Задача из журнала «Квант» (М1442)

Условие

Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. В точке $A$ к обеим проведены касательные, пересекающие окружности в точках $M$ и $N$. Прямые $BM$ и $BN$ пересекают окружности еще раз в точках $P$ и $Q$($P$ — на прямой $BM$, $Q$ — на прямой $BN$). Докажите, что отрезки $MP$ и $NQ$ равны.

Решение

Легко доказать, что треугольники $MAP$ и $QAN$ подобны. Несколько труднее — что они равны. Но и это можно сделать, используя лишь теоремы о величине вписанного угла, о величине угла между касательной и хордой, а также о величине угла между касательной и секущей (он равен полуразности дуг, заключенных между сторонами угла, рис. 1).

Пусть величины дуг $AB$ двух кругов (заключенных внутри кругов) равны $2\phi$ и $2\psi$ (для дуг, лежащих внутри углов $MAB$ и $NAB$ соответственно). Легко видеть, что $\angle BNA = \angle QNA = \phi$, а также $\angle MPA = \phi$ — как в случае, когда точки $P$ и $N$ лежат по одну сторону от прямой $AB$ (рис. 2), так и в случае, когда по разные (рис. 3, где $\angle BPA = \pi — \phi$). Аналогично, $\angle BMA = \angle PMA = \psi = \angle NQA$. Отсюда следует подобие $\triangle MAP\sim \triangle QAN$.

Докажем, что $AP = AN$. Проверим, что эти хорды стягивают разные дуги. Величина дуги $ABN$ (как и $ABM$) равна $2\phi + 2\psi$, т. е. точки $A$ и $N$ делят окружности на дуги $2\phi + 2\psi$ и $2\pi — 2\phi — 2\psi$. Дугу $AP$ можно найти рассмотрев угол $\angle AMB = \phi$ как угол между касательной и секущей : величина этой дуги, лежащей внутри угла, равна $2\phi + 2\psi$ на рисунке 2 и $2\pi — 2\phi — 2\psi$ на рисунке 3, т. е. точки $A$ и $P$ делят окружность на такие же дуги $2\phi + 2\psi$ и $2\pi — 2\phi — 2\psi$.  Аналогично, $AQ = AM$. Отсюда следует, что $\triangle MAP=\triangle QAN$ и $MP = QN$.

      И. Нагель