производные — ПриМат

Частные производные высших порядков

Частные производные высших порядков определяются при помощи индукции. Если говорить неформально, то каждая частная производная порядка больше чем 1 определяется, как производная от производной предыдущего порядка.

Определение

Частная производная (по независимым переменным) от частной производной порядка $m-1$ называется частной производной порядка $m(m=1,2,…)$ .
Частная производная, полученная с помощью дифференцирования по разным переменным, называется смешанной частной производной.
Частные производные высших порядков сохраняют все те же свойства, что и обычные частные производные.

Пример

Пусть дана функция $f(x,y,z)$ .
Частной производной первого порядка по $x$ будет $\frac { df }{ dx }$ .
Частной производной второго порядка по $x$ будет $\frac { { d }^{ 2 }f }{ d{ x }^{ 2 } }$
Смешанной производной третьего порядка будет $\frac { { d }^{ 3 }f }{ d{ x }^{ 2 }dy }$

Геометрический смысл частной производной

Спойлер

Пусть нам дана функция [latex]z(x,y)[/latex], которая имеет частную производную в точке ${ M }_{ 0 }({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })$ . Пусть на рисунке изображена поверхность графика функции $z$ . Проведем плоскость $y={y}_{0}$ . Плоскость пересечет поверхность по линии [latex]T{ P }_{ 0 }[/latex]. Проведем касательную ${ P }_{ 0 }A$ к линии ${ P }_{ 0 }T$ . Прямая ${ P }_{ 0 }A$ образует угол $\alpha$ с осью $Ox$ . Тангенс угла наклона к оси $Ox$ касательной к графику функции $f(x,{ y }_{ 0 })$ в точке ${ x }_{ 0 }$ и есть частная производная по $x$ функции $z$ в точке ${ M }_{ 0 }({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })$ .
${\rm \tg}\alpha =\frac { dz({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 }) }{ dx } ={ f }_{ x }^{ \prime }({ M }_{ 0 })$

[свернуть]

Использованная литература

Частные производные высших порядков

Тест на понимание темы «Частные производные высших порядков»

Задание 1 из 3

1.
Количество баллов: 1
Вставьте пропущенные слова.
- Частная производная, полученная с помощью дифференцирования по разным переменным, называется (смешанной) частной производной. Частная производная, полученная с помощью дифференцирования по одной переменной, называется (чистой) частной производной
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 3

2.
Количество баллов: 1
Выставьте производные функции z, в порядке их образования.
- $\frac { dz }{ dx }$
- $\frac { dz }{ dxdy }$
- $\frac { dz }{ dxd{ y }^{ 4 } }$
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 3

3.
Количество баллов: 1
Будет ли производная $\frac { dz }{ dt }$ смешанной производной функции $z$ ?
- Да, будет
- Нет, не будет
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Частные производные высших порядков

максимум из 3 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Теорема о смешанных производных

Теорема 1(для функции двух переменных)

Пусть функция

$f(x,y)$ определенна со своими частными производными

${ f }_{ x },{ f }_{ y },{ f }_{ xy },{ f }_{ yx }$ в некоторой окрестности точки

$({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })$ , и при этом

${ f }_{ xy }$ и

${ f }_{ yx }$ непрерывны в этой точке. Тогда эти производные равны ( результат не зависит от порядка дифференцирования).

$\begin{equation}{ f }_{ xy }({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })={ f }_{ yx }({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 }) \end{equation}$

Доказательство

Пусть

$f(x,y)$ определенна со своими частными производными

${ f }_{ x },\;{ f }_{ y },\;{ f }_{ xy },\;{ f }_{ yx }$ в некоторой

$\delta-$ окрестности точки

$({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })$ и пусть

$\Delta x$ и

$\Delta y$ зафиксированы так, что образуют шар с радиусом

$\delta$

$(\Delta { x }^{ 2 }+\Delta { y }^{ 2 }<{ \delta }^{ 2 })$ . (Под

$\Delta x$ будем понимать приращение функции

$f$ по аргументу

$x$ . Аналогично определим

$\Delta y$ )
Положим:

${ \Delta }_{ xy }f={ \Delta }_{ x }({ \Delta }_{ y }f), { \Delta }_{ yx }f={ \Delta }_{ y }({ \Delta }_{ x }f)$
и докажем, что

${ \Delta }_{ xy }f={ \Delta }_{ yx }f\label{2}$
Действительно,

$\begin{aligned} { \Delta }_{ xy }f&={ \Delta }_{ x }({ \Delta }_{ y }f)={ \Delta }_{ x }[f({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 }+{ \Delta }y)-f({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })]=\\ &=[f({ x }_{ 0 }+{ \Delta }x,{ y }_{ 0 }+{ \Delta }y)-f({ x }_{ 0 }+{ \Delta }x,{ y }_{ 0 })]-\\ &-[f({ x }_{ 0 }+{ \Delta }x,{ y }_{ 0 }+{ \Delta }y)-f({ x }_{ 0 }+{ \Delta }x,{ y }_{ 0 })] \end{aligned}\label{3}$
(т.е.

${ \Delta }_{ xy }f$ это приращение функции

$f$ сперва по

$y$ а затем по

$x$ )
Аналогично

$\begin{aligned} { \Delta }_{ yx }f&={ \Delta }_{ y }({ \Delta }_{ x }f)=\\ &=[f({ x }_{ 0 }+{ \Delta }x,{ y }_{ 0 }+{ \Delta }y)-f({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 }+{ \Delta }y)]-\\ &-[f({ x }_{ 0 }+{ \Delta }x,{ y }_{ 0 })-f({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })] \end{aligned}\label{4}$
Сравнивая (

$\ref{3}$ ) и (

$\ref{4}$ ), убедимся в справедливости (

$\ref{2}$ ).
Положим приращение функции

$f$ по переменной

$y$ как функцию одной переменной по

$x$ . Пусть

$\varphi (x)=f(x,{ y }_{ 0 }+\Delta y)-f(x,{ y }_{ 0 })$ . Тогда

${ \Delta }_{ xy }f$ можно записать в виде:

${ \Delta }_{ xy }f=\varphi ({ x }_{ 0 }+\Delta x)-\varphi ({ x }_{ 0 })$
Так как , по условию существует производная

${ f }_{ x }$ то функция

$\varphi (x)$ дифференцируема на отрезке

$[{ x }_{ 0 },{ x }_{ 0 }+{ \Delta }x]$
Воспользуемся теоремой Лагранжа о конечных приращениях, получим:

${ \Delta }_{ xy }f=\varphi ({ x }_{ 0 }+\Delta x)-\varphi ({ x }_{ 0 })={ \varphi }^{ \prime }({ x }_{ 0 }+{ \theta }_{ 1 }\Delta x)\Delta x,\quad 0<{ \theta }_{ 1 }<1$
А поскольку

$\varphi (x)$ функция по переменной

$x$ , то ее производная будет:

${ \varphi }^{ \prime }(x)={ f }_{ x }(x,{ y }_{ 0 }+\Delta y)-{ f }_{ x }(x,{ y }_{ 0 })$
тогда мы можем записать

${ \Delta}_{ xy }f$ как

${ \Delta }_{ xy }f=[{ f }_{ x }({ x }_{ 0 }+{ \theta }_{ 1 }\Delta x,{ y }_{ 0 }+\Delta y)-{ f }_{ x }({ x }_{ 0 }+{ \theta }_{ 1 }\Delta x,{ y }_{ 0 })]\Delta x$
Применим опять формулу конечных приращений Лагранжа, но теперь по переменной

$y$ , получим:

${ \Delta }_{ xy }f={ f }_{ xy }({ x }_{ 0 }+{ \theta }_{ 1 }\Delta x,\quad { y }_{ 0 }+{ \theta }_{ 2 }\Delta y)\Delta x\Delta y,\quad 0<{ \theta }_{ 1 },{ \theta }_{ 2 }<1$
Сделаем абсолютно аналогичные действия, но уже начнем с переменно

$x$ . Т.е, положим приращение

$f$ по переменной

$x$ в функцию одной переменной по

$y$

$\psi (y)=f({ x }_{ 0 }+\Delta x,y)-f({ x }_{ 0 },y)$
Также выразим

${ \Delta }_{ yx }f$ через

$\psi (y)$ , затем применим дважды формулу конечных приращений Лагранжа ( сначала по y, затем по x ). В итоге получим:

${ \Delta }_{ yx }f={ f }_{ yx }({ x }_{ 0 }+{ \theta }_{ 4 }\Delta x,\quad { y }_{ 0 }+{ \theta }_{ 3 }\Delta y)\Delta x\Delta y,\quad 0<{ \theta }_{ 3 },{ \theta }_{ 4 }<1$
Согласно равенству (2) правые части равенств равны. Приравняем их и сократим на

$\Delta x\Delta y$ (т.к.

$\Delta x\neq 0$ и

$\Delta y\neq 0$ ), получим

${ f }_{ xy }({ x }_{ 0 }+{ \theta }_{ 1 }\Delta x,\quad { y }_{ 0 }+{ \theta }_{ 2 }\Delta y){ =f }_{ yx }({ x }_{ 0 }+{ \theta }_{ 4 }\Delta x,\quad { y }_{ 0 }+{ \theta }_{ 3 }\Delta y),\quad { 0<\theta }_{ 1 }{ ,\theta }_{ 2 },{ \theta }_{ 3 },{ \theta }_{ 4 }<1$
Так как частные производные

${ f }_{ xy }$ и

${ f }_{ yx }$ непрерывны в точке

$({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })$ , перейдем к пределу. Так как

${ \theta }_{ i }$ -бесконечно малая то в итоге получим:

${ f }_{ xy }({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 }){ =f }_{ yx }({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 }),$
что и требовалось доказать.

[свернуть]

Пример

Найти смешанные производные второго порядка функции ${ z={ x }^{ 4 } }-2{ x }^{ 2 }y^{ 3 }+{ y }^{ 5 }+1$

${ { z }_{ x }^{ \prime }={ 4x }^{ 3 } }-4{ x }y^{ 3 }$

${ { z }_{ y }^{ \prime }= }5{ y }^{ 4 }-6{ x }^{ 2 }y^{ 2 }$

${ { z }_{ yx }^{ \prime }= }-12{ x }y^{ 2 } \quad \quad \quad { { z }_{ xy }^{ \prime }= }-12{ x }y^{ 2 }\quad \quad { \Rightarrow \quad }{ z }_{ yx }^{ \prime }={ z }_{ xy }^{ \prime }$

[свернуть]

Контрпример

(пример Шварца):

$f(x,y)=\begin{cases} xy\frac { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+y^{ 2 } } \quad \quad { x }^{ 2 }+y^{ 2 }>0 \\ 0\quad \quad \quad \quad \quad x=y=0 \end{cases}$

${ f }_{ xy }(0,0)=-1\quad \quad \quad \quad{ f }_{ yx }(0,0)=1$

[свернуть]

Теперь сформулируем общую теорему. Ее можно несложно доказать с помощью индукции.

Теорема 2 (обобщение)

Если у функции

$n$ переменных смешанные частные производные

$m$ -го порядка непрерывны в некоторой точке, а производные низших порядков непрерывны в окрестности этой точки, то частные производные порядка

$m$ не зависят от порядка дифференцирования.

Замечание 1

Пример

Докажем что

${ f }_{ xyz }={ f }_{ zxy }$
Последовательно меняем порядок дифференцирования, применяя Теорему 1:

${ f }_{ xyz }={ ({ f }_{ x }) }_{ yz }={ ({ f }_{ x }) }_{ zy }={ ({ f }_{ xz }) }_{ y }={ ({ f }_{ zx }) }_{ y }={ { f }_{ zxy } }$

[свернуть]

Замечание 2

Использованная литература:

Дополнительная литература:

Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» 1962г. Том 1, стр.404-408;

Теорема о смешанных производных

Тест, на понимание темы «Теорема о смешанных производных»

Таблица лучших: Теорема о смешанных производных

максимум из 4 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Односторонние и бесконечные производные

Понятия односторонних и бесконечных производных вводятся аналогично понятиям односторонних и бесконечных пределов.

Определение: Если функция [latex]y = f(x)[/latex], непрерывна слева в точке [latex]x_{0}[/latex], то есть [latex]\lim\limits_{x \to x_{0} — 0} f(x) = f(x_{0})[/latex] и [latex]\exists \lim\limits_{\Delta x \to -0} \frac{\Delta y}{\Delta x}[/latex], то этот предел называют левой производной функции [latex]y[/latex] в точке [latex]x_{0}[/latex].
Левая производна кратко записывается [latex]{f_{-}}'(x_{0})[/latex].

Определение: Если функция [latex]y = f(x)[/latex], непрерывна справа в точке [latex]x_{0}[/latex], то есть [latex]\lim\limits_{x \to x_{0} + 0} f(x) = f(x_{0})[/latex] и [latex]\exists \lim\limits_{\Delta x \to +0} \frac{\Delta y}{\Delta x}[/latex], то этот предел называют правой производной функции [latex]y[/latex] в точке [latex]x_{0}[/latex].
Правая производна кратко записывается [latex]{f_{+}}'(x_{0})[/latex].

Определение: Прямая проходящая через точку [latex](x_{0}, f(x_{0}))[/latex], с угловым коэффициентом [latex]{f_{-}}'(x_{0})[/latex], называется левой касательной к графику функции [latex]y[/latex] в точке [latex](x_{0}, f(x_{0}))[/latex].

Определение: Прямая проходящая через точку [latex](x_{0}, f(x_{0}))[/latex], с угловым коэффициентом [latex]{f_{+}}'(x_{0})[/latex], называется правой касательной к графику функции [latex]y[/latex] в точке [latex](x_{0}, f(x_{0}))[/latex].

Определение: Если функция [latex]y=f(x)[/latex], непрерывна в точке [latex]x_{0}[/latex] и [latex]\exists \lim\limits_{\Delta x \to 0} = \pm \infty[/latex], тогда производная [latex]{f}'(x_{0})[/latex] называется бесконечной производной.

Замечание: Геометрическое истолкование производной как углового коэффициента касательной распространяется и на случай бесконечной производной; но здесь — касательная оказывается параллельной оси [latex]Oy[/latex]. В случаях a и b эта производная равна, соответственно, [latex]+\infty[/latex] и [latex]-\infty[/latex] (обе односторонние производные совпадают по знаку); в случаях c и d односторонние производные разнятся знаком.

Тест:

Односторонние и бесконечные производные.

Тест проверки усвоения информации об односторонних и бесконечных производных.

Таблица лучших: Односторонние и бесконечные производные.

максимум из 10 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список литературы:

Курс лекций по математическому анализу в двух частях Часть 1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский стр. 110-111.
Лекции Зои Михайловны Лысенко.

Правило Лопиталя о раскрытии неоднозначностей

Метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида $latex \frac{0}{0}$ или $latex \frac{\infty}{\infty}$ Правило позволяет заменить предел отношения функций пределом отношения их производных.

1. Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю.

Условия:

$latex f(x) &s=1$ и $latex g(x) &s=1$ дифференцируемы в проколотой окрестности точки $latex a$
$latex \lim\limits_{x\to a}f(x)=\lim\limits_{x\to a}g(x)=0 &s=1$
$latex g'(x) \neq 0 &s=1$ в проколотой окрестности точки $latex a$
Существует $latex \lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} &s=1$

Вывод: Тогда существует $latex \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)} &s=1$

Доказательство: Доопределим функции в точке $latex a$ нулём. Из 1 условия следует, что $latex f(x)$ и $latex g(x)$ непрерывны на отрезке $latex [a,x]$ , где $latex x$ принадлежит рассматриваемой окрестности точки $latex a$ . Применим обобщённую формулу конечных приращений (Коши) к $latex f(x)$ и $latex g(x)$ на отрезке $latex [a,x]$ $latex \exists \xi\in [a,x]:\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}&s=1$ Так как $latex f(a)=g(a)=0$ получим, что $latex \forall x$ $latex \exists \xi \in [a,x]:\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} &s=1$ Пусть предел отношения производных равен $latex A$ . Следовательно: $latex \lim\limits_{x \to a} \frac{f'(\xi(x))}{g'(\xi(x))}=\lim\limits_{y \to a} \frac{f'(y)}{g'(y)}=A &s=1$ , так как $latex \lim\limits_{x \to a} \xi(x)=a &s=1$

2. Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны бесконечности.

Условия:

$latex f(x)$ и $latex g(x)$ дифференцируемы при $latex x>a$
$latex \lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\infty}g(x)=\infty &s=1$
$latex g'(x)\neq 0$ при $latex x>a$
Существует конечный $latex \lim\limits_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A &s=1$

Вывод: Тогда существует $latex \lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} &s=1$ Доказательство: Из условия 2 следует, что $latex \exists a_{1}>a:\forall x>a_{1} \to |f(x)|>1,|g(x)|>1$ , и поэтому $latex f(x)\neq 0,g(x)\neq0$ при $latex x>a_{1}$ . По определению предела (условие 4) для заданного числа $latex \varepsilon >0$ можно найти $latex \delta_{1}=\delta_{1}(\varepsilon)\geq a_{1}$ такое, что для всех $latex t>\delta_{1}$ выполняется неравенство: $latex A-\frac{\varepsilon}{2}<\frac{f'(t)}{g'(t)}<A+\frac{\varepsilon}{2} &s=1$ Фиксируя $latex x_{0}>\delta_{1}$ выберем, пользуясь условием 2 число $latex \delta_{2}>x_{0}$

такое, чтобы при всех $latex x>\delta_{2}$ выполнялись неравенства: $latex \left |\frac{f(x_{0})}{f(x)}<\frac{1}{2}\right | &s=1$ и $latex \left |\frac{g(x_{0})}{g(x)}<\frac{1}{2}\right | &s=1$ Для доказательства теоремы нужно доказать, что существует такое $latex \delta$ , что при всех $latex x>\delta$ выполняется $latex A-\varepsilon<\frac{f(x)}{g(x)}<A+\varepsilon (*) &s=1$ Число $latex \delta$ будет выбрано ниже. Считая, что $latex x>\delta$ , применим к функциям $latex f$ и $latex g$ на отрезке $latex [x;x_{0}]$ обобщённую формулу конечных приращений (Коши). $latex \exists \xi \in [x_{0};x]: \frac{f(x)-f(x_{0})}{g(x)-g(x_{0})}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} &s=1$ Преобразуем левую часть неравенства: $latex \frac{f(x)-f(x_{0})}{g(x)-g(x_{0})}=\frac{f(x)}{g(x)}(\varphi(x))^{-1} &s=1$ , где $latex \varphi(x)=\frac{1-\frac{g(x_{0})}{g(x)}}{1-\frac{f(x_{0})}{f(x)}}=1+\beta(x) &s=1$ Заметим, что $latex \beta(x)\to0$ при $latex x\to+\infty$ в силу условия 2, $latex \forall \varepsilon>0 \exists \delta\geq\delta_{2}:$ $latex \forall x>\delta\to|\beta(x)|<\frac{\frac{\varepsilon}{2}}{|A|+ \frac{\varepsilon}{2}}(**) &s=1$ Так как $latex \xi>x_{0}>\delta_{1}$ , то для всех $latex x>\delta_{2}$ выполняется неравенство: $latex A-\frac{\varepsilon}{2}<\frac{f(x)}{g(x)} (\varphi(x))^{-1}<A+\frac{\varepsilon}{2} &s=1$ Если $latex x>\delta$ , то $latex \varphi(x)>0$ , и поэтому неравенство равносильно следующему: $latex (A-\frac{\varepsilon}{2})(1+\beta(x))<$ $latex \frac{f(x)}{g(x)}<(A+\frac{\varepsilon}{2})(1+\beta(x)) &s=1$ Используя неравенство $latex (**)$ , получаем: $latex (A-\frac{\varepsilon}{2})(1+\beta(x))=$ $latex A-\frac{\varepsilon}{2}+(A-\frac{\varepsilon}{2})\beta(x) \geq$ $latex (A-\frac{\varepsilon}{2})-&s=1-(|A|+\frac{\varepsilon}{2})|\beta(x)|>$ $latex A-\frac{\varepsilon}{2}-\frac{\varepsilon}{2}=A-\varepsilon &s=1$ Аналогично находим: $latex (A+\frac{\varepsilon}{2})(1+\beta(x))\leq$ $latex A+\frac{\varepsilon}{2}+(|A|+\frac{\varepsilon}{2})|\beta(x)|< A+\varepsilon &s=1$

Таким образом для всех $latex x>\delta$ выполняется неравенство $latex (*)$ , а это означает, что справедливо утверждение: $latex \lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} &s=1$

Примеры:

Пример 1. Найти $latex \lim\limits_{x \to 1}\frac{3x^{10}-2x^{5}-1}{x^{3}-4x^{2}+3} &s=1$ Обозначим $latex f(x)=3x^{10}-2x^{5}-1$ , $latex g(x)=x^{3}-4x^{2}+3$ . Так как $latex \lim\limits_{x\to1}f(x)=\lim\limits_{x\to1}g(x)=0$ , воспользуемся правилом Лопиталя для ситуации $latex \frac{0}{0}$ . $latex f'(x)=30x^{9}-10x^{4}$ , $latex f'(1)=20$ $latex g'(x)=3x^{2}-8x$ , $latex g'(1)=-5$ По доказанной теореме: $latex \lim\limits_{x\to1}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to1}\frac{f'(x)}{g(x’)}=\frac{20}{-5}=-4 &s=1$

Ответ: -4.

Пример 2. Доказать, что [latex] \lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^{\alpha}}=0,\alpha>0 [/latex]

Применяя правило Лопиталя для ситуации $latex \frac{\infty}{\infty}$ , получим: [latex]\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^{\alpha}}=[/latex][latex]\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{\alpha x^{\alpha-1}}=[/latex][latex] \lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{\alpha x^{\alpha}}=0[/latex]

Доказано.

Источники:

Конспект по курсу математического анализа Лысенко З.М.
Тер-Крикоровв А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа -М.:ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.-672 с. гл. IV §19 с. 172-175

Тест на знание правила Лопиталя

Пройдите короткий тест для закрепления материала.

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Определение

Пример

Геометрический смысл частной производной

Использованная литература

Частные производные высших порядков

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Таблица лучших: Частные производные высших порядков

Теорема 1(для функции двух переменных)

Теорема 2 (обобщение)

Использованная литература:

Дополнительная литература:

Теорема о смешанных производных

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Элементы сортировки

2.

3.

4.

Таблица лучших: Теорема о смешанных производных

Тест:

Односторонние и бесконечные производные.

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Таблица лучших: Односторонние и бесконечные производные.

Тест на знание правила Лопиталя

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.