несобственный интеграл от параметра

Критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра

Для равномерной сходимости несобственного интеграла $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ необходимо и достаточно выполнение условия Коши. А именно: $\forall \varepsilon > 0 \, \exists \eta < b$ такое, что $\forall \eta^\prime,\eta^{\prime\prime} \epsilon (\eta,b)$ и $\forall y$ $\epsilon$ $Y$ выполнялось следующее неравенство

$\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}}f(x,y)dx \right| <\varepsilon.$

Доказательство

Необходимость

Пусть интеграл $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ равномерно сходится по параметру $y$ $\epsilon$ $Y$ . Из определения получаем, что $\forall\varepsilon > 0$ найдется такое $\eta$ $\epsilon$ $[a,b)$ , что $\forall \eta^\prime$ $\epsilon$ $[b,\eta)$ и для всех $y$ $\epsilon$ $Y$ выполнялось следующее неравенство

$\left| \int\limits_{\eta^\prime}^{b}f(x,y)dx \right| < \frac{\varepsilon}{2}.$ При

$\eta^\prime , \eta^{\prime\prime}$

$\epsilon$

$[\eta,b)$ ,

$y$

$\epsilon$

$Y$ получим такое неравенство

$\left| \int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}}f(x,y)dx \right| = \left| \int\limits_{\eta^\prime}^{b}f(x,y)dx — \int\limits_{\eta^{\prime\prime}}^{b}f(x,y)dx \right| \leq$

$\leq \left|\int\limits_{\eta^\prime}^{b}f(x,y)dx\right| + \left|\int\limits_{\eta^{\prime\prime}}^{b}f(x,y)dx\right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon,$ а значит, что условие Коши выполнено.

Достаточность

Положим, что условие Коши выполняется. А это означает, что в силу критерия Коши несобственный интеграл $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ сходится $\forall y$ $\epsilon$ $Y$ . Докажем равномерную сходимость на $Y$ . Рассмотрим неравенство

$\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}}f(x,y)dx \right| <\varepsilon,$ в котором устремим

$\eta^{\prime\prime}$ к

$b$ , при этом

$\eta^{\prime\prime} < b$ . В результате для любого

$\eta^{\prime} > \eta$ и

$y$

$\epsilon$

$Y$ получаем следующее:

$\left|\int\limits_{\eta^{\prime}}^{b}f(x,y)dx \right| \leq\varepsilon,$ что и означает равномерную сходимость интеграла

$\int\limits_a^b f(x,y)dx$ на

$Y$ .

$\Box$

Пример

Проверить интеграл на равномерную сходимость.

$\int\limits_{0}^{+\infty} e^{-yx^{2}}dx$

Решение

Данный интеграл сходится $\forall y > 0$ . Если он сходится равномерно, то для любых (фиксированных) $\eta^{\prime},\eta^{\prime\prime}\geq\eta$ и при всех $y>0$ выполняется неравенство

$\int\limits_{\eta^{\prime}}^{\eta^{\prime\prime}} e^{-yx^{2}}dx <\varepsilon. (\bigstar)$

По теореме о непрерывности собственного интеграла, зависящего от параметра, интеграл в левой части представляет собой непрерывную функцию переменной $y$ . Отсюда $F(y) \equiv \int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}} e^{-yx^{2}}dx \rightarrow F(0) = \eta^{\prime\prime} — \eta^\prime (y \rightarrow 0).$

Так как $F(y) <\varepsilon$ , то и $F(0) = \lim\limits_{y \rightarrow 0}F(y) \leq\varepsilon$ , что означает $\eta^{\prime\prime} — \eta^\prime \leq\varepsilon$ . Однако из-за того, что $\eta^\prime,\eta^{\prime\prime}$ $\epsilon$ $[\eta, +\infty)$ можно выбрать таким образом, что $\eta^{\prime\prime} — \eta^\prime$ будет сколь угодно большим, неравенство $\bigstar$ не выполняется для всех $\eta^\prime,\eta^{\prime\prime}$ из полуинтервала $[\eta, +\infty)$ . Значит, условие Коши для этого интеграла нарушено и он не является равномерно сходящимся. $\Box$

[свернуть]

Список литературы

Тест

Практические задания из данного теста были позаимствованы из сборника задач и упражнений по математическому анализу Б.П. Демидовича.

Рекомендую проверить насколько хорошо усвоен материал, пройдя следующий тест.

Задание 1 из 4

Определить области сходимости интегралов

Элементы сортировки

$Max(p, q) > 1$
$\left| \frac{p - 1}{q} \right| < 1$
$p < 1$
$p > \frac{1}{2}$

$\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{x\cos x}{x^{p} + x^{q}}dx$

$\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{\sin{x^{q}}}{x^{p}}dx$

$\int\limits_{0}^{2} \frac{dx}{|\ln x|^p}dx$

$\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{\sin{x}}{x^{p} + \sin x}dx$

$(p>0)$

Задание 2 из 4

2.
Для равномерной сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно выполнение…
Задание 3 из 4

3.
Выберете интегралы, которые сходятся неравномерно в указанных промежутках
- $\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-\alpha x}\sin xdx$ $(0 < \alpha_{0} \leq \alpha < +\infty)$
- $\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(x-\alpha)^2 + 1}$ $(0 \leq \alpha < + \infty)$
- $\int\limits_{1}^{+\infty}x^{\alpha}e^{-x}dx$ $(a \leq \alpha \leq b)$
- $\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}e^{-\alpha x}$ $(0 \leq \alpha < + \infty)$
- $\int\limits_{0}^{+\infty}\sqrt{\alpha}e^{-\alpha x^2}$ $(0 \leq \alpha < + \infty)$
Задание 4 из 4

4.
Сформулируйте условие Коши.
- $\forall \varepsilon > 0$
- $\exists \eta < b$
- $\forall \eta^\prime,\eta^{\prime\prime} \epsilon (\eta,b)$ и $\forall y$ $\epsilon$ $Y$
- выполняется неравенство $\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}}f(x,y)dx \right| < \varepsilon$

Таблица лучших: Критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра

максимум из 14 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Перестановка порядка интегрирования в том случае, когда оба интеграла несобственные

Несобственные интегралы, зависящие от параметра, равномерная сходимость.
Критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра.
Признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственного интеграла по параметру — Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс Математического анализа, стр 620-621

Теорема

Пусть функция $f(x,y)$ определена и непрерывна на полуоткрытом прямоугольнике $\{(x,y)\colon a \le x < b, \ — \infty < a < b \le +\infty, \ c \le y < d\}$ .

Несобственный интеграл $\int\limits_a^b |f(x,y)| dx$ сходится равномерно на любом отрезке $[\gamma,\delta] \subset (c,d)$
Несобственный интеграл $\int\limits_c^d |f(x,y)| dy$ сходится равномерно на любом отрезке $[\alpha, \beta] \subset (a,b)$ ,
Сходится один из повторных интегралов:
$\int\limits_c^d dy\int\limits_a^b |f(x,y)| dx, \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d |f(x,y)| dy,$

то существуют оба повторных интеграла $\int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x,y) dy$ $\int\limits_c^d dy\int\limits_a^b f(x,y) dx$ и

$\int\limits_c^d dy\int\limits_a^b f(x,y) dx = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x,y) dy.$

Доказательство

Пусть $f(x,y) \ge 0$ и существует интеграл $\int\limits_a^b dx\int\limits_c^d f(x,y)dy$ . Возьмем произвольный отрезок $[\gamma,\delta] \subset (c,d)$ . Тогда интеграл по отрезку $[\gamma,\delta]$ будет собственным. Согласно теореме о перестановки порядка интегрирования имеем:

$\int\limits_\gamma^\delta dy\int\limits_a^b f(x,y)dx = \int\limits_a^b dx\int\limits_\gamma^\delta f(x,y)dy \le \int\limits_a^b dx\int\limits_c^d f(x,y)dy.$

где последнее неравенство следует из существования интеграла $\int\limits_a^b dx\int\limits_c^d f(x,y)dy$ и неотрицательности функции $f$ . Предел левой части равенства при $\delta \to d-0$ и $\gamma \to c+0$ , равен интегралу $\int\limits_c^d dy\int\limits_a^b f(x,y) dx$ . Следовательно, получаем неравенство

$\int\limits_c^d dy\int\limits_a^b f(x,y) dx \le \int\limits_a^b dx\int\limits_c^d f(x,y)dy.$

Проведя аналогичное рассуждение для интеграла $\int\limits_c^d dy\int\limits_a^b f(x,y) dx$ получим новое неравенство

$\int\limits_a^b dx\int\limits_c^d f(x,y)dy \le \int\limits_c^d dy\int\limits_a^b f(x,y) dx.$

Из этих двух неравенств следует равенство

$\int\limits_c^d dy\int\limits_a^b f(x,y) dx = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x,y) dy.$

Пусть теперь функция $f(x,y)$ — произвольная. Тогда её можно представить в виде разности

$f=f^+ — f^-$ , где $f^+ = \frac{|f|+f}{2}$ , $f^- = \frac{|f|-f}{2}$ , $f^+ \ge 0$ , $f^- \ge 0$ .

Используя следствие теоремы (критерий коши равномерной сходимости несобственного интеграла по параметру) и признаки сравнения несобственных интегралов, заключаем, что условие теоремы выполнены для функций $f^+$ и $f^-$ . Тогда, основываясь на приведенном доказательстве для неотрицательных функций, можно заключить, что повторные интегралы от функций $f^+$ и $f^-$ равны. Следовательно, повторные интегралы от функции $f=f^+ — f^-$ также равны.

Пример 1

Допустима ли перестановка порядка интегрирования для функции $f(x,y)= \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$ в прямоугольнике [0, 1; 0, 1]?

Спойлер

Условия теоремы для функции $f(x,y)$ не выполнены так как существует разрыв в точке $(0, 0)$ . Проверим равенство повторных интегралов $\int\limits_{0}^{1}dy \int\limits_{0}^{1} \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}dx$ и $\int\limits_{0}^{1}dx \int\limits_{0}^{1} \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}dy$

$\int\limits_{0}^{1}dy \int\limits_{0}^{1} \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}dx = \int\limits_{0}^{1}dy \frac{x}{x^2+y^2} \bigg|_0^1 = \int\limits_{0}^{1} \frac{dy}{1+y^2} =$
$= \arctan y \bigg|_0^1 = \frac{\pi}{4},$
в то время как
$\int\limits_{0}^{1}dx \int\limits_{0}^{1} \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}dy = \int\limits_{0}^{1}dx \frac{-y}{x^2+y^2} \bigg|_0^1 = \int\limits_{0}^{1} \frac{-dx}{1+x^2} =$
$= — \arctan x \bigg|_0^1 = — \frac{\pi}{4}$
$\Longrightarrow \int\limits_{0}^{1}dy \int\limits_{0}^{1} \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}dx \ne \int\limits_{0}^{1}dx \int\limits_{0}^{1} \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}dy.$

Следовательно, перестановка порядка интегрирования в данном случае не допустима.

[свернуть]

Пример 2

Функция $f(x,y)=x^y$ определена и непрерывна в прямоугольнике $[0,1;a,b]$ , где $0<a<b$ . Вычислить интеграл

$\int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{a}^{b}f(x,y)dy.$

Спойлер

Искомый интеграл удовлетворяет условиям теоремы. Следовательно, мы можем поменять порядок интегрирования:

$\int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{a}^{b}x^ydy=\int\limits_{a}^{b}dy\int\limits_{0}^{1}x^ydx.$

После чего остается вычислить полученный повторный интеграл

$\int\limits_{a}^{b}dy\int\limits_{0}^{1}x^ydx = \int\limits_{a}^{b}dy \frac{x^{y+1}}{y+1} \bigg|_0^1 = \int\limits_{a}^{b} \frac{dy}{y+1} =$

$\ln{(y+1)}\bigg|_a^b =\ln{\frac{b+1}{a+1}}$

Так как $\int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{a}^{b}x^ydy=\int\limits_{a}^{b}dy\int\limits_{0}^{1}x^ydx,$

то значение искомого интеграла: $\int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{a}^{b}x^ydy=\ln{\frac{b+1}{a+1}}.$

[свернуть]

Список использованной литературы

Тест

Перестановка порядка интегрирования в том случае, когда оба интеграла несобственные.

Для закрепления усвоенного материала, рекомендуется пройти тест по пройденной теме

Задание 1 из 4

1.

Количество баллов: 1

Восстановите условия теоремы

Элементы сортировки

определена и непрерывна на полуоткрытом прямоугольнике $\{(x,y): a \le x < b, - \infty < a < b \le +\infty, c \le y < d\}$
сходится равномерно на любом отрезке $[\gamma,\delta] \subset (c,d)$
сходится равномерно на любом отрезке $[\alpha, \beta] \subset (a,b)$

Функция

$f(x,y)$

Несобственный интеграл

$\int\limits_a^b |f(x,y)| dx$

Несобственный интеграл

$\int\limits_c^d |f(x,y)| dy$

Задание 2 из 4

2.
Количество баллов: 1
$\int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x,y) dy$ и $\int\limits_c^d dy\int\limits_a^b f(x,y) dx$ — повторные интегралы функции $f(x,y)$ .
- Если функция удовлетворяет условиям теоремы, то (существуют) оба повторных интеграла , при чем они (равны) между собой
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 4

3.
Количество баллов: 1
Какие интегралы удовлетворяют условию теоремы?
- $\int\limits_{0}^{+ \infty} ye^{-\frac{1}{x+y}}dx$ на прямоугольнике $[0 , + \infty; 0 , + \infty]$
- $\int\limits_{0}^{+\infty}ye^{-y^2(x^2+1)}dx$ на прямоугольнике $[0 , + \infty; 0 , + \infty]$
- $\int\limits_{0}^{+ \infty} \frac{ \cos xy}{1+x^2}dx$ на прямоугольнике $[0 , + \infty; - \infty , + \infty]$
- $\int\limits_{0}^{+ \infty} \frac{sin x^2}{x + y}$ на прямоугольнике $[0,1; 0,+ \infty]$
Правильно

Неправильно

1. Существует разрыв а точке $[0,0]$ .

2. По признаку Вейерштрасса, так как на любом отрезке $[\gamma, \delta] \subset [0,+\infty]$ $ye^{-y^2(x^2+1)} \le \delta e^{- \gamma^2(1+x^2)}$ и $\int_\limits{0}^{+\infty} \delta e^{- \gamma ^2(x^2+1)}dx$ сходится равномерно по параметру $y$ при $y \ge 0$ .

3. По признаку Вейерштрасса, так как $\frac{\cos xy}{1+x^2} \le \frac{1}{1+x^2}$ и $\int\limits_{0}^{+ \infty} \frac{dx}{1+x^2}=\frac{\pi}{2}$ сходится равномерно по параметру $y$ на $[- \infty , + \infty]$ .

4. Существует разрыв а точке $[0,0]$ .
Задание 4 из 4

4.
Количество баллов: 1
Отсортируйте интегралы по убыванию
- $\int\limits_{0}^{+ \infty} dy \int\limits_{0}^{2} \frac{x}{x^2+y^2}dx$
- $\int\limits_{0}^{+ \infty}dy \int\limits_{1}^{e} \frac{dx}{x^2+y^2}dx$
- $\int\limits_{0}^{+ \infty}dy \int\limits_{0}^{+ \infty} ye^{-y^2(x^2+1)}dx$
Правильно

Неправильно

1. $\int\limits_{0}^{+ \infty} dy \int\limits_{0}^{2} \frac{x}{x^2+y^2}dx =$ $\int\limits_{0}^{2} dx \int\limits_{0}^{+ \infty} \frac{x}{x^2+y^2}dy =$ $\int\limits_{0}^{2} dx \frac{x}{x} \arctan \frac{y}{x}$ $\bigg|_0^{+\infty} =$ $\int\limits_{0}^{2} \frac{\pi}{2} dx =\frac{x \pi}{2} \bigg|_0^{2} = \pi$
2. $\int\limits_{0}^{+ \infty}dy \int\limits_{1}^{e} \frac{dx}{x^2+y^2}dx =$ $\int\limits_{1}^{e}dx \int\limits_{0}^{+ \infty} \frac{dx}{x^2+y^2}dy =$ $\int\limits_{1}^{e}dx \frac{1}{x} \arctan \frac{y}{x} \bigg|_0^{+ \infty} =$ $\int\limits_{1}^{e}dx \frac{\pi}{2x}dx =$ $\frac{\pi}{2} \ln x \bigg|_1^e =$ $\frac{\pi}{2}(1-0) = \frac{\pi}{2}$
3. $\int\limits_{0}^{+ \infty}dy \int\limits_{0}^{+ \infty} ye^{-y^2(x^2+1)}dx =$ $\int\limits_{0}^{+ \infty}dx \int\limits_{0}^{+ \infty} ye^{-y^2(x^2+1)}dy =$ $-\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{+\infty}(0-\frac{1}{(x^2 +1)})dx=$ $\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+1}=$ $\frac{1}{2} \arctan x\bigg|_0^{+\infty}=\frac{\pi}{4}$

Несобственные интегралы, зависящие от параметра, равномерная сходимость.

Несобственный интеграл, зависящий от параметра

Пусть функция двух переменных $f(x,y)$ определена на данной области: $\{a \leq x < + \infty, c \leq y \leq d\}$ (см. рисунок), и при каждом фиксированном $y \, \epsilon \, [c,d]$ существует несобственный интеграл $\int\limits_{a}^{+\infty} f(x,y)\,dx$ , являющийся функцией от $y$ . Тогда функция $I(y) = \int\limits_{a}^{+\infty} f(x,y)\,dx$ $y \, \epsilon \, [c,d]$ называется несобственным интегралом первого рода, зависящим от параметра $y$ . Также, интервал $[c,d]$ может быть бесконечным.

Возьмем функцию $f(x,y)$ . Интеграл вида $\int\limits_a^b f(x,y)\,dx$ является сходящимся на множестве $Y$ , при выполнении следующих условий:

$- \infty < a < b \leq + \infty$
функция $f(x,y)$ определена на $[a, b) \times Y$ , где $Y$ является множеством параметров.
$\forall \eta$ $\epsilon$ $[a,b)$ и $y$ $\epsilon$ $Y$ функция $f(x,y)$ интегрируема по Риману на отрезке $[a, \eta ]$ .
$\forall y$ $\epsilon$ $Y$ несобственный интеграл $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ сходится.

Можно сделать вывод, что несобственный интеграл $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ сходится на $Y$ , при условии, что $\forall y$ $\epsilon$ $Y$ и для любого числа $\varepsilon > 0$ существует такое $\eta(y, \varepsilon) < b$ , такое, что для любого $\eta^\prime \, \epsilon (\eta, b)$ выполняется неравенство

$\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{b} f(x,y)dx\right| <\varepsilon .$

Читать далее «Несобственные интегралы, зависящие от параметра, равномерная сходимость.»

Метка: несобственный интеграл от параметра

Критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра

Доказательство

Необходимость

Достаточность

Пример

Список литературы

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Элементы сортировки

2.

3.

4.

Таблица лучших: Критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра

Перестановка порядка интегрирования в том случае, когда оба интеграла несобственные

Теорема

Доказательство

Пример 1

Пример 2

Список использованной литературы

Тест

Перестановка порядка интегрирования в том случае, когда оба интеграла несобственные.

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Элементы сортировки

2.

3.

4.

Несобственные интегралы, зависящие от параметра, равномерная сходимость.

Оглавление

Несобственный интеграл, зависящий от параметра

Средний результат
Ваш результат