Пусть функция $latex f(x)$ непрерывна в точке $latex x_{0}$ и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда, если эта функция при переходе через точку $latex x_{0}$ меняет направление выпуклости, т.е $latex \exists \delta$ такое что на $latex (x_{0}-\delta ;x_{0})$ функция выпукла вверх (вниз), а на $latex (x_{0};x_{0}+\delta )$ функция выпукла вниз (вверх), то точка $latex x_{0}$ — точка перегиба функции $latex f(x)$.

Пример:

Рассмотрим функцию $latex f(x)=x^{3}$, где тогда $latex x=0$, является точкой перегиба данной функции.

 Список литературы:

• Конспект по математическому анализу (преподаватель Лысенко З.М.);
• Фихтенгольц Г.М «Курс дифференциального и интегрального исчисления» (том 1), 5-е издание, глава 4, §2(стр 303)  .

Формулировка:

Если существует $ f^{(n)}(x_{0}) $, то $ f(x) $ представима в следующем виде:

$$ f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}}{k!}(x-x_{0})^{k}+o((x-x_{0})^{n})_{x\to x_{0}} $$

Это выражение $ f(x) $ называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (или локальной формулой Тейлора)

Доказательство:

Для начала докажем Лемму

Пусть функции $ \varphi(x),\psi(x) $ определены в  $ \delta $  окрестности точки $ x_{0} $ и удовлетворяют следующим условиям:

1. $ \forall x \in U_{\delta} \exists \varphi^{(n+1)}(x),\psi^{(n+1)}(x); $
2. $ \varphi(x_{0})=\varphi'(x_{0})=…=\varphi^{(n)}(x_{0})=0 $, $ \psi(x_{0})=\psi'(x_{0})=…=\psi^{(n)}(x_{0})=0 $
3. $ \psi(x)\neq0,\psi^{k}(x)\neq 0 \forall x\in U_{\delta}(x_{0}),k=\overline{1,n+1} $

Тогда $ \forall x\in U_{\delta}(x_{0}) $ существует точка $ \xi $, принадлежащая интервалу с концами $ x_{0} $ и $ x $ такая, что $ \frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi^{n+1}(\xi)}{\psi^{n+1}(\xi)} $

Доказательство 

Пусть, например, $ x \in (x_{0},x_{0}+\delta) $. Тогда применяя к функциям $ \varphi $ и $ \psi $ на отрезке $ [x_{0},x] $ теорему Коши и учитывая, что $ \varphi(x)=\psi(x)=0 $ по условию, получаем

$$ \frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi(x)-\varphi(x_{0})}{\psi(x)-\psi(x_{0})}=\frac{\varphi'(\xi_{1})}{\psi'(\xi_{1})}$, $ x_{0}<\xi_{1}<x $$

Аналогично, применяя к функциям $ \varphi’ $ и $ \psi’ $ на отрезке $ [x_{0},\xi_{1}] $ теорему Коши, находим

$$ \frac{\varphi'(\xi_{1})}{\psi'(\xi_{1})}=\frac{\varphi'(\xi_{1})-\varphi'(x_{0})}{\psi'(\xi_{1})-\psi'(x_{0})}=\frac{\varphi»(\xi_{2})}{\psi»(\xi_{2})},$$ $$ x_{0}<\xi_{2}<\xi_{1} $$

Из этих двух равенств следует, что

$$ \frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi'(\xi_{1})}{\psi'(\xi_{1})}=\frac{\varphi»(\xi_{2})}{\psi»(\xi_{2})},$$ $$ x_{0}<\xi_{2}<\xi_{1}<x<x_{0}+\delta $$

Применяя теорему Коши последовательно к функциям $ \varphi» $ и $ \psi» $,$ \varphi^{(3)} $ и $ \psi^{(3)} $,…,$ \varphi^{(n)} $ и $ \psi^{(n)}$ на соответствующих отрезках получаем

$$ \frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi'(\xi_{1})}{\psi'(\xi_{1})}=…=\frac{\varphi^{n}(\xi_{n})}{\psi^{n}(\xi_{n})}=\frac{\varphi^{n+1}(\xi)}{\psi^{n+1}(\xi)} $$

где $ x_{0}<\xi<\xi_{n}<…<\xi_{2}<\xi_{1}<x<x_{0}+\delta $

Равенство доказано для случая, когда $ x \in(x_{0},x_0+\delta) $, аналогично рассматривается случай, когда $ x \in(x_0-\delta,x_{0}) $.

Теперь, когда лемма доказана, приступим к доказательству самой теоремы:

Из существования $ f^{(n)}(x_{0}) $ следует, что функция $ f(x_{0}) $ определена и имеет производные до $ (n-1) $ порядка включительно в $ \delta $ окрестности точки  $ x_{0} $

Обозначим $ \varphi(x)=r_{n}(x),\psi(x)=(x-x_{0})^{n} $, где  $ r_{n}(x)=f(x)-P_{n}(x) $.

Функции $ \varphi(x) $ и $ \psi(x) $ удовлетворяют условиям леммы, если заменить номер $ n+1 $ на $ n-1 $

Используя ранее доказанную лемму и учитывая, что $ r_{n}^{(n-1)}(x_{0})=0 $ получаем

$$ \frac{r_{n}(x)}{(x-x_{0})^{n}}=\frac{r_{n}^{n-1}(\xi)-r_{n}^{(n-1)}(x_{0})}{n!(\xi-x_{0})}, $$ $$ \xi=\xi(x)(*) $$

где $ x_{0}<\xi<x<x_{0}<x_{0}+\delta $ или $ x_{0}-\delta<x<\xi<x_{0} $.

Пусть $ x\to x_{0} $, тогда из неравенств следует, что $ \xi \to x_{0} $, и в силу существования $ f^{(n)}(x_{0}) $ существует

$$ \lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{r_{n}^{(n-1)}(x)-r_{n}^{(n-1)}(x_{0)}}{x-x_0}= $$

$$ =\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{r_{n}^{(n-1)}(\xi)-r_{n}^{(n-1)}(x_{0)}}{\xi-x_{0}}=r_{n}^{(n)}(x_{0})=0 $$

Так как выполняются равенства $ r_{n}(x_{0})=r_{n}'(x_{0})=…=r_{n}^{(n)}(x_{0})=0 $

Таким образом, правая часть формулы $ (*) $ имеет при $ x\to x_{0} $ предел, равный нулю, а поэтому существует предел левой части этой формулы, так же равный нулю. Это означает, что $ r_{n}(x)=o((x-x_{0})^{n}),x\to x_{0} $, то есть $ f(x)-P_{n}(x)=o((x-x_{0})^{n}) $, что и требовалось доказать.

Пример:

Разложить функцию $ y=\cos^{2}(x) $ в окрестности точки $ x_{0}=0 $  по Тейлору с остатком в форме Пеано.

Решение

Табличное разложение косинуса имеет следующий вид:

$$ \cos(x)=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-…+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1}) $$

Представим функцию $ \cos^{2}(x) $ в виде:

$$ \cos^{2}(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(2x) $$

Заменим в табличном разложении $ x $ на $ 2x $ и подставим представление косинуса.Получим

$$ \cos^{2}(x)=1-x^2+\frac{x^{4}}{3}-…+(-1)^{n} \frac{2^{2n-1}x^{2n}}{2n!}+o(x^{2n+1})$$

Источники:

1. Конспект по курсу математического анализа Лысенко З.М.
2. Тер-Крикоровв А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа -М.:ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.-672 с. гл. IV §18 с. 161.

Тест на знание формулы Тейлора(ост.Пеано)

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 6 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

Информация

Проверьте себя на знание доказательства и применения формулы Тейлора с остатком в форме Пеано.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 6

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 6 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 6

   1.

   
   В условиях теоремы функция $latex f(x) $ представима в виде…

   • $ f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{k}}{k!}(x-x_{0})^{k} + o((x-x_{0})^{n})_{x\to x_{0}} $
   • $ f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{k}}{k!}(x-x_{0})^{k} $
   • $ f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{k}}{k!}(x)^{k}+o((x)^{n})_{x\to0} $
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 6

   2.

   
   Лемма, помогающая доказать теорему, гарантирует выполнение следующего равенства при определённых условиях:

   • $ \forall x\in U_{\delta}(x_{0}) \, существует\, такая\, точка\, \xi $$ $$ принадлежащая\, интервалу \,с \,концами \, x_{0} \, и \, x \,такая\, , \, что\, \frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi^{n+1}(\xi)}{\psi^{n+1}(\xi)} $
   • $ \forall x\in U_{\delta}(x_{0}) \, существует\, такая\, точка\, \xi $$ $$принадлежащая\, интервалу \,с \,концами \, x_{0} \, и \, x \,такая\, , \, что\, \frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\psi(\xi)}{\varphi(\xi)} $
   • $ \frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi(x)-\varphi(x_{0})}{\psi(x)-\psi(x_{0})} $
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 6

   3.

   Каким условиям должны удовлетворять функции $latex \varphi(x) $  и $latex \psi(x) $ для того, чтоб для них выполнялась лемма, доказанная в этой главе?

   • $ \forall x \in U_{\delta} \exists \varphi^{(n+1)}(x),\psi^{(n+1)}(x) $
   • $ \varphi(x_{0})=\varphi'(x_{0})=...=\varphi^{(n)}(x_{0})=0 \, , \,\psi(x_{0})=\psi'(x_{0})=...=\psi^{(n)}(x_{0})=0 $
   • $ \psi(x)\neq0,\psi^{k}(x)\neq 0 \forall x\in U_{\delta}(x_{0}),k=\overline{1,n+1} $
   • $ \frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi^{n+1}(\xi)}{\psi^{n+1}(\xi)} $
   • $ \frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi(x)-\varphi(x_{0})}{\psi(x)-\psi(x_{0})}=\frac{\varphi'(\xi_{1})}{\psi'(\xi_{1})} $
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 6

   4.

   Чему получился равен  $latex \lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{r_{n}^{(n-1)}-r_{n}^{(n-1)}(x_{0})}{x-x_{0}} &s=1$?

   (буквами, например «один», «бесконечность», «ноль», «три»)
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 6

   5.

   
   Восстановите логическую последовательность

   • $ Правая\, часть\, формулы\, \frac{r_{n}(x)}{(x-x_{0})^{n}}=\frac{r_{n}^{n-1}(\xi)-r_{n}^{(n-1)}(x_{0})}{n!(\xi-x_{0})} \, имеет\, при\, x\to x_{0} \, предел\, , \, равный\, нулю. $
   • $ Существует\, предел\, левой\, части\, формулы\, \frac{r_{n}(x)}{(x-x_{0})^{n}}=\frac{r_{n}^{n-1}(\xi)-r_{n}^{(n-1)}(x_{0})}{n!(\xi-x_{0})} \, при\, x\to x_{0} \,  равный\, нулю. $
   • $ r_{n}(x)=o((x-x_{0})^{n}),x\to x_{0} $
   • $ f(x)-P_{n}(x)=o((x-x_{0})^{n}) $
   Правильно
   

   Неправильно
   
6. Задание 6 из 6

   6.

   
   Соотнесите функции с их разложением по Тейлору с остатком в форме Пеано.

   Элементы сортировки

   • $ y=e^{x} $
   • $ y=ln(x+1) $
   • $ y=cos(x) $
   • $ y=sin(x) $

   • $ y=\sum\limits^{n}_{k=0}\frac{1}{k!}x^{k}+o(x^{n}) $

   • $ y=\sum\limits^{n}_{k=0}(-1)^{k}\frac{1}{k}x^{k}+o(x^{n}) $

   • $ y=\sum\limits^{n}_{k=0}(-1)^{k}\frac{1}{(2k)!}x^{2k}+o(x^{2n}) $

   • $ y=\sum\limits^{n}_{k=0}(-1)^{k}\frac{1}{(2k+1)!}x^{2k+1}+o(x^{2n+1}) $

   Правильно
   

   Неправильно
   

Получим информацию об остатке.

Теорема (об остатке [latex]r_{n}(x)[/latex] ф-лы Тейлора)

[latex]f(t), {f}'(t), {f}»(t),\cdots , f^{(n)}(t)\in C[x_{0},x][/latex] и [latex]\exists f^{(n+1)}(t)[/latex], где [latex]t \in (x_{0},x)[/latex]. Пусть ф-ция [latex]\varphi \in C[x_{0},x][/latex] и [latex]\exists \varphi'(t) \neq 0[/latex]     [latex]\forall t(x_{0},x)[/latex]. Тогда [latex]\exists[/latex] т. [latex]\xi \in (x_{0},x)[/latex] : [latex]r_{n}(x_{0},x)=\frac{\varphi (x) -\varphi (x_{0})}{\varphi ‘(\xi)n!} * \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{1!}*(x-\xi)^{n}[/latex]

[latex]\square [/latex]
Введем вспомогательную ф-цию [latex]F(t)=f(x)-P_{n}(t,x)[/latex], т.е. [latex]P_{n}(t,x)=f(t)+\frac{{f}'(t)}{1!}(x-t)+\cdots + \frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x-t)^{n}[/latex]

[latex]F(t)=f(x)-\left [ f(t)+\frac{{f}'(t)}{1!}(x-t)+\frac{{f}»(t)}{2!}(x-t)^{2}+ \frac{f^{(3)}(t)}{3!}(x-t)^{3}+ \cdots+\frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x-t)^{n} \right ][/latex] =[latex]-\left [ f'(t)+ \frac{f»(t)}{1!}(x-t)’ +\frac{f^{(3)}(t)}{2!}((x-t)^{2})’+ \frac{f^{(4)}(t)}{3!}((x-t)^{3})’ +\cdots+\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}((x-t)^{n})’ \right ][/latex]=[latex]-\left [ f'(t)+ \frac{f»(t)(x-t)+(x-t)’f'(t)}{1!} \right ][/latex]=[latex s=4]-\left [ f'(t)+ \frac{f»(t)}{1!}(x-t) +\frac{f'(t)}{1!}(-1)+ \frac{f^{(3)}(t)}{2!}(x-t)^{2}+\frac {f»(t)}{2!}2(x-t)(-1)+\frac {f^{(4)}(t)}{3!}(x-t)^{3}+3(x-t)^{2}(-1)\frac {f^{(3)}(t)}{3!}+\cdots+\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^{n}+ n(x-t)^{n-1}(-1)\frac {f^{n}(t)}{n!} \right ][/latex]

[latex]F'(t)=-\frac {f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^{n}[/latex]
К паре ф-ций F(t) и [latex]\varphi (t)[/latex] на [latex][x_{0},x][/latex] применим теорему Коши о конечных приращениях [latex]\Rightarrow \exists[/latex] т. [latex]\xi \in (x_{0},x)[/latex]: [latex]\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}[/latex];
[latex]\frac {\overbrace {F(x)}^0-\overbrace{F(x_{0})}^{r_{n}(x_{0},x)}}{\varphi (x) — \varphi (x_{0})}=\frac {F'(\xi)}{\varphi ‘(\xi)}[/latex];

Уточняем!
[latex]F(x)=f(x) — P_{n}(x,x)=0;[/latex]
[latex]F(x_{0})=f(x)-P_{n}(x_{0},x)=r_{n}(x_{0},x)[/latex];
[latex]F'(\xi)=- \frac {f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi )^{n}[/latex];

Таким образом мы получаем следующую формулу:
[latex]\frac{0-r_{n}(x_{0},x)}{\varphi(x)-\varphi(x_{0})}= -\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!\varphi(\xi)}(x-\xi)^{n}[/latex]. Отсюда
[latex]r_{n}(x_{0},x)=\frac{\varphi(x)-\varphi(x_{0})}{\varphi'(\xi)n!}*f^{(n+1)}(\xi)*(x-\xi)^{n}[/latex].
[latex]\blacksquare[/latex]

Список литературы:

1. Конспект лекций по математическому анализу (Лысенко З.М.)

2. Г.М.Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 1, 1962 год, стр. 246-257.

Бесконечные пределы в конечной точке

Проколотой окрестностью точки [latex]a[/latex] называется:

[latex]\dot{U}_{\delta }(a)=(a-\delta ;a)\cup (a;a+\delta ).[/latex]

Пусть функция [latex]f(x)[/latex] определена в некоторой проколотой окрестности точки [latex]a.[/latex] Говорят, что [latex]f(x)[/latex] имеет бесконечный предел в этой точке [latex](\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)= \infty),[/latex] если:

[latex]\forall \varepsilon >0 \: \exists \delta>0 :\forall x\in\dot{U}_{\delta }(a):\: |f(x)|>\varepsilon.[/latex]

В этом случае функцию называют бесконечно большой при [latex]x\rightarrow a.[/latex] Данный общий случай можно разделить на два частных:

[latex]\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)= +\infty\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 \: \exists \delta>0 :\forall x\in\dot{U}_{\delta }(a):\: f(x)>\varepsilon[/latex]

и, соответственно

[latex]\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)= -\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 \: \exists \delta>0 :\forall x\in\dot{U}_{\delta }(a):\: f(x)<-\varepsilon.[/latex]

Пример 1

Дана функция [latex]f(x)=\frac{1}{x}:[/latex]

Найти предел при [latex]x\rightarrow 0.[/latex]

Пределы на бесконечности

Число [latex]A[/latex] называют пределом функции [latex]f(x)[/latex] на бесконечности [latex](\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=A),[/latex] если

[latex]\forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall |x|>\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)-A|<\varepsilon.[/latex]

Отсюда, очевидно, следуют определения предела на [latex]+\infty:[/latex]

[latex]\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall x >\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)-A|<\varepsilon[/latex]

и на [latex]-\infty:[/latex]

[latex]\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall x<-\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)-A|<\varepsilon.[/latex]

Абсолютно аналогично определяется бесконечный предел на бесконечности:

[latex]\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall |x|>\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)|>\varepsilon[/latex]
[latex]\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=+ \infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall |x|>\delta _{\varepsilon }:\: f(x)>\varepsilon[/latex]
[latex]\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=- \infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall |x|>\delta _{\varepsilon }:\: f(x)<-\varepsilon[/latex]
[latex]\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall x<-\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)|>\varepsilon[/latex]
[latex]\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall x>\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)|>\varepsilon[/latex]

Пример 2

Рассмотрим функцию [latex]f(x)=\ln x^{2}:[/latex]

Литература

1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001 г., стр. 79-80
2. Демидович Б.П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу, физмат-лит, 1966 г., стр. 50

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 6 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

Информация

Тест

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 6

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 17 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 6

   1.

   
   Сопоставьте записи в кванторах с определениями:

   Элементы сортировки

   • \(\forall \varepsilon >0\: \exists \delta >0:\forall x \in \dot{U}_{\delta }(a): |f(x)|>\varepsilon\)
   • \(\forall \varepsilon >0\: \exists \delta >0:\forall x>\delta: |f(x)-A|<\varepsilon\)
   • \(\forall \varepsilon >0\: \exists \delta >0:\forall x \in \dot{U}_{\delta }(a): f(x)>\varepsilon\)
   • \(\forall \varepsilon >0\: \exists \delta >0:\forall x>\delta: \left |f(x) \right |>\varepsilon\)

   • Функция бесконечно большая при \( x\rightarrow a \)

   • Предел функции равен \(A\) при \(x\rightarrow +\infty\)

   • Предел функции равен \(+\infty\) при \(x\rightarrow a\)

   • Функция бесконечно большая при \(x\rightarrow +\infty\)

   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 6

   2.

   
   Проколотой \(\delta \)-окрестностью точки \(a\) называется:

   • \((x-\delta )\cup (x+\delta )\), где \(x\in (a-\delta;a+\delta)\)
   • \((a-\delta )\cup (a+\delta )\)
   • \(\bigcup_{1}^{n}(x_{i-1}:x_{i})\), где \(x_{0}=a-\delta\) и \(x_{n}=a+\delta\)
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 6

   3.

   
   Проанализируйте график функции \(|e^{2x+2}+1|-1\):
   

   • функция \(f(x)\) ограничена на всей числовой оси
   • функция \(f(x)\) ограничена в некоторой окрестности точки \(-1\)
   • \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f(x)=2\)
   • функция \(f(x)\) не имеет предела при \(x\rightarrow +\infty\)
   • предел функции \(f(x)\) при \(x\rightarrow +\infty\) равен \(+\infty\)
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 6

   4.

   
   Функция, удовлетворяющая условию \( \forall x_{1},x_{2}:x_{1}<x_{2}:f(x_{1})<f(x_{2}) \) называется:
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 6

   5.

   
   Заполните пропуски.

   • Функция имеет (бесконечный) предел при \(x\rightarrow a\), если для (любого, всякого) \(\varepsilon \) (существует, есть) \( \delta \), что для всех \(x\) из \((a-\delta ;a)\cup (a;a+\delta )\) \(|f(x)|>\) (эпсилон, епсилон)
   Правильно
   

   Неправильно
   
6. Задание 6 из 6

   6.

   
   Расположите пределы функции \(f(x)=\frac{-x}{6x^{2}-7}\)в таком порядке:
   \(x\rightarrow-\infty \), \(x\rightarrow-0 \), \(x\rightarrow+0 \), \(x\rightarrow+\infty \):

   • +0
   • \(+\infty \)
   • \(-\infty \)
   • -0
   Правильно
   

   Неправильно
   

Ранее мы уже доказали, что для любой интегрируемой на $latex [a,b] $ функции $latex f $ интеграл с переменным верхним пределом – непрерывная на $latex [a,b] $ функция.

Теорема. Пусть функция $latex f $ интегрируема на $latex [a,b] $ и непрерывна в точке $latex x_{0} \in [a,b]. $ Тогда функция $latex F $ дифференцируема в точке $latex x_{0} $ и $latex F'(x_{0})=f(x_{0}). $

Доказательство.

Замечание.

Пример 1.

Пример 2.

Литература :

• Конспект лекций по математическому анализу (преп. Лысенко З.М.)
• Курс лекций по математическому анализу (В. И. Коляда, А. А. Кореновский) том 1, стр 204.

Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом в точке непрерывности подынтегральной функции

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 6 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

Информация

Этот тест проверит ваши знания касательно темы «дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 6

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 6

   1.

   Является ли требование непрерывности функции $latex f $ в точке $latex x_{0} $ необходимым для дифференцируемости $latex F(x) $ в точке $latex x_{0} $ в условии доказанной теоремы?

   • Да, является.
   • Нет, не является.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 6

   2.

   Может ли интеграл с переменным верхним пределом от разрывной функции быть дифференцируемым?

   • Да, может.
   • Нет, не может.
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 6

   3.

   Чему равна производная $latex F(x) $ в точке $latex x_{0} = 1 $, если $latex F(x) = \int_{0}^{x} \text{sin} x $?

   • $\sin{1}$
   • $ \cos{1}$
   • $ \int_{0}^{1} \cos{1} $
   • 0
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 6

   4.

   Пусть $latex f(x) = \text{sin} \frac{1}{x} $, тогда по теореме $latex F'(x_{0})=f(x_{0}) $ т. е. $latex F'(x_{0}) = \text{sin} \frac{1}{x_{0}} $. Выберите интервал или отрезок для которого это равенство верно.

   • $ \forall x \in (0, 1] $
   • $ \forall x \in [0,1] $
   • $ \forall x \in (-1,1) $
   • $ \forall x \in [-1,1] $
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 6

   5.

   Если выполняется условие $latex F'(x_{0}) = f(x_{0}) $ , то для функции $latex f $ в точке $latex x_{0} $ функция $latex F(x) $ называется

   • (первообразной, первообразная) в этой точке
   Правильно
   

   Неправильно
   
6. Задание 6 из 6

   6.

   Расположите следующие утверждения в порядке следования одного утверждения из другого.

   • интегрируемость подынтегральной функции $f(t)$
   • непрерывность $F(x)$
   • дифференцируемость $F(x)$
   Правильно
   

   Неправильно