Метка: Мат.анализ

Пример функции, не имеющей первообразной

Докажем, что функция

[latex]{\mathop{\rm sgn}} x = \left\{ \begin{array}{l}~~1,~~~x > 1\\~~0,~~~x = 0\\- 1,~~~x < 0\end{array} \right.[/latex]

signum

имеет первообразную на любом промежутке, не содержащем точку 0, и не имеет первообразной на любом промежутке, содержащем точку 0.
Спойлер

  1. На любом промежутке, не содержащем точку 0, функция [latex]sgn x[/latex] постоянна и равна 1 (или -1). Следовательно, любая ее первообразная имеет вид [latex]F(x)=x+C[/latex] (или [latex]F(x)=-x+C[/latex]), где [latex]C[/latex] — некоторое число.
  2. Рассмотрим теперь промежуток, содержащий точку 0, например (-1,1). На интервале (-1,0) любая первообразная функции [latex]sgn x[/latex] имеет вид [latex]F_1=-x+C_1[/latex], а на интервале (0,1) любая первообразная функции [latex]sgn x[/latex] имеет вид [latex]F_2(x)=x+C_2[/latex].

При любом выборе постоянных [latex]C_1[/latex] и [latex]C_2[/latex] мы получаем на интервале (-1, 1) функцию, не имеющую производной в точке x=0. Например, если выбрать [latex]C_1=C_2=C[/latex], то получим функцию [latex]F(x)=|x|+C[/latex], недифференцируемую в точке 0. Следовательно, функция [latex]sgn x[/latex] не имеет первообразной на интервале (-1, 1) и вообще на любом промежутке, содержащем точку 0.

[свернуть]

 

Спойлер

Рассмотрим поведение функции в окрестности точки [latex]0[/latex]. Как видно [latex]lim_{x\rightarrow -0}\: sign(x)=-1[/latex] и [latex]lim_{x\rightarrow +0}\: sign(x)=1[/latex]. По  теореме*  предел функции в точке [latex]0[/latex] не существует.

* Функция [latex]f(x)[/latex] имеет предел в точке [latex]a[/latex] тогда и только тогда, когда существуют равные между собой односторонние пределы в этой точке. В этом случае их общее значение является пределом функции в точке [latex]a[/latex].

[свернуть]

Источники

  1. Пример
  2. Sgn

Тест

Пример функции, не имеющей первообразной

Пример функции, не имеющей первообразной

Таблица лучших: Пример функции, не имеющей первообразной

максимум из 1 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

 

Верхняя и нижняя грани множества

Ограниченное сверху числовое множество имеет бесконечно много верхних границ, среди которых особенную роль играет найменьшая из них. Число $latex M$ называется точной верхней гранью (границей), если:

$latex 1)$ для $latex \forall x \in X: x \leq M;$

$latex 2)$ для $latex \forall {M}'<M: \exists {x}’ \in X:{x}’>{M}’;$ (любое число меньшее M верхней гранью не является).

$latex M=\sup X$ ($latex M$ — супремум $latex X$).

Число $latex M$ называется точной нижней гранью (границей), если:

$latex 1)$ для $latex \forall x \in X: x \geq M;$

$latex 2)$ для $latex \forall {M}’>M: \exists {x}’ \in X:{x}'<{M}’;$ (любое число меньшее M верхней гранью не является).

$latex M=\inf X$ ($latex M$ — инфимум $latex X$).

(если множество $latex X$ неограничено сверху, то пишем $latex \sup{X}=+\infty;$ если множество $latex X$ неограничено снизу, то пишем $latex \sup{X}=-\infty.$)

Примечание: если $latex M$ не является точной верхней гранью множества $latex X$  и $latex \forall x \in X : x \leq M$, тогда $latex \exists {M}'<M : \forall {x}’ \in X : {x}’>{M}’;$

если $latex M$ не является точной нижней гранью множества $latex X$  и $latex \forall x \in X : x \geq M$, тогда $latex \exists {M}’>M : \forall {x}’ \in X : {x}'<{M}’.$

Примеры:

$latex 1) X=[1;2) :$

$latex \sup X=2 \notin X;$   $latex \inf X=1.$

$latex 2) X=\left\{\frac{1}{2};\frac{1}{2^{2}};\frac{1}{2^{3}};…\right\};$

$latex \sup X=\max X=\frac{1}{2} \in X;$

$latex \inf X=0 \notin X.$

Единственность верхних и нижних точных граней

Если множество имеет $latex \sup$ и $latex \inf$, то он единственный.

$latex \square$ Рассмотрим для $latex \sup$.

 Пусть множество $latex X$  имеет 2 точных верхних грани:  $latex M_{1}$ и $latex M_{2}.$

41

Допустим $latex M_{1}<M_{2}$.

Так как $latex M_{1}<M_{2}$ и $latex M_{2}=\sup{X}$, то  $latex \exists {x}’ \in X: {x}’>M_{1}$, что противоречит тому факту, что $latex M_{1}=\sup{X}.$   $latex \blacksquare$

Аналогично доказывается единственность нижней точной грани.

Практические задания:

$latex 1)$ Определить точные нижнюю и верхнюю грани множества рациональных чисел $latex r$, удовлетворяющих равенству $latex r^{2}<2$.

Решим неравенство $latex r^{2}$.

$latex x \in \left (-\sqrt{2}; \sqrt{2} \right )$

$latex \sup r= \sqrt{2}$ Докажем это:

$latex 1) \forall x \in r: x \leq \sqrt{2}$. Так и есть, $latex \sqrt{2}$ является верхней границей множества $latex r$.

$latex 2) \forall {M}'< \sqrt{2} : \exists {x}’ \in r:{x}’>{M}’$;

Действительно, всякие рациональные $latex x< \sqrt{2}$ (и при этом $latex x> -\sqrt{2}$) будут элементами множества $latex r$, причём $latex \forall \epsilon : \exists x \in r : \sqrt{2} — x< \epsilon$. То есть какое бы рациональное число из $latex r$ мы не взяли, можно взять рациональное число из $latex r$ так, что оно будет находиться ближе к $latex \sqrt{2}$ на числовой прямой.

$latex 2)$ Пусть $latex \left \{ -x\right \}$ — множество чисел, противоположных числам $latex x \in \left \{x \right \}.$

Доказать, что $latex \inf \left \{-x \right \}= \sup\left \{x \right \}.$

$latex \square$ Пусть $latex (-x)$ — элемент из множества $latex \left \{-x \right \} $ противоположный элементу $latex x$ из множества $latex \left \{x \right \}$.

Распишем точную нижнюю грань для множества $latex \left \{-x \right \} $ по определению:

$latex 1)$ $latex \forall (-x) \in \left \{-x \right \}: (-x) \geq M;$  $latex \Rightarrow$   $latex \forall x \in \left \{ x \right \}: x \leq -M;$

$latex 2)$ $latex \forall {M}’>M: \exists (-{x}’) \in \left \{-x \right \} : (-{x}’)<{M}’ \Rightarrow$

  $latex \Rightarrow \forall (-{M}’)<-M: \exists {x}’ \in \left \{ x \right \}: {x}’ > -{M}’$.

Получили:

$latex 1)$  $latex \forall x \in \left \{ x \right \}: x \leq -M;$

$latex 2)$  $latex \forall (-{M}’)<-M: \exists {x}’ \in \left \{ x \right \}: {x}’ > -{M}’$.

Тоесть: $latex -M = \sup \left \{ x \right \}$  $latex \Rightarrow$  $latex M=- \sup \left \{ x \right \}$.

Так как $latex M= \inf \left \{-x \right \}$, $latex \inf \left \{-x \right \} = — \sup \left \{ x \right \}$.  $latex \blacksquare$

Тест "Верхняя и нижняя грани множества"

Тестовые вопросы по вышеизложенному материалу.

Таблица лучших: Тест "Верхняя и нижняя грани множества"

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Источники:

Конспект по мат.анализу (Лекции Лысенко З.М.)

В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.7.

В.И.Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.44.

Б.П.Демидович «Сборник задач и упражнений по мат.анализу» (издание пятое) стр.12. №17, 19а.

Подробнее на:

sernam.ru

 Wikipedia

Ограниченные и неограниченные множества

Множество $latex X(\subset\mathbb{R})$ называется ограниченным сверху, если $latex \exists c\in\mathbb{R}:$ $latex \forall x\in X:$ $latex x\leq c$, то есть все элементы множества $latex X$ лежат левее $latex c$.

31

Например: $latex 3,2,1,0,-1,…$ ограничено сверху любым числом, которое больше или равно 3.

В данном случае, число $latex c$ называется верхней границей множества $latex X$.

Множество $latex X(\subset\mathbb{R})$ называется ограниченным снизу, если $latex \exists c\in\mathbb{R}:$ $latex \forall x\in X:$ $latex x\geq c$, то есть все элементы множества $latex X$ лежат правее $latex c$.

32

В данном случае, число $latex c$ назовём нижней границей множества $latex X$.

Например: $latex 1,2,…$ ограничено любым числом, которое меньше или равно 1.

Множество $latex X(\subset\mathbb{R})$ называется ограниченным, если $latex \exists {c}’,c \in\mathbb{R}: \forall x \in X: {c}’ \leq x \leq c$.

Проще говоря, множество $latex X$ называется ограниченным, если оно ограниченно сверху и ограниченно снизу .

Предложение: (другая запись ограниченности множества)

Множество $latex X(\mathbb{R})$ ограниченно $latex \Rightarrow \exists c \in \mathbb{R}:\forall x \in X: \left|x\right| \leq c$.

$latex -c \leq x \leq c$

$latex x$ — найбольший элемент (максимум)  множества $latex X$, если $latex x\in X$ и $latex \forall y\in X: y\leq x$.

$latex x$ — найменьший элемент (минимум)  множества $latex X$, если $latex x\in X$ и $latex \forall y\in X: y\geq x$.

Например: $latex x=(0;1]$  не имеет минимума.

Теорема

(принцип Архимеда)

Для $latex \forall x \in \mathbb{R}$   $latex \exists n \in \mathbb{N}: n>x$, то есть множество натуральных чисел неограничено сверху во множестве вещественных чисел.

$latex \square$ Докажем методом от противного. Предположим, что $latex \mathbb{N}$ ограничено сверху во множестве $latex \mathbb{R}$. Тоесть $latex E$ — множество всех его верхних границ (не пустое). $latex \mathbb{N} \leq E$, тогда по аксиоме непрерывности $latex \exists c \in \mathbb{R}: \mathbb{N} \leq c \leq E$. Так как $latex c \leq E$, то $latex c$ не является верхней границей. Следовательно, $latex c-1 \notin E$, то есть $latex c-1$ не является верхней границей для $latex \mathbb{N}$. $latex \exists n \in \mathbb{N}: n>c-1 \Leftrightarrow c<n+1$. Так как $latex n \in \mathbb{N}$, то $latex n+1 \in \mathbb{N}$. Получаем, что $latex n+1 \leq c$. Получили противоречие с тем, что $latex c<n+1$. $latex \blacksquare$

Тест "Ограниченные и неограниченные множества"

Тестовые вопросы по вышеизложенной теме

Таблица лучших: Тест "Ограниченные и неограниченные множества"

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Источники:

Конспект по мат.анализу (Лекции Лысенко З.М.)

В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.6.

В.И.Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.43.

Подробнее на:

Wikipedia

mate.oglib.ru

Определение первообразной

Функция [latex]F[/latex] называется первообразной функцией функции [latex]f[/latex] на промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex], если [latex]F[/latex] дифференцируема на [latex]\bigtriangleup[/latex] и в каждой точке этого промежутка производная функции [latex]F[/latex] равна значению функции [latex]f[/latex]:

[latex]F'(x)-f(x)[/latex], [latex]x\in\bigtriangleup[/latex]

При этом если некоторый конец промежутка [latex]\bigtriangleup[/latex] принадлежит промежутку , то под производной в этом конце понимается соответствующая односторонняя производная. Функция, имеющая в данной точке производную , непрерывна в этой точке , поэтому первообразная [latex]F[/latex] функции [latex]f[/latex] непрерывна на промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex].

Примеры

    1. Функция [latex]F(x)=\frac{x^3}{3}[/latex] является первообразной функции [latex]f(x)=x^2[/latex] на всей числовой оси.
    2. [latex]f(x)=\frac{1}{7-3x}[/latex]     [latex]F(x)=-\frac{1}{3}ln|7-3x|+C[/latex]

Решите самостоятельно

[latex]f(x)=3x^2[/latex]

Спойлер

[latex]F(x)=x^3[/latex]

[свернуть]

 

[latex]f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}[/latex], при [latex]x>0[/latex]

Спойлер

[latex]F(x)=2\sqrt{x}[/latex]

[свернуть]

 

[latex]f(x)=-\frac{1}{x^2}[/latex], при [latex]x\ne0[/latex]

Спойлер

[latex]F(x)=\frac{1}{x}[/latex]

[свернуть]

 

[latex]f(x)=cos(x)[/latex]

Спойлер

[latex]F(x)=sin(x)[/latex]

[свернуть]

 

Ниже приведены графики функции [latex]f(x)=cos(x)[/latex](красный цвет) и ее первообразной [latex]F(x)=sin(x)[/latex](зеленый цвет) при значении произвольной постоянной [latex]C=0[/latex].

cos

Литература

  1. Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2012
  2. Зарубин В.С., Интегральное исчисление функций одного переменного. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,1999, Стр. 14
  3. Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа, 2003. — М.: Дрофа, Т.1. Стр. 453-454

Тест

Определение первообразной

Таблица лучших: Определение первообразной

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Утверждение 1

Рассмотрим многочлен степени [latex]n[/latex], т. е. функцию вида

[latex]P_{n}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_{1}x+a_{0},\ \ a_{n}\neq0.[/latex]

Эта функция непрерывна на [latex]R.[/latex]

Спойлер

Функция [latex]y=C,[/latex] где [latex]C[/latex] — постоянно непрерывна на [latex]R,[/latex] так как [latex]\Delta y=0[/latex]при любом[latex]x.[/latex] Функция [latex]y=x[/latex]непрерывна на [latex]R,[/latex] так как [latex]\Delta y=\Delta x \to 0[/latex]при[latex]\Delta x \to 0.[/latex] Поэтому функция[latex]y=a_{k}x^k,[/latex] где [latex]k\in\mathbb{N},[/latex] непрерывна на [latex]R[/latex] как произведение непрерывных функций. Так как многочлен [latex]P_{n}(x)[/latex]есть сумма непрерывных функций вида [latex]a_{k}x^k\ \ \ \left ( k=\overline{0,n} \right ),[/latex] то он непрерывен на[latex]R.[/latex]

[свернуть]

Рациональная функция, т. е. функция вида [latex]f(x)=\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)},[/latex] где [latex]P_{n}(x),Q_{m}(x)[/latex] — многочлены степени [latex]n[/latex] и [latex]m[/latex] соответственно, непрерывна во всех точках, которые не являются нулями многочлена [latex]Q_{m}(x).[/latex]

Спойлер

В самом деле, если [latex]Q_{m}(x)\neq 0,[/latex] то из непрерывности многочленов [latex]P_{n}[/latex] и [latex]Q_{m}[/latex] следует непрерывность функции [latex]f[/latex] в точке [latex]x_{0}.[/latex]

[свернуть]

Утверждение 2

Если [latex] x \in \left ( — \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right ) [/latex] и [latex] x\neq 0,[/latex] то [latex] \cos{x} <\frac{\sin\ x}{x} < 1 \ \ \ \ \left ( 1 \right ).[/latex]

Спойлер

Рассмотрим в координатной плоскости круг единичного радиуса
с центром в точке [latex] O [/latex] (рис. 12.1). Пусть [latex] \angle AOB=x,[/latex] где [latex]0<x<\frac{\pi}{2} [/latex].

121

Пусть [latex] C [/latex]  — проекция точки [latex] B[/latex] на ось [latex]Ox[/latex], [latex] D [/latex] луча [latex] OB [/latex] и прямой, проведенной через точку [latex] A [/latex] перпендикулярно оси [latex] Ox.[/latex] Тогда  [latex]BC=sin x, DA=tgx.[/latex]

Пусть [latex]S_{1}, S_{2}, S_{3}[/latex] — площади треугольника [latex]AOB,[/latex] сектора[latex]AOB[/latex] и треугольника [latex]AOD[/latex] соответственно. Тогда

[latex]S_{1}=\frac{1}{2}(OA)^{2}\sin x=\frac{1}{2}\sin x,[/latex]

[latex]S_{2}=\frac{1}{2}(OA)^{2} x=\frac{1}{2}x,[/latex]

[latex]S_{3}=\frac{1}{2}OA \cdot DA=\frac{1}{2} tg \ x.[/latex]

Так как [latex]S_{1}<S_{2}<S_{3},[/latex] то [latex]\frac{1}{2}\sin x<\frac{1}{2}x<\frac{1}{2} tg \ x \ \ \ \ \left ( 2 \right )[/latex]

Если [latex]x \in \left ( 0 , \frac{\pi}{2} \right )[/latex]  то [latex]\sin{x}>0,[/latex] и поэтому неравенство[latex]\left ( 2 \right )[/latex] равносильно неравенству

[latex]1<\frac{x}{\sin{x}}<\frac{1}{\cos{x}}[/latex]

откуда следует, что при  [latex]x \in \left ( 0 , \frac{\pi}{2} \right )[/latex] выполняется неравенство [latex]\left ( 1 \right ).[/latex] Так
как [latex]\frac{x}{\sin{x}}[/latex] и [latex]\cos{x}[/latex] — четные функции, то неравенство  [latex]\left ( 1 \right )[/latex] справедливо и при[latex]x \in \left (-\frac{\pi}{2},0 \right ).[/latex]

[свернуть]

 Следствие

Первый замечательный предел

[latex] \lim_{x \to 0}\frac{\sin\ x}{x}=1[/latex]

Подробнее

 Замечание

Из неравенства[latex]\left(2\right )[/latex]следует, что [latex]tg\ x>x[/latex] при [latex]x \in \left ( 0 , \frac{\pi}{2} \right )\ \ \ \ \ \ \left (3 \right ).[/latex]

Утверждение 3

Для всех [latex]x\in\mathbb{R}[/latex]справедливо неравенство

[latex]\left |\sin{x} \right |\leqslant \left | x \right |\ \ \ \ \ \ \left (4 \right ).[/latex]

Спойлер

Неравенство  [latex]\left ( 4 \right )[/latex]  выполняется при  [latex]x=0.[/latex]

Пусть [latex]x\neq0.[/latex]

Если  [latex]\left | x \right |<\frac{\pi}{2},[/latex] то из утверждения  [latex]\left (1\right )[/latex] следует что

 [latex]-1<\cos{x} <\frac{\sin\ x}{x} < 1\ \ \ \Rightarrow[/latex]

[latex]\left |\frac{\sin{x}}{x} \right |<1 \ \ \Rightarrow\left | \sin{x} \right |<\left | x \right |[/latex]

Если  [latex]\left | x \right |\geqslant\frac{\pi}{2},[/latex] то тогда доказываемое неравенство очевидно.

[свернуть]

Утверждение 4

Функции [latex]y=\sin{x}[/latex] и [latex]y=\cos{x}[/latex] непрерывны на всем множестве [latex]\mathbb{R}.[/latex]

Спойлер

Требуется доказать, что

[latex]\forall x \in \mathbb{R} : \lim_{x \to x_{0}}\sin{x}=\sin{x_{0}},[/latex]

а именно

[latex]\forall \varepsilon >0\ \ \ \ \exists \delta_{\varepsilon }:\forall x:\left | x-x_{0} \right |<\delta \Rightarrow \left | \sin{x}-\sin{x_{0}} \right |<\varepsilon [/latex]

[latex]\left | \sin{x}-\sin{x_{0}} \right |=\left | 2-\sin{\frac{x-x_{0}}{2}}\cos{\frac{x+x_{0}}{2}} \right | =2\left |\sin{\frac{x-x_{0}}{2}} \right |\left |\cos{\frac{x+x_{0}}{2}} \right |\leqslant[/latex]

[latex]\leqslant 2\left |\sin{\frac{x-x_{0}}{2}} \right |\leqslant 2\left |\frac{x-x_{0}}{2} \right |=\left | x-x_{0} \right |<\delta \leqslant \varepsilon[/latex]

То есть [latex]\forall \varepsilon >0[/latex]если взять[latex]\delta = \frac{\varepsilon }{2}[/latex], то[latex]\forall x:\left | x-x_{0} \right |<\delta \Rightarrow \left | \sin{x}-\sin{x_{0}} \right |<\varepsilon[/latex]

Для функции [latex]\cos{x}[/latex] доказывается аналогично

 

[свернуть]

Следствие

Функция [latex]tg\ x=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}[/latex] — непрерывная при [latex]x\neq \frac{\pi}{2}+\pi k, k \in \mathbb{Z}[/latex]

Утверждение 5

Рассмотрим несколько  функции с их графиками

  1. [latex]y=\sin{x}\ ;\ \ x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right][/latex]строго возрастает и непрерывна
    Спойлер

    sin x2

    [свернуть]
  2. [latex]y=\cos{x}\ ;\ \ x\in\left[0;\pi\right][/latex]строго спадает и непрерывна
    Спойлер


    cos x

    [свернуть]
  3. [latex]y=tg \ x\ ;\ \ x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)[/latex]строго возрастает и непрерывна
    Спойлер


    tg x

    [свернуть]
  4. [latex]y=ctg \ x\ ;\ \ x\in\left(0;\pi\right)[/latex]строго спадает и непрерывна
    Спойлер


    ctg x

    [свернуть]

 

Тогда по теореме существуют обратные  непрерывные монотонные функции соответственно

  1. [latex]y=\arcsin{x}\ ;\ \ x\in\left[-1;1\right][/latex]
    Спойлер


    arcsin x

    [свернуть]
  2. [latex]y=\arccos{x}\ ;\ \ x\in\left[-1;1\right][/latex]
    Спойлер


    arccos x

    [свернуть]
  3. [latex]y=arctg\ x\ ;\ \ x\in\mathbb{R}[/latex]
    Спойлер


    arctg x

    [свернуть]
  4. [latex]y=arcctg\ x\ ;\ \ x\in\mathbb{R}[/latex]
    Спойлер


    arcctg x

    [свернуть]

 Утверждение 6

Функция [latex]y=a^x,\ \ a>0, \ \ a\neq 1[/latex] — монотонна непрерывна на [latex]\mathbb{R},[/latex] то есть

[latex]\forall x\in\mathbb{R}\ \ \ \lim_{x\to x_{0}}a^x=a^{x_{0}}[/latex]

и тогда функция [latex]y=\log_{a}{x}[/latex] — монотонна и непрерывна(как обратная)

Утверждение 7

Функции, заданные формулами

[latex]sh\ x =\frac{e^x-e^{-x}}{2},\ \ \ \ ch\ x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}[/latex]

называют соответственно гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом.

Эти функции определены и непрерывны на [latex]\mathbb{R}[/latex], причем [latex]sh\ x[/latex]— нечетная функция, а [latex]ch\ x[/latex] — четная функция.

Спойлер


hiper

[свернуть]

Из определения функций  [latex]sh\ x[/latex] и [latex]ch\ x[/latex] следует, что

[latex]sh\ x +ch\ x=e^x\ ,\ \ \ \ ch^{2}\ x-sh^{2}\ x=1\ ,[/latex]

[latex] ch\ 2x=1+2sh^{2}\ x\ ,\ \ sh\ 2x=2sh\ x\ ch\ x[/latex]

 По аналогии с тригонометрическими функциями гиперболические тангенс и котангенс определяются соответственно формулами

[latex]th\ x=\frac{sh\ x}{ch\ x}\ ,\ \ \ cth\ x=\frac{ch\ x}{sh\ x} [/latex]

Функция [latex]th\ x[/latex] определена и непрерывна на [latex]\mathbb{R},[/latex] а функция [latex]cth\ x[/latex] определена и непрерывна на множестве [latex]\mathbb{R}[/latex] с выколотой точкой [latex]x= 0.[/latex] Обе функции нечетные.

Спойлер

thcht

[свернуть]

Утверждение 8

Пусть функции [latex]u(x)[/latex]  и [latex]v(x)[/latex] определены на промежутке[latex]\Delta =\left ( a,b \right ),[/latex] причем для всех[latex]x \in \Delta[/latex] выполняется условие [latex]u(x)>0,[/latex] Тогда функцию  [latex]y,[/latex] определяемую формулой

[latex]y=e^{v(x)\ln{u(x)}}[/latex]

будем называть показательно-степенной и обозначать 

[latex]y=u(x)^{v(x)}[/latex]

Таким образом, исходя из определения

[latex]u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln{u(x)}}[/latex]

Если [latex]u,v[/latex] — функции, непрерывные на [latex]\Delta,[/latex] то функция [latex]u^v[/latex] непрерывна на [latex]\Delta[/latex] как суперпозиция непрерывных функций  [latex]e^t[/latex] и [latex]t = v(x)\ln{u(x)}[/latex].

Тест

Непрерывность элементарных функций

Источники

Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов.  3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. (стр. 96-110)

В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 90-96)