Огюстен Луи Коши(1789-1857)
Прежде чем ознакомиться с критерием, вспомним, что значит выражение: «Функция удовлетворяет в точке условию Коши».
Определение:
Будем говорить, что функция $latex=f$ удовлетворяет в точке $latex=a$, условию Коши, если она определена в некоторой проколотой окрестности этой точки и $latex=\forall \varepsilon > 0,\exists \delta =\delta _{\varepsilon }> 0:\forall {x}’,{x}»\in U_{\delta }^{\circ}(a)\Rightarrow |f({x}’)-f({x}»)|< \varepsilon$ (где $latex=U^{\circ}_{\delta }(a)$ -проколотая $latex=\delta$-окрестсность точки $latex=a$). $latex=0< |x’-a|< \delta$ $latex=0< |x»-a|< \delta$
Теорема(Критерий Коши):
Для того чтобы функция $latex=f(x)$ имела конечное передельное значение в точке $latex=x=a$, необходимо и достаточно, чтобы функция удовлетворяла условию Коши в точке $latex=a$.
Доказательство
Необходимость
Докажем, что $latex=f(x)$ удовлетворяет в точке $latex=x=a$ условию Коши. Пусть $latex=\exists \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A:\forall \varepsilon > 0,\exists \delta _{\varepsilon }> 0:\forall x:0< |x-a|< \delta \Rightarrow |f(x)-A|< \frac{\varepsilon }{2}$ $latex=\forall {x}’,{x}»\in U_{\delta }^{\circ}(a):$ $latex=|f({x}’)-f({x}»)|=|(f({x}’)-A)+(A-f({x}»))|\leq |f({x}’)-A|+|f({x}»)-A|< \frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon$
Достаточность:
Предположим, что выполняется условие Коши в точке $latex=a$ . Воспользуемся определением предела функции по Гейне: $latex=\lim_{n\rightarrow a}x_{n}=a\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty } f(x_{n})=A$. Пусть $latex=\left \{ x_{n}\right \}^{\infty }$ -произведение последовательности $latex=\in U_{\delta }^{\circ}(a)$ и $latex=\lim_{n\rightarrow \infty } x_{n}=a$ . Докажем, чтo $latex=\left \{ f(x_{n}) \right \}_{n=1}^{\infty }$ не зависит от выбранного $latex=\left \{ x_{n} \right \}$. Согласно условию Коши мы имеем следующее: $latex=\forall \varepsilon > 0,\exists \delta _{\varepsilon }> 0:{x}’,{x}»\in U_{\delta }^{\circ}(a)\Rightarrow |f({x}’)-f({x}»)|< \varepsilon$ т.к. $latex=\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a( \forall \varepsilon > 0,\exists N _{\varepsilon }:\forall n\geq N _{\varepsilon } :|x_{n}-a|< \varepsilon )$ для $latex=\delta _{\varepsilon }:\exists N_{\varepsilon }:\forall n\geq N_{\varepsilon }:0< |x_{n}-a|< \delta _{\varepsilon }$ $latex=\forall m\geq N_{\varepsilon }\Rightarrow 0< |x_{m}-a|< \delta _{\varepsilon }$ $latex=x_{n},x_{m}\in U_{\delta }^{\circ}(a)\Rightarrow |f(x_{n})-f(x_{m})|< \varepsilon$ -следует из условия Коши. $latex=\forall \varepsilon > 0,\exists N_{\varepsilon }:\forall n,m\geq N_{\varepsilon }\Rightarrow |f(x_{n})-f(x_{m})|< \varepsilon$ -$latex=\left \{ f(x_{n}) \right \}$ фундаментальная$latex=\Rightarrow$ по Критерию Коши $latex=\left \{ f(x_{n}) \right \}$-сходящаяся. Покажем, что все последующие $latex=\left \{ f(x_{n}) \right \}$ будут сходится к одному и тому же числу А. $latex=\left \{ f(x_{n}) \right \}\rightarrow A$ $latex=x_{n}\rightarrow a\sim f(x_{n})\rightarrow A$ $latex={x}’_{n}\rightarrow {a}’\sim f({x}’_{n})\rightarrow {A}’$ $latex=x_{1},{x}’_{1},x_{2},{x}’_{2},…\rightarrow a\sim f(x_{1}),f({x}’_{1}),f(x_{2}),f({x}’_{2}),…\rightarrow A$ Теорема доказана.
Рекомендации:
Учебники :
- Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ» Том 1,Глава 1,§ 4, Тема 4.9 «Критерий Коши существование предела функций» стр.81-84;
- Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, Глава 2, § 2 «Предел функции» стр.115-136;
- Ильин В.А.,Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Часть 1,Глава 4, § 2 «Понятие предельного значения функции» стр.103-110.
Сборники задач:
- Демидович Б.П. «Сборник упражнений по математическому анализу» 13-е издание,исправленное, Отдел 1, § 5 «Предел функции» стр.47-72;
- Дороговцев А.Я. «Математический анализ» Глава 2, § 3 «Подполедовательности и частичные пределы.Верхний и нижний пределы последовательности.Фундоментальные последовательности и критерий Коши» стр.38-41.
"Критерий Коши существование предела"
В этом тесте предоставлены вопросы по пройденной теме. Если внимательно изучили материал, следовали всем данным ссылкам и рекомендациям,то вам не составит труда выполнить этот тест.
Таблица лучших: "Критерий Коши существование предела"
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
