максимум — ПриМат

Лемма. Степень суммы двух многочленов меньше либо равна наибольшей из степеней слагаемых.

Рассмотрим многочлены

$u\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$

$v\left(x\right)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0},$

$s\left(x\right)=u\left(x\right)+v\left(x\right)=c_{p}x^{p}+c_{p-1}x^{p-1}+\ldots+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0},$ где

$p=\max\left(m,n\right).$ По определению суммы двух многочленов, коэффициенты

$s\left(x\right)$ равны

$c_{i}=a_{i}+b_{i},\; \left(i = 0, 1, \ldots, p-1, p\right).$ Рассмотрим коэффициент многочлена

$s\left(x\right)$ при

$x^{p}:$

$c_{p}=a_{n}+b_{m},$ если они существуют, т.е. если

$n=m.$ Если же

$n>m,$ то

$c_{p}=a_{n}.$ Иначе,

$n<m$ и

$c_{p}=b_{m}.$ Таким образом, степень

$s\left(x\right)$ не будет больше

$\max\left(m,n\right).$ В случае же

$m=n$ и

$a_{n}=-b_{m},$

$c_{p}=0$ и степень

$s\left(x\right)<p.$

Примеры решения задач

Читателю предлагается решить эти примеры и сравнить своё решение с приведённым.

Какой степени будет сумма $u\left(x\right)+v\left(x\right),$ если:
$u\left(x\right)=10x^7+26x^6+46x^5+56x^4+114x^3+80x^2+48x+70,$
$v\left(x\right)=7x^7+19x^6+39x^5+185x^4+193x^3+81x^2+56x+20?$

Решение

Воспользуемся леммой. Пусть $s\left(x\right)=u\left(x\right)+v\left(x\right).$ Поскольку $\deg\left(v\left(x\right)\right)=\deg\left(u\left(x\right)\right)=7,$ коэффициент многочлена $s\left(x\right)$ при $x^{7}$ равен $c_{7}=10+7=17\neq 0.$ Следовательно, $\deg\left(s\left(x\right)\right)=7.$
Определить степень суммы многочленов $u\left(x\right)+v\left(x\right),$ если:
$u\left(x\right)=45x^7-47x^6-x^5-140x^4+10x^3+13x^2+24x+12,$
$v\left(x\right)=-45x^7+47x^6+x^5+27x^4+12x^3+6x^2+2x+21.$

Решение

Воспользуемся леммой. Пусть $s\left(x\right)=u\left(x\right)+v\left(x\right),$ коэффициенты $u\left(x\right),$ $v\left(x\right),$ $s\left(x\right)$ равны $a_{i},$ $b_{i},$ $c_{i}$ соответственно. Аналогично предыдущему случаю, $\deg\left(v\left(x\right)\right)=\deg\left(u\left(x\right)\right)=7.$ Рассмотрим коэффициенты $s\left(x\right):$
$c_{7}=a_{7}+b_{7}=45+\left(-45\right)=0.$ Значит, $\deg\left(s\left(x\right)\right)<7.$
$c_{6}=a_{6}+b_{6}=-47+47=0,$
$c_{5}=a_{5}+b_{5}=-1+1=0,$
$c_{4}=a_{4}+b_{4}=-140+27=-113\neq 0.$ Значит, $\deg\left(s\left(x\right)\right)=4.$

Смотрите также

А.Г. Курош Курс высшей алгебры. — Издание девятое. — Москва:Наука, 1968. — 431с. (c. 132)
Р.Галлагер Теория информации и надежная связь. -М.:»Советское радио», 1974. — 720с. (c. 232-233)
Белозёров Г.С. Конспект лекций.

Лемма о степени суммы двух многочленов

Этот тест призван проверить Ваши знания по теме «Лемма о степени суммы двух многочленов».

Задание 1 из 3

1.
Количество баллов: 3
Какой степени будет многочлен $s\left(x\right),$ если: $s\left(x\right)=-u\left(x\right)+v\left(x\right)+u\left(x\right),$ где $u\left(x\right)$ — произвольный многочлен, $v\left(x\right)=2x+3?$ (В ответ введите только число)
Задание 2 из 3

2.
Количество баллов: 2
Чему будет равна $\deg \left(s\left(x\right)\right),$ если $u\left(x\right)=40x^7-34x^6+90x^5-25x^4+147x^3-27x^2+54x+88,$ $v\left(x\right)=40x^7-34x^6+90x^5-25x^4+147x^3+27x^2-54x+88,$ $s\left(x\right)=u\left(x\right)-v\left(x\right).$
- 2
- 1
- 0
- 3
- 4
Задание 3 из 3

3.
Количество баллов: 2
Вычислите $\deg\left(s\left(x\right)\right),$ если $s\left(x\right)=u\left(x\right)+v\left(x\right)$ и $\deg\left(u\left(x\right)\right)=12,$ $\deg\left(s\left(x\right)\right)=14.$ (В ответ введите только число)

Множество $X(\subset\mathbb{R})$ называется ограниченным сверху, если $\exists c\in\mathbb{R}:$ $\forall x\in X:$ $x\leq c$ , то есть все элементы множества $X$ лежат левее $c$ .

Например $3,2,1,0,-1,…$ ограничено сверху любым числом, которое больше или равно 3.

В данном случае, число $c$ называется множества $X$ .

Множество $X(\subset\mathbb{R})$ называется , если $\exists c\in\mathbb{R}:$ $\forall x\in X:$ $x\geq c$ , то есть все элементы множества $X$ лежат правее $c$ .

В данном случае, число $c$ назовём нижней границей множества $X$ .

$1,2,…$ ограничено любым числом, которое меньше или равно 1.

Множество $X(\subset\mathbb{R})$ называется ограниченным, если $\exists {c}’,c \in\mathbb{R}: \forall x \in X: {c}’ \leq x \leq c$ .

Проще говоря, множество $X$ называется ограниченным, если оно ограниченно сверху и ограниченно снизу .

Предложение: (другая запись ограниченности множества)

Множество $X(\mathbb{R})$ ограниченно $\Rightarrow \exists c \in \mathbb{R}:\forall x \in X: \left|x\right| \leq c$ .

$-c \leq x \leq c$

$x$ — найбольший элемент (максимум) множества $X$ , если $x\in X$ и $\forall y\in X: y\leq x$ .

$x$ — множества $X$ , если $x\in X$ и $\forall y\in X: y\geq x$ .

$x=(0;1]$ не имеет минимума.

Теорема

(принцип Архимеда)

Для $\forall x \in \mathbb{R}$ $\exists n \in \mathbb{N}: n>x$ , то есть множество натуральных чисел неограничено сверху во множестве вещественных чисел.

$\square$ Докажем методом от противного. Предположим, что $\mathbb{N}$ ограничено сверху во множестве $\mathbb{R}$ . Тоесть $E$ — множество всех его верхних границ (не пустое). $\mathbb{N} \leq E$ , тогда по аксиоме непрерывности $\exists c \in \mathbb{R}: \mathbb{N} \leq c \leq E$ . Так как $c \leq E$ , то $c$ не является верхней границей. Следовательно, $c-1 \notin E$ , то есть $c-1$ не является верхней границей для $\mathbb{N}$ . $\exists n \in \mathbb{N}: n>c-1 \Leftrightarrow c<n+1$ . Так как $n \in \mathbb{N}$ , то $n+1 \in \mathbb{N}$ . Получаем, что $n+1 \leq c$ . Получили противоречие с тем, что $c<n+1$ . $\blacksquare$

Тест "Ограниченные и неограниченные множества"

Тестовые вопросы по вышеизложенной теме

Задание 1 из 5

1.
Количество баллов: 1
Множество X=(1;4] является
- ограниченным сверху
- ограниченным снизу
- ограниченным
- неограниченным
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 5

2.
Количество баллов: 1
Укажите натуральное число, которым ограниченно снизу множество X=(1;9]
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 5

3.
Количество баллов: 1
Укажите правильную характеристику множества X=(19; 29,5)
- имеет максимум
- не имеет минимума
- ограничено сверху любым числом больше 29
- неограничено
Правильно

Неправильно

Задание 4 из 5

4.

Количество баллов: 1

Отсортируйте множества согласно их характеристикам:

Элементы сортировки

$X=(-\infty;\infty)$
$X=(-18;0]$
$X=[-\pi;\infty)$

Неограничено

Имеет максимум

Имеет минимум

Задание 5 из 5

5.
Количество баллов: 1
Укажите пропущенное слово
- Множество натуральных чисел неограничено сверху во множестве чисел. (принцип Архимеда)
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Тест "Ограниченные и неограниченные множества"

максимум из 5 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Источники:

Конспект по мат.анализу (Лекции Лысенко З.М.)

В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.6.

В.И.Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.43.

Подробнее на:

Wikipedia

mate.oglib.ru

Метка: максимум

Лемма о степени суммы двух многочленов

Примеры решения задач

Смотрите также

Лемма о степени суммы двух многочленов

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Ограниченные и неограниченные множества

Теорема

Тест "Ограниченные и неограниченные множества"

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Элементы сортировки

5.

Таблица лучших: Тест "Ограниченные и неограниченные множества"

Средний результат
Ваш результат