Теорема об умножении определителей

Определитель произведения двух квадратных матриц порядка $n$ равен произведению определителей этих матриц: $\det (A \cdot B)=\det (A) \cdot \det (B)$ или полная формула: $\det\left (\prod_{i=1}^{k}A_i\right )= \prod_{i=1}^{k}\det A_i, A_i\in\left(P\right), i=1, \ldots, k.$

Для доказательства рассмотрим случай $k=2$ . Допустим заданы две матрицы $A=\left \| a_{ij} \right \|\in M_n\left ( P \right )$ и $B=\left \| b_{ij} \right \|\in M_n\left ( P \right )$ . Воспользуемся вспомогательной блочной матрицей $C=\begin{Vmatrix}A & 0\\-E & B\end{Vmatrix}$ размера $2n\times 2n$ , определитель которой имеет вид: $\Delta = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} &\cdots & a_{1n} &0 & 0 & \cdots & 0\\ a_{21}&a_{22} &\cdots & a_{2n} &0 & 0 & \cdots & 0 \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &\cdot & \cdot & \cdot\\ a_{n1}&a_{n2} &\cdots & a_{nn} &0 & 0 & \cdots & 0\\ -1& 0 & \cdots & 0 & b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\\ 0 & -1 & \cdots & 0 & b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &\cdot & \cdot & \cdot\\ 0 & 0 & \cdots & -1 & b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn} \end{vmatrix}$
Вычислим $\Delta$ используя теорему Лапласа. Замечаем, что отличным от нуля будет только $det(A)$ . Следовательно, $\Delta=\det(A) \cdot \det(B)$ . Теперь с помощью элементарных преобразований изменим $\Delta$ так, что в итоге получим определитель вида $\begin{vmatrix}A & C\\ -E & O\end{vmatrix}$ . Где $C$ является произведением матриц $A$ и $B$ . Первый столбец умножим на $b_{11}$ и прибавим к $\left ( n+1 \right)$ -му столбцу, второй на элемент $b_{21}$ и вновь прибавим к $\left ( n+1 \right )$ -му столбцу. Так же обнулим остальные элементы матрицы $B$ . Записав подробнее полученный определитель имеем: $\Delta = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} &\cdots & a_{1n} & c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n}\\ a_{21}&a_{22} &\cdots & a_{2n} & c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n}\\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &\cdot & \cdot & \cdot\\ a_{n1}&a_{n2} &\cdots & a_{nn} & c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \\ -1& 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & -1 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &\cdot & \cdot & \cdot\\ 0 & 0 & \cdots & -1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{vmatrix}$ Снова вычислим определитель $\Delta$ , разложением по последним $n$ столбцам. В этом случае отличным от нуля минором $n-$ го порядка будет определитель матрицы $C$ . Поэтому $\Delta= \det C\cdot\det\left (-E\right )=\det C\cdot\left ( -1 \right )^{n}\cdot\left (-1\right )^{S_1+S_2},$ где $S_1=\sum_{k=n+1}^{2n}k, \textrm{ a } S_2=\sum_{k=1}^{n}k.$ В результате получаем $\Delta=\det C\cdot\left ( -1 \right )^{2n\left ( n^{2}+n \right )}=\det C.$ Теперь, подставляя имеем доказательство теоремы: $\Delta=\det C=\det (A \cdot B)=\det (A) \cdot \det (B).$

Известно, что произведение матриц в общем случае не коммутативно, т.е. $AB \neq BA$ . Но определитель это действительное число, а произведение действительных чисел коммутативно. Следовательно, $\det(AB) = \det A \cdot \det B = \det B\cdot\det A = \det(BA)$

Теорема об умножении определителей является следствием формулы Бине-Коши. Это теорема об определителе произведения прямоугольных матриц, в случае если это произведение дает квадратную матрицу. Справедлива для матриц с элементами любого коммутативного кольца.

Пусть даны две матрицы $A$ и $B$ размеров $\left ( m\times n \right )$ и $\left ( n\times m \right )$ соответственно. Определитель матрицы равен нулю, если $m > n$ , и равен сумме произведений всех соответствующих миноров $m$ -го порядка мaтрицы $A$ на соответствующие миноры $m$ -го порядка матрицы $B$ , если $m \leqslant n$ . Миноры матриц $A$ и $B$ одинакового порядка, равного наименьшему из чисел n и m, называются соответствующими друг другу, если они стоят в столбцах матрицы $A$ и строках матрицы $B$ с одинаковыми номерами: $\det AB=\sum_{\gamma_1<\gamma_2<\cdots<\gamma_m }A_{\gamma_1<\gamma_2<\cdots<\gamma_m }B_{\gamma_1<\gamma_2<\cdots<\gamma_m },$
где $A_{\gamma_1<\gamma_2<\cdots<\gamma_m }$ — минор матрицы $A$ , составленный из столбцов с номерами $\gamma_1<\gamma_2<\cdots<\gamma_m$ , и $B_{\gamma_1<\gamma_2<\cdots<\gamma_m }$ — минор матрицы $B$ , составленный из строк с номерами $\gamma_1<\gamma_2<\cdots<\gamma_m$ .

Допустим $C=AB$ , $c_{ij}=\sum_{\gamma=1}^{m}{a_{i\gamma }b_{\gamma i}}$ . Значит $\det C=\sum_{\sigma}{(-1)^\sigma} \sum_{\gamma_1}{a_{1\gamma_1}b_{\gamma_{1}\sigma(1)}}\ldots \sum_{\gamma_n}{a_{n\gamma_n}b_{\gamma_{n}\sigma(n)}}=$ $=\sum_{\gamma_1,\ldots,\gamma_n=1}^{m}{a_{1\gamma_{1}}}\ldots a_{n_n}\sum_{\sigma}{(-1)^\sigma}b_{\gamma_1\sigma(1)}\ldots b_{\gamma_n\sigma(n)}=\sum_{\gamma_1,\ldots,\gamma_n=1}{a_{1\gamma_{1}}\ldots a_{n\gamma_n} B^{\gamma_1\ldots \gamma_n}}.$ Минор $B^{\gamma_1\ldots \gamma_n}$ не равен нулю только в том случае, когда $\gamma_1, \ldots, \gamma_n$ попарно различны, значит и суммировать можно по парно различные номера $\gamma_1, \ldots, \gamma_n$ . Для любой перестановки $\tau$ этих номеров справедливо $B^{\tau(\gamma_1)\ldots\tau(\gamma_n)}=(-1)^{\tau}B^{\gamma_1\ldots\gamma_n},$ из чего следует $\sum_{\gamma_1,\ldots,\gamma_n=1}{a_{1\gamma_{1}}\ldots a_{n\gamma_n} B_{\gamma_1\ldots \gamma_n}}=\sum_{\gamma_1<\gamma_2<\ldots<\gamma_n}{(-1)^\tau a_{1\tau(1)}\ldots a_{n\tau(n)}B_{\gamma_1\ldots\gamma_n}}=$ $=\sum_{\gamma_1<\gamma_2<\ldots<\gamma_m}{A_{\gamma_1<\gamma_2<\ldots<\gamma_m}B_{\gamma_1<\gamma_2<\ldots<\gamma_m}}.$

Примеры решения задач

Рассмотрим примеры решения задач связанных с рассмотренной теоремой. Читателю рекомендовано попытаться решить задачи самостоятельно, а затем сверить свое решение с приведенным ниже.

1. Найти определитель произведения матриц: $A=\begin{Vmatrix}3 & 4\\ 1 & -8\end{Vmatrix}, B=\begin{Vmatrix}2 & 9\\ -1 & 5\end{Vmatrix}$
  
  Решение
  
  Находим определители данных матриц второго порядка: $\begin{vmatrix}3 & -4\\ 1 & -6\end{vmatrix}=-18+4=-14$ и $\begin{vmatrix}2 & 7\\ 1 & 5\end{vmatrix}=10-7=3$ . По теореме об определителе произведения матриц получаем: $\det (A \cdot B)=\det \left (A \right ) \cdot \det \left ( B \right )=\left ( -14\right )\cdot\left ( 3 \right )=-42.$ Вычислим этот же определитель, находя произведение матриц: $A\cdot B=\begin{vmatrix}3 & -4\\ 1 & -6\end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}2 & 7\\ 1 & 5\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2 & 1\\ -4 & -23\end{vmatrix}$ Следовательно, $\det \left (A\cdot B\right )=-46+4=-42$ . Результаты совпадают.
2. Найти определитель матрицы пятого порядка: $M=\begin{Vmatrix} 1 & 2 & u & v & w\\3 & 4 & x & y & z\\0 & 0 & 3 & 2 & 1\\0 & 0 & 2 & 5 & 3\\0 & 0 & 3 & 4 & 2 \end{Vmatrix}$
  
  Решение
  
  Разобьём данную матрицу на 4 блока, $M=\begin{Vmatrix}A & B\\ O & C\end{Vmatrix}$ где $A=\begin{Vmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\end{Vmatrix}$ ,
  $B=\begin{Vmatrix}u & v & w\\ x & y & z\end{Vmatrix}$ , $O=\begin{Vmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\\ 0 & 0\end{Vmatrix}$ , $C=\begin{Vmatrix}3 & 2 & 1\\ 2 & 5 & 3 \\3 & 4 & 2\end{Vmatrix}$ .
  Представим блочную матрицу как произведение (в справедливости этого представления можно убедиться, найдя произведение по правилам умножения блочных матриц). $D=\begin{Vmatrix} A & B\\C & D \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix} E_2 & O^T\\ O & C \end{Vmatrix} \cdot \begin{Vmatrix} E_2 & B\\ O & E_3 \end{Vmatrix} \cdot \begin{Vmatrix} A & O^T\\ O & E_3 \end{Vmatrix} ,$ где $E_2,E_3$ — единичные матрицы соответствующих порядков.
  $\begin{vmatrix} A & O^T\\ O & E_3 \end{vmatrix} = \det A =\left | A \right |$ , $\begin{vmatrix} E_2 & O^T\\ O & C \end{vmatrix} = \det C =\left | C \right|$ .
  Матрица $\begin{Vmatrix} E_2 & B\\ O & E_3 \end{Vmatrix}$ — треугольная с единицами на главной диагонали, следовательно ее определитель равен $1$ По теореме об определителе произведения получаем:
  $\begin{vmatrix} A & B\\ O & C \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} E_2 & O^T\\ O & C \end{vmatrix}\ \cdot \begin{vmatrix} E_2 & B\\ O & E_3 \end{vmatrix}\ \cdot\begin{vmatrix} A & O^T\\ O & E_3 \end{vmatrix}=\left | C \right |\cdot 1\cdot\left | A \right |=\left | A \right |\cdot\left | C \right |$ Найдем $\det A$ и $\det C$ . $\begin{vmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\end{vmatrix}=-2$ $\begin{vmatrix}3 & 2 & 1\\ 2 & 5 & 3 \\3 & 4 & 2\end{vmatrix}=-15-8-36+30+18=-3$ . Подставляя, получаем, $\det M=-2\cdot -3=-6$
3. Представьте в виде определителя произведение определителей: $\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 & 1\\ -1& 2 & 1 & 1\\ -1& -1& 2 & 1\\ -1&-1&-1& 2 \end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix} 4& 1\\ 1& 4 \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix} -3 & 1\\ -1 & 3 \end{vmatrix}$
  
  Решение
  
  По теореме об определителе ступенчатой матрицы имеем:
  $\begin{vmatrix} 4& 1\\ 1& 4 \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix} -3 & 1\\ -1 & 3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 4 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -3 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 3 \end{vmatrix}$ Предположим $A=\begin{Vmatrix} 2 & 1 & 1 & 1\\ -1& 2 & 1 & 1\\ -1& -1& 2 & 1\\ -1&-1&-1& 2 \end{Vmatrix}, B=\begin{Vmatrix} 4 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -3 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 3 \end{Vmatrix},$
  тогда $AB=\begin{Vmatrix} 9 & 6 & -4 & 4\\ -2 & 7 & -4 & 4\\ -5 & -5 & -7 & 5\\ -5 & -5 & 1 & 5 \end{Vmatrix},$ по теореме об определителе произведения получаем искомый определитель $\det (A\cdot B)=\begin{vmatrix} 9 & 6 & -4 & 4\\ -2 & 7 & -4 & 4\\ -5 & -5 & -7 & 5\\ -5 & -5 & 1 & 5 \end{vmatrix}.$

Литература

Белозеров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре.
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Линейная алгебра; 5-е изд., стереотипное. ФИЗМАТЛИТ. — 2002. С. 38-39
А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры С.138-139
Курош А.Г. Курс высшей алгебры М.: Наука, 1968, С.93-95
Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре: Учебное пособие для вузов.— M.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.— 416 с. C. 130-134

Теорема об умножении определителей

Тест на знание темы «Теорема об умножении определителей».

Задание 1 из 3

1.
Чему равен определитель произведения нескольких квадратных матриц?
- Произведению определителей этих матриц.
- Сумме определителей этих матриц.
- Произведению определителей этих матриц с противоположным знаком.
Правильно

Неправильно

Задание 2 из 3

2.

Сопоставьте, если даны прямоугольные матрицы $D$ $K$ $\left ( m\times n \right )$ и $\left ( n\times m \right )$ размеров соответственно

Элементы сортировки

$\textrm{det}DK$ равен сумме произведений всех соответствующих миноров
$\textrm{det}DK$ равен произведению определителей матриц $D$ и $K$
$\textrm{det}DK$ равен нулю

если

$m < n$

если

$m = n$

если

$m > n$

Задание 3 из 3

3.
Заполните пропуски.
- Обобщением теоремы об определителе произведения матриц служит формула , которая выражает определитель произведения прямоугольных матриц через (сумму) произведений всевозможных миноров матрицы A на (соответствующие) миноры того же порядка матрицы B.
Правильно

Неправильно

Соответствие между действиями над операторами и действиями над их матрицами

Как известно, для любого линейного оператора можно определить матрицу этого оператора, при чем такая матрица будет единственной для заданной пары базисов (или одного базиса, в случае оператора из $\Omega \left(X\right)$ , где $\left(X,\:P\right)$ — линейное пространство). Тогда, действия над линейным операторами можно свести к операциям над их матрицами, заданными в фиксированных базисах.

Лемма. В фиксированных базисах, матрицей суммы операторов будет сумма матриц этих операторов.

Зададим два линейных пространства над одним и тем же полем $\left(X,\:P\right)$ и $\left(Y,\:P\right)$ и укажем их размерности, $\dim{X} = m$ , $\dim{Y} = n$ . В пространстве $X$ зададим базис $\left \langle e \right \rangle = \left \langle e_{1},\: e_{2},\: \cdots,\: e_{m}\right \rangle,$ а в пространстве $Y$ — $\left \langle g \right \rangle = \left \langle g_{1},\: g_{2},\: \cdots,\: g_{n}\right \rangle.$

Зададим линейный оператор $A\in\Omega \left(X,\:Y\right)$ . Для оператора $A$ можем записать систему: $\left\{\begin{matrix} Ae_{1}& = & a_{11}g_{1} & + & a_{21}g_{2} & + & \cdots & + & a_{n1}g_{n},\\ Ae_{2}& = & a_{12}g_{2} & + & a_{22}g_{2} & + & \cdots & + & a_{n2}g_{n},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Ae_{m}& = & a_{1m}g_{1} & + & a_{2m}g_{2} & + & \cdots & + & a_{nm}g_{n}.\\ \end{matrix}\right.$ Или можем записать кратко, через сумму: где $j = \overline{1,\:m}$ . Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle g \right \rangle$ матрица оператора $A$ будет иметь вид: $A_{ge} = \left(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m}\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm}\end{matrix}\right).$

Аналогично, зададим линейный оператор $B\in\Omega \left(X,\: Y\right)$ . Для него можем записать систему: $\left\{\begin{matrix} Be_{1}& = & b_{11}g_{1} & + & b_{21}g_{2} & + & \cdots & + & b_{n1}g_{n},\\ Be_{2}& = & b_{12}g_{2} & + & b_{22}g_{2} & + & \cdots & + & b_{n2}g_{n},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Be_{m}& = & b_{1m}g_{1} & + & b_{2m}g_{2} & + & \cdots & + & b_{nm}g_{n}.\\ \end{matrix}\right.$ Или можем записать кратко, через сумму: где $j = \overline{1,\:m}$ . Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle g \right \rangle$ матрица оператора $B$ будет иметь вид: $B_{ge} = \left(\begin{matrix}b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1m}\\b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2m}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nm}\end{matrix}\right).$

Определим линейный оператор $C = A + B,\:$ где $C\in\Omega \left(X,\: Y\right).$ Для оператора $C$ можем записать систему: $\left\{\begin{matrix} Ce_{1}& = & c_{11}g_{1} & + & c_{21}g_{2} & + & \cdots & + & c_{n1}g_{n},\\ Ce_{2}& = & c_{12}g_{2} & + & c_{22}g_{2} & + & \cdots & + & c_{n2}g_{n},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Ce_{m}& = & c_{1m}g_{1} & + & c_{2m}g_{2} & + & \cdots & + & c_{nm}g_{n}.\\ \end{matrix}\right.$ Или можем записать кратко, через сумму: где $j = \overline{1,\:m}$ . Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle g \right \rangle$ матрица оператора $C$ будет иметь вид: $C_{ge} = \left(\begin{matrix}c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1m}\\c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2m}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nm}\end{matrix}\right).$

Рассмотрим подробнее равенство. $\sum_{i=1}^{n}c_{ij}g_{i} = Ce_{j} =$ (по определению оператора суммы) $= \left(A + B\right)e_{j} = Ae_{j} + Be_{j} =$ (используя равенства для $Ae_{j}$ и для $Be_{j}$ ) $=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}g_{i} + \sum_{i=1}^{n}b_{ij}g_{i} = \sum_{i=1}^{n}\left(a_{ij}+b_{ij}\right)g_{i}.$ Следовательно, $\sum_{i=1}^{n}c_{ij}g_{i} = \sum_{i=1}^{n}\left(a_{ij}+b_{ij}\right)g_{i}.$

Таким образом, каждый элемент матрицы $C_{ge}$ представляет собой сумму соответствующих элементов матриц $A_{ge}$ и $B_{ge}$ , что и означает, что $C_{ge} = A_{ge} + B_{ge}.$

Лемма. В фиксированных базисах, матрицей произведения оператора на число будет матрица этого оператора, умноженная на это число.

Зададим линейный оператор $A\in\Omega \left(X,\: Y\right)$ . Для оператора $A$ можем записать систему: $\left\{\begin{matrix} Ae_{1}& = & a_{11}g_{1} & + & a_{21}g_{2} & + & \cdots & + & a_{n1}g_{n},\\ Ae_{2}& = & a_{12}g_{2} & + & a_{22}g_{2} & + & \cdots & + & a_{n2}g_{n},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Ae_{m}& = & a_{1m}g_{1} & + & a_{2m}g_{2} & + & \cdots & + & a_{nm}g_{n}.\\ \end{matrix}\right.$ Или можем записать кратко, через сумму: где $j = \overline{1,\:m}$ . Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle g \right \rangle$ матрица оператора $A$ будет иметь вид: $A_{ge} = \left(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m}\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm}\end{matrix}\right).$

Определим линейный оператор $C = \lambda A,$ где $C\in\Omega \left(X,\:Y\right)$ , $\:\forall \lambda \in P$ . Для оператора $C$ можем записать систему: $\left\{\begin{matrix} Ce_{1}& = & c_{11}g_{1} & + & c_{21}g_{2} & + & \cdots & + & c_{n1}g_{n},\\ Ce_{2}& = & c_{12}g_{2} & + & c_{22}g_{2} & + & \cdots & + & c_{n2}g_{n},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Ce_{m}& = & c_{1m}g_{1} & + & c_{2m}g_{2} & + & \cdots & + & c_{nm}g_{n}.\\ \end{matrix}\right.$ Или можем записать кратко, через сумму: где $j = \overline{1,\:m}$ . Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle g \right \rangle$ матрица оператора $C$ будет иметь вид: $C_{ge} = \left(\begin{matrix}c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1m}\\c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2m}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nm}\end{matrix}\right).$

Рассмотрим подробнее равенство. $\sum_{i=1}^{n}c_{ij}g_{i} = Ce_{j} =$ (по определению произведения оператора на число) $= \left(\lambda A\right)e_{j} = \lambda \left(Ae_{j}\right)=$ (используя равенство для $Ae_{j}$ ) $=\lambda\sum_{i=1}^{n}a_{ij}g_{i} = \sum_{i=1}^{n}\lambda a_{ij}g_{i}.$ Следовательно, $\sum_{i=1}^{n}c_{ij}g_{i} = \sum_{i=1}^{n}\lambda a_{ij}g_{i}.$

Таким образом, каждый элемент матрицы $C_{ge}$ представляет собой произведение числа $\lambda$ на соответствующий элемент матрицы $A_{ge}$ , что и означает, что $C_{ge} = \lambda A_{ge}.$

Лемма. В фиксированных базисах, матрицей произведения операторов будет произведение матриц этих операторов.

Зададим три линейных пространства над одним и тем же полем $\left(X,\:P\right)$ , $\left(Y,\:P\right)$ и $\left(Z,\:P\right)$ и укажем их размерности, $\dim{X} = m,$ $\dim{Y} = n,$ $\dim{Z} = k$ . В пространстве $X$ зададим базис $\left \langle e \right \rangle = \left \langle e_{1},\: e_{2},\: \cdots,\: e_{m}\right \rangle,$ в пространстве $Y$ — $\left \langle g \right \rangle = \left \langle g_{1},\: g_{2},\: \cdots,\: g_{n}\right \rangle,$ а в пространстве $Z$ — $\left \langle t \right \rangle = \left \langle t_{1},\: t_{2},\: \cdots,\: t_{k}\right \rangle.$

Зададим линейный оператор $A\in\Omega \left(X,\: Y\right)$ . Для оператора $A$ можем записать систему: $\left\{\begin{matrix} Ae_{1}& = & a_{11}g_{1} & + & a_{21}g_{2} & + & \cdots & + & a_{n1}g_{n},\\ Ae_{2}& = & a_{12}g_{2} & + & a_{22}g_{2} & + & \cdots & + & a_{n2}g_{n},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Ae_{m}& = & a_{1m}g_{1} & + & a_{2m}g_{2} & + & \cdots & + & a_{nm}g_{n}.\\ \end{matrix}\right.$ Или можем записать кратко, через сумму: где $j = \overline{1,\:m}$ . Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle g \right \rangle$ матрица оператора $A$ будет иметь вид: $A_{ge} = \left(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m}\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm}\end{matrix}\right).$

Аналогично, зададим линейный оператор $B\in\Omega \left(Y,\:Z\right)$ . Для него можем записать систему: $\left\{\begin{matrix} Bg_{1}& = & b_{11}t_{1} & + & b_{21}t_{2} & + & \cdots & + & b_{k1}t_{k},\\ Bg_{2}& = & b_{12}t_{2} & + & b_{22}t_{2} & + & \cdots & + & b_{k2}t_{k},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Bg_{n}& = & b_{1n}t_{1} & + & b_{2n}t_{2} & + & \cdots & + & b_{kn}t_{k}.\\ \end{matrix}\right.$ Или можем записать кратко, через сумму: где $i = \overline{1,\:n}$ . Тогда, в базисах $\left \langle g \right \rangle$ и $\left \langle t \right \rangle$ матрица оператора $B$ будет иметь вид: $B_{tg} = \left(\begin{matrix}b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\\b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ b_{k1} & b_{k2} & \cdots & b_{kn}\end{matrix}\right).$

Определим линейный оператор $C = BA,$ где $C\in\Omega \left(X,\:Z\right)$ . Для оператора $C$ можем записать систему: $\left\{\begin{matrix} Ce_{1}& = & c_{11}t_{1} & + & c_{21}t_{2} & + & \cdots & + & c_{k1}t_{k},\\ Ce_{2}& = & c_{12}t_{2} & + & c_{22}t_{2} & + & \cdots & + & c_{k2}t_{k},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Ce_{m}& = & c_{1m}t_{1} & + & c_{2m}t_{2} & + & \cdots & + & c_{km}t_{k}.\\ \end{matrix}\right.$ Или можем записать кратко, через сумму: где $j = \overline{1,\:m}$ . Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle t \right \rangle$ матрица оператора $C$ будет иметь вид: $C_{te} = \left(\begin{matrix}c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1k}\\c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2k}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ c_{k1} & c_{k2} & \cdots & c_{km}\end{matrix}\right).$

Рассмотрим подробнее равенство. $\sum_{d=1}^{k}c_{dj}t_{d} = Ce_{j} =$ (по определению произведения операторов) $= \left(BA\right)e_{j} = B\left(Ae_{j}\right) =$ (используя равенство для $Ae_{j}$ ) $= B\sum_{i=1}^{n}a_{ij}g_{i} = \sum_{i=1}^{n}a_{ij}Bg_{i} = \sum_{i=1}^{n}a_{ij}\left(Bg_{i}\right) =$ (используя равенство для $Bg_{i}$ ) $= \sum_{i=1}^{n} a_{ij} \sum_{f=1}^{k} b_{fi}t_{f} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{f=1}^{k} a_{ij}b_{fi}t_{f} =\\=\sum_{f=1}^{k} \sum_{i=1}^{n} b_{fi}a_{ij}t_{f} = \sum_{f=1}^{k} \left(\sum_{i=1}^{n} b_{fi}a_{ij} \right)t_{f}.$ Следовательно, получили равенство: $\sum_{d=1}^{k}c_{dj}t_{d} =\sum_{f=1}^{k} \left(\sum_{i=1}^{n} b_{fi}a_{ij} \right)t_{f},$ а так как $d = \overline{1,\:k}$ и $f = \overline{1,\:k}$ , то получаем следующее: $c_{dj} = \sum_{i=1}^{n} b_{di}a_{ij}.$

Таким образом, каждый элемент матрицы $C_{te}$ , с индексами $d$ и $j$ равен сумме попарных произведений каждого элемента $d$ -ой строки матрицы $B_{tg}$ на соответствующий элемент $j$ -ого столбца матрицы $A_{ge}$ . Это и означает, по определению произведения матриц, что $C_{te} = B_{tg}A_{ge}.$

Примеры решения задач

Пусть заданы два линейных оператора $A\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3} \right) = \left(x_{2}+x_{3},\:2x_{1}+x_{3},\:3x_{1}-x_{2}+x_{3}\right ),$ $B\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3}\right ) = \left (2x_{1}-x_{2}-x_{3},\:x_{1}-2x_{2}+x_{3},\:x_{1}+x_{2}-2x_{3}\right )$ и базис $\left \langle e \right \rangle = \left \langle \left(1,\:0,\:0\right),\:\left(0,\:1,\:0\right),\:\left(0,\:0,\:1\right)\right \rangle.$ Найти матрицу суммы операторов $C = A + B$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$

Решение

Найдем матрицу оператора $A$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$ $A_{e} = \left(\begin{array}{rrr}0 & 1 & 1 \\2 & 0 & 1 \\3 & -1 & 1\end{array}\right)\cdot$

Найдем матрицу оператора $B$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$ $B_{e} = \left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & -1 \\1 & -2 & 1 \\1 & 1 & -2\end{array}\right)\cdot$

Найдем матрицу оператора $C = A + B.$ По лемме матрица оператора $C$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $C_{e} = A_{e} + B_{e}$ , тогда имеем: $C_{e} = \left(\begin{array}{rrr}0 & 1 & 1 \\2 & 0 & 1 \\3 & -1 & 1\end{array}\right) + \left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & -1 \\1 & -2 & 1 \\1 & 1 & -2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\3 & -2 & 2 \\4 & 0 & -1\end{array}\right)\cdot$

[свернуть]
Пусть задан оператор дифференцирования $D\in\Omega \left ( \mathbb{R}_{4}[x] \right )$ . Найти матрицу оператора $F = \sqrt{2}D$ $\left( F\in\Omega \left ( \mathbb{R}_{4}[x] \right) \right)$ в базисе $\left \langle e \right \rangle = \left \langle 1,\:\displaystyle x,\:\displaystyle x^{2},\:\displaystyle x^{3},\:\displaystyle x^{4}\right \rangle.$

Решение

Найдем матрицу оператора $D$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$ $D_{e} = \left(\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 2 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 3 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 4\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\cdot$

Найдем матрицу оператора $F = \sqrt{2}D$ . По лемме матрица оператора $F$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $F_{e} = \sqrt{2}D_{e}$ , тогда имеем: $F_{e} = \sqrt{2}\left(\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 2 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 3 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 4\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}0 & \sqrt{2} & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 2\sqrt{2} & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 3\sqrt{2} & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 4\sqrt{2}\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\cdot$

[свернуть]
Пусть заданы два линейных оператора $A\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3} \right) = \left(x_{1}-x_{2}+x_{3},\:x_{3},\:x_{2}\right ),$ $B\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3}\right ) = \left (2x_{1}+3x_{2},\:x_{1},\:x_{2}-x_{3}\right )$ и базис $\left \langle e \right \rangle = \left \langle \left(1,\:0,\:1\right),\:\left(2,\:0,\:-1\right),\:\left(1,\:1,\:0\right)\right \rangle.$ Найти матрицу произведения операторов $C = BA$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$

Решение

Найдем матрицу оператора $A$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$ $A_{e} = \left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 0 \\1 & -1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right)\cdot$

Найдем матрицу оператора $B$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$ $B_{e} = \left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 5 \\1 & 2 & 1 \\-1 & 1 & 1\end{array}\right)\cdot$

Найдем матрицу оператора $C = BA.$ По лемме матрица оператора $C$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $C_{e} = B_{e}A_{e}$ , тогда имеем: $C_{e} = \left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 5 \\1 & 2 & 1 \\-1 & 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 0 \\1 & -1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}5 & 1 & 5 \\4 & -1 & 1 \\-1 & -2 & 1\end{array}\right)\cdot$

[свернуть]
Пусть заданы два линейных оператора $A\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3} \right) = \left(2x_{1}-x_{2},\:3x_{1}+x_{3},\:2x_{2}-2x_{3}\right ),$ $B\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3}\right ) = \left (x_{1}+x_{3},\:x_{2}-x_{1},\:3x_{2}+x_{3}\right )$ и базис $\left \langle e \right \rangle = \left \langle \left(1,\:0,\:0\right),\:\left(0,\:1,\:0\right),\:\left(0,\:0,\:1\right)\right \rangle.$ Найти матрицу оператора $C = 2BA + 3A$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$

Решение

Найдем матрицу оператора $A$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$ $A_{e} = \left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 0 \\3 & 0 & 1 \\0 & 2 & -2\end{array}\right)\cdot$

Найдем матрицу оператора $B$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$ $B_{e} = \left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1 \\-1 & 1 & 0 \\0 & 3 & 1\end{array}\right)\cdot$

Найдем матрицу оператора $D = BA.$ По лемме матрица оператора $D$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $D_{e} = B_{e}A_{e}$ , тогда имеем: $D_{e} = \left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1 \\-1 & 1 & 0 \\0 & 3 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 0 \\3 & 0 & 1 \\0 & 2 & -2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & -2 \\1 & 1 & 1 \\9 & 2 & 1\end{array}\right)\cdot$

Найдем матрицу оператора $F = 2D.$ По лемме матрица оператора $F$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $F_{e} = 2D_{e}$ , тогда имеем: $F_{e} = 2\left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & -2 \\1 & 1 & 1 \\9 & 2 & 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}4 & 2 & -4 \\2 & 2 & 2 \\18 & 4 & 2\end{array}\right)\cdot$

Найдем матрицу оператора $G = 3A.$ По лемме матрица оператора $G$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $G_{e} = 3A_{e}$ , тогда имеем: $G_{e} = 3\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 0 \\3 & 0 & 1 \\0 & 2 & -2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}6 & -3 & 0 \\9 & 0 & 3 \\0 & 6 & -6\end{array}\right)\cdot$

Тогда, по лемме матрица оператора $C$ определяется равенством: $C_{e} = F_{e} + G_{e},$ получим: $C_{e} = \left(\begin{array}{rrr}4 & 2 & -4 \\2 & 2 & 2 \\18 & 4 & 2\end{array}\right) + \left(\begin{array}{rrr}6 & -3 & 0 \\9 & 0 & 3 \\0 & 6 & -6\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}10 & -1 & -4 \\11 & 2 & 5 \\18 & 10 & -4\end{array}\right)\cdot$

[свернуть]
Пусть заданы три линейных оператора $A\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3} \right) = \left(x_{1}+x_{2}+x_{3},\:2x_{1}-x_{2},\:3x_{2}+x_{3}\right ),$ $B\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3}\right ) = \left (2x_{2}-3x_{3},\:x_{1}+x_{3},\:2x_{1}-3x_{2}\right ),$ $C\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3} \right) = \left(x_{1},\:x_{2}-4x_{3},\:2x_{1}+6x_{3}\right )$ и базис $\left \langle e \right \rangle = \left \langle \left(1,\:0,\:1\right),\:\left(1,\:1,\:0\right),\:\left(0,\:1,\:1\right)\right \rangle.$ Найти матрицу оператора $D = A^{2} — 5B + 6C$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$

Решение

Найдем матрицу оператора $A$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$ $A_{e} = \left(\begin{array}{rrr}2 & 2 & 2 \\2 & 1 & -1 \\1 & 3 & 4\end{array}\right)\cdot$

Найдем матрицу оператора $B$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$ $B_{e} = \left(\begin{array}{rrr}-3 & 2 & -1 \\2 & 1 & 1 \\2 & -1 & -3\end{array}\right)\cdot$

Найдем матрицу оператора $C$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$ $C_{e} = \left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0 \\-4 & 1 & -3 \\8 & 2 & 6\end{array}\right)\cdot$

Найдем матрицу оператора $F = A^{2}.$ Матрица оператора $F$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $F_{e} = A_{e}A_{e}$ , тогда имеем: $F_{e} = \left(\begin{array}{rrr}2 & 2 & 2 \\2 & 1 & -1 \\1 & 3 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}2 & 2 & 2 \\2 & 1 & -1 \\1 & 3 & 4\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}10 & 12 & 10 \\5 & 2 & -1 \\12 & 17 & 15\end{array}\right)\cdot$

Найдем матрицу оператора $G = -5B.$ По лемме матрица оператора $G$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $G_{e} = -5B_{e}$ , тогда имеем: $G_{e} = -5\left(\begin{array}{rrr}-3 & 2 & -1 \\2 & 1 & 1 \\2 & -1 & -3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}15 & -10 & 5 \\-10 & -5 & -5 \\-10 & 5 & 15\end{array}\right)\cdot$

Найдем матрицу оператора $H = 6C.$ По лемме матрица оператора $H$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $H_{e} = 6C_{e}$ , тогда имеем: $H_{e} = 6\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0 \\-4 & 1 & -3 \\8 & 2 & 6\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}6 & 6 & 0 \\-24 & 6 & -18 \\48 & 12 & 36\end{array}\right)\cdot$

Тогда, по лемме матрица оператора $D$ определяется равенством: $D_{e} = F_{e} + G_{e} + H_{e},$ получим: $D_{e} = \left(\begin{array}{rrr}10 & 12 & 10 \\5 & 2 & -1 \\12 & 17 & 15\end{array}\right) + \left(\begin{array}{rrr}15 & -10 & 5 \\-10 & -5 & -5 \\-10 & 5 & 15\end{array}\right) + \left(\begin{array}{rrr}6 & 6 & 0 \\-24 & 6 & -18 \\48 & 12 & 36\end{array}\right)=$ $=\displaystyle\left(\begin{array}{rrr}31 & 8 & 15 \\-29 & 3 & -24 \\50 & 34 & 66\end{array}\right)\cdot$

[свернуть]

Соответствие между действиями над операторами и действиями над их матрицами

Тест на знание темы «Соответствие между действиями над операторами и действиями над их матрицами».

Задание 1 из 6

1.
Количество баллов: 1
Найдите матрицу оператора $F=\sqrt{2}D,$ где $D$ — оператор дифференцирования ( $D\in\Omega \left ( \mathbb{R}_{4}[x] \right )$ ), в базисе $\left \langle e \right \rangle = \left \langle 1,\:x-c,\:\displaystyle\frac{\left(x-c\right)^{2}}{2!},\:\displaystyle\frac{\left(x-c\right)^{3}}{3!},\:\displaystyle\frac{\left(x-c\right)^{4}}{4!} \right \rangle.$
- $\begin{pmatrix} 0& 0& 0& 0& 0\\ \sqrt{2}& 0& 0& 0& 0\\ 0& \sqrt{2}& 0& 0& 0\\ 0& 0& \sqrt{2}& 0& 0\\ 0& 0& 0& \sqrt{2}& 0 \end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix} 0& \sqrt{2}& 0& 0& 0\\ 0& 0& \sqrt{2}& 0& 0\\ 0& 0& 0& \sqrt{2}& 0\\ 0& 0& 0& 0& \sqrt{2}\\ 0& 0& 0& 0& 0 \end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix} 0& \sqrt{2}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 2\sqrt{2}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 3\sqrt{2}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 4\sqrt{2}\\ 0& 0& 0& 0& 0 \end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix} 0& 0& 0& 0& 0\\ \sqrt{2}& 0& 0& 0& 0\\ 0& 2\sqrt{2}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 3\sqrt{2}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 4\sqrt{2}& 0 \end{pmatrix}$
Задание 2 из 6

2.
Количество баллов: 3
Выберите все правильные утверждения
- Матрица суммы двух операторов равна сумме матриц этих операторов, если эти матрицы имеют одинаковую размерность и заданы в одних и тех же базисах.
- Матрица суммы двух операторов равна сумме матриц этих операторов, если они имеют одинаковую размерность.
- Матрица суммы двух операторов не зависит от того, в каких базисах заданы матрицы этих операторов.
- Операторы, матрицы которых заданы в различных базисах, можно сложить, если совпадают размерности этих матриц.
Задание 3 из 6

3.
Количество баллов: 4
Пусть заданы два линейных оператора $A\left ( x_{1},\:x_{2},\:x_{3} \right ) = \left ( x_{3},\:x_{2} — x_{1},\:x_{2} + 4x_{3} \right )$ $B\left ( x_{1},\:x_{2},\:x_{3} \right ) = \left ( x_{1} + x_{2},\:x_{3} — x_{2},\:5x_{1} \right ).$

Чему будет равен след матрицы оператора $C = BA$ в базисе $\left \langle e \right \rangle = \left \langle \left(1,\:0,\:0\right),\:\left(0,\:1,\:0\right),\:\left(0,\:0,\:1\right) \right \rangle$ ?
Подсказка

След матрицы — это сумма элементов главной диагонали матрицы.
Задание 4 из 6

4.
Количество баллов: 4
Пусть заданы два линейных оператора $A\left ( x_{1},\:x_{2} \right ) = \left ( 7x_{1}+2x_{2},\:x_{1} — 3x_{2}\right )$ $B\left ( x_{1},\:x_{2}\right ) = \left ( x_{1},\:2x_{1} + 4x_{2} \right )$ и базис $\left \langle e \right \rangle = \left \langle \left(1,\:0\right),\:\left(0,\:1\right)\right \rangle$ .

Отсортируйте в порядке убывания значения определителей матрицы оператора $C$ , если все матрицы заданы в базисе $\left \langle e \right \rangle$ и $C$ определяется так:
- $C = 3B$
- $C = A + B$
- $C = BA$
- $C=3A$

Задание 5 из 6

5.

Количество баллов: 4

Установите соответствие между матрицей оператора $C = BA$ и базисом, в котором эта матрица может быть получена, если $A \left(x_{1},\; x_{2}\right)\,=\,\left(x_{1}+2x_{2},\;4x_{2}\right)\,$ $B \left(x_{1},\; x_{2}\right)\,=\,\left(x_{1}-3x_{2},\;2x_{1}+3x_{2}\right).$

Элементы сортировки

$\left(\begin{array}{rr}1 &-10\\ 2 & 16\end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{rr}-2 &-3\\ 14 & 3\end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{rrr}-14 &-17\\ 26 & 29\end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{rrr}-18 &-16\\ 27 & 22\end{array}\right)$

$\left \langle \left(1, 0\right), \left(0, 1\right)\right \rangle$

$\left \langle \left(0, 1\right), \left(1, 0\right)\right \rangle$

$\left \langle \left(0, 1\right), \left(1, 1\right)\right \rangle$

$\left \langle \left(1, 1\right), \left(0, 1\right)\right \rangle$

Задание 6 из 6

6.
Количество баллов: 1
Заполните пропуски
- Пусть заданы два линейных оператора $A\in\Omega\left(X,\:Y\right)$ и $B\in\Omega\left(Y,\:Z\right).$
  
  Произведением данных операторов называется оператор $C=BA \in\Omega\left(X,\:Z\right),$ матрица которого равна произведению матрицы оператора (B) на матрицу оператора (A), заданных в некоторых базисах.

Смотрите также

Воеводин В.В. Линейная алгебра 400 стр. М.: Наука, 1980, cтр. 194-196
Личный конспект, составленный на основе лекций Белозерова Г.С.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. 384 стр. М.: Наука, 1984, стр. 189-190

13.3 Матрица Якоби

Рассмотрим отображение $f : E \longmapsto R^m,$ где $E \subset R^n.$ Оно состоит из $m$ функций: $f = \left(f_1 \left(x_1,\ldots,x_n \right),f_2 \left(x_1,\ldots,x_n \right),\ldots,f_m \left(x_1,\ldots,x_n \right) \right),$ которые осуществляют отображение множества $E$ из $R^n$ в пространство $R^m.$

Предположим, что функции $f_k \left(x_1,\ldots,x_n \right),$ где $k = \overline{1,m},$ дифференцируемы, то есть имеют частные производные по аргументам $(x_1,\ldots,x_n):$

$\frac{\partial f_1}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial f_n}{\partial x_n}, x = \overline{1,m}.$

Составим матрицу из этих частных производных по переменным $x_1,\ldots,x_n$

$\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \ldots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \ldots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m}{\partial x_2} & \ldots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{pmatrix}$

Такая матрица называется матрицей Якоби.

Если $m = n,$ то получаем квадратную матрицу, определитель которой называется определителем Якоби или якобианом $Jf(x)$ и обозначается

$Jf(x) = \frac{\partial (f_1, \ldots, f_n)}{\partial (x_1, \dots, x_n)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x) & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(x) & \ldots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(x) \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(x) & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}(x) & \ldots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n}(x) \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1}(x) & \frac{\partial f_n}{\partial x_2}(x) & \ldots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n}(x) \end{vmatrix}.$

Замечание. Если все частные производные непрерывны, то и сам оределитель Якоби является непрерывной функцией.

Теорема. Якобиан тождественно равен нулю в некоторой области $\mathbb{S}$ :

$\frac{D(f_1,f_2, \ldots, f_n)}{D(x_1,x_2, \ldots, x_n)} \equiv 0$ при $x = \left(x_1, \ldots, x_n \right) \in \mathbb{S}$

тогда и только тогда, когда между функциями $f_1,f_2,\ldots,f_n$ имеется функциональная зависимость в $\mathbb{S},$ то есть существует функция $G \left(y_1,y_2,\ldots,y_n \right) \not \equiv 0$ такая, что

$G \left(f_1(x),f_2(x),\ldots,f_n(x) \right) \equiv 0$ при всех $x = (x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{S}.$

Пример 1.Являются ли функции функционально зависимыми?

$\begin{cases} f_1 = x_1 + x_2 + x_3 -1; \\ f_2 = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 -2; \\ f_3 = x^2_1 + x^2_2 + x^2_3 + 3. \end{cases}$

Решение.

$\frac{D(f_1,f_2,f_3)}{D(x_1,x_2,x_3)} = \begin{vmatrix} \\ 1 & 1 & 1 \\ x_2 + x_3 & x_1 + x_3 & x_1 + x_2 \\ 2x_1 & 2x_2 & 2x_3 \end{vmatrix} =$

$=\begin{vmatrix} \\ 1 & 1 & 1 \\ x_1 + x_2 + x_3 & x_1 + x_2 + x_3 & x_1 + x_2 + x_3 \\ 2x_1 & 2x_2 & 2x_3 \end{vmatrix} \equiv 0$

Так как якобиан равен нулю, то эти функции функционально зависимы. Несложно найти эту зависимость:

$\left(f_1 + 1 \right)^2 -2\left(f_2 + 2 \right) -\left(f_3 -3\right) = 0.$

Для линейных функций $f_1 = a_{11} x_1 + \ldots + a_{1n} x_n -b_1, \ldots , f_m = a_{m1} x_1 + a_{mn} x_n -b_m$ матрица Якоби будет матрицей коэффициентов при переменных:

Решение.

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix}$

Если мы хотим разрешить систему $f_1 = 0,f_2 = 0, \ldots, f_n = 0$ относительно $x_1, \ldots, x_n,$ то для случая $m = n$ определитель Якоби

$\begin{vmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}$

есть определитель системы и для её разрешимости он должен быть отличен от нуля.

Переход элементарной площади $dS = dx\,dy$ от декартовых координат $\left( x,y \right)$ к полярным координатам $\left( r,\phi \right)$ :

Решение.

$\begin{cases} x = r\,\cos(\phi); \\ y = r\,\sin(\phi). \end{cases}$

Матрица Якоби имеет вид:

$J(r,\phi) = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \phi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \phi} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\phi) & -r\,\sin(\phi) \\ \sin(\phi) & r\,\cos(\phi) \end{pmatrix}.$
Якобиан перехода от декартовых координат к полярным есть определитель матрицы Якоби:

$J(r,\phi) = \det I(r,\phi) = \det\begin{pmatrix} \cos(\phi) & -r\,\sin(\phi) \\ \sin(\phi) & r\,\cos(\phi) \end{pmatrix}.$

Таким образом, элемент площади при переходе от декартовых к полярным координатам будет выглядеть следующим образом:

$dS = dx\,dy = J\left(r,\phi \right) dr\,d\phi = r\,dr\,d\phi.$

Переход элементарного объёма $dV$ = $dx$ $dy$ $dz$ от декартовых координат $\left(x,y,z \right)$ к сферическим координатам $\left(r,\theta,\phi \right)$ :

Решение.

$\begin{cases}x = r\,\sin(\theta)\,\cos(\phi); \\ y = r\,\sin(\theta)\,\sin(\phi); \\ z = r\,\cos(\theta).\end{cases}$

Матрица Якоби имеет следующий вид: $I(r,\theta,\phi) = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} \frac{\partial x}{\partial \theta} \frac{\partial x}{\partial \phi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} \frac{\partial y}{\partial \theta} \frac{\partial y}{\partial \phi} \\ \frac{\partial z}{\partial r} \frac{\partial z}{\partial \theta} \frac{\partial z}{\partial \phi} \end{pmatrix} =$

$= \begin{pmatrix} \sin(\theta) \cos(\phi) & r\,\cos(\theta) \cos(\phi) & -r\,\sin(\theta)\,\sin(\phi) \\ \sin(\theta)\,\sin(\phi) & r\,\cos(\theta)\,\sin(\phi) & r\,\sin(\theta)\,\cos(\phi) \\ \cos(\theta) & -r\,\sin(\theta) & 0 \end{pmatrix}.$

А якобиан перехода от декартовых координат к сферическим – есть определитель матрицы Якоби:

$J\left(r,\theta,\phi \right) = \det I\left(r,\theta,\phi \right)$ =

= $\begin{vmatrix} \sin(\theta)\,\cos(\phi) & r\,\cos(\theta)\,\cos(\phi) & -r\,\sin(\theta)\,\sin(\phi) \\ \sin(\theta)\,\sin(\phi) & r\,\cos(\theta)\,\sin(\phi) & r\,\sin(\theta)\, \cos(\phi) \\ \cos(\theta) & -r\,\sin(\theta) & 0 \end{vmatrix} = r^2\sin(\theta).$

Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:

$dV = dx\,dy\,dz = J\left(r,\theta,\phi \right) dr\,d\theta\,d\phi = r^2\,\sin(\theta)\,dr\,d\theta \,d\phi.$

Матрица Якоби

Для закрепления пройденного материала предлагается пройти тест.

Метка: Матрицы

Теорема об умножении определителей

Примеры решения задач

Литература

Теорема об умножении определителей

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Элементы сортировки

3.

Соответствие между действиями над операторами и действиями над их матрицами

Примеры решения задач

Соответствие между действиями над операторами и действиями над их матрицами

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Подсказка

4.

5.

Элементы сортировки

6.

Смотрите также

13.3 Матрица Якоби

Матрица Якоби

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Список использованной литературы

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат