Теорема о разности двух первообразных

Дифференцируемые в промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex] функции [latex]F(x)[/latex] и [latex]G(x)[/latex] будут в этом промежутке первообразными одной и той же функции [latex]f(x)[/latex] тогда и только тогда, когда разность их значений для любого [latex]x\in\bigtriangleup[/latex] постоянна.

[latex]F(x)-G(x)=C=const[/latex]

Спойлер

Пусть [latex]F(x)[/latex] — некоторая первообразная функции [latex]f(x)[/latex] в промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex]. Следовательно, по определению [latex]F'(x)=f(x)[/latex]. Но тогда и функция [latex]G(x)=F(x)-C[/latex] ([latex]C=const[/latex]) также является промежутке первообразной функции [latex]f(x)[/latex] в этом промежутке , поскольку [latex]G'(x)=(F(x)-C)’=F'(x)=f(x)[/latex].

Пусть [latex]F(x)-G(x)=H(x)[/latex]. Найдем производную

[latex]H'(x)=(F(x)-G(x))’=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0[/latex]

Но в силу признака постоянства дифференцируемой функции, вытекающего из теоремы Лагранжа, равенство [latex]H'(x)=0[/latex] означает, что [latex]H(x)=F(x)-G(x)=C=const[/latex].
Итак, доказана эквивалентность тому, что функция [latex]F(x)[/latex] и [latex]G(x)[/latex] могут быть первообразными лишь одной и той же функции.

[свернуть]

Литература.

Зарубин В.С., Интегральное исчисление функций одного переменного. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999., Стр. 15

Тест

Теорема о разнице двух первообразных

Таблица лучших: Теорема о разнице двух первообразных

максимум из 1 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Пример функции, не имеющей первообразной

Докажем, что функция

[latex]{\mathop{\rm sgn}} x = \left\{ $\begin{array}{l}~~1,~~~x > 1\\~~0,~~~x = 0\\- 1,~~~x < 0\end{array}$ \right.[/latex]

имеет первообразную на любом промежутке, не содержащем точку 0, и не имеет первообразной на любом промежутке, содержащем точку 0.

Спойлер

Источники

Тест

Пример функции, не имеющей первообразной

Таблица лучших: Пример функции, не имеющей первообразной

максимум из 1 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение первообразной

Функция [latex]F[/latex] называется первообразной функцией функции [latex]f[/latex] на промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex], если [latex]F[/latex] дифференцируема на [latex]\bigtriangleup[/latex] и в каждой точке этого промежутка производная функции [latex]F[/latex] равна значению функции [latex]f[/latex]:

[latex]F'(x)-f(x)[/latex], [latex]x\in\bigtriangleup[/latex]

При этом если некоторый конец промежутка [latex]\bigtriangleup[/latex] принадлежит промежутку , то под производной в этом конце понимается соответствующая односторонняя производная. Функция, имеющая в данной точке производную , непрерывна в этой точке , поэтому первообразная [latex]F[/latex] функции [latex]f[/latex] непрерывна на промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex].

Примеры

Функция [latex]F(x)=\frac{x^3}{3}[/latex] является первообразной функции [latex]f(x)=x^2[/latex] на всей числовой оси.
[latex]f(x)=\frac{1}{7-3x}[/latex] [latex]F(x)=-\frac{1}{3}ln|7-3x|+C[/latex]

Решите самостоятельно

[latex]f(x)=3x^2[/latex]

Спойлер

[latex]f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}[/latex], при [latex]x>0[/latex]

Спойлер

[latex]f(x)=-\frac{1}{x^2}[/latex], при [latex]x\ne0[/latex]

Спойлер

[latex]f(x)=cos(x)[/latex]

Спойлер

Ниже приведены графики функции [latex]f(x)=cos(x)[/latex](красный цвет) и ее первообразной [latex]F(x)=sin(x)[/latex](зеленый цвет) при значении произвольной постоянной [latex]C=0[/latex].

Литература

Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2012
Зарубин В.С., Интегральное исчисление функций одного переменного. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,1999, Стр. 14
Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа, 2003. — М.: Дрофа, Т.1. Стр. 453-454

Тест

Определение первообразной

Таблица лучших: Определение первообразной

максимум из 10 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Замена переменной при вычислении предела

Теорема

Если существуют

$latex \lim_{x\to a}\varphi (x)=b$ и $latex \lim_{y\to b}f(y)=A$

причем для всех х из некоторой проколотой окрестности точки [latex]a[/latex] выполняется условие $latex \varphi (x)\neq b$ , то в точке [latex]a[/latex] существует предел сложной функции $latex f(\varphi (x))$ и справедливо равенство

$latex \lim_{x\to a}f(\varphi (x))=\lim_{y\to b}f(y)=A$

Спойлер

Проводим доказательство, используя определение предела функции по Гейне

$latex \forall \{x_{n}\} \underset{n \to \infty }{\rightarrow} a \Rightarrow \{\varphi (x_{n}) \} \underset{n \to \infty }{\rightarrow} b \Rightarrow f(\varphi (x_{n})) \underset{n \to \infty }{\rightarrow} A$

[свернуть]

Примеры

Спойлер

Доказать что $latex \lim_{x \to 0}\frac{arcsin(x)}{x}=1$

$latex \lim_{x \to 0}\frac{arcsin(x)}{x}= \left [ t=arcsin(x) , t \underset{x \to 0}{\rightarrow} 0 \right ]= \lim_{t \to 0}\frac{t}{sin(t)}=1$ (см. Первый замечательный предел)

[свернуть]

Спойлер

Доказать что $latex \lim_{x \to 0}\frac{arctg(x)}{x}=1$

$latex \lim_{x \to 0}\frac{arctg(x)}{x}= \left [ t=arctg(x), t \underset{x \to 0}{\rightarrow} 0 \right]=$ $latex \lim_{t \to 0}\frac{t}{tg(t)}=$ $latex \lim_{t \to 0}\frac{t}{sin(t)}cos(t)=1$ (см. Первый замечательный предел)

[свернуть]

Тест

Тест на понимание темы «Замена переменной при вычислении предела»

Задание 1 из 5

1.
Для чего используется метод замены переменных?
- Для того, чтобы свести решение к первому замечательному пределу
- Для того, чтобы свести решение ко второму замечательному пределу
- Чтобы привести к более легкому интегралу
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 5

2.
Найти предел методом замены переменной [latex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{arctg3x}{7x}[/latex]
Правильно

Неправильно

Правильный ответ 3/7
Задание 3 из 5

3.
Найти предел методом замены переменной [latex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{5x}{arcsin\frac{x}{2}}[/latex]
Правильно

Неправильно

Правильный ответ 10
Задание 4 из 5

4.
Найти предел методом замены переменной

[latex]\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1+cosx}{(x-\pi)^{2}}[/latex]
- $\frac{2}{\pi }$
- $\pi x$
- $2x$
Правильно

Неправильно
Задание 5 из 5

5.
Найти предел методом замены переменной [latex]\lim_{x\rightarrow\pi}\frac{1+cosx}{(x-\pi)^{2}}[/latex]
Правильно

Неправильно

Правильный ответ 1/2

Источники

Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.(стр. 112-113)

В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 68-69)

Б.П.Демидович. Cборник задач и упражнений по математическому анализу

Формула Тейлора с остатком в форме Пеано

Формулировка:

Если существует $f^{(n)}(x_{0})$ , то $f(x)$ представима в следующем виде:

$f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}}{k!}(x-x_{0})^{k}+o((x-x_{0})^{n})_{x\to x_{0}}$

Это выражение $f(x)$ называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (или локальной формулой Тейлора)

Доказательство:

Для начала докажем Лемму

Пусть функции $\varphi(x),\psi(x)$ определены в $\delta$ окрестности точки $x_{0}$ и удовлетворяют следующим условиям:

$\forall x \in U_{\delta} \exists \varphi^{(n+1)}(x),\psi^{(n+1)}(x);$
$\varphi(x_{0})=\varphi'(x_{0})=…=\varphi^{(n)}(x_{0})=0$ , $\psi(x_{0})=\psi'(x_{0})=…=\psi^{(n)}(x_{0})=0$
$\psi(x)\neq0,\psi^{k}(x)\neq 0 \forall x\in U_{\delta}(x_{0}),k=\overline{1,n+1}$

Тогда $\forall x\in U_{\delta}(x_{0})$ существует точка $\xi$ , принадлежащая интервалу с концами $x_{0}$ и $x$ такая, что $\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi^{n+1}(\xi)}{\psi^{n+1}(\xi)}$

Доказательство

Пусть, например, $x \in (x_{0},x_{0}+\delta)$ . Тогда применяя к функциям $\varphi$ и $\psi$ на отрезке $[x_{0},x]$ теорему Коши и учитывая, что $\varphi(x)=\psi(x)=0$ по условию, получаем

$\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi(x)-\varphi(x_{0})}{\psi(x)-\psi(x_{0})}=\frac{\varphi'(\xi_{1})}{\psi'(\xi_{1})}$, $ x_{0}<\xi_{1}<x$

Аналогично, применяя к функциям $\varphi’$ и $\psi’$ на отрезке $[x_{0},\xi_{1}]$ теорему Коши, находим

$\frac{\varphi'(\xi_{1})}{\psi'(\xi_{1})}=\frac{\varphi'(\xi_{1})-\varphi'(x_{0})}{\psi'(\xi_{1})-\psi'(x_{0})}=\frac{\varphi»(\xi_{2})}{\psi»(\xi_{2})},$ $x_{0}<\xi_{2}<\xi_{1}$

Из этих двух равенств следует, что

$\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi'(\xi_{1})}{\psi'(\xi_{1})}=\frac{\varphi»(\xi_{2})}{\psi»(\xi_{2})},$ $x_{0}<\xi_{2}<\xi_{1}<x<x_{0}+\delta$

Применяя теорему Коши последовательно к функциям $\varphi»$ и $\psi»$ , $\varphi^{(3)}$ и $\psi^{(3)}$ ,…, $\varphi^{(n)}$ и $\psi^{(n)}$ на соответствующих отрезках получаем

$\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi'(\xi_{1})}{\psi'(\xi_{1})}=…=\frac{\varphi^{n}(\xi_{n})}{\psi^{n}(\xi_{n})}=\frac{\varphi^{n+1}(\xi)}{\psi^{n+1}(\xi)}$

где $x_{0}<\xi<\xi_{n}<…<\xi_{2}<\xi_{1}<x<x_{0}+\delta$

Равенство доказано для случая, когда $x \in(x_{0},x_0+\delta)$ , аналогично рассматривается случай, когда $x \in(x_0-\delta,x_{0})$ .

Теперь, когда лемма доказана, приступим к доказательству самой теоремы:

Из существования $f^{(n)}(x_{0})$ следует, что функция $f(x_{0})$ определена и имеет производные до $(n-1)$ порядка включительно в $\delta$ окрестности точки $x_{0}$

Обозначим $\varphi(x)=r_{n}(x),\psi(x)=(x-x_{0})^{n}$ , где $r_{n}(x)=f(x)-P_{n}(x)$ .

Функции $\varphi(x)$ и $\psi(x)$ удовлетворяют условиям леммы, если заменить номер $n+1$ на $n-1$

Используя ранее доказанную лемму и учитывая, что $r_{n}^{(n-1)}(x_{0})=0$ получаем

$\frac{r_{n}(x)}{(x-x_{0})^{n}}=\frac{r_{n}^{n-1}(\xi)-r_{n}^{(n-1)}(x_{0})}{n!(\xi-x_{0})},$ $\xi=\xi(x)(*)$

где $x_{0}<\xi<x<x_{0}<x_{0}+\delta$ или $x_{0}-\delta<x<\xi<x_{0}$ .

Пусть $x\to x_{0}$ , тогда из неравенств следует, что $\xi \to x_{0}$ , и в силу существования $f^{(n)}(x_{0})$ существует

$\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{r_{n}^{(n-1)}(x)-r_{n}^{(n-1)}(x_{0)}}{x-x_0}=$

$=\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{r_{n}^{(n-1)}(\xi)-r_{n}^{(n-1)}(x_{0)}}{\xi-x_{0}}=r_{n}^{(n)}(x_{0})=0$

Так как выполняются равенства $r_{n}(x_{0})=r_{n}'(x_{0})=…=r_{n}^{(n)}(x_{0})=0$

Таким образом, правая часть формулы $(*)$ имеет при $x\to x_{0}$ предел, равный нулю, а поэтому существует предел левой части этой формулы, так же равный нулю. Это означает, что $r_{n}(x)=o((x-x_{0})^{n}),x\to x_{0}$ , то есть $f(x)-P_{n}(x)=o((x-x_{0})^{n})$ , что и требовалось доказать.

Пример:

Разложить функцию $y=\cos^{2}(x)$ в окрестности точки $x_{0}=0$ по Тейлору с остатком в форме Пеано.

Решение

Табличное разложение косинуса имеет следующий вид:

$\cos(x)=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-…+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})$

Представим функцию $\cos^{2}(x)$ в виде:

$\cos^{2}(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(2x)$

Заменим в табличном разложении $x$ на $2x$ и подставим представление косинуса.Получим

$\cos^{2}(x)=1-x^2+\frac{x^{4}}{3}-…+(-1)^{n} \frac{2^{2n-1}x^{2n}}{2n!}+o(x^{2n+1})$

Источники:

Конспект по курсу математического анализа Лысенко З.М.
Тер-Крикоровв А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа -М.:ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.-672 с. гл. IV §18 с. 161.

Тест на знание формулы Тейлора(ост.Пеано)

Проверьте себя на знание доказательства и применения формулы Тейлора с остатком в форме Пеано.

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Спойлер

Литература.

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Таблица лучших: Теорема о разнице двух первообразных

Источники

Тест

Пример функции, не имеющей первообразной

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Таблица лучших: Пример функции, не имеющей первообразной

Примеры

Литература

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Таблица лучших: Определение первообразной

Теорема

Примеры

Доказать что latexlimx→0arcsin(x)x=1latex \lim_{x \to 0}\frac{arcsin(x)}{x}=1

Доказать что latexlimx→0arctg(x)x=1latex \lim_{x \to 0}\frac{arctg(x)}{x}=1

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Источники

Тест на знание формулы Тейлора(ост.Пеано)

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Элементы сортировки

Доказать что $latex \lim_{x \to 0}\frac{arcsin(x)}{x}=1$

Доказать что $latex \lim_{x \to 0}\frac{arctg(x)}{x}=1$