Определение. Пусть функции f и g отличны от нуля в проколотой окрестности точки x0 (равной, быть может, +∞, −∞ или ∞). Говорят, что функции f и g эквивалентны при x→x0, если limx→x0f(x)g(x)=1. Обозначают это так: f(x)∼g(x) (x→x0).
В терминах этого определения найденные ранее (см. Первый замечательный предел, Второй замечательный предел) пределы можно переписать следующим образом (все соотношения формулируются для случая x→0):
sinx∼x,tgx∼x,1−cosx∼12x2,arcsinx∼x,arctgx∼x,ax−1∼xlna,loga(1+x)∼xlna, (1+x)α−1∼α⋅x.
Эти соотношения останутся в силе, если в них вместо переменной x записать отличную от нуля функцию φ(x), стремящуюся к нулю при x→x0. Например, sinx2∼x2 (x→0), tg1x∼1x (x→∞), tgsin(x−1)2∼sin(x−1)2∼(x−1)2 (x→1).
Теорема (применение эквивалентных функций для нахождения пределов). Пусть f(x)∼f1(x) и g(x)∼g1(x) при x→x0 и пусть существует limx→x0f1(x)g1(x)=A. Тогда существует limx→x0f(x)g(x)=A.
По определению эквивалентных функций, используя арифметические свойства пределов, получаем
limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f(x)f1(x)⋅g1(x)g(x)⋅f1(x)g1(x)=1⋅1⋅A=A, и теорема доказана.
Доказанная теорема означает, что при вычислении пределов в произведении и в частном функции можно заменять эквивалентными. При этом существование предела и его величина не изменяются.
Пример.
limx→0arcsinx⋅(ex−1)1−cosx=limx→0x⋅xx22=2
Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых
Символами Ландау называются символы ¯o и O_. Дадим определение.
Определение Пусть функции f и g определены в проколотой окрестности точки x0 (конечного или бесконечного) и g(x)≠0. Говорят, что f(x) является ¯o-малой относительно g(x) при x→x0, если limx→x0f(x)g(x)=0. Обозначают это так: f(x)=¯o(g(x)) (x→x0).
Если f(x)→0, g(x)→0 и f(x)=¯o(g(x)) при x→x0, то говорят, что f(x) является бесконечно малой более высокого порядка, чем g(x), при x→x0. Если же f(x)→∞, g(x)→∞ и f(x)=¯o(g(x)) при x→x0, то говорят, что g(x) стремится к бесконечности быстрее, чем f(x), при x→x0. Например, sin(x2)=¯o(x) (x→0), tg3x⋅sin1x=¯o(x2) (x→0).
Определение. Пусть функции f и g определены в проколотой окрестности x0 (конечного или бесконечного) и g(x)≠0. Говорят, что f(x) является O_-большим относительно g(x) при x→x0, если существует такая проколотая окрестность Uδ точки x0, что для всех x∈Uδ справедливо неравенство |f(x)|⩽c⋅|g(x)|, где постоянная c не зависит от x (но может зависеть от окрестности Uδ). Обозначают это так: f(x)=O_(g(x)) (x→x0).
Например, x2+2x3=O_(x2).
Теорема. Пусть существует limx→x0|f(x)g(x)|=K, где 0⩽K<+∞. Тогда f(x)=O_(g(x)).
Рассматриваем случай x0∈R. Зададим ε=1 и найдем такое δ>0, что для всех x, удовлетворяющих условию |x−x0|<δ, справедливо неравенство ||f(x)g(x)|−K|<1. Последнее неравенство равносильно тому, что
K−1<|f(x)g(x)|<K+1. Умножая правое неравенство на |g(x)|, получаем утверждение теоремы.
Теорема (критерий эквивалентности функций). Для того, чтобы отличные от нуля функции f и g были эквивалентны при x→x0, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено равенство f(x)=g(x)+¯o(g(x)) (x→x0).
Необходимость. Пусть f(x)∼g(x) при x→x0. Тогда f(x)g(x)−1→0 (x→x0), т. е. f(x)g(x)−1=h(x), где h(x)→0 (x→x0). Отсюда следует, что f(x)=g(x)+g(x)⋅h(x). Но g(x)⋅h(x)g(x)=h(x), т. е. g(x)⋅h(x)=¯o(g(x)) (x→x0).
Достаточность. Если f(x)=g(x)+¯o(g(x)) (x→x0), то f(x)g(x)=1+¯o(g(x))g(x) и поэтому limx→x0f(x)g(x)=1.
Используя эту теорему, набор эквивалентных функций, выписанный нами ранее, можно переписать в следующем виде (всюду x→0):
sinx=x+¯o(x),tgx=x+¯o(x),1−cosx=12x2+¯o(x2),arcsinx=x+¯o(x),arctgx=x+¯o(x),ax−1=xlna+¯o(x),loga(1+x)=xlna+¯o(x),(1+x)α−1=α⋅x+¯o(x).
С помощью этой таблицы можно вычислять пределы. Покажем это на примерах.
Пример 1.limx→0ex−3√1+x2arctgx−arcsinx=limx→0ex−1−(3√1+x−1)2arctgx−arcsinx==limx→0x+¯o(x)−(13x+¯o(x))2(x+¯o(x))−x+¯o(x)=limx→023x+¯o(x)x+¯o(x)==limx→023+¯o(x)x1+¯o(x)x=23
Пример 2. Раскрытие неопределенности [1∞]. Пусть α(x)→0(α(x)≠0), β(x)→∞. Тогда, в силу непрерывности показательной функции,
limx→x0(1+α(x))β(x)=limx→x0eβ(x)ln(1+α(x))=elimx→x0β(x)(α(x)+¯o(α(x))). Если существует limx→x0α(x)⋅β(x)=A, то
limx→x0β(x)(α(x)+¯o(α(x)))==limx→x0β(x)⋅α(x)⋅α(x)+¯o(α(x))α(x)==limx→x0β(x)⋅α(x)⋅(1+¯o(α(x))α(x))=A. Поэтому
limx→x0(1+α(x))β(x)=eA.
Упражнение. Пусть limx→x0α(x)=0,limx→x0β(x)=∞. Доказать, что limx→x0(1+α(x))β(x)=0, если limx→x0α(x)⋅β(x)=−∞. Если же limx→x0α(x)⋅β(x)=+∞, то limx→x0(1+α(x))β(x)=+∞.
Примеры решения задач
Рассмотрим примеры задач, в которых могут использоваться эквивалентные функции и символы Ландау. Читателю с целью самопроверки предлагается решить данные примеры самому, а затем сверить свое решение с приведенным.
- Найти предел limx→1(x2018−2x+1)(ex−1−1)(x−1)sin(x−1).
Решение
limx→1(x2018−2x+1)(ex−1−1)(x−1)sin(x−1)==[При x→1ex−1−1∼x−1sin(x−1)∼x−1]==limx→1(x2018−2x+1)(x−1)(x−1)(x−1)==limx→1x2018−2x+1x−1==[(x2018−2x+1)|x=1=0⇔(x2018−2x+1)⋮(x−1)Разделим многочлен(x2018−2x+1) на двучлен (x−1)при помощи схемы Горнера: 1 0 0 0 … 0 −2 11 1 1 1 1 … 1 −1 0]==limx→1(x−1)(x2017+x2016…+x2+x−1)(x−1)==limx→1(x2017+x2016+…+x2+x−1)=2016
- Найти предел limx→+∞(cos1√x)x.
Решение
limx→+∞(cos1√x)x=limx→+∞exlncos1√x=elimx→+∞xlncos1√x==[limx→+∞xlncos1√x==limx→+∞xln(1+(cos1√x−1))==[При x→+∞ln(1+(cos1√x−1))∼∼cos1√x−1==−2sin212√x∼∼−2⋅(12√x)2=−12x]==limx→+∞−x2x=−12]=e−12
- Найти предел limx→0arctg((1+x)3−1)+2tgxex−1+3ln(1+x).
Решение
limx→0arctg((1+x)3−1)+2tgxex−1+3ln(1+x)==[При x→0arctg((1+x)3−1)==(1+x)3−1+¯o((1+x)3−1)==(1+x)3−1+¯o(x)==3x+¯o(x)+¯o(x)=3x+¯o(x)tgx=x+¯o(x)ex−1=x+¯o(x)ln(1+x)=x+¯o(x)]==limx→03x+¯o(x)+2x+¯o(x)x+¯o(x)+3(x+¯o(x))=limx→05x+¯o(x)4x+¯o(x)==limx→05+¯o(x)x4+¯o(x)x=54
Здесь воспользовались простой леммой: если при x→x0 f(x)∼g(x), то ¯o(f(x))=¯o(g(x)). Читателю в качестве упражнения предлагается доказать ее самостоятельно.
- Найти предел limx→aax−xax−a, a>0.
Решение
limx→aax−xax−a=limx→a(ax−aa)−(xa−aa)x−a==limx→aaa(ax−a−1)−aa((xa)a−1)x−a==limx→aaa(ax−a−1)−aa((1+(xa−1))a−1)x−a==[При x→aax−a−1=(x−a)lna+¯o(x−a)(1+(xa−1))a−1==a(xa−1)+¯o(xa−1)==(x−a)+¯o(x−a)]==limx→aaa((x−a)lna+¯o(x−a))−aa((x−a)+¯o(x−a))x−a==limx→aaa(x−a)(lna−1)+¯o(x−a)x−a==aa(lna−1)
- Доказать, что ∀n∈N √x+√x+…+√x⏟n корней∼√x при x→+∞
Решение
Докажем утверждение методом математической индукции по n — количеству корней.
База индукции. При n=1 имеем √x∼√x, что, очевидно, верно в силу рефлексивности бинарного отношения эквивалентности функций.
Предположение индукции. Пусть утверждение верно для всех n⩽k, k⩾1.
Шаг индукции. Докажем теперь утверждение для n=k+1. Покажем, что √x+√x+…+√x⏟k+1 корень∼√x, что равносильно тому, что limx→+∞√x+√x+…+√x⏟k+1 корень√x=1. Имеем: √x+√x+…+√x⏟k+1 корень√x=√x√1+√x+√x+…+√x⏟k корнейx√x==√1+√x+√x+…+√x⏟k корнейx.
По индуктивному предположению √x+√x+…+√x⏟k корней∼√x, что по критерию эквивалентности означает, что √x+√x+…+√x⏟k корней=√x+¯o(√x)=¯o(x). Тогда переходя к пределу имеем: limx→+∞√x+√x+…+√x⏟k+1 корень√x=limx→+∞√1+¯o(x)x=1.
Смотрите также
- Тер-Крикоров А. М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. – 3-е изд., исправл. / А. М. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин. – Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 672 с. — С. 116-121.
- Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа : учебник для вузов: В 3 т. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной / Л. Д. Кудрявцев. — 5-е изд., перераб. и доп. — Москва: Дрофа, 2003. — 703 с. — С. 253-271.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учеб. пособие для ун-тов и пед. ин-тов. Т. 1 / Г. М. Фихтенгольц. — 5-е изд., стереотип. — Москва: Физматгиз, 1962. — 607 с. — С. 136-146.
Эквивалентные функции и символы Ландау
Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме
