Определение. Квадратичной формой на

$\mathbb{R}^{n}$ называется каждая функция вида

$Q\left(h\right) = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}h^{i}h^{j},$
где

$a_{ij}$ — действительные числа. Матрица

$\left(a_{ij}\right)$ называется матрицей квадратичной формы.

Будем считать, что $a_{ij}=a_{ji},$ т. е. что матрица $\left(a_{ij}\right)$ симметрична. Заметим, что $Q$ — это многочлен второго порядка от $n$ переменных $h_{1},\cdots ,h_{n}.$ Ясно, что для любого действительного числа $t$

$Q\left(th\right) = t^{2}Q\left(h\right).$

Это свойство называется свойством однородности второго порядка.

Квадратичная форма $Q$ называется положительно определенной, если для любого $h \neq 0$ справедливо неравенство $Q\left(h\right) \gt 0.$

Аналогично, если для любого $h \neq 0$ имеем $Q\left(h\right)\lt 0,$ то такая квадратичная форма называется отрицательно определенной.

Если квадратичная форма принимает как положительные, так и отрицательные значения, то такая квадратичная форма называется неопределенной.

Если $Q\left(h\right)\geqslant 0$ для всех $h,$ то форма называется положительно полуопределенной, а если $Q\left(h\right)\leqslant 0$ для всех $h,$ то форма называется отрицательно полуопределенной.

Квадратичная форма называется знакоопределенной, если она положительно определенная или отрицательно определенная.

Пример 1. Если

$Q\left(x^{1},x^{2}\right) = (x^{1})^{2} + 2(x^{2})^{2},$ то для всех

$x^{1},x^{2}$ кроме

$x^{1}=x^{2}=0$ , имеем

$Q\left(x^{1},x^{2}\right) \gt 0,$ т.е. эта форма положительно определенная.

Пример 2. Если

$Q\left(x^{1},x^{2}\right) = (x^{1})^{2} — x^{1}x^{2} — (x^{2})^{2}$ имеем

$Q(1,0)=1, Q(0,1)= -1,$ так что эта форма неопределенная.

Пример 3. Если

$Q\left(x^{1},x^{2}\right) = (x^{1})^{2} — 2x^{1}x^{2} + (x^{2})^{2}$ положительно полуопределенная, поскольку для любых

$x^{1},x^{2}$ имеем

$Q\left(x^{1},x^{2}\right) \geqslant 0,$ но равенство

$Q\left(x^{1},x^{2}\right) = 0$ имеет место не только в точке

$x^{1}=x^{2}=0,$ а в каждой точке вида

$x^{1}=x^{2}$ .

Пример 4. Форма

$Q\left(h\right) = (h^{1})^{2} + \cdots + (h^{n})^{2} = |h|^{2},$ очевидно, положительно определенная.

Пример 5. Пусть

$Q\left(h\right) = (h^{1})^{2} + \cdots + (h^{m})^{2},$ где

$m \lt n$ . Эта форма положительно полуопределенная, поскольку

$Q(h) \geqslant 0$ , но при

$i\gt m$ значений этой формы на стандартном векторе

$e_{i}$ равно нулю.

Пример 6. Пусть

$Q\left(h\right) = (h^{1})^{2} + \cdots + (h^{m})^{2} — (h^{m+1})^{2} — \cdots — (h^{n})^{2},$ где

$m \lt n$ . Тогда эта форма неопределенная, поскольку

$Q(e_{i})=1$ при

$i\leqslant m$ и

$Q(e_{i})=-1,$ если

$i\gt m.$

Для любой квадратичной формы $Q$

$|Q(h)| \leqslant \sum_{i,j=1}^{n} |a_{i j}| |h^{i}| |h^{j}| \leqslant | h^{2} | \sum_{i,j=1}^{n} |a_{i j}| \equiv K | h^{2} |.$

Эта оценка показывает, что при $h \rightarrow 0$ квадратичная форма стремится к нулю. Если квадратичная форма знакоопределенная, то полученный порядок стремления к нулю оказывается точным. Именно, справедлива

Лемма 1. Пусть

$Q$ — положительно определенная квадратичная форма на

$\mathbb{R}^{n}$ . Тогда существует такое положительное число

$\lambda ,$ что

$Q(h) \geqslant \lambda |h|^{2} (h \subset \mathbb{R}^{n}).$

Обозначим через

$S$ единичную сферу в

$\mathbb{R}^{n},$ т.е.

$S=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} : |x|=1\right\}.$ Легко видеть, что

$S$ — замкнутое и ограниченное множество и, следовательно, компактное. Поэтому, по второй теореме Вейерштрасса, непрерывная функция

$Q$ достигает своего наименьшего значения, которое мы обозначим через

$\lambda.$ Но на

$S$ форма

$Q$ принимает положительные значения, так что

$\lambda \gt 0.$
Итак,

$Q(x)\geqslant \lambda (|x|=1).$ Если теперь

$h$ — произвольный вектор из

$\mathbb{R}^{n},$ то положим

$x = \frac{h}{|h|}.$ Тогда

$|x|=1,$ т.е.

$x$ лежит на единичной сфере, а поэтому

$Q(x)\geqslant \lambda .$ Если вместо

$x$ подставим его значение, то получим

$Q(\frac{h}{|h|})\geqslant \lambda .$ Воспользовавшись свойством однородности второго порядка для формы

$Q$ , имеем

$Q(h)\geqslant \lambda|h|^{2}.$

Теперь займемся таким вопросом. Как по матрице коэффициентов квадратичной формы судить о знакоопределенности формы? Рассмотрим подробно случай $n=2.$

Пусть $Q(h,k)=a_{11}h^{2}+2a_{12}hk+a_{22}k^{2}.$ Предположим сначала, что $a_{11}\neq 0.$ Тогда

$Q(h,k)=\frac{1}{a_{11}}(a_{11}^{2} h^{2}+2a_{11}a_{12}hk+a_{11}a_{22}k^{2}) = \frac{1}{a_{11}}\left[(a_{11}h+a_{12}k)^{2}+\triangle k^{2} \right],$ где

$\triangle = a_{11}a_{22}-a_{12}^{2} = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}.$

Если $\triangle \gt 0,$ то выражение в квадратных скобках положительно для любых $h$ и $k,$ не равных одновременно нулю, т.е. $Q(h,k)\neq 0,$ причём $sign (Q(h,k)) = sign (a_{11}).$ В этом случае форма является знакоопределенной, она сохраняет свой знак.
Рассмотрим случай $\triangle \lt 0.$ Пусть, например, $k\neq 0.$ Тогда вынося за скобки $k^{2}$ и обозначая $t=\frac{h}{k},$ получаем
$Q(h,k) = k^{2}\left[a_{11}t^{2}+2a_{12}t+a_{22} \right].$ Если $a_{11}\neq 0,$ то в скобках имеем квадратный трёхчлен относительно $t.$ Его дискриминант $-4\triangle \gt 0.$ Поэтому этот квадратный трёхчлен имеет различные действительные корни, а значит принимает, как и положительные, так и отрицательные значения.
Если же $a_{11}=0,$ то $a_{12}\neq 0$ (так как иначе бы получили, что $\triangle = 0$ ). Значит, в квадратных скобках линейный двучлен $2a_{12}t+a_{22},$ который также принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Итак, если $\triangle \lt 0,$ то квадратичная форма $Q$ является неопределенной.
Пусть $\triangle = 0.$ Если $a_{11}\neq 0,$ то получим
$Q(h,k) = \frac{1}{a_{11}}(a_{11}h+a_{12}k)^{2}.$ Если, например, $a_{11} \gt 0,$ то всегда $Q(h,k) \geqslant 0,$ а при $h = -\frac{a_{12}k}{a_{11}}$ имеем $Q(h,k)=0.$ Это означает, что существуют ненулевые векторы, на которых форма обращается в нуль, и получаем, что форма полуопределена.
Если же $a_{11}=0,$ то в этом случае $\triangle = -a_{12}^{2}.$ Значит $a_{12}=0$ и $Q(h,k) = a_{22}k^{2}.$ Это — тоже полуопределенная форма.

Итак, если $\triangle = 0,$ то форма полуопределенная.

Окончательно приходим к следующему выводу.

Лемма 2. Пусть

$Q(h,k)=a_{11}h^{2}+2a_{12}hk+a_{22}k^{2}.$ и $\triangle = a_{11}a_{22}-a_{12}^{2}$

Тогда:

1) если $\triangle \gt 0$ , то форма $Q$ — знакоопределенная, причём $sign (Q) = sign (a_{11});$

2) если $\triangle \lt 0 ,$ то $Q$ — неопределенная форма.

2) если $\triangle = 0 ,$ то $Q$ — полуопределенная форма.

Пусть $Q(h)=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}h^{i}h^{j}$ — квадратичная форма на $\mathbb{R}^{n}$ с симметричной матрицей

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}.$

Миноры этой матрицы, расположенные в её левом верхнем углу, называют главными минорами, т.е. главные миноры — это

$\triangle_{1} = a_{11}, \triangle_{2} = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}, \cdots , \triangle_{n} =\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \cdots & \cdots & \cdots \ \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}.$

Для того, чтобы квадратичная форма $Q$ была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все её главные миноры были положительными.

Для того, чтобы квадратичная форма $Q$ была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие условия: $-\triangle_{1} \gt 0,\triangle_{2} \gt 0,\cdots ,(-1)^{n}\triangle_{n} \gt 0,$ т.е. главные миноры должны иметь чередующиеся знаки, причём первый должен быть отрицательным.

Эти два критерия здесь мы доказывать не будем.

Примеры решения задач

Найти матрицу квадратичной формы Q(x1,x2,x3)=2x21—4x1x2+x22+2x1x3—x23
Решение
1. Запишем квадратичную форму в виде
  $Q(x_{1},x_{2},x_{3}) = 2x_{1}^{2} — 2x_{1}x_{2} — 2x_{2}x_{1} + x_{2}^{2} + x_{1}x_{3} + x_{3}x_{1} — x_{3}^{2}.$
2. Здесь $a_{11}=2,a_{12}=-2,a_{13}=1,a_{21}=-2,a_{22}=1,a_{23}=0,a_{31}=1,a_{32}=0,a_{33}=-1,$ следовательно, матрица этой квадратичной формы есть
  $\begin{pmatrix} 2 & -2 &1 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1\\ \end{pmatrix}.$
Установить характер знакоопределенности квадратичной формы Q(x1,x2,x3)=4x21+6x22+2x23+6x1x2
Решение
1. Найдём матрицу квадратичной формы
  $A = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 0 \\ 3 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 2\\ \end{pmatrix}.$
2. Теперь проверим знакоопределенность формы по критерию Сильвестра
  $\triangle_{1} = 4 \gt 0, \triangle_{2} = \begin{vmatrix}4 & 3 \\3 & 6 \end{vmatrix} = 15 \gt 0, \triangle_{3} =\begin{vmatrix} 4 & 3 & 0 \\ 3 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 2\\ \end{vmatrix} = 2\cdot15 = 30 \gt 0,$ значит, квадратичная форма положительно определенная.
Найти все значения λ, при которых положительно определена квадратичная форма Q(x1,x2,x3)=2x21+λx22+5x23+4x1x2+4x1x3.
Решение
1. Найдём матрицу квадратичной формы
  $A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & \lambda & 0 \\ 2 & 0 & 5\\ \end{pmatrix}.$
2. Найдём главные миноры:
  $\triangle_{1} = 2 , \triangle_{2} = \begin{vmatrix}2 & 2 \\2 & \lambda \end{vmatrix} = 2\lambda — 4 , \triangle_{3} =\begin{vmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & \lambda & 0 \\ 2 & 0 & 5\\ \end{vmatrix} = 6\lambda — 20.$
3. По критерию Сильвестра, $Q$ положительно определена тогда и только тогда, когда
  $\begin{cases}2\lambda -4 \gt 0, \\6\lambda — 20 \gt 0\end{cases}\Leftrightarrow \lambda \gt \frac{10}{3}.$

Проверка знаний по пройденной теме

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме.

Задание 1 из 4

1.
Какое условие должно быть выполнено, для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной?
- Главные миноры должны иметь чередующиеся знаки, причём первый должен быть отрицательным.
- Главные миноры должны быть положительными.
- Главные миноры должны быть отрицательными.
- Ничего из выше перечисленного.
Правильно

Неправильно

Задание 2 из 4

2.

Установить соответствие между квадратичной формой и характером её знакоопределенности.

Элементы сортировки

Отрицательно определенная
Неопределенная
Положительно определенная

$Q(x_{1},x_{2})=-3x_{1}^{2}+8x_{1}x_{2}-7x_{2}^{2}$

$Q(x_{1},x_{2},x_{3})=9x_{1}^{2}+4x_{2}^{2}-12x_{1}x_{2}+4x_{1}x_{3}-8x_{2}x_{3}$

$Q(x_{1},x_{2})=13x_{1}^{2}-6x_{1}x_{2} + 5 x_{2}^{2}$

Задание 3 из 4

3.
Является ли функция $f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}$ квадратичной формой?
- Да
- Нет
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 4

4.
Вставьте пропущенные слова.
- Для того, чтобы квадратичная форма $Q$ была (отрицательно) определенной, , чтобы было выполнено следующее условие: (главные миноры) должны иметь чередующиеся знаки, причём первый должен быть отрицательным.
Правильно

Неправильно

Список использованной литературы

В. И. Коляда, А. А. Кореновский КУРС ЛЕКЦИЙ по МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ часть 1 (2009 года) глава 12.8.1 стр. 293
Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу

Множество $X(\subset\mathbb{R})$ называется ограниченным сверху, если $\exists c\in\mathbb{R}:$ $\forall x\in X:$ $x\leq c$ , то есть все элементы множества $X$ лежат левее $c$ .

Например $3,2,1,0,-1,…$ ограничено сверху любым числом, которое больше или равно 3.

В данном случае, число $c$ называется множества $X$ .

Множество $X(\subset\mathbb{R})$ называется , если $\exists c\in\mathbb{R}:$ $\forall x\in X:$ $x\geq c$ , то есть все элементы множества $X$ лежат правее $c$ .

В данном случае, число $c$ назовём нижней границей множества $X$ .

$1,2,…$ ограничено любым числом, которое меньше или равно 1.

Множество $X(\subset\mathbb{R})$ называется ограниченным, если $\exists {c}’,c \in\mathbb{R}: \forall x \in X: {c}’ \leq x \leq c$ .

Проще говоря, множество $X$ называется ограниченным, если оно ограниченно сверху и ограниченно снизу .

Предложение: (другая запись ограниченности множества)

Множество $X(\mathbb{R})$ ограниченно $\Rightarrow \exists c \in \mathbb{R}:\forall x \in X: \left|x\right| \leq c$ .

$-c \leq x \leq c$

$x$ — найбольший элемент (максимум) множества $X$ , если $x\in X$ и $\forall y\in X: y\leq x$ .

$x$ — множества $X$ , если $x\in X$ и $\forall y\in X: y\geq x$ .

$x=(0;1]$ не имеет минимума.

Теорема

(принцип Архимеда)

Для $\forall x \in \mathbb{R}$ $\exists n \in \mathbb{N}: n>x$ , то есть множество натуральных чисел неограничено сверху во множестве вещественных чисел.

$\square$ Докажем методом от противного. Предположим, что $\mathbb{N}$ ограничено сверху во множестве $\mathbb{R}$ . Тоесть $E$ — множество всех его верхних границ (не пустое). $\mathbb{N} \leq E$ , тогда по аксиоме непрерывности $\exists c \in \mathbb{R}: \mathbb{N} \leq c \leq E$ . Так как $c \leq E$ , то $c$ не является верхней границей. Следовательно, $c-1 \notin E$ , то есть $c-1$ не является верхней границей для $\mathbb{N}$ . $\exists n \in \mathbb{N}: n>c-1 \Leftrightarrow c<n+1$ . Так как $n \in \mathbb{N}$ , то $n+1 \in \mathbb{N}$ . Получаем, что $n+1 \leq c$ . Получили противоречие с тем, что $c<n+1$ . $\blacksquare$

Тест "Ограниченные и неограниченные множества"

Тестовые вопросы по вышеизложенной теме

Задание 1 из 5

1.
Количество баллов: 1
Множество X=(1;4] является
- ограниченным сверху
- ограниченным снизу
- ограниченным
- неограниченным
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 5

2.
Количество баллов: 1
Укажите натуральное число, которым ограниченно снизу множество X=(1;9]
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 5

3.
Количество баллов: 1
Укажите правильную характеристику множества X=(19; 29,5)
- имеет максимум
- не имеет минимума
- ограничено сверху любым числом больше 29
- неограничено
Правильно

Неправильно

Задание 4 из 5

4.

Количество баллов: 1

Отсортируйте множества согласно их характеристикам:

Элементы сортировки

$X=(-\infty;\infty)$
$X=(-18;0]$
$X=[-\pi;\infty)$

Неограничено

Имеет максимум

Имеет минимум

Задание 5 из 5

5.
Количество баллов: 1
Укажите пропущенное слово
- Множество натуральных чисел неограничено сверху во множестве чисел. (принцип Архимеда)
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Тест "Ограниченные и неограниченные множества"

максимум из 5 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Источники:

Конспект по мат.анализу (Лекции Лысенко З.М.)

В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.6.

В.И.Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.43.

Подробнее на:

Wikipedia

mate.oglib.ru

Метка: ограниченные и неограниченные множества

12.8.1 Квадратичные формы

Примеры решения задач

Проверка знаний по пройденной теме

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Элементы сортировки

3.

4.

Список использованной литературы

Ограниченные и неограниченные множества

Теорема

Тест "Ограниченные и неограниченные множества"

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Элементы сортировки

5.

Таблица лучших: Тест "Ограниченные и неограниченные множества"

Средний результат
Ваш результат