4.7 Теоремы Вейерштрасса

Ранее мы показывали, что непрерывная в точке функция локально ограничена в некоторой окрестности этой точки. Однако из локальной ограниченности в каждой точке некоторого множества не следует ограниченность функции на всем множестве. Например, функция $f\left(x\right)=\frac{1}{x}\left(0<x<1\right)$ непрерывна в каждой точке $x_0 \in \left(0,1\right)$ и, следовательно, локально ограничена в каждой точке (т. е. для каждой точки $x_0 \in \left(0,1\right)$ существует такая окрестность $\left(x_0 − \delta, x_0 + \delta \right)$, в которой функция $f$ ограничена). Вместе с тем функция $f$ неограниченна на всем множестве $\left(0,1\right)$.

Первая теорема Вейерштрасса. Если функция $f$ непрерывна на отрезке $\left[a,b\right]$, то она ограничена на этом отрезке.

Предположим, что $f$ неограниченна на $\left[a,b\right]$. Это означает, что для любого $M$ найдется такое $x \in \left[a,b\right]$, что $\mid f\left(x\right)\mid > M$. Полагая $M = 1, 2, . . .$ , построим последовательность точек $x_n \in \left[a,b\right]$, таких, что $\mid f \left(x_n\right)\mid > n$. Так как последовательность $\left\{x_n\right\}$ ограничена, то, в силу леммы Больцано – Вейерштрасса, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность $\left\{x_{n_{k}}\right\}$. Пусть $\left\{x_{n_{k}}\right\} \to c \left(k \to \infty \right)$. Тогда $c \in \left[a,b\right]$ (здесь существенно используется тот факт, что $\left[a,b\right]$ – отрезок). В силу непрерывности функции $f$ в точке $c$, имеем $f \left(x_{n_{k}}\right) \to f\left(c\right)$, т. е. $\left\{f \left(x_{n_{k}} \right)\right\}$ сходящаяся и, следовательно, ограниченная последовательность. С другой стороны, так как $\mid f \left(x_{n_{k}}\right) \mid > n_k$ , то последовательность $\left\{f \left(x_{n_{k}} \right)\right\}$ неограниченна. Полученное противоречие доказывает теорему.

Приведем еще одно доказательство первой теоремы Вейерштрасса, основанное на применении метода деления отрезка пополам.

Предположим, что $f$ неограниченна на $\left[a,b\right]$. Разделим $\left[a,b\right]$ пополам. Тогда хотя бы на одном из двух полученных отрезков функция $f$ неограниченна. Обозначим такой отрезок через $I_1$ (если $f$ неограниченна на обоих отрезках, то выберем любой из них). Разделим $I_1$ пополам и обозначим через $I_2$ тот из полученных отрезков, на котором функция $f$ неограниченна. Продолжая этот процесс, получим последовательность вложенных друг в друга отрезков $I_n$, длины которых $\mid I_n \mid =\frac{b-a}{2^{n}} \to 0 \left(n \to \infty \right)$. По лемме Кантора о вложенных отрезках, существует единственная точка $c \in \left[a,b\right]$, принадлежащая всем отрезкам $I_n$. Так как $f$ непрерывна в точке $c$, то $f$ локально ограничена в точке $c$, т. е. найдется такое $\delta > 0$, что $f$ ограничена на множестве $\left(c − \delta, c + \delta \right)\bigcap \left[a,b\right]$. Выберем номер $n$ настолько большим, что $\frac{b-a}{2^{n}} < \delta $. Тогда $I_n \subset \left(c − \delta, c + \delta \right)$. . Но из ограниченности $f$ на множестве $\left(c − \delta, c + \delta \right)\bigcap \left[a,b\right]$ следует, что $f$ ограничена также и на подмножестве $I_n$ этого множества, что противоречит выбору отрезков $I_n$.

Следствие из теоремы Больцано – Коши (свойство промежуточных значений) утверждает, что областью значений непрерывной на отрезке функции является промежуток. Но это может быть либо интервал, либо полуинтервал, либо отрезок. Мы уточним это следствие. Именно, покажем, что областью значений непрерывной на отрезке функции является отрезок.

Определение. Говорят, что функция $f$ ограничена сверху (снизу) на множестве $E$, если ограничено сверху (снизу) множество ее значений

$$f\left(E \right) \equiv \left\{f\left(x \right) : x \in E\right\}.$$

Верхней (нижней) гранью функции $f$ на множестве $E$ называют верхнюю (нижнюю) грань множества $f\left(E\right)$ и обозначают $\underset{x \in E}{\sup} f\left(x\right) \left(\underset{x \in E}{\inf} f\left(x\right)\right)$.

Если $A = \underset{x \in E}{\sup} f\left(x\right)$, то это означает, что

  1. для любого $x \in E$ справедливо неравенство $f\left(x\right) \leq A$;
  2. для любого $\varepsilon > 0$ найдется такое ${x}’ \in E$, что $f \left({x}’\right) > A − \varepsilon $.

Ясно, что эти два свойства равносильны определению верхней грани функции $f$.

Ранее отмечалось, что не каждое ограниченное сверху множество имеет наибольший элемент. Пусть ограниченное множество $f\left(E\right)$ является множеством значений некоторой функции $f$, заданной на множестве $E$. Если во множестве $f\left(E\right)$ существует наибольший элемент, т. е. если существует такое $x_0 \in E$, что $f \left(x_0\right) = \underset{x \in E}{\sup} f\left(x\right)$, то говорят, что функция $f$ достигает своей верхней грани. В противном случае говорят, что верхняя грань функции $f$ не достигается.

Аналогичные понятия формулируются и для нижней грани.

Зададимся вопросом: каждая ли ограниченная сверху функция достигает своей верхней грани? Ответ, очевидно, отрицательный.

Например, для функции $f\left(x\right) = x$, заданной на $\left(0, 1\right)$, $\underset{x \in \left(0,1\right)}{\sup} f\left(x\right) = 1$, но для любого $x \in \left(0, 1\right)$ справедливо неравенство $f\left(x\right) < 1$, т. е. верхняя грань не достигается. Другим примером может служить функция дробной части $f\left(x\right) = \left\{x\right\}$ на отрезке $\left[0, 1\right]$.

В первом примере функция непрерывна, но задана на интервале. Во втором примере функция задана на отрезке, но не является непрерывной на этом отрезке. Если же функция непрерывна на отрезке, то она достигает своей верхней грани. В этом и состоит

Вторая теорема Вейерштрасса. Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $\left[a,b\right]$. Тогда $f$ достигает своих верхней и нижней граней, т. е. существуют такие $\alpha$ , $\beta \in \left[a,b\right]$ , что

$$f\left(\alpha \right) = \underset{x \in \left[a,b\right]}{\sup} f\left(x\right), f\left(\beta \right) = \underset{x \in \left[a,b\right]}{\inf} f\left(x\right).$$

Согласно первой теореме Вейерштрасса, непрерывная на $\left[a,b\right]$ функция $f$ ограничена. Значит, существует конечное $M = \underset{x \in \left[a,b\right]}{\sup} f(x)$. По определению верхней грани, $f\left(x\right) \leq M$ при каждом $x \in \left[a,b\right]$, и для любого $\varepsilon > 0$ найдется такое ${x}’ \in \left[a,b\right]$, что $f \left({x}’\right) > M − \varepsilon $. Полагая $\varepsilon = \frac{1}{n} \left(n = 1, 2 . . . \right)$, построим последовательность точек $x_n \in \left[a,b\right]$, такую, что $f \left(x_n \right) > M − \frac{1}{n}$. Так как последовательность $\left\{x_n \right\}$ ограничена, то, по лемме Больцано – Вейерштрасса, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность $\left\{x_{n_{k}}\right\}$. Обозначим $\alpha = \underset{k \to \infty}{\lim} x_{n_{k}}$. Тогда $\alpha \in \left[a,b\right]$. В силу непрерывности функции $f$ в точке $\alpha$, имеем $f\left(\alpha \right) = \underset{k \to \infty}{\lim} f\left(x_{n_{k}}\right)$. Но, поскольку $$M − \frac{1}{n_k} < f\left(x_{n_{k}}\right) \leq M < M + \frac{1}{n_k},$$ то отсюда следует, что $\underset{k \to \infty}{\lim} f\left(x_{n_{k}}\right) = M$. В силу единственности предела получаем, что $f\left(\alpha \right) = M$.

Аналогично показываем, что в некоторой точке $\beta \in \left[a, b \right]$ функция $f$ достигает своей нижней грани.

Приведем еще одно доказательство второй теоремы Вейерштрасса, основанное на применении первой теоремы Вейерштрасса.

Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $\left[a, b \right]$. Тогда, в силу первой теоремы Вейерштрасса, существует $M = \underset{x \in \left[a, b \right]}{\sup} f\left(x\right)$. Предположим, что функция $f$ не достигает своей верхней грани, т. е. пусть для каждого $x \in \left[a, b \right]$ справедливо неравенство $f\left(x\right) < M$. Тогда функция $\varphi \left(x \right) = \frac{1}{M-f\left(x\right)}$ непрерывна на $\left[a,b\right]$ (по теореме об арифметических свойствах непрерывных функций). Применяя к функции $\varphi$ первую теорему Вейерштрасса, получаем, что $\varphi$ ограничена на $\left[a,b\right]$, т. е. существует такое $M_{1} > 0$, что для всех $x \in \left[a,b\right]$ справедливо неравенство $\varphi \left(x\right) \leq M_1$. Но из этого неравенства вытекает, что $f \left(x\right) \leq M − \frac{1}{M_1}$ $\left(x \in \left[a, b \right] \right)$, а это противоречит тому, что число $M$ является верхней гранью, т. е. наименьшей из всех верхних границ функции $f$.

Свойство промежуточных значений и обе теоремы Вейерштрасса можно объединить в виде одной следующей теоремы.

Теорема. Областью значений непрерывной на отрезке функции является отрезок.

Пример:

Найти верхнюю и нижнюю грани функции на отрезке $f\left(x \right) = 2x^{3} — 12x^{2} + 18x + 4$ на отрезке $\left[\frac{1}{2}, 3 \right]$

Решение:

Сперва вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку: ${f}’ \left(x \right) = {\left(2x^{3} — 12x^{2} + 18x + 4 \right)}’ = 6x^{2} — 24x + 18 = 6\left(x^{2} — 4x + 3 \right)$

Полученное квадратное уравнение имеет два действительных корня: $x_{1}=1, x_{2}=3$ – критические точки.

Первая и вторая критические точки принадлежат данному отрезку: $x_{1}=1, x_{2}=3 \in \left[\frac{1}{2}, 3 \right]$ Вычислим значение функции в нужных точках: $f\left(x_{1}\right) = f\left(1\right) = 2\cdot 1^{3} — 12 \cdot 1^{2} +18\cdot 1+4 = 2-12+18+4=12$ $f\left(x_{2}\right) = f\left(3\right) = 2\cdot 3^{3} — 12 \cdot 3^{2} +18\cdot 3+4 = 2\cdot 27 -12\cdot 9+ 54+4=4$

Теперь вычислим значения функции на концах отрезка: $ f\left(\frac{1}{2}\right) = 2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3} — 12 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2} +18\cdot \left(\frac{1}{2}\right)+4 = 2\cdot \frac{1}{8} — 12 \cdot \frac{1}{4}+18\cdot \frac{1}{2} +4 = 10 \frac{1}{4}$

Среди всех полученных чисел выбираем наибольшее и наименьшее, это и будут наши $\sup$ и $\inf$ соответственно

Ответ: $\underset{x \in \left[a, b \right]}{\sup} f\left(x\right) = f\left(1\right) = 12$, $\underset{x \in \left[a, b \right]}{\inf} f\left(x\right) = f\left(3\right) = 4$

Теоремы Вейерштрасса

Для закрепления материала пройдите следующий тест:

Литература

  1. Коляда В.И., Кореновский А. А. Курс лекций по математическому анализу.- Одесса : Астропринт , 2009. с. 84-87.
  2. Б. П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу» 13-е издание, 1997 М.: Изд-во Моск. ун-та, ЧеРо — с. 50-51.
  3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учеб. пособие для ун-тов и пед. ин-тов. Т. 1 / Г. М. Фихтенгольц. — 5-е изд., стереотип. — Москва: Физматгиз, 1962. — c. 369-371.

Единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности

Единственность предела последовательности.

Теорема: ( о единственности предела последовательности )

Числовая последовательность может иметь только один предел.

Доказтельство: 

Предположим, что последовательность  [latex]X_{n}[/latex] имеет два различных предела b и  a, причем      b < a.

2 Выберем  [latex] \varepsilon > 0[/latex] таким, чтобы [latex]\varepsilon[/latex]-oкрестности точек b и a не пересекались (не имели общих точек). Возьмем, например, [latex]\varepsilon = \frac{(a-b)}{3}[/latex]. Так как число b — предел последовательности  [latex] X_{n} [/latex], то по заданному  [latex]\varepsilon > 0[/latex] можно найти номер N такой, что  [latex]X_{n}\in U_{\varepsilon }(b)[/latex] для всех  [latex]n\geq N[/latex]. Поэтому вне интервала  [latex] U_{\varepsilon }(b)[/latex] может оказаться лишь конечное число членов  последовательности. В частности, интервал   [latex] U_{\varepsilon }(a)[/latex] может cодержать лишь конечное число членов последовательности. Это противоречит тому, что a — предел последовательности (любая окрестность точки a должна содержать бесконечное число членов последовательности). Полученное противоречие показывает, что последовательность не может иметь два различных предела. Итак, сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Ограниченность сходящейся последовательности

Последовательность  [latex]X_{n}[/latex] называется ограниченной снизу, если существует такое число [latex]C_{1}[/latex], что все члены последовательности удовлетворяют условию  [latex]X_{n} \geq C_{1}[/latex], т. е.:

[latex]\exists C_{1}:\forall n\in N\rightarrow X_{n}\geq C_{1}[/latex]

Последовательность  [latex]X_{n}[/latex] называется ограниченной сверху, если:

[latex]\exists C_{2}:\forall n\in N\rightarrow X_{n}\leq C_{2}[/latex]

Последовательность, ограниченную как снизу, так и сверху, называют ограниченной, т. е. последовательность  [latex]X_{n}[/latex] называется ограниченной, если:

[latex]\exists C_{1}, \exists C_{2}:\forall n\in N\rightarrow C_{1}\leq X_{n}\leq C_{2}[/latex]

это можно записать и так:

[latex]\exists C> 0 :\forall n\in N\rightarrow \left |X_{n} \right |\leq C[/latex]

Таким образом, последовательность называют ограниченной, если множество ее значений ограничено.

Примеры.

Теорема: ( об ограниченности сходящейся последовательности)

Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Доказтельство: 

Пусть последовательность [latex]X_{n}[/latex] имеет предел, равный а. По определению предела для  [latex]\varepsilon = 1[/latex] найдем номер N такой, что при всех  [latex]n\geq N[/latex] имеет место неравенство  [latex]\left | X_{n}-a \right | <1 [/latex]. Так как модуль суммы не превосходит суммы модулей, то:

[latex]\left | X_{n} \right | = \left | X_{n}-a+a \right |\leq \left | X_{n} -a\right |+\left | a \right |[/latex].

Поэтому при всех  [latex]n\geq N[/latex] выполняется неравенство:

[latex]\left | X_{n} \right | < 1+\left | a \right |[/latex].

Положим  [latex]c= max\left ( 1+\left | a \right |, \left | X_{1} \right | , … , \left | X_{N-1} \right |\right )[/latex], тогда [latex]\left | X_{n} \right | \leq C[/latex] при всех  [latex]n\in \mathbb{N}[/latex], т. е. последовательность  [latex] X_{n} [/latex] ограничена.

Замечание: В силу предыдущей теоремы всякая сходящаяся последовательность является ограниченной. Обратное неверно: не всякая ограниченная последовательность является сходящейся! Например, последовательность [latex]\left \{ \left ( -1 \right )^{n} \right \}[/latex] ограничена, но не является сходящейся.

Замечание: Если условие  [latex]\exists C> 0 :\forall n\in N\rightarrow \left |X_{n} \right |\leq C[/latex] не выполняется, т. е.

[latex]\forall C> 0:\exists n_{C} \in \mathbb{N}: \left | X_{n_{C}} \right | > C[/latex],

то говорят, что последовательность  [latex]X_{n}[/latex] не ограничена.

Пример:  Доказать, что последовательность  [latex]\left \{\frac{1}{y_{n}} \right \} [/latex] является  ограниченной, если  [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty } y_{n} = b[/latex],  [latex]b\not \neq 0[/latex] и [latex] y_{n}\not\neq0[/latex], для всех  [latex]n\in \mathbb{N}[/latex].

Решение

Так как [latex]b\not \neq 0[/latex], то [latex]\left | b \right |> 0[/latex]. По заданному числу  [latex]\varepsilon = \frac{\left |b \right |}{2}[/latex]  в силу определения предела последовательности найдется номер [latex]N_{0}[/latex] такой, что:

[latex]\forall n\geq N_{0}\rightarrow \left | y_{n}-b \right |< \frac{\left | b \right |}{2}[/latex].

Используя неравенство для модуля разности

[latex]\left | b \right |-\left | y_{n} \right |\leq \left | y_{n}-b \right |[/latex]

и неравенство  [latex]\forall n\geq N_{0}\rightarrow \left | y_{n}-b \right |< \frac{\left | b \right |}{2}[/latex], получаем [latex]\left | b \right |-\left | y_{n} \right |< \frac{\left | b \right |}{2}[/latex],  откуда  [latex]\left | y_{n} \right |> \frac{\left | b \right |}{2}[/latex]. И поэтому для всех  [latex]n\geq N_{0}[/latex] справедливо неравенство  [latex]\left | \frac{1}{y_{n}} \right |<\frac{2}{\left | b \right |}[/latex].

Пусть C = max  [latex]\left (\left | \frac{1}{y_{1}} \right |,…,\left |\frac{1}{y_{N_{0-1}}} \right |,\frac{2}{\left | b \right |} \right )[/latex], для всех  [latex]n\in \mathbb{N}[/latex] выполняется неравенство  [latex]\left | \frac{1}{y_{n}} \right | \leq C[/latex], т. е.  [latex]\left \{ \frac{1}{y_{n}} \right \}[/latex] — ограниченная последовательность.

Литература:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу
  2. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа, физмат-лит, 2001, стр.40-42

Единственность предела

Таблица лучших: Единственность предела

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных