Бесконечно малые функции

Если \lim_{x\rightarrow a }f(x)=0, то функция f(x) называется бесконечно малой при x\rightarrow a.

Свойства

  1. Сумма (разность) конечного числа бесконечно малых функций при x\rightarrow a есть бесконечно малая функция при x\rightarrow a
  2. Доказательство
    Пусть f_{1}(x),f_{2}(x),..,f_{n}(x) бесконечно малые функции при x\rightarrow a. Тогда существуют числа \delta _{1},\delta _{2},..,\delta _{n} и число \varepsilon >0 такие что
    |x-a|<\delta _{1},|x-a|<\delta _{2},..,|x-a|<\delta _{n} (1)
    что влечет за собой условия
    |f_{1}(x)|<\frac{\varepsilon }{n},|f_{2}(x)|<\frac{\varepsilon }{n},..,|f_{n}(x)|<\frac{\varepsilon }{n} (2).
    Если \delta =\min\begin{Bmatrix}\delta _{1};\delta _{2};..;\delta _{n}\end{Bmatrix}, то условие |x-a|<\delta усиливает группу условий (1) что влечет за собой группу условий (2). Следовательно
    \\|f_{1}(x)+f_{2}(x)+..+f_{n}(x)|\leqslant |f_{1}(x)|+|f_{2}(x)|+..+|f_{n}(x)|\\|f_{1}(x)|+|f_{2}(x)|+..+|f_{n}(x)|<\sum_{1}^{n}\frac{\varepsilon }{n}=\varepsilon\\|f_{1}(x)+f_{2}(x)+..+f_{n}(x)|<\varepsilon

  3. Произведение бесконечно малой функции f(x) на ограниченную g(x) в некоторой проколотой окрестности точки a есть бесконечно малая функция при x\rightarrow a
  4. Доказательство
    Так как функция g(x) ограничена, то для x удовлетворяющих условию
    |x-a|<\delta _{1} (1)
    существует число
    C:|g(x)|<C (2)
    Так как функция f(x) бесконечно малая, то существует некоторая окрестность \delta _{2} и число
    \varepsilon >0 для которых выполняются условия
    |x-a|<\delta _{2} (3)
    и
    |f(x)|<\frac{\varepsilon}{C} (4)
    Выберем \delta=\min\begin{Bmatrix}\delta _{1};\delta _{2}\end{Bmatrix}. Тогда условие |x-a|<\delta более сильное чем (1) и (3) и поэтому оно влечет за собой условия (2) и (4).
    Следовательно |f(x)g(x)|=|f(x)||g(x)|<\frac{\varepsilon }{C}C =\varepsilon

  5. Произведение конечного числа бесконечно малых функций при x\rightarrow a есть бесконечно малая функция при x\rightarrow a
  6. Доказательство
    Так как любая бесконечно малая функция f(x) при x\rightarrow a будет ограничена в некоторой \delta окрестности точки a, то доказательство сводится к доказательству свойства 2.

Литература

  1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр. 83

Следующая тема →

Бесконечно малые функции: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *