Сопряженный оператор: существование и единственность

Пусть $X,Y$ — унитарные пространства. Отображение $Y \to X$ называется линейным оператором $A^*,$ с оператором $A,$ действующим из $X \to Y,$ если для любых $x \in X$ и $y \in Y$ выполняется условие: $\left(Ax,y\right)_y=\left(x,A^*y\right)_x.$

Так как определение не может гарантировать существование сопряженного оператора, введем следующую теорему.

Пусть $X,Y$ — унитарные пространства. Для всякого линейного оператора $A,$ действующего из $X \to Y,$ существует и притом единственный сопряженный ему оператор $A^*,$ действующий из $Y \to X.$

Доказательство. Единственность. В любом пространстве можно выбрать ортонормированный базис, то есть базис, векторы которого попарно ортогональны (произведение любых двух не равных векторов будет равно

$0$ ). Тогда длины всех векторов будут равны

$1.$ Обозначим этот базис как

$\langle e_1, e_2,…, e_m\rangle.$ Пусть

$A^*$ — линейный оператор, действующий из пространства

$Y \to X,$ сопряженный с оператором

$A.$ Возьмем произвольный вектор из пространства

$Y.$ Образ этого вектора будет принадлежать пространству

$X,$ а значит может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов пространства

$X.$ Тогда

$A^*y = \sum_{j=1}^m \left(A^*y,e_j\right)e_j =$ (по свойству скалярного произведения) $= \sum_{j=1}^m \overline{\left(e_j,A^*y\right)}e_j =$ (по определению сопряженного оператора) $= \sum_{j=1}^m \overline{\left(Ae_j,y\right)}e_j =$ (по свойству скалярного произведения) $= \sum_{j=1}^m \overline{ \overline{\left(y,Ae_j\right)}}e_j = \sum_{j=1}^m \left(y, Ae_j\right)e_j.$

Получили отображение, которое может быть задано единственным образом. Прослеживается это через вектор $A^*y \in X,$ который может быть однозначно определен правой частью полученного соотношения, если применить к нему теорему о координатах вектора в ортонормированном базисе (скалярное произведение двух векторов в ортонормированном базисе равно сумме попарных произведений координат этих векторов).

С помощью полученного равенства можем определить линейное отображение $A^*,$ ибо для $\forall \alpha, \beta \in C$ и $\forall y_1,y_2 \in Y$

$A^*\left(\alpha y_1+\beta y_2 \right) = \sum_{j=1}^m \left(\alpha y_1+\beta y_2,Ae_j \right)e_j = \\ = \alpha\sum_{j=1}^m \left(y_1,Ae_j \right)e_j + \beta\sum_{j=1}^m \left(y_2,Ae_j \right)e_j = \alpha A^*y_1+\beta A^*y_2.$

Проверим, что оператор $A^*,$ заданный равенством выше, удовлетворяет определению сопряженного оператора, то есть $\forall x \in X, \forall y \in Y$

$\left(Ax,y\right)=$ (согласно разложению вектора $x$ по ортонормированному базису) $= \left(A \sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right)e_i,y \right) =$ (по определению линейного оператора) $= \left(\sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right)Ae_j,y \right) =$ (по свойству скалярного произведения) $= \sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right)\left(Ae_j,y\right).$

Найдем скалярное произведение:

$\left(x,A^*y\right)=$ (согласно разложению вектора $x$ по ортонормированному базису и полученному ранее равенству) $= \left(\sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right)e_i, \sum_{j=1}^m \left(y, Ae_j \right)e_j \right) =$ (по свойству скалярного произведения) $= \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^m \left(x,e_i \right) \overline{\left(y,Ae_j \right)}\left(e_i,e_j \right)=$ (по свойству скалярного произведения) $=\sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right) \overline{\left(y,Ae_i \right)} = \sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right) \overline{\overline{\left(Ae_i,y\right)}} = \sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right)\left(Ae_i,y\right).$

Получили $\left(Ax,y\right)=\left(x,A^*y\right).$ Следовательно, оператор $A^*,$ определенный в равенстве, удовлетворяет определению сопряженного оператора, и полученные результаты совпадают.

Примеры решения задач

Пусть оператор $A$ действует в некотором геометрическом пространстве векторов, и задан следующим равенством $Ax=\left[a,x\right].$ Найти сопряженный оператор.

Решение

Для решения возьмем произвольные вектора $x,y,$ так, что:

$\left(Ax,y\right) = \left(\left[a,x\right],y\right) = \left \langle a,x,y \right \rangle = \left \langle x,y,a \right \rangle = \left(x,\left[y,a\right]\right) = \left(x,A^*y\right).$

Получили, что $A^*y = \left[y,a\right] = -\left[a,y\right] = -Ay \Leftrightarrow A^*=-A.$

Ответ: $-A.$

[свернуть]
Доказать, что если некоторое подпространство инвариантно относительно оператора $A,$ то его ортогональное дополнение инвариантно относительно оператора $A^*.$

Решение

Пусть $A$ — линейный оператор, и пусть $B$ — его инвариантное подпространство. Тогда $L$ — ортогональное дополнение. Пусть $x \in B, y \in L.$ Таким образом, из $Ax \in B \Rightarrow \left(Ax,y\right)=0,$ а в силу того, что по определению сопряженного оператора $\left(Ax,y\right)=\left(x,A^*y\right),$ получаем, что $\left(x,A^*y\right)=0.$ И так как $x$ это произвольный вектор из $B,$ то $A^*y \in L.$

[свернуть]
Доказать, что оператор $A^*$ — линейный.

Решение

Для этого необходимо проверить условие линейного оператора . А именно для $A \colon X \to Y,$ $\forall x,y \in X$ и для любого числа $\alpha$ выполняется:
$A^*\left(x+y\right)=A^*\left(x\right)+A^*\left(y\right),$ $A^*\left(\alpha x\right)= \alpha A^*\left(x\right).$

Проверим сначала для $A\left(x+y\right)=A\left(x\right)+A\left(y\right).$ Тогда $\forall x,y,z \in X$ имеем
$\left(Ax,y+z\right)=\left(x,A^*\left(y+z\right)\right).$

Подробно распишем правую часть

$\left(Ax,y+z\right)=\left(Ax,y\right)+\left(Ax,z\right)=$ $=\left(x,A^*y\right)+\left(x,A^*z\right)=\left(x,A^*y+A^*z\right).$

Получили, что $\left(x,A^*\left(y+z\right)\right)=\left(x,A^*y+A^*z\right),$ и, следовательно по условию, что равенство выполняется для $\forall x \in X$ $\Rightarrow$ $A^*\left(y+z\right)=A^*y+A^*z.$

Теперь докажем вторую часть, $A^*\left(\alpha x\right)= \alpha A^*\left(x\right).$ Тогда $\forall x,y \in X$ и для любого числа $\alpha$ имеем:
$\left(Ax, \alpha y\right)=\left(x,A^*\left(\alpha y\right)\right).$

По аналогии с первой частью

$\left(Ax, \alpha y\right)= \overline{\alpha}\left(Ax,y\right) = \overline{\alpha}\left(x,A^*y\right) = \left(x, \alpha A^*y\right).$

Получаем, что $\left(x,A^*\left(\alpha y\right)\right)=\left(x, \alpha A^*y\right),$ и, следовательно по условию, что равенство выполняется для $\forall x \in X$ $\Rightarrow$ $A^*\left(\alpha y\right)=\alpha A^*y.$

[свернуть]

Сопряженный оператор

Тест на знание темы «Сопряженный оператор: существование и единственность»

Смотрите также

Личный конспект, составленный на основе лекций Г. С. Белозерова.
Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, Глава 9, $§$ 75, «Сопряженный оператор» (стр. 241)
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984, Глава 13, $§$ 4, «Евклидово и унитарное пространства» (стр. 356)
Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: изд. московского ун-та, 1990, Часть 2, Глава 5, $§$ 30, «Линейные отображения евклидовых пространств. Изоморфизмы. Сопряженные операторы»(стр. 269-271)

Определение и примеры линейных операторов. Действия над линейными операторами. Задания

На странице «Определение и примеры линейных операторов. Действия над линейными операторами. Теория» Вы можете ознакомиться с теоретическим материалом.

Упражнение 1.
Проверка оператора на линейность

Проверить, является ли оператор $A$ линейным в $R^3$
$Ax=\left(x_{2}+ x_{3}, 5x_{2}-x_{1}, x_{1}+8x_{3}\right)$

Решение

Оператор является линейным, если $\forall a,b\in \mathbb{R}^{3}$ , $\forall \alpha\in \mathbb{R}$ выполняются условия:

$A\left(a+b\right)=Aa+Ab$
$A\left(\lambda a\right)=\lambda Aa$

Проверим условие 1:
$A\left(a+b\right)=A\left(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3\right)=$
$=\left(a_2+b_2+a_3+b_3,5a_2+5_b2-a_1-b_1,a_1+b_1+8a_3+8b_3\right)=$
$=\left(a_2+a_3,5a_2-a_1,a_1+8a_3\right)+\left(b_2+b_3,5_b2-b_1,b_1+8b_3\right)=$
$=A\left(a_1,a_2,a_3\right)+A\left(b_1,b_2,b_3\right)=Aa+Bb$

Проверим условие 2:
$A\left(\lambda a\right)=A\left(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\lambda a_{3}\right)=\left(\lambda a_{2}+\lambda a_{3},5\lambda a_{2}-\lambda a_{1},\lambda a_{1}+8\lambda a_{3}\right)=$
$=\lambda\left(a_{2}+a_{3},5a_{2}-a_{1},a_{1}+8a_{3}\right)=\lambda Aa$

Ответ: оба условия выполняются, значит оператор $A$ — линейный.

[свернуть]

Упражнение 2.
Найти значение выражения $4A+7B$

$A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(\mathbb{R}^3\right)$ , $A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(x_1-x_2+x_3,x_2,x_3-x_1\right)$ , $B\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,x_2,1\right)$

Решение

$4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_1-4x_2+4x_3,4x_2,4x_3-4x_1\right)$
$7B\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,7x_2,7\right)$
$4A+7B=\left(4x_1-4x_2+4x_3,11x_2,4x_3-4x_1+7\right)$
Ответ: $4A+7B=\left(4x_1-4x_2+4x_3,11x_2,4x_3-4x_1+7\right)$

[свернуть]

Упражнение 3.
Найти значение выражения $B\cdot 4A$

$A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(\mathbb{R}^3\right)$ , $A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,x_2+\frac{1}{4}x_3,x_3\right)$ , $B\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(x_1+x_3,x_2,1\right)$

Решение

$4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,4x_2+x_3,4x_3\right)$
$B\cdot 4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_3,4x_2+x_3,1\right)$
Ответ: $B\cdot 4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_3,4x_2+x_3,1\right)$

[свернуть]

Упражнение 4.
Найти значение выражения $Ax-3Bx$

$A, B$ — линейные операторы из $\Omega\left(M_2\left(\mathbb{R}\right)\right)$ ,
$A=\begin{Vmatrix}2& 2\\ 0 & 0\end{Vmatrix}$ , $B=\begin{Vmatrix}1 & 1 \\ 2 & 0\end{Vmatrix}$

Решение

$Ax=\begin{Vmatrix}2& 2\\ 0 & 0\end{Vmatrix}\cdot\begin{Vmatrix}x_1& x_2\\ x_3 & x_4\end{Vmatrix}=$ $\begin{Vmatrix}2x_1+2x_3& 2x_2+2x_4\\ 0 & 0\end{Vmatrix}$

$3Bx=\begin{Vmatrix}3& 3\\ 6 & 0\end{Vmatrix}\cdot\begin{Vmatrix}x_1& x_2\\ x_3 & x_4\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix}3x_1+3x_3& 3x_2+3x_4\\ 6x_1 & 6x_2\end{Vmatrix}$

$Ax-3Bx=\begin{Vmatrix}2x_1+2x_3& 2x_2+2x_4\\ 0 & 0\end{Vmatrix}-$ $\begin{Vmatrix}3x_1+3x_3& 3x_2+3x_4\\ 6x_1 & 6x_2\end{Vmatrix}=$

$=\begin{Vmatrix}-x_1-x_3& -x_2-x_4\\ -6x_1 & -6x_2\end{Vmatrix}=-\begin{Vmatrix}x_1+x_3& x_2+x_4\\ 6x_1 & 6x_2\end{Vmatrix}$

Ответ: $Ax-3Bx=-\begin{Vmatrix}x_1+x_3& x_2+x_4\\ 6x_1 & 6x_2\end{Vmatrix}$

[свернуть]

Определение и примеры линейных операторов

Выполните тест и проверьте хорошо ли Вы усвоили материал.

Задание 1 из 3

1.
Является ли оператор $D:P_{n}[x]\rightarrow P_{n-1}[x]$ линейным?
$X=P_n[x]$ , $Y=P_{n-1}[x]$
- Да
- Нет
- Невозможно определить
Задание 2 из 3

2.
Какие из операторов являются линейными?
- $Ax=x_{1}+x_{2}+x_{4}, x_{3}, x_{1}+x_{3}, x_{4}$
- $Ax=x_{1}*x_{2}*x_{4}, x_{3}, x_{1}*x_{3}, x_{4}$
- $\frac{x_{1}}{x_{3}},\frac{x_{2}}{x_{4}},\frac{x_{1}}{x_{3}},\frac{x_{2}}{x_{4}}$
- $x_{4}, x_{3}, x_{2}, x_{1}$
Задание 3 из 3

3.
Найти значение выражения: $Ax+BCx$ , при $A\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2}, x_{1}-x_{2}\right)$ , $B\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(x_{2},x_{1}\right)$ , $c\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(x_{2}+x_{1},0\right)$ .
$(x_{1}$ запишите в виде x1, аналогично с $x_{2}$ )

Таблица лучших: Определение и примеры линейных операторов

максимум из 3 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список использованной литературы:

Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984, стр.187
Личный конспект, составленный на основе лекций Г.С. Белозерова

Определение и примеры линейных операторов. Действия над линейными операторами. Теория

Определение

Пусть $\left(X,\mathbb{P}\right)$ , $\left(Y,\mathbb{P}\right)$ — линейные пространства.
Отображение $A:X\rightarrow Y$ называется линейным оператором, если $\forall a,b\in X$ $\forall\alpha,\beta\in \mathbb P$ выполняется равенство:
$A\left(\alpha a+\beta b\right)=\alpha A a+\beta A b$ .

Примеры часто используемых операторов:

$\theta:X\rightarrow Y$ — нулевой оператор $\forall x\in X$ $\theta x=0$ ;
$\varepsilon:X\rightarrow X$ — тождественный (единичный) оператор $\forall x\in X$ $\varepsilon x=x$ ;
$\alpha\varepsilon:X\rightarrow X$ — скалярный оператор $\forall x\in X$ $\left(\alpha\varepsilon\right)x=\alpha x,$ $\alpha\in\mathbb{P}$ ;
$\rho:X\rightarrow L_{1}$ — оператор прямого проектирования, где $X=L_{1}+L_{2}$ ,
$\forall x\in X$ $x=x_{1}+x_{2}$ , $x_{1}\in L_{1}$ , $x_{2}\in L_{2}$ , $\rho x=x_{1}$ .

Операции над линейными операторами

Сумма линейных операторов

Пусть $A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(X,Y\right)$
$C:X\rightarrow Y$ , $C=A+B$
$Cx=\left(A+B\right)x=Ax+Bx$ $\forall x\in X$ .

Произведение оператора и скаляра

Пусть $A$ — линейный оператор из $\Omega\left(X,Y\right)$ , $\lambda\in\mathbb{P}$ .
Тогда произведением $\lambda A$ называется отображение $C:X\rightarrow Y$
$\forall x\in X$ $Cx=\left(\lambda A\right)x=\lambda\left(Ax\right)$ .

Произведение линейных операторов

Пусть $A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(X,Y\right)$ и из $\Omega\left(Y,Z\right)$
$X$ , $Y$ , $Z$ — линейные пространства над полем $\mathbb{P}$ .
Оператор $BA:X\rightarrow Z$ , определяемый соотношением $BAx=B\left(Ax\right)$ $\forall x\in X$ ,
называется произведением операторов $A$ и $B$ .

Линейные операторы

Пройдите тест, чтоб узнать насколько хорошо Вы усвоили материал.

Задание 1 из 3

1.
Количество баллов: 1
Заполните пропуски в определении:
Пусть $\left(X,P\right)$ , $\left(Y,P\right)$ — линейные пространства.
Если $\forall a,b\in X$ $\forall\alpha,\beta\in P$ $A\left(\alpha a+\beta b\right)=\alpha A a+\beta A b$ , то чем является $A:X\rightarrow Y$ ?
- (линейным оператором)
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 3

2.
Количество баллов: 1
Указать в заданном порядке, что называется суммой операторов, их произведением, произведением оператора на скаляр:
- Пусть $A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(X,Y\right)$ $C:X\rightarrow Y$ , $C=A+B$ $\forall x\in X$ $Cx=\left(A+B\right)x=Ax+Bx$
- Пусть $A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(X,Y\right)$ и из $\Omega\left(Y,Z\right)$ $X$ , $Y$ , $Z$ — линейные пространства над полем $\mathbb{P}$ $BA=C$ $C:X\rightarrow Z$ $\forall x\in X$ $Cx=\left(BA\right)x=b\left(Ax\right)$ $B\circ A$
- Пусть $A$ — линейный оператор из $\Omega\left(X,Y\right)$ , $\lambda\in\mathbb{P}$ . Тогда произведением $\lambda A$ называется отображение: $C:X\rightarrow Y$ $\forall x\in X$ $Cx=\left(\lambda A\right)x=\lambda\left(Ax\right)$ .
Правильно

Неправильно

Задание 3 из 3

3.

Количество баллов: 1

Сопоставить обозначение часто используемого оператора и его название:

Элементы сортировки

Нулевой оператор
Тождественный оператор
Скалярный оператор
Дифференциальный оператор

$\Theta$

$\varepsilon$

$\alpha$

$D$

Таблица лучших: Линейные операторы

максимум из 3 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список использованной литературы:

Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: изд. Московского ун-та, 1990, часть 2 «Линейная алгебра и геометрия», §10, стр.214-216.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984, стр.187
Личный конспект, составленный на основе лекций Г.С. Белозерова

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Примеры решения задач

Сопряженный оператор

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Элементы сортировки

6.

Смотрите также

Упражнение 1. Проверка оператора на линейность

Упражнение 2. Найти значение выражения 4A+7B4A+7B

Упражнение 3. Найти значение выражения B⋅4AB\cdot 4A

Упражнение 4. Найти значение выражения Ax−3BxAx-3Bx

Определение и примеры линейных операторов

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Таблица лучших: Определение и примеры линейных операторов

Список использованной литературы:

Определение

Примеры часто используемых операторов:

Операции над линейными операторами

Сумма линейных операторов

Произведение оператора и скаляра

Произведение линейных операторов

Линейные операторы

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

Таблица лучших: Линейные операторы

Список использованной литературы:

Упражнение 1.
Проверка оператора на линейность

Упражнение 2.
Найти значение выражения $4A+7B$

Упражнение 3.
Найти значение выражения $B\cdot 4A$

Упражнение 4.
Найти значение выражения $Ax-3Bx$