right)}^*y \right) = $$ (по определению сопряженного оператора) $$ = \left(A^{-1}x,y\right) = $$ (по условию) $$ = \left(u,A^*v \right) = $$ (по определению сопряженного оператора) $$ = \left(Au,y\right) = $$ (по условию) $$ = \left(x,{\left(A^*\right)}^{-1}y\right).$$

    Следуя шаблону решений, так как равенство выполняется для $\forall x \in X,$ получаем $${\left(A^{-1}\right)}^*y = {\left(A^*\right)}^{-1}y,$$ и так как это равенство выполняется $\forall y \in Y,$ получаем $${\left(A^{-1}\right)}^* = {\left(A^*\right)}^{-1}.$$

Примеры решения задач

  1. Найти сопряженный оператор для $AB+C.$
    Решение

    Воспользуемся $5$-м и $6$-м свойствами сопряженного оператора для решения этого примера. Тогда, $\forall x \in X,$ $\forall y \in Y,$ запишем равенство:

    $$\left(\left(AB+C\right)x,y\right) =$$ (по определению операции сложения линейных операторов) $$= \left(\left(AB\right)x+Cx,y\right) =$$ (по свойству скалярного произведения) $$=\left(\left(AB\right)x,y\right)+\left(Cx,y\right)=$$ (для первой части воспользуемся свойством скалярного произведения в унитарном пространстве, а для второй — определением сопряженного оператора) $$= \left(A\left(Bx\right),y\right)+\left(x,C^*y\right)=$$ (для первой части воспользуемся определением сопряженного оператора) $$=\left(Bx,A^*y\right)+\left(x,C^*y\right)=$$ (для первой части воспользуемся определением сопряженного оператора) $$=\left(x,B^*A^*y\right)+\left(x,C^*y\right)=$$ (по по свойству скалярного произведения) $$=\left(x,B^*A^*y+C^*y\right)=$$ (по определению операции сложения линейного оператора) $$=\left(x,\left(B^*A^*+C^*\right)y\right).$$

    Ответ: $\left(x,\left(B^*A^*+C^*\right)y\right).$

    [свернуть]
  2. Доказать, что $\left(\lambda A+BC\right)^*=\left(\overline{\lambda} A^*+C^*B^*\right).$
    Решение

    Доказываем по аналогии с доказательством свойств сопряженного оператора. А именно, пользуясь определением операции сложения линейных операторов, свойством скалярного произведения в унитарных пространствах, определением сопряженного оператора и $4$-м свойством сопряженного оператора. Тогда $\forall x \in X,$ и $\forall y \in Y:$

    $$\left(\left(\lambda A+BC\right)x,y \right)=\left(\left(\lambda A\right)x+\left(BC\right)x,y\right)=$$ $$=\left(\left(\lambda A\right)x,y\right)+\left(\left(BC\right)x,y\right)= \lambda \left(Ax,y\right)+\left(B\left(Cx\right),y\right)=$$ $$= \lambda \left(x,A^*y\right)+\left(Cx,B^*y\right)=\left(x,\left(\overline{\lambda} A^*\right)y\right)+\left(x,\left(C^*B^*\right)y\right)=$$ $$=\left(x,\left(\overline{\lambda} A^*\right)y+\left(C^*B^*\right)y\right)=\left(x,\left(\overline{\lambda} A^*+C^*B^*\right)y\right).$$

    Получаем, что: $$\left(x,\left(\lambda A+BC\right)^*y\right)=\left(x,\left(\overline{\lambda} A^*+C^*B^*\right)y\right).$$ Так как равенство выполняется $\forall x \in X \Rightarrow$ $$\left(\lambda A+BC\right)^*y=\left(\overline{\lambda} A^*+C^*B^*\right)y.$$ И так как равенство выполняется $\forall y \in Y \Rightarrow$ $$\left(\lambda A+BC\right)^*=\left(\overline{\lambda} A^*+C^*B^*\right).$$

    [свернуть]
  3. Найти сопряженный оператор для $\overline{\lambda} B+ \lambda CD+{\left(A^*\right)}^*.$
    Решение

    Доказываем пользуясь определением операции сложения линейных операторов, свойством скалярного произведения в унитарных пространствах, определением и свойствами сопряженного оператора.

    $$\left(\overline{\lambda} B+ \lambda CD+{\left(A^*\right)}^*x,y \right)=\left(\left(\overline{\lambda} B\right)x + \left(\lambda CD\right)x + Ax,y\right) =$$ $$=\left(\left(\overline{\lambda} B\right)x,y\right) + \left(\left(\lambda CD\right)x,y\right) + \left(Ax,y\right) = \overline{\lambda} \left(Bx,y\right) + \lambda \left(C\left(Dx\right),y\right) +$$ $$+ \left(Ax,y\right) = \overline{\lambda} \left(x,B^*y\right) + \lambda \left(x,\left(D^*C^*\right)y\right) + \left(x,A^*y\right) = \left(x,\left( \lambda B^*\right)y\right) +$$ $$+ \left(x,\left( \overline{\lambda} D^*C^*\right)y\right) + \left(x,A^*y\right) = \left(x,\left( \lambda B^*\right)y + \left( \overline{\lambda} D^*C^*\right)y + A^*y\right) =$$ $$= \left(x,\left(\lambda B^* + \overline{\lambda} D^*C^* + A^*\right)y\right).$$

    Ответ: $\left(x,\left(\lambda B^* + \overline{\lambda} D^*C^* + A^*\right)y\right).$

    [свернуть]

Свойства сопряженного оператора

Тест на знание темы «Свойства сопряженного оператора»

Смотрите также

  1. Личный конспект, составленный на основе лекций Г. С. Белозерова.
  2. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, Глава 9, $§$ 75, «Сопряженный оператор» (стр. 241)
  3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984, Глава 13, $§$ 4, «Евклидово и унитарное пространства» (стр. 356)
  4. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: изд. московского ун-та, 1990, Часть 2, Глава 5, $§$ 30, «Линейные отображения евклидовых пространств. Изоморфизмы. Сопряженные операторы»(стр. 269-271)

Сопряженный оператор: существование и единственность

Определение. Пусть $X,Y$ — унитарные пространства. Отображение $Y \to X$ называется линейным оператором $A^*,$ сопряженным с оператором $A,$ действующим из $X \to Y,$ если для любых $x \in X$ и $y \in Y$ выполняется условие: $$\left(Ax,y\right)_y=\left(x,A^*y\right)_x.$$

Так как определение не может гарантировать существование сопряженного оператора, введем следующую теорему.

Теорема (существование и единственность сопряженного оператора). Пусть $X,Y$ — унитарные пространства. Для всякого линейного оператора $A,$ действующего из $X \to Y,$ существует и притом единственный сопряженный ему оператор $A^*,$ действующий из $Y \to X.$

Доказательство. Единственность. В любом пространстве можно выбрать ортонормированный базис, то есть базис, векторы которого попарно ортогональны (произведение любых двух не равных векторов будет равно $0$). Тогда длины всех векторов будут равны $1.$ Обозначим этот базис как $\langle e_1, e_2,…, e_m\rangle.$ Пусть $A^*$ — линейный оператор, действующий из пространства $Y \to X,$ сопряженный с оператором $A.$ Возьмем произвольный вектор из пространства $Y.$ Образ этого вектора будет принадлежать пространству $X,$ а значит может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов пространства $X.$ Тогда

$$ A^*y = \sum_{j=1}^m \left(A^*y,e_j\right)e_j =$$ (по свойству скалярного произведения) $$= \sum_{j=1}^m \overline{\left(e_j,A^*y\right)}e_j =$$ (по определению сопряженного оператора) $$= \sum_{j=1}^m \overline{\left(Ae_j,y\right)}e_j =$$ (по свойству скалярного произведения) $$= \sum_{j=1}^m \overline{ \overline{\left(y,Ae_j\right)}}e_j = \sum_{j=1}^m \left(y, Ae_j\right)e_j.$$

Получили отображение, которое может быть задано единственным образом. Прослеживается это через вектор $A^*y \in X,$ который может быть однозначно определен правой частью полученного соотношения, если применить к нему теорему о координатах вектора в ортонормированном базисе (скалярное произведение двух векторов в ортонормированном базисе равно сумме попарных произведений координат этих векторов).

Существование. С помощью полученного равенства можем определить линейное отображение $A^*,$ ибо для $\forall \alpha, \beta \in C$ и $\forall y_1,y_2 \in Y$

$$A^*\left(\alpha y_1+\beta y_2 \right) = \sum_{j=1}^m \left(\alpha y_1+\beta y_2,Ae_j \right)e_j = \\ = \alpha\sum_{j=1}^m \left(y_1,Ae_j \right)e_j + \beta\sum_{j=1}^m \left(y_2,Ae_j \right)e_j = \alpha A^*y_1+\beta A^*y_2.$$

Проверим, что оператор $A^*,$ заданный равенством выше, удовлетворяет определению сопряженного оператора, то есть $\forall x \in X, \forall y \in Y$

$$\left(Ax,y\right)=$$ (согласно разложению вектора $x$ по ортонормированному базису) $$= \left(A \sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right)e_i,y \right) =$$ (по определению линейного оператора) $$= \left(\sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right)Ae_j,y \right) =$$ (по свойству скалярного произведения) $$= \sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right)\left(Ae_j,y\right).$$

Найдем скалярное произведение:

$$\left(x,A^*y\right)=$$ (согласно разложению вектора $x$ по ортонормированному базису и полученному ранее равенству) $$= \left(\sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right)e_i, \sum_{j=1}^m \left(y, Ae_j \right)e_j \right) =$$ (по свойству скалярного произведения) $$= \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^m \left(x,e_i \right) \overline{\left(y,Ae_j \right)}\left(e_i,e_j \right)=$$ (по свойству скалярного произведения) $$=\sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right) \overline{\left(y,Ae_i \right)} = \sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right) \overline{\overline{\left(Ae_i,y\right)}} = \sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right)\left(Ae_i,y\right).$$

Получили $$\left(Ax,y\right)=\left(x,A^*y\right).$$ Следовательно, оператор $A^*,$ определенный в равенстве, удовлетворяет определению сопряженного оператора, и полученные результаты совпадают.

Примеры решения задач

  1. Пусть оператор $A$ действует в некотором геометрическом пространстве векторов, и задан следующим равенством $$Ax=\left[a,x\right].$$ Найти сопряженный оператор.
    Решение

    Для решения возьмем произвольные вектора $x,y,$ так, что:

    $\left(Ax,y\right) = \left(\left[a,x\right],y\right) = \left \langle a,x,y \right \rangle = \left \langle x,y,a \right \rangle = \left(x,\left[y,a\right]\right) = \left(x,A^*y\right).$

    Получили, что $A^*y = \left[y,a\right] = -\left[a,y\right] = -Ay \Leftrightarrow A^*=-A.$

    Ответ: $-A.$

    [свернуть]
  2. Доказать, что если некоторое подпространство инвариантно относительно оператора $A,$ то его ортогональное дополнение инвариантно относительно оператора $A^*.$
    Решение

    Пусть $A$ — линейный оператор, и пусть $B$ — его инвариантное подпространство. Тогда $L$ — ортогональное дополнение. Пусть $x \in B, y \in L.$ Таким образом, из $Ax \in B \Rightarrow \left(Ax,y\right)=0,$ а в силу того, что по определению сопряженного оператора $\left(Ax,y\right)=\left(x,A^*y\right),$ получаем, что $\left(x,A^*y\right)=0.$ И так как $x$ это произвольный вектор из $B,$ то $A^*y \in L.$

    [свернуть]
  3. Доказать, что оператор $A^*$ — линейный.
    Решение

    Для этого необходимо проверить условие линейного оператора . А именно для $A \colon X \to Y,$ $\forall x,y \in X$ и для любого числа $\alpha$ выполняется:
    $$A^*\left(x+y\right)=A^*\left(x\right)+A^*\left(y\right),$$ $$A^*\left(\alpha x\right)= \alpha A^*\left(x\right).$$

    Проверим сначала для $A\left(x+y\right)=A\left(x\right)+A\left(y\right).$ Тогда $\forall x,y,z \in X$ имеем
    $$\left(Ax,y+z\right)=\left(x,A^*\left(y+z\right)\right).$$

    Подробно распишем правую часть

    $$\left(Ax,y+z\right)=\left(Ax,y\right)+\left(Ax,z\right)=$$ $$=\left(x,A^*y\right)+\left(x,A^*z\right)=\left(x,A^*y+A^*z\right).$$

    Получили, что $\left(x,A^*\left(y+z\right)\right)=\left(x,A^*y+A^*z\right),$ и, следовательно по условию, что равенство выполняется для $\forall x \in X$ $\Rightarrow$ $$A^*\left(y+z\right)=A^*y+A^*z.$$

    Теперь докажем вторую часть, $A^*\left(\alpha x\right)= \alpha A^*\left(x\right).$ Тогда $\forall x,y \in X$ и для любого числа $\alpha$ имеем:
    $$\left(Ax, \alpha y\right)=\left(x,A^*\left(\alpha y\right)\right).$$

    По аналогии с первой частью

    $$\left(Ax, \alpha y\right)= \overline{\alpha}\left(Ax,y\right) = \overline{\alpha}\left(x,A^*y\right) = \left(x, \alpha A^*y\right).$$

    Получаем, что $\left(x,A^*\left(\alpha y\right)\right)=\left(x, \alpha A^*y\right),$ и, следовательно по условию, что равенство выполняется для $\forall x \in X$ $\Rightarrow$ $$A^*\left(\alpha y\right)=\alpha A^*y.$$

    [свернуть]

Сопряженный оператор

Тест на знание темы «Сопряженный оператор: существование и единственность»

Смотрите также

  1. Личный конспект, составленный на основе лекций Г. С. Белозерова.
  2. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, Глава 9, $§$ 75, «Сопряженный оператор» (стр. 241)
  3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984, Глава 13, $§$ 4, «Евклидово и унитарное пространства» (стр. 356)
  4. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: изд. московского ун-та, 1990, Часть 2, Глава 5, $§$ 30, «Линейные отображения евклидовых пространств. Изоморфизмы. Сопряженные операторы»(стр. 269-271)

Соответствие между действиями над операторами и действиями над их матрицами

Как известно, для любого линейного оператора можно определить матрицу этого оператора, при чем такая матрица будет единственной для заданной пары базисов (или одного базиса, в случае оператора из $\Omega \left(X\right)$, где $\left(X,\:P\right)$ — линейное пространство). Тогда, действия над линейным операторами можно свести к операциям над их матрицами, заданными в фиксированных базисах.

Лемма. В фиксированных базисах, матрицей суммы операторов будет сумма матриц этих операторов.

Зададим два линейных пространства над одним и тем же полем $\left(X,\:P\right)$ и $\left(Y,\:P\right)$ и укажем их размерности, $\dim{X} = m$, $\dim{Y} = n$. В пространстве $X$ зададим базис $\left \langle e \right \rangle = \left \langle e_{1},\: e_{2},\: \cdots,\: e_{m}\right \rangle,$ а в пространстве $Y$ — $\left \langle g \right \rangle = \left \langle g_{1},\: g_{2},\: \cdots,\: g_{n}\right \rangle.$

Зададим линейный оператор $A\in\Omega \left(X,\:Y\right)$. Для оператора $A$ можем записать систему:$$\left\{\begin{matrix} Ae_{1}& = & a_{11}g_{1} & + & a_{21}g_{2} & + & \cdots & + & a_{n1}g_{n},\\ Ae_{2}& = & a_{12}g_{2} & + & a_{22}g_{2} & + & \cdots & + & a_{n2}g_{n},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Ae_{m}& = & a_{1m}g_{1} & + & a_{2m}g_{2} & + & \cdots & + & a_{nm}g_{n}.\\ \end{matrix}\right.$$Или можем записать кратко, через сумму:$$Ae_{j} =\sum_{i=1}^{n}a_{ij}g_{i},$$ где $j = \overline{1,\:m}$. Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle g \right \rangle$ матрица оператора $A$ будет иметь вид: $$A_{ge} = \left(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m}\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm}\end{matrix}\right).$$

Аналогично, зададим линейный оператор $B\in\Omega \left(X,\: Y\right)$. Для него можем записать систему:$$\left\{\begin{matrix} Be_{1}& = & b_{11}g_{1} & + & b_{21}g_{2} & + & \cdots & + & b_{n1}g_{n},\\ Be_{2}& = & b_{12}g_{2} & + & b_{22}g_{2} & + & \cdots & + & b_{n2}g_{n},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Be_{m}& = & b_{1m}g_{1} & + & b_{2m}g_{2} & + & \cdots & + & b_{nm}g_{n}.\\ \end{matrix}\right.$$Или можем записать кратко, через сумму:$$Be_{j} =\sum_{i=1}^{n}b_{ij}g_{i},$$ где $j = \overline{1,\:m}$. Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle g \right \rangle$ матрица оператора $B$ будет иметь вид: $$B_{ge} = \left(\begin{matrix}b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1m}\\b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2m}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nm}\end{matrix}\right).$$

Определим линейный оператор $C = A + B,\:$ где $C\in\Omega \left(X,\: Y\right).$ Для оператора $C$ можем записать систему:$$\left\{\begin{matrix} Ce_{1}& = & c_{11}g_{1} & + & c_{21}g_{2} & + & \cdots & + & c_{n1}g_{n},\\ Ce_{2}& = & c_{12}g_{2} & + & c_{22}g_{2} & + & \cdots & + & c_{n2}g_{n},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Ce_{m}& = & c_{1m}g_{1} & + & c_{2m}g_{2} & + & \cdots & + & c_{nm}g_{n}.\\ \end{matrix}\right.$$Или можем записать кратко, через сумму:$$Ce_{j} =\sum_{i=1}^{n}c_{ij}g_{i},$$ где $j = \overline{1,\:m}$. Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle g \right \rangle$ матрица оператора $C$ будет иметь вид: $$C_{ge} = \left(\begin{matrix}c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1m}\\c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2m}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nm}\end{matrix}\right).$$

Рассмотрим подробнее равенство. $$\sum_{i=1}^{n}c_{ij}g_{i} = Ce_{j} =$$ (по определению оператора суммы) $$= \left(A + B\right)e_{j} = Ae_{j} + Be_{j} =$$ (используя равенства для $Ae_{j}$ и для $Be_{j}$)$$=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}g_{i} + \sum_{i=1}^{n}b_{ij}g_{i} = \sum_{i=1}^{n}\left(a_{ij}+b_{ij}\right)g_{i}.$$Следовательно, $$\sum_{i=1}^{n}c_{ij}g_{i} = \sum_{i=1}^{n}\left(a_{ij}+b_{ij}\right)g_{i}.$$

Таким образом, каждый элемент матрицы $C_{ge}$ представляет собой сумму соответствующих элементов матриц $A_{ge}$ и $B_{ge}$, что и означает, что $C_{ge} = A_{ge} + B_{ge}.$

Лемма. В фиксированных базисах, матрицей произведения оператора на число будет матрица этого оператора, умноженная на это число.

Зададим два линейных пространства над одним и тем же полем $\left(X,\:P\right)$ и $\left(Y,\:P\right)$ и укажем их размерности, $\dim{X} = m$, $\dim{Y} = n$. В пространстве $X$ зададим базис $\left \langle e \right \rangle = \left \langle e_{1},\: e_{2},\: \cdots,\: e_{m}\right \rangle,$ а в пространстве $Y$ — $\left \langle g \right \rangle = \left \langle g_{1},\: g_{2},\: \cdots,\: g_{n}\right \rangle.$

Зададим линейный оператор $A\in\Omega \left(X,\: Y\right)$. Для оператора $A$ можем записать систему:$$\left\{\begin{matrix} Ae_{1}& = & a_{11}g_{1} & + & a_{21}g_{2} & + & \cdots & + & a_{n1}g_{n},\\ Ae_{2}& = & a_{12}g_{2} & + & a_{22}g_{2} & + & \cdots & + & a_{n2}g_{n},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Ae_{m}& = & a_{1m}g_{1} & + & a_{2m}g_{2} & + & \cdots & + & a_{nm}g_{n}.\\ \end{matrix}\right.$$Или можем записать кратко, через сумму:$$Ae_{j} =\sum_{i=1}^{n}a_{ij}g_{i},$$ где $j = \overline{1,\:m}$. Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle g \right \rangle$ матрица оператора $A$ будет иметь вид: $$A_{ge} = \left(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m}\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm}\end{matrix}\right).$$

Определим линейный оператор $ C = \lambda A,$ где $C\in\Omega \left(X,\:Y\right)$, $\:\forall \lambda \in P$. Для оператора $C$ можем записать систему:$$\left\{\begin{matrix} Ce_{1}& = & c_{11}g_{1} & + & c_{21}g_{2} & + & \cdots & + & c_{n1}g_{n},\\ Ce_{2}& = & c_{12}g_{2} & + & c_{22}g_{2} & + & \cdots & + & c_{n2}g_{n},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Ce_{m}& = & c_{1m}g_{1} & + & c_{2m}g_{2} & + & \cdots & + & c_{nm}g_{n}.\\ \end{matrix}\right.$$Или можем записать кратко, через сумму:$$Ce_{j} =\sum_{i=1}^{n}c_{ij}g_{i},$$ где $j = \overline{1,\:m}$. Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle g \right \rangle$ матрица оператора $C$ будет иметь вид: $$C_{ge} = \left(\begin{matrix}c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1m}\\c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2m}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nm}\end{matrix}\right).$$

Рассмотрим подробнее равенство. $$\sum_{i=1}^{n}c_{ij}g_{i} = Ce_{j} =$$ (по определению произведения оператора на число) $$= \left(\lambda A\right)e_{j} = \lambda \left(Ae_{j}\right)=$$ (используя равенство для $Ae_{j}$)$$=\lambda\sum_{i=1}^{n}a_{ij}g_{i} = \sum_{i=1}^{n}\lambda a_{ij}g_{i}.$$Следовательно, $$\sum_{i=1}^{n}c_{ij}g_{i} = \sum_{i=1}^{n}\lambda a_{ij}g_{i}.$$

Таким образом, каждый элемент матрицы $C_{ge}$ представляет собой произведение числа $\lambda$ на соответствующий элемент матрицы $A_{ge}$, что и означает, что $C_{ge} = \lambda A_{ge}.$

Лемма. В фиксированных базисах, матрицей произведения операторов будет произведение матриц этих операторов.

Зададим три линейных пространства над одним и тем же полем $\left(X,\:P\right)$, $\left(Y,\:P\right)$ и $\left(Z,\:P\right)$ и укажем их размерности, $\dim{X} = m,$ $\dim{Y} = n,$ $\dim{Z} = k$. В пространстве $X$ зададим базис $\left \langle e \right \rangle = \left \langle e_{1},\: e_{2},\: \cdots,\: e_{m}\right \rangle,$ в пространстве $Y$ — $\left \langle g \right \rangle = \left \langle g_{1},\: g_{2},\: \cdots,\: g_{n}\right \rangle,$ а в пространстве $Z$ — $\left \langle t \right \rangle = \left \langle t_{1},\: t_{2},\: \cdots,\: t_{k}\right \rangle.$

Зададим линейный оператор $A\in\Omega \left(X,\: Y\right)$. Для оператора $A$ можем записать систему:$$\left\{\begin{matrix} Ae_{1}& = & a_{11}g_{1} & + & a_{21}g_{2} & + & \cdots & + & a_{n1}g_{n},\\ Ae_{2}& = & a_{12}g_{2} & + & a_{22}g_{2} & + & \cdots & + & a_{n2}g_{n},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Ae_{m}& = & a_{1m}g_{1} & + & a_{2m}g_{2} & + & \cdots & + & a_{nm}g_{n}.\\ \end{matrix}\right.$$Или можем записать кратко, через сумму:$$Ae_{j} =\sum_{i=1}^{n}a_{ij}g_{i},$$ где $j = \overline{1,\:m}$. Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle g \right \rangle$ матрица оператора $A$ будет иметь вид: $$A_{ge} = \left(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m}\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm}\end{matrix}\right).$$

Аналогично, зададим линейный оператор $B\in\Omega \left(Y,\:Z\right)$. Для него можем записать систему:$$\left\{\begin{matrix} Bg_{1}& = & b_{11}t_{1} & + & b_{21}t_{2} & + & \cdots & + & b_{k1}t_{k},\\ Bg_{2}& = & b_{12}t_{2} & + & b_{22}t_{2} & + & \cdots & + & b_{k2}t_{k},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Bg_{n}& = & b_{1n}t_{1} & + & b_{2n}t_{2} & + & \cdots & + & b_{kn}t_{k}.\\ \end{matrix}\right.$$Или можем записать кратко, через сумму:$$Bg_{i} =\sum_{f=1}^{k}b_{fi}t_{f},$$ где $i = \overline{1,\:n}$. Тогда, в базисах $\left \langle g \right \rangle$ и $\left \langle t \right \rangle$ матрица оператора $B$ будет иметь вид: $$B_{tg} = \left(\begin{matrix}b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\\b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ b_{k1} & b_{k2} & \cdots & b_{kn}\end{matrix}\right).$$

Определим линейный оператор $C = BA,$ где $C\in\Omega \left(X,\:Z\right)$. Для оператора $C$ можем записать систему:$$\left\{\begin{matrix} Ce_{1}& = & c_{11}t_{1} & + & c_{21}t_{2} & + & \cdots & + & c_{k1}t_{k},\\ Ce_{2}& = & c_{12}t_{2} & + & c_{22}t_{2} & + & \cdots & + & c_{k2}t_{k},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Ce_{m}& = & c_{1m}t_{1} & + & c_{2m}t_{2} & + & \cdots & + & c_{km}t_{k}.\\ \end{matrix}\right.$$Или можем записать кратко, через сумму:$$Ce_{j} =\sum_{d=1}^{k}c_{dj}t_{d},$$ где $j = \overline{1,\:m}$. Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle t \right \rangle$ матрица оператора $C$ будет иметь вид: $$C_{te} = \left(\begin{matrix}c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1k}\\c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2k}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ c_{k1} & c_{k2} & \cdots & c_{km}\end{matrix}\right).$$

Рассмотрим подробнее равенство. $$\sum_{d=1}^{k}c_{dj}t_{d} = Ce_{j} =$$ (по определению произведения операторов) $$= \left(BA\right)e_{j} = B\left(Ae_{j}\right) =$$ (используя равенство для $Ae_{j}$)$$= B\sum_{i=1}^{n}a_{ij}g_{i} = \sum_{i=1}^{n}a_{ij}Bg_{i} = \sum_{i=1}^{n}a_{ij}\left(Bg_{i}\right) =$$ (используя равенство для $Bg_{i}$)$$= \sum_{i=1}^{n} a_{ij} \sum_{f=1}^{k} b_{fi}t_{f} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{f=1}^{k} a_{ij}b_{fi}t_{f} =\\=\sum_{f=1}^{k} \sum_{i=1}^{n} b_{fi}a_{ij}t_{f} = \sum_{f=1}^{k} \left(\sum_{i=1}^{n} b_{fi}a_{ij} \right)t_{f}.$$Следовательно, получили равенство: $$\sum_{d=1}^{k}c_{dj}t_{d} =\sum_{f=1}^{k} \left(\sum_{i=1}^{n} b_{fi}a_{ij} \right)t_{f},$$ а так как $d = \overline{1,\:k}$ и $f = \overline{1,\:k}$, то получаем следующее:$$c_{dj} = \sum_{i=1}^{n} b_{di}a_{ij}.$$

Таким образом, каждый элемент матрицы $C_{te}$, с индексами $d$ и $j$ равен сумме попарных произведений каждого элемента $d$-ой строки матрицы $B_{tg}$ на соответствующий элемент $j$-ого столбца матрицы $A_{ge}$. Это и означает, по определению произведения матриц, что $C_{te} = B_{tg}A_{ge}.$

Примеры решения задач

  1. Пусть заданы два линейных оператора $$A\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3} \right) = \left(x_{2}+x_{3},\:2x_{1}+x_{3},\:3x_{1}-x_{2}+x_{3}\right ),$$$$B\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3}\right ) = \left (2x_{1}-x_{2}-x_{3},\:x_{1}-2x_{2}+x_{3},\:x_{1}+x_{2}-2x_{3}\right )$$и базис$$\left \langle e \right \rangle = \left \langle \left(1,\:0,\:0\right),\:\left(0,\:1,\:0\right),\:\left(0,\:0,\:1\right)\right \rangle.$$Найти матрицу суммы операторов $C = A + B$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$
    Решение

    Найдем матрицу оператора $A$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$$$ A_{e} = \left(\begin{array}{rrr}0 & 1 & 1 \\2 & 0 & 1 \\3 & -1 & 1\end{array}\right)\cdot$$

    Найдем матрицу оператора $B$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$$$B_{e} = \left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & -1 \\1 & -2 & 1 \\1 & 1 & -2\end{array}\right)\cdot$$

    Найдем матрицу оператора $C = A + B.$ По лемме матрица оператора $C$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $C_{e} = A_{e} + B_{e}$, тогда имеем:$$C_{e} = \left(\begin{array}{rrr}0 & 1 & 1 \\2 & 0 & 1 \\3 & -1 & 1\end{array}\right) + \left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & -1 \\1 & -2 & 1 \\1 & 1 & -2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\3 & -2 & 2 \\4 & 0 & -1\end{array}\right)\cdot$$

    [свернуть]
  2. Пусть задан оператор дифференцирования $D\in\Omega \left ( \mathbb{R}_{4}[x] \right )$. Найти матрицу оператора $F = \sqrt{2}D$ $\left( F\in\Omega \left ( \mathbb{R}_{4}[x] \right) \right)$ в базисе $\left \langle e \right \rangle = \left \langle 1,\:\displaystyle x,\:\displaystyle x^{2},\:\displaystyle x^{3},\:\displaystyle x^{4}\right \rangle.$
    Решение

    Найдем матрицу оператора $D$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$$$D_{e} = \left(\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 2 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 3 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 4\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\cdot$$

    Найдем матрицу оператора $F = \sqrt{2}D$. По лемме матрица оператора $F$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $F_{e} = \sqrt{2}D_{e}$, тогда имеем:$$F_{e} = \sqrt{2}\left(\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 2 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 3 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 4\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}0 & \sqrt{2} & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 2\sqrt{2} & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 3\sqrt{2} & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 4\sqrt{2}\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\cdot$$

    [свернуть]
  3. Пусть заданы два линейных оператора $$A\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3} \right) = \left(x_{1}-x_{2}+x_{3},\:x_{3},\:x_{2}\right ),$$$$B\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3}\right ) = \left (2x_{1}+3x_{2},\:x_{1},\:x_{2}-x_{3}\right )$$и базис$$\left \langle e \right \rangle = \left \langle \left(1,\:0,\:1\right),\:\left(2,\:0,\:-1\right),\:\left(1,\:1,\:0\right)\right \rangle.$$Найти матрицу произведения операторов $C = BA$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$
    Решение

    Найдем матрицу оператора $A$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$$$ A_{e} = \left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 0 \\1 & -1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right)\cdot$$

    Найдем матрицу оператора $B$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$$$B_{e} = \left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 5 \\1 & 2 & 1 \\-1 & 1 & 1\end{array}\right)\cdot$$

    Найдем матрицу оператора $C = BA.$ По лемме матрица оператора $C$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $C_{e} = B_{e}A_{e}$, тогда имеем:$$C_{e} = \left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 5 \\1 & 2 & 1 \\-1 & 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 0 \\1 & -1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}5 & 1 & 5 \\4 & -1 & 1 \\-1 & -2 & 1\end{array}\right)\cdot$$

    [свернуть]
  4. Пусть заданы два линейных оператора $$A\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3} \right) = \left(2x_{1}-x_{2},\:3x_{1}+x_{3},\:2x_{2}-2x_{3}\right ),$$$$B\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3}\right ) = \left (x_{1}+x_{3},\:x_{2}-x_{1},\:3x_{2}+x_{3}\right )$$и базис$$\left \langle e \right \rangle = \left \langle \left(1,\:0,\:0\right),\:\left(0,\:1,\:0\right),\:\left(0,\:0,\:1\right)\right \rangle.$$Найти матрицу оператора $C = 2BA + 3A$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$
    Решение

    Найдем матрицу оператора $A$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$$$ A_{e} = \left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 0 \\3 & 0 & 1 \\0 & 2 & -2\end{array}\right)\cdot$$

    Найдем матрицу оператора $B$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$$$B_{e} = \left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1 \\-1 & 1 & 0 \\0 & 3 & 1\end{array}\right)\cdot$$

    Найдем матрицу оператора $D = BA.$ По лемме матрица оператора $D$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $D_{e} = B_{e}A_{e}$, тогда имеем:$$D_{e} = \left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1 \\-1 & 1 & 0 \\0 & 3 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 0 \\3 & 0 & 1 \\0 & 2 & -2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & -2 \\1 & 1 & 1 \\9 & 2 & 1\end{array}\right)\cdot$$

    Найдем матрицу оператора $F = 2D.$ По лемме матрица оператора $F$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $F_{e} = 2D_{e}$, тогда имеем:$$F_{e} = 2\left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & -2 \\1 & 1 & 1 \\9 & 2 & 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}4 & 2 & -4 \\2 & 2 & 2 \\18 & 4 & 2\end{array}\right)\cdot$$

    Найдем матрицу оператора $G = 3A.$ По лемме матрица оператора $G$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $G_{e} = 3A_{e}$, тогда имеем:$$G_{e} = 3\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 0 \\3 & 0 & 1 \\0 & 2 & -2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}6 & -3 & 0 \\9 & 0 & 3 \\0 & 6 & -6\end{array}\right)\cdot$$

    Тогда, по лемме матрица оператора $C$ определяется равенством: $C_{e} = F_{e} + G_{e},$ получим:$$C_{e} = \left(\begin{array}{rrr}4 & 2 & -4 \\2 & 2 & 2 \\18 & 4 & 2\end{array}\right) + \left(\begin{array}{rrr}6 & -3 & 0 \\9 & 0 & 3 \\0 & 6 & -6\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}10 & -1 & -4 \\11 & 2 & 5 \\18 & 10 & -4\end{array}\right)\cdot$$

    [свернуть]
  5. Пусть заданы три линейных оператора $$A\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3} \right) = \left(x_{1}+x_{2}+x_{3},\:2x_{1}-x_{2},\:3x_{2}+x_{3}\right ),$$$$B\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3}\right ) = \left (2x_{2}-3x_{3},\:x_{1}+x_{3},\:2x_{1}-3x_{2}\right ),$$$$C\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3} \right) = \left(x_{1},\:x_{2}-4x_{3},\:2x_{1}+6x_{3}\right )$$и базис$$\left \langle e \right \rangle = \left \langle \left(1,\:0,\:1\right),\:\left(1,\:1,\:0\right),\:\left(0,\:1,\:1\right)\right \rangle.$$Найти матрицу оператора $D = A^{2} — 5B + 6C$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$
    Решение

    Найдем матрицу оператора $A$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$$$ A_{e} = \left(\begin{array}{rrr}2 & 2 & 2 \\2 & 1 & -1 \\1 & 3 & 4\end{array}\right)\cdot$$

    Найдем матрицу оператора $B$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$$$B_{e} = \left(\begin{array}{rrr}-3 & 2 & -1 \\2 & 1 & 1 \\2 & -1 & -3\end{array}\right)\cdot$$

    Найдем матрицу оператора $C$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$$$C_{e} = \left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0 \\-4 & 1 & -3 \\8 & 2 & 6\end{array}\right)\cdot$$

    Найдем матрицу оператора $F = A^{2}.$ Матрица оператора $F$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $F_{e} = A_{e}A_{e}$, тогда имеем:$$F_{e} = \left(\begin{array}{rrr}2 & 2 & 2 \\2 & 1 & -1 \\1 & 3 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}2 & 2 & 2 \\2 & 1 & -1 \\1 & 3 & 4\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}10 & 12 & 10 \\5 & 2 & -1 \\12 & 17 & 15\end{array}\right)\cdot$$

    Найдем матрицу оператора $G = -5B.$ По лемме матрица оператора $G$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $G_{e} = -5B_{e}$, тогда имеем:$$G_{e} = -5\left(\begin{array}{rrr}-3 & 2 & -1 \\2 & 1 & 1 \\2 & -1 & -3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}15 & -10 & 5 \\-10 & -5 & -5 \\-10 & 5 & 15\end{array}\right)\cdot$$

    Найдем матрицу оператора $H = 6C.$ По лемме матрица оператора $H$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $H_{e} = 6C_{e}$, тогда имеем:$$H_{e} = 6\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0 \\-4 & 1 & -3 \\8 & 2 & 6\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}6 & 6 & 0 \\-24 & 6 & -18 \\48 & 12 & 36\end{array}\right)\cdot$$

    Тогда, по лемме матрица оператора $D$ определяется равенством: $D_{e} = F_{e} + G_{e} + H_{e},$ получим:$$D_{e} = \left(\begin{array}{rrr}10 & 12 & 10 \\5 & 2 & -1 \\12 & 17 & 15\end{array}\right) + \left(\begin{array}{rrr}15 & -10 & 5 \\-10 & -5 & -5 \\-10 & 5 & 15\end{array}\right) + \left(\begin{array}{rrr}6 & 6 & 0 \\-24 & 6 & -18 \\48 & 12 & 36\end{array}\right)=$$$$=\displaystyle\left(\begin{array}{rrr}31 & 8 & 15 \\-29 & 3 & -24 \\50 & 34 & 66\end{array}\right)\cdot$$

    [свернуть]

Соответствие между действиями над операторами и действиями над их матрицами

Тест на знание темы «Соответствие между действиями над операторами и действиями над их матрицами».

Смотрите также

  1. Воеводин В.В. Линейная алгебра 400 стр. М.: Наука, 1980, cтр. 194-196
  2. Личный конспект, составленный на основе лекций Белозерова Г.С.
  3. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. 384 стр. М.: Наука, 1984, стр. 189-190