Общий вид первообразной для непрерывной функции

Всякая первообразная $F(x)$ для $f(x)$ , где $f$ непрерывна на $[a,b]$ , имеет вид
$F(x)=\int\limits_{a}^{x}f(t)dt+C$ .

Общий вид первообразной для непрерывной функции является следствием из теоремы о существовании первообразной у непрерывной функции.

Литература

З.М. Лысенко. Конспект лекций по математическому анализу, 1 семестр.: О. 2012
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. Издание четвертое. М. Наука. — 1982, Стр. 341-342
Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. Издание седьмое. М. Наука. — 1969, Стр. 115-117

Смотрите так же

Определение первообразной

Функция $F$ называется первообразной функцией функции $f$ на промежутке $\bigtriangleup$ , если $F$ дифференцируема на $\bigtriangleup$ и в каждой точке этого промежутка производная функции $F$ равна значению функции $f$ :

$F'(x)-f(x)$ , $x\in\bigtriangleup$

При этом если некоторый конец промежутка $\bigtriangleup$ принадлежит промежутку , то под производной в этом конце понимается соответствующая односторонняя производная. Функция, имеющая в данной точке производную , непрерывна в этой точке , поэтому первообразная $F$ функции $f$ непрерывна на промежутке $\bigtriangleup$ .

Примеры

Функция $F(x)=\frac{x^3}{3}$ является первообразной функции $f(x)=x^2$ на всей числовой оси.
$f(x)=\frac{1}{7-3x}$ $F(x)=-\frac{1}{3}ln|7-3x|+C$

Решите самостоятельно

$f(x)=3x^2$

Спойлер

$F(x)=x^3$

[свернуть]

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ , при $x>0$

Спойлер

$F(x)=2\sqrt{x}$

[свернуть]

$f(x)=-\frac{1}{x^2}$ , при $x\ne0$

Спойлер

$F(x)=\frac{1}{x}$

[свернуть]

$f(x)=cos(x)$

Спойлер

$F(x)=sin(x)$

[свернуть]

Ниже приведены графики функции $f(x)=cos(x)$ (красный цвет) и ее первообразной $F(x)=sin(x)$ (зеленый цвет) при значении произвольной постоянной $C=0$ .

Литература

Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2012
Зарубин В.С., Интегральное исчисление функций одного переменного. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,1999, Стр. 14
Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа, 2003. — М.: Дрофа, Т.1. Стр. 453-454

Тест

Определение первообразной

Задание 1 из 4

1.
Количество баллов: 4
Первообразной функции $f(x)=cos(x)$ будет функция
Задание 2 из 4

2.
Количество баллов: 4
У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на
- постоянную.
- произведение этих двух первообразных.
- интеграл от суммы самих функций.
Задание 3 из 4

3.
Количество баллов: 1
Сколько первообразных имеет функция?
- одну
- две
- бесконечное множество
Задание 4 из 4

4.
Количество баллов: 1
Вставьте пропущенное слово

Всякая … в некотором промежутке функция имеет первообразную в этом промежутке.

Таблица лучших: Определение первообразной

максимум из 10 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Непрерывность элементарных функций

Спойлер

[свернуть]

Утверждение 1

Рассмотрим многочлен степени $n$ , т. е. функцию вида

$P_{n}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_{1}x+a_{0},\ \ a_{n}\neq0.$

Эта функция непрерывна на $R.$

Спойлер

Функция $y=C,$ где $C$ — постоянно непрерывна на $R,$ так как $\Delta y=0$ при любом $x.$ Функция $y=x$ непрерывна на $R,$ так как $\Delta y=\Delta x \to 0$ при $\Delta x \to 0.$ Поэтому функция $y=a_{k}x^k,$ где $k\in\mathbb{N},$ непрерывна на $R$ как произведение непрерывных функций. Так как многочлен $P_{n}(x)$ есть сумма непрерывных функций вида $a_{k}x^k\ \ \ \left ( k=\overline{0,n} \right ),$ то он непрерывен на $R.$

[свернуть]

Рациональная функция, т. е. функция вида $f(x)=\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)},$ где $P_{n}(x),Q_{m}(x)$ — многочлены степени $n$ и $m$ соответственно, непрерывна во всех точках, которые не являются нулями многочлена $Q_{m}(x).$

Спойлер

В самом деле, если $Q_{m}(x)\neq 0,$ то из непрерывности многочленов $P_{n}$ и $Q_{m}$ следует непрерывность функции $f$ в точке $x_{0}.$

[свернуть]

Утверждение 2

Если $x \in \left ( — \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right )$ и $x\neq 0,$ то $\cos{x} <\frac{\sin\ x}{x} < 1 \ \ \ \ \left ( 1 \right ).$

Спойлер

Рассмотрим в координатной плоскости круг единичного радиуса
с центром в точке $O$ (рис. 12.1). Пусть $\angle AOB=x,$ где $0<x<\frac{\pi}{2}$ .

Пусть $C$ — проекция точки $B$ на ось $Ox$ , $D$ луча $OB$ и прямой, проведенной через точку $A$ перпендикулярно оси $Ox.$ Тогда $BC=sin x, DA=tgx.$

Пусть $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ — площади треугольника $AOB,$ сектора $AOB$ и треугольника $AOD$ соответственно. Тогда

$S_{1}=\frac{1}{2}(OA)^{2}\sin x=\frac{1}{2}\sin x,$

$S_{2}=\frac{1}{2}(OA)^{2} x=\frac{1}{2}x,$

$S_{3}=\frac{1}{2}OA \cdot DA=\frac{1}{2} tg \ x.$

Так как $S_{1}<S_{2}<S_{3},$ то $\frac{1}{2}\sin x<\frac{1}{2}x<\frac{1}{2} tg \ x \ \ \ \ \left ( 2 \right )$

Если $x \in \left ( 0 , \frac{\pi}{2} \right )$ то $\sin{x}>0,$ и поэтому неравенство $\left ( 2 \right )$ равносильно неравенству

$1<\frac{x}{\sin{x}}<\frac{1}{\cos{x}}$

откуда следует, что при $x \in \left ( 0 , \frac{\pi}{2} \right )$ выполняется неравенство $\left ( 1 \right ).$ Так
как $\frac{x}{\sin{x}}$ и $\cos{x}$ — четные функции, то неравенство $\left ( 1 \right )$ справедливо и при $x \in \left (-\frac{\pi}{2},0 \right ).$

[свернуть]

Следствие

Первый замечательный предел

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin\ x}{x}=1$

Подробнее

Замечание

Из неравенства $\left(2\right )$ следует, что $tg\ x>x$ при $x \in \left ( 0 , \frac{\pi}{2} \right )\ \ \ \ \ \ \left (3 \right ).$

Утверждение 3

Для всех $x\in\mathbb{R}$ справедливо неравенство

$\left |\sin{x} \right |\leqslant \left | x \right |\ \ \ \ \ \ \left (4 \right ).$

Спойлер

Неравенство $\left ( 4 \right )$ выполняется при $x=0.$

Пусть $x\neq0.$

Если $\left | x \right |<\frac{\pi}{2},$ то из утверждения $\left (1\right )$ следует что

$-1<\cos{x} <\frac{\sin\ x}{x} < 1\ \ \ \Rightarrow$

$\left |\frac{\sin{x}}{x} \right |<1 \ \ \Rightarrow\left | \sin{x} \right |<\left | x \right |$

Если $\left | x \right |\geqslant\frac{\pi}{2},$ то тогда доказываемое неравенство очевидно.

[свернуть]

Утверждение 4

Функции $y=\sin{x}$ и $y=\cos{x}$ непрерывны на всем множестве $\mathbb{R}.$

Спойлер

Требуется доказать, что

$\forall x \in \mathbb{R} : \lim_{x \to x_{0}}\sin{x}=\sin{x_{0}},$

а именно

$\forall \varepsilon >0\ \ \ \ \exists \delta_{\varepsilon }:\forall x:\left | x-x_{0} \right |<\delta \Rightarrow \left | \sin{x}-\sin{x_{0}} \right |<\varepsilon$

$\left | \sin{x}-\sin{x_{0}} \right |=\left | 2-\sin{\frac{x-x_{0}}{2}}\cos{\frac{x+x_{0}}{2}} \right | =2\left |\sin{\frac{x-x_{0}}{2}} \right |\left |\cos{\frac{x+x_{0}}{2}} \right |\leqslant$

$\leqslant 2\left |\sin{\frac{x-x_{0}}{2}} \right |\leqslant 2\left |\frac{x-x_{0}}{2} \right |=\left | x-x_{0} \right |<\delta \leqslant \varepsilon$

То есть $\forall \varepsilon >0$ если взять $\delta = \frac{\varepsilon }{2}$ , то $\forall x:\left | x-x_{0} \right |<\delta \Rightarrow \left | \sin{x}-\sin{x_{0}} \right |<\varepsilon$

Для функции $\cos{x}$ доказывается аналогично

[свернуть]

Следствие

Функция $tg\ x=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$ — непрерывная при $x\neq \frac{\pi}{2}+\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Утверждение 5

Рассмотрим несколько функции с их графиками

$y=\sin{x}\ ;\ \ x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$ строго возрастает и непрерывна

Спойлер

[свернуть]
$y=\cos{x}\ ;\ \ x\in\left[0;\pi\right]$ строго спадает и непрерывна

Спойлер

[свернуть]
$y=tg \ x\ ;\ \ x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$ строго возрастает и непрерывна

Спойлер

[свернуть]
$y=ctg \ x\ ;\ \ x\in\left(0;\pi\right)$ строго спадает и непрерывна

Спойлер

[свернуть]

Тогда по теореме существуют обратные непрерывные монотонные функции соответственно

$y=\arcsin{x}\ ;\ \ x\in\left[-1;1\right]$

Спойлер

[свернуть]
$y=\arccos{x}\ ;\ \ x\in\left[-1;1\right]$

Спойлер

[свернуть]
$y=arctg\ x\ ;\ \ x\in\mathbb{R}$

Спойлер

[свернуть]
$y=arcctg\ x\ ;\ \ x\in\mathbb{R}$

Спойлер

[свернуть]

Утверждение 6

Функция $y=a^x,\ \ a>0, \ \ a\neq 1$ — монотонна непрерывна на $\mathbb{R},$ то есть

$\forall x\in\mathbb{R}\ \ \ \lim_{x\to x_{0}}a^x=a^{x_{0}}$

и тогда функция $y=\log_{a}{x}$ — монотонна и непрерывна(как обратная)

Утверждение 7

Функции, заданные формулами

$sh\ x =\frac{e^x-e^{-x}}{2},\ \ \ \ ch\ x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

называют соответственно гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом.

Эти функции определены и непрерывны на $\mathbb{R}$ , причем $sh\ x$ — нечетная функция, а $ch\ x$ — четная функция.

Спойлер

Из определения функций $sh\ x$ и $ch\ x$ следует, что

$sh\ x +ch\ x=e^x\ ,\ \ \ \ ch^{2}\ x-sh^{2}\ x=1\ ,$

$ch\ 2x=1+2sh^{2}\ x\ ,\ \ sh\ 2x=2sh\ x\ ch\ x$

По аналогии с тригонометрическими функциями гиперболические тангенс и котангенс определяются соответственно формулами

$th\ x=\frac{sh\ x}{ch\ x}\ ,\ \ \ cth\ x=\frac{ch\ x}{sh\ x}$

Функция $th\ x$ определена и непрерывна на $\mathbb{R},$ а функция $cth\ x$ определена и непрерывна на множестве $\mathbb{R}$ с выколотой точкой $x= 0.$ Обе функции нечетные.

Спойлер

Утверждение 8

Пусть функции $u(x)$ и $v(x)$ определены на промежутке $\Delta =\left ( a,b \right ),$ причем для всех $x \in \Delta$ выполняется условие $u(x)>0,$ Тогда функцию $y,$ определяемую формулой

$y=e^{v(x)\ln{u(x)}}$

будем называть показательно-степенной и обозначать

$y=u(x)^{v(x)}$

Таким образом, исходя из определения

$u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln{u(x)}}$

Если $u,v$ — функции, непрерывные на $\Delta,$ то функция $u^v$ непрерывна на $\Delta$ как суперпозиция непрерывных функций $e^t$ и $t = v(x)\ln{u(x)}$ .

Тест

Непрерывность элементарных функций

Задание 1 из 5

1.
Выберите правильные утверждения
- Функция непрерывна в точке 3 $\frac{x^2-5x+6}{x^2-8x+15}$
- Верно неравенство $\sin{0.0001}>0.0001$
- Функция неразрывна в точке $th \ x ;\ \ x=\frac{26\pi}{10}$
- Функция определена только на отрезке $y=arctg\ x;\ \ \ x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$
Правильно

Неправильно

Задание 2 из 5

2.

Установите соответствие

Элементы сортировки

Нечетная функция
Четная функция

$sh\ x$

$ch\ x$

Задание 3 из 5

3.
Вставьте пропущенное слово в определение
- Многочлен является (непрерывной) функцией на всей числовой прямой
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 5

4.
Закончите определение: Пусть функции $u(x)$ и $v(x)$ определены на промежутке $\Delta =\left ( a,b \right )$ , причем для всех $x \in \Delta$ выполняется условие $u(x)>0$ . Тогда функцию $y$ , определяемую формулой

$y=e^{v(x)\ln{u(x)}}$

будем называть…
Правильно

Неправильно
Задание 5 из 5

5.
Оцените насколько нравится вам данный тест, где 1 — совсем ненравится,а 5 — очень нравится
- 1 2 3 4 5
Правильно

Неправильно

Источники

Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. (стр. 96-110)

В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 90-96)

Первый замечательный предел

Первым замечательным пределом называется равенство

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin\ x}{x}=1$ ,

где величина $x$ выражена в радианах.

Спойлер

Воспользуемся неравенством $\left(1\right )$ (рассмотренное в теме Непрерывность элементарных функций).Исходя из непрерывности косинуса $\lim_{x \to 0}\cos{x}=\cos{0}=1$ , переходим в соотношении $\left(1\right )$ к пределу при $x \to 0$ , получаем искомое равенство

[свернуть]

Примеры

Замечание: примеры для данной темы желательно разбирать только после прочтения материала о замене переменной при вычислении предела

Спойлер

Найти предел выражения $\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{3x}$

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{3x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{3\cdot \frac{1}{7}\cdot 7x}=\frac{7}{3}\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{7x}=\frac{7}{3}$

Замечание

В последнем равенстве мы использовали тот факт, что $\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{7x}=1$

Этот факт доказывается при помощи замены переменной $t=7x;t\underset{x\to 0}{\rightarrow}0$

[свернуть]

Спойлер

Найти предел выражения $\lim_{x\to 0}\frac{5x^2}{\sin^2{\frac{x}{2}}}$

$\lim_{x\to 0}\frac{5x^2}{\sin^2{\frac{x}{2}}}=\lim_{x\to 0}\frac{5x\cdot x}{\sin{\frac{x}{2}}\cdot sin{\frac{x}{2}}}=\lim_{x\to 0}\frac{5\cdot 2\cdot 2\cdot \frac{x}{2}\cdot \frac{x}{2}}{\sin{\frac{x}{2}}\cdot \sin{\frac{x}{2}}}=5\cdot 2\cdot 2=20$

[свернуть]

Спойлер

Найти предел выражения $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos{4x}}{5x}$

Используем тригонометрическую формулу $1-\cos{2a}=2\sin^2{a}$

$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos{4x}}{5x}=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2{2x}}{5x}=\frac{2}{5}\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2{2x}}{x}=$

$\frac{2}{5}\lim_{x\to 0}\frac{\sin{2x}\cdot \sin{2x}}{\frac{1}{2}\cdot 2x}=\frac{2}{5}\lim_{x\to 0}\frac{\sin{2x}}{\frac{1}{2}}=\frac{4}{5}\lim_{x\to 0}\sin{2x}=\frac{4}{5}\cdot 0=0$

[свернуть]

Тест

Тест на использование первого замечательно предела

Источники

Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.(стр. 97-98).

В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 60-62)

Б.П.Демидович. Cборник задач и упражнений по математическому анализу (стр 58-60)

Вторая теорема Вейерштрасса о достижении верхней и нижней границ

Вторая теорема Вейерштрасса

Если $f\in C[a;b]$ , то она достигает своих точных граней, то есть

$\exists \xi \in [a;b]: f(\xi)= \sup\limits_{x \in [a;b]} f(x)$ и

$\exists \xi _{1}\in [a;b]: f(\xi_{1})= \inf\limits_{x \in [a;b]} f(x)$ .

Доказательство:

$\exists \xi \in [ a;b]: f(\xi)= \sup\limits_{x \in [a;b] } f(x)$
Обозначим $M=\sup f(x)$ (следует из первой теоремы Вейерштрасса)
В силу определения точной верхней грани выполняется условие: $\forall x\in [a;b]:f(x)\leq M$
$\forall \varepsilon >0\; \exists x_{\varepsilon }\in [a;b]:M-\varepsilon <f(x_{\varepsilon })$

Полагая $\varepsilon =1, \frac{1}{2},\frac{1}{3},…,\frac{1}{n},…$ получим последовательность $\left \{ x_{n} \right \}$ такую, что для всех $n\in N$ выполняются условия $\forall n\in \mathbb{N}:M-\frac{1}{n}<f(x_{n})\leq M$ откуда получаем $\lim\limits_{x \to \infty }f(x_{n})$ существует подпоследовательность $\left \{ x_{n_{k}} \right \}$ (по теореме Больцано-Вейерштрасса) последовательности $\left \{ x_{n} \right \}$ и точка $\xi$ , такие что $\lim\limits_{x \to \infty } x_{n_{k}}=\xi$ , где $\xi\in [a;b].$
В силу непрерывности функции $f$ в точке $\xi$ $\lim\limits_{x \to \infty }f(x_{n_{k}})=f(\xi )$

С другой стороны $\left \{ f(x_{n_{k}}) \right \}$ — подпоследовательность последовательности $\left \{ f(x_{n}) \right \}$ , сходящейся к числу $M.$
Поэтому $\lim\limits_{x \to \infty }f(x_{n_{k}})=M$
В силу единственности предела последовательности заключаем, что $f(\xi )=M=\sup\limits_{x \in [a;b]} f(x);$

Утверждение $\exists \xi \in [ a; b]:f(\xi)= \sup\limits_{x \in [a;b]} f(x)$ доказано.

Аналогично доказывается $\exists \xi _{1}\in [a;b]: f(\xi_{1})=\inf\limits_{x \in [a;b]} f(x)$
Функция непрерывна на интервале может не достигать своих точных граней (требовать непрерывности на сегменте существенно).

Литература

Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа.Том 1(стр. 176-178) 1968 Изд-во Наука.
Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (Тема «Свойства функций непрерывных на отрезке»).

Тест по теме «Вторая теорема Вейерштрасса»

Задание 1 из 6

1.
Продолжите условие теоремы:

Если функция непрерывна на отрезке, то она…
- достигает своих точных граней
- может не достигать своих точных граней
- не имеет сходящейся подпоследовательности
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 6

2.
Выберите правильные варианты:
- Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
- Любая ограниченная последовательность имеет хотя бы один конечный частичный предел
- Из любой непрерывной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
- Любая последовательность имеет хотя бы один конечный частичный предел
Правильно

Неправильно

Подсказка

правильными являются 2 варианта ответа
Задание 3 из 6

3.
Функция непрерывная на интервале может…
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 6

4.
Установите правильную последовательность докозательства:
- Обозначим $M= \sup f(x)$
- В силу определения точной верхней грани выполняется условие: $\forall x\in [a;b]:f(x)\leq M$
- Т.к. последовательность ограниченная , то по теореме Больцано-Вейерштрасса существует подпоследовательность $\left \{ x_{n_{k}} \right \}$
- В силу единственности предела последовательности $f(\xi )= M= \sup f(x) ; x\in [a;b]$
Правильно

Неправильно
Задание 5 из 6

5.
Дополните условие теоремы:
- Если функция , то она достигает своих
Правильно

Неправильно

Задание 6 из 6

6.

Установите соответствие:

Элементы сортировки

f є С[a;b]
f є [a;b]
lim f(x)=0 (x->a)

функция непрерывна [a;b]

функция ограничена на [a;b]

f(x)-бесконечно малая функция

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Литература

Смотрите так же

Примеры

Литература

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Таблица лучших: Определение первообразной

Утверждение 1

Утверждение 2

Следствие

Первый замечательный предел

Замечание

Утверждение 3

Утверждение 4

Следствие

Утверждение 5

Утверждение 6

Утверждение 7

Утверждение 8

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Элементы сортировки

3.

4.

5.

Источники

Примеры

Замечание: примеры для данной темы желательно разбирать только после прочтения материала о замене переменной при вычислении предела

Найти предел выражения limx→0sin7x3x\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{3x}

Найти предел выражения limx→05x2sin2x2\lim_{x\to 0}\frac{5x^2}{\sin^2{\frac{x}{2}}}

Найти предел выражения limx→01−cos4x5x\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos{4x}}{5x}

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Подсказка

3.

Подсказка

4.

5.

6.

7.

8.

Источники

Вторая теорема Вейерштрасса

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Подсказка

3.

4.

5.

6.

Элементы сортировки

Найти предел выражения $\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{3x}$

Найти предел выражения $\lim_{x\to 0}\frac{5x^2}{\sin^2{\frac{x}{2}}}$

Найти предел выражения $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos{4x}}{5x}$