Формулировка:

Если существует $f^{(n)}(x_{0})$, то $f(x)$ представима в следующем виде:

$$f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}}{k!}(x-x_{0})^{k}+o((x-x_{0})^{n})_{x\to x_{0}}$$

Это выражение $f(x)$ называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (или локальной формулой Тейлора)

Доказательство:

Для начала докажем Лемму

Пусть функции $\varphi(x),\psi(x)$ определены в  $\delta$  окрестности точки $x_{0}$ и удовлетворяют следующим условиям:

1. $\forall x \in U_{\delta} \exists \varphi^{(n+1)}(x),\psi^{(n+1)}(x);$
2. $\varphi(x_{0})=\varphi'(x_{0})=…=\varphi^{(n)}(x_{0})=0$, $\psi(x_{0})=\psi'(x_{0})=…=\psi^{(n)}(x_{0})=0$
3. $\psi(x)\neq0,\psi^{k}(x)\neq 0 \forall x\in U_{\delta}(x_{0}),k=\overline{1,n+1}$

Тогда $\forall x\in U_{\delta}(x_{0})$ существует точка $\xi$, принадлежащая интервалу с концами $x_{0}$ и $x$ такая, что $\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi^{n+1}(\xi)}{\psi^{n+1}(\xi)}$

Доказательство 

Пусть, например, $x \in (x_{0},x_{0}+\delta)$. Тогда применяя к функциям $\varphi$ и $\psi$ на отрезке $[x_{0},x]$ теорему Коши и учитывая, что $\varphi(x)=\psi(x)=0$ по условию, получаем

$$\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi(x)-\varphi(x_{0})}{\psi(x)-\psi(x_{0})}=\frac{\varphi'(\xi_{1})}{\psi'(\xi_{1})}$, $ x_{0}<\xi_{1}<x$$

Аналогично, применяя к функциям $\varphi’$ и $\psi’$ на отрезке $[x_{0},\xi_{1}]$ теорему Коши, находим

$$\frac{\varphi'(\xi_{1})}{\psi'(\xi_{1})}=\frac{\varphi'(\xi_{1})-\varphi'(x_{0})}{\psi'(\xi_{1})-\psi'(x_{0})}=\frac{\varphi»(\xi_{2})}{\psi»(\xi_{2})},$$ $$x_{0}<\xi_{2}<\xi_{1}$$

Из этих двух равенств следует, что

$$\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi'(\xi_{1})}{\psi'(\xi_{1})}=\frac{\varphi»(\xi_{2})}{\psi»(\xi_{2})},$$ $$x_{0}<\xi_{2}<\xi_{1}<x<x_{0}+\delta$$

Применяя теорему Коши последовательно к функциям $\varphi»$ и $\psi»$,$\varphi^{(3)}$ и $\psi^{(3)}$,…,$\varphi^{(n)}$ и $\psi^{(n)}$ на соответствующих отрезках получаем

$$\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi'(\xi_{1})}{\psi'(\xi_{1})}=…=\frac{\varphi^{n}(\xi_{n})}{\psi^{n}(\xi_{n})}=\frac{\varphi^{n+1}(\xi)}{\psi^{n+1}(\xi)}$$

где $x_{0}<\xi<\xi_{n}<…<\xi_{2}<\xi_{1}<x<x_{0}+\delta$

Равенство доказано для случая, когда $x \in(x_{0},x_0+\delta)$, аналогично рассматривается случай, когда $x \in(x_0-\delta,x_{0})$.

Теперь, когда лемма доказана, приступим к доказательству самой теоремы:

Из существования $f^{(n)}(x_{0})$ следует, что функция $f(x_{0})$ определена и имеет производные до $(n-1)$ порядка включительно в $\delta$ окрестности точки  $x_{0}$

Обозначим $\varphi(x)=r_{n}(x),\psi(x)=(x-x_{0})^{n}$, где  $r_{n}(x)=f(x)-P_{n}(x)$.

Функции $\varphi(x)$ и $\psi(x)$ удовлетворяют условиям леммы, если заменить номер $n+1$ на $n-1$

Используя ранее доказанную лемму и учитывая, что $r_{n}^{(n-1)}(x_{0})=0$ получаем

$$\frac{r_{n}(x)}{(x-x_{0})^{n}}=\frac{r_{n}^{n-1}(\xi)-r_{n}^{(n-1)}(x_{0})}{n!(\xi-x_{0})},$$ $$\xi=\xi(x)(*)$$

где $x_{0}<\xi<x<x_{0}<x_{0}+\delta$ или $x_{0}-\delta<x<\xi<x_{0}$.

Пусть $x\to x_{0}$, тогда из неравенств следует, что $\xi \to x_{0}$, и в силу существования $f^{(n)}(x_{0})$ существует

$$\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{r_{n}^{(n-1)}(x)-r_{n}^{(n-1)}(x_{0)}}{x-x_0}=$$

$$=\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{r_{n}^{(n-1)}(\xi)-r_{n}^{(n-1)}(x_{0)}}{\xi-x_{0}}=r_{n}^{(n)}(x_{0})=0$$

Так как выполняются равенства $r_{n}(x_{0})=r_{n}'(x_{0})=…=r_{n}^{(n)}(x_{0})=0$

Таким образом, правая часть формулы $(*)$ имеет при $x\to x_{0}$ предел, равный нулю, а поэтому существует предел левой части этой формулы, так же равный нулю. Это означает, что $r_{n}(x)=o((x-x_{0})^{n}),x\to x_{0}$, то есть $f(x)-P_{n}(x)=o((x-x_{0})^{n})$, что и требовалось доказать.

Пример:

Разложить функцию $y=\cos^{2}(x)$ в окрестности точки $x_{0}=0$  по Тейлору с остатком в форме Пеано.

Решение

Табличное разложение косинуса имеет следующий вид:

$$\cos(x)=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-…+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})$$

Представим функцию $\cos^{2}(x)$ в виде:

$$\cos^{2}(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(2x)$$

Заменим в табличном разложении $x$ на $2x$ и подставим представление косинуса.Получим

$$\cos^{2}(x)=1-x^2+\frac{x^{4}}{3}-…+(-1)^{n} \frac{2^{2n-1}x^{2n}}{2n!}+o(x^{2n+1})$$

Источники:

1. Конспект по курсу математического анализа Лысенко З.М.
2. Тер-Крикоровв А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа -М.:ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.-672 с. гл. IV §18 с. 161.

Тест на знание формулы Тейлора(ост.Пеано)

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 6 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

Информация

Проверьте себя на знание доказательства и применения формулы Тейлора с остатком в форме Пеано.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 6

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 6 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 6

   1.

   
   В условиях теоремы функция $latex f(x)$ представима в виде…

   • $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{k}}{k!}(x-x_{0})^{k} + o((x-x_{0})^{n})_{x\to x_{0}}$
   • $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{k}}{k!}(x-x_{0})^{k}$
   • $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{k}}{k!}(x)^{k}+o((x)^{n})_{x\to0}$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 6

   2.

   
   Лемма, помогающая доказать теорему, гарантирует выполнение следующего равенства при определённых условиях:

   • $\forall x\in U_{\delta}(x_{0}) \, существует\, такая\, точка\, \xi$$принадлежащая\, интервалу \,с \,концами \, x_{0} \, и \, x \,такая\, , \, что\, \frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi^{n+1}(\xi)}{\psi^{n+1}(\xi)}$
   • $\forall x\in U_{\delta}(x_{0}) \, существует\, такая\, точка\, \xi$$принадлежащая\, интервалу \,с \,концами \, x_{0} \, и \, x \,такая\, , \, что\, \frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\psi(\xi)}{\varphi(\xi)}$
   • $\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi(x)-\varphi(x_{0})}{\psi(x)-\psi(x_{0})}$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 6

   3.

   Каким условиям должны удовлетворять функции $latex \varphi(x)$  и $latex \psi(x)$ для того, чтоб для них выполнялась лемма, доказанная в этой главе?

   • $\forall x \in U_{\delta} \exists \varphi^{(n+1)}(x),\psi^{(n+1)}(x)$
   • $\varphi(x_{0})=\varphi'(x_{0})=...=\varphi^{(n)}(x_{0})=0 \, , \,\psi(x_{0})=\psi'(x_{0})=...=\psi^{(n)}(x_{0})=0$
   • $\psi(x)\neq0,\psi^{k}(x)\neq 0 \forall x\in U_{\delta}(x_{0}),k=\overline{1,n+1}$
   • $\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi^{n+1}(\xi)}{\psi^{n+1}(\xi)}$
   • $\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi(x)-\varphi(x_{0})}{\psi(x)-\psi(x_{0})}=\frac{\varphi'(\xi_{1})}{\psi'(\xi_{1})}$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 6

   4.

   Чему получился равен  $latex \lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{r_{n}^{(n-1)}-r_{n}^{(n-1)}(x_{0})}{x-x_{0}} &s=1$?

   (буквами, например «один», «бесконечность», «ноль», «три»)
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 6

   5.

   
   Восстановите логическую последовательность

   • $Правая\, часть\, формулы\, \frac{r_{n}(x)}{(x-x_{0})^{n}}=\frac{r_{n}^{n-1}(\xi)-r_{n}^{(n-1)}(x_{0})}{n!(\xi-x_{0})} \, имеет\, при\, x\to x_{0} \, предел\, , \, равный\, нулю.$
   • $Существует\, предел\, левой\, части\, формулы\, \frac{r_{n}(x)}{(x-x_{0})^{n}}=\frac{r_{n}^{n-1}(\xi)-r_{n}^{(n-1)}(x_{0})}{n!(\xi-x_{0})} \, при\, x\to x_{0} \,  равный\, нулю.$
   • $r_{n}(x)=o((x-x_{0})^{n}),x\to x_{0}$
   • $f(x)-P_{n}(x)=o((x-x_{0})^{n})$
   Правильно
   

   Неправильно
   
6. Задание 6 из 6

   6.

   
   Соотнесите функции с их разложением по Тейлору с остатком в форме Пеано.

   Элементы сортировки

   • $y=e^{x}$
   • $y=ln(x+1)$
   • $y=cos(x)$
   • $y=sin(x)$

   • $y=\sum\limits^{n}_{k=0}\frac{1}{k!}x^{k}+o(x^{n})$

   • $y=\sum\limits^{n}_{k=0}(-1)^{k}\frac{1}{k}x^{k}+o(x^{n})$

   • $y=\sum\limits^{n}_{k=0}(-1)^{k}\frac{1}{(2k)!}x^{2k}+o(x^{2n})$

   • $y=\sum\limits^{n}_{k=0}(-1)^{k}\frac{1}{(2k+1)!}x^{2k+1}+o(x^{2n+1})$

   Правильно
   

   Неправильно