радиус вписанной окружности

Условие

Четырехугольник с перпендикулярными диагоналями вписан в квадрат. Диагонали и стороны четырехугольника разделили квадрат на 8 треугольников, попеременно окрашенных в красный и синий цвет (рис.1).

рис 1

Докажите, что сумма радиусов окружностей, вписанных в красные треугольники равна сумме радиусов окружностей, вписанных в синие треугольники.

Решение

Сначала два вспомогательных факта.

Диаметр вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен разности между суммой его катетов и гипотенузой, т.е. $2r = a + b — c.$ Обоснование этого полезного утверждения можно усмотреть из рисунка

Два взаимно перпендикулярных отрезка разделили квадрат на четыре четырехугольнька. Тогда сумма периметров любых двух несоседних из них равна сумме периметров двух других (рис.3).

рис 3

Обоснуем это. Один из разделяющих отрезков перенесем параллельно себе так, чтобы он прошел через центр квадрата; при этом сумма периметров несоседних четырехугольников останется прежней. То же самое сделаем со вторым отрезком. Но два отрезка, взаимно перпендикулярные и проходящие через центр квадрата, делят его на четыре равных четырехугольника. Теперь рассуждение легко закончить самостаятельно.

Вернемся к условию задачи. На основании утверждения 2 можно заключить, что сумма длин всех катетов красных треугольников равна сумме длин всех катетов синих треугольников. К этому можно добавить, что сумма длин всех гипотенуз красных треугольников равна сумме длин всех гипотенуз синих треугольников. Откуда используя утверждение 1, делаем вывод, что сумма радиусов окружностей, вписанных в красные треугольники, равна сумме радиусов окружностей, вписанных в синие треугольники.

В. Произволов

Задача из журнала «Квант» (выпуск №4, 2001)

Условие

Внутри остроугольного треугольника $ABC$ выбрана точка $M$ , являющаяся:

точкой пересечения медиан;
точкой пересечения биссектрис;
точкой пересечения высот.

Докажите, что если радиусы окружностей, вписанных в треугольники $AMB$ , $BMC$ , $AMC$ равны, то треугольник $ABC$ — правильный.

Решение

Рис.1

Площади треугольников $AMB$ , $BMC$ и $AMC$ (Рис. $1$ ) одинаковы – они равны $\frac{1}{3}S_{ABC}$ (докажите это).
Поскольку площадь $S$ треугольника, его полупериметр $p$ и радиус $r$ вписанной в него окружности связаны соотношением $S = pr$ , периметры треугольников $AMB$ , $BMC$ и $AMC$ также одинаковы.Предположим теперь, что треугольник $ABC$ – неправильный; пусть, например, $|AB| > |BC|$ . Тогда угол $BDA$ – тупой, поэтому $|AM| > |MC|$ , так что периметр треугольника $AMB$ больше периметра треугольника $BMC$ – противоречие.

Рис.2
Поскольку $\widehat{CBM} = \widehat{CBM}$ и радиусы окружностей, вписанных в треугольники $AMB$ и $BMC$ , равны, эти окружности касаются биссектрисы $BM$ в одной и той же точке (Рис. $2$ ).
Из этого следует, что все три окружности попарно касаются, и их центры $O_1$ , $O_2$ и $O_3$ образуют правильный треугольник, стороны которого перпендикулярны биссектрисам данного треугольника $ABC$ . Поэтому, например, $\widehat{BMC} = \frac{\pi + A }{ 2} = \frac{2\pi}{3}$ , то есть $\widehat{A} = \frac{\pi}{3}$ . Аналогично доказывается, что $B = C = \frac{\pi}{3}$ .

Рис.3
Как и в задаче $1$ , предположим, что треугольник $ABC$ – неправильный; пусть, например, $|BC| > |AC|$ . Обозначим через $D$ и $E$ точки касания окружностей, вписанных в треугольники $AMB$ и $BMC$ соответственно, со сторонами $AC$ и $BC$ (Рис. $3$ ). Поскольку радиусы этих окружностей равны и $\widehat{CAM} = \widehat{CBM}$ , $|AD| = |BE|$ . Значит, $|CD| < |CE|$ .

С другой стороны, при нашем предположении $\widehat{B } < \widehat{A}$ , так что $\widehat{MCA} = \frac{\pi}{2} – \widehat{A} < \frac{\pi}{2} – \widehat{B} = \widehat{BCM}$ . Поэтому $|CD| > |CE|$ – противоречие.

А.Егоров

Метка: радиус вписанной окружности

M1817. Окружности вписанные в четырёхугольник

Условие

Решение

M677. О высоте, медиане и биссектрисе, радиусе вписанной окружности в правильном треугольнике

Условие

Решение