Основная теорема арифметики

Теорема. Любое натуральное число больше единицы может быть разложено в виде простых множителей и это разложение единственно (если не учитывать порядок множителей).

Докажем существование такого разложения и то, что оно единственно.

. Пусть $n \in N, n > 1$ и мы имеем два варианта.Если $n$ простое, и тогда разложение уже получено, либо $n$ составное, а значит может быть представлено в виде $n=p_{0}a_{0}$ , где $p_0$ — наименьший делитель $n$ . Допустим $a_{0}>1$ , а значит у нас снова два варианта. Либо $a_{0}$ — простое, либо оно составное и может быть представлено как $a_{0}=p_{1}a_{1}$ , где $p_1$ — наименьший делитель $a_{0}$ . Таким образом мы дойдем до $a_{m-1}=p_{m}a_{m}$ , где $a_{m}=1$ . Тогда $n=p_{0}p_{1}p_{2}\ldots p_{m}$ , где $p_{i}, i=\overline{0, m}$ является простым по лемме (1) о простоте наименьшего делителя.

. Пусть существуют два разложения числа $n\in N, n > 1$ на простые множители. Тогда $p_{1}p_{2}\ldots p_{n}=q_{1}q_{2}\ldots q_{m}$ . Так как $p_{1}p_{2}\ldots p_{n}$ разложение $n$ , а значит является его делителем, то $p_{1} \mid q_{1}q_{2}\ldots q_{m}$ . Если точнее, оно делит $q_{j}, j= \overline{1, m}$ .Но так как $q_{j}$ и $p_{1}$ — простые, то это возможно только в том случае, если $p_{1}=q_{i}$ . Так как порядок множителей не имеет значения, пусть это будет $q_{1}$ . И тогда мы можем сократить равенство на $p_{1}$ и получим $p_{2}\ldots p_{n}=q_{2}\ldots q_{m}$ . Повторяя рассуждения, мы придем к тому, что кончатся множители одного разложения (предположим что $n < m$ ) и мы получим такое равенство $1= q_{n}q_{n+1} \ldots q_{m}$ . Однако, так как все множители — простые, а значит (по определению простого числа) найдено противоречие. Это доказывает единственность.

Так как в разложении целого числа могут оказаться одинаковые множители, то можно обозначить количество вхождений множителя его степенью : $n=p^{a_{1}}_{1}p^{a_{2}}_{2}\ldots p^{a_{n}}_{n},$ где $p_{i} \neq p_{j}$ при $i, j = \overline{1, n}, i \neq j$ . Это называется каноническим разложением числа.

Примеры

Каноническим разложением числа $100$ будет $2^{2} \cdot 5^{2}$ .
Каноническим разложением числа $255$ будет $3^{1} \cdot 5^{1} \cdot 17^{1}$ .
Каноническим разложением числа $53$ будет $53^{1}$ .

Тест на канонические разложения

Тест для проверки понимания изложенной выше темы.

Разделите данные ниже разложения на канонические и неканонические.

Элементы сортировки

$2^{2}\cdot 5^{3}$
$2^{6}$
$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$
$2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5$
$2^{4} \cdot 3$

Каноническое разложение

$500$

Каноническое разложение числа

$64$

Неканоническое разложение числа

$64$

Неканоническое разложение числа

$100$

Каноническое разложение числа

$48$

Литература

Электронный конспект по алгебре. Автор Белозеров.Г.С.
И.М.Виноградов. Основы теории чисел. 6-ое издание, 1952 год. стр.20-22.
Д.К.Фадеев. Лекции по алгебре. 1984 год. стр. 14-15.

Коэффициенты Тейлора, ряд Тейлора

Определение

Если функция $f$ определена в некоторой окрестности точки $x_{0}$ и является бесконечно дифференцируемой (имеет в данной точке производные всех порядков), то степенной ряд вида $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}\left(x-x_{0}\right)^n$ называется рядом Тейлора функции $f$ в окрестности точки $x_{0}$ , где числа $a_{n}=\frac{{f}^{\left(n \right)}\left(x_{0} \right)}{n!} \;\;\; \left(n=0,1,2,\ldots \right)$ это коэффициенты Тейлора функции $f$ в окрестности точки $x_{0}$ .

Спойлер

Представим в виде ряда Тейлора функцию $f\left(x \right)=\begin{cases}&e^{\frac{-1}{x^{2}}},\;\;x\neq0\\&0,\;\;x=0\end{cases}$

Найдем производные функции вне нуля: ${f}^{\left(1\right)}\left(x \right)=e^{\frac{-1}{x^{2}}}\cdot \frac{2}{x^{3}},$ ${f}^{\left(2\right)}\left(x \right)=\left(\frac{4}{x^{6}}-\frac{6}{x^{4}} \right)e^{\frac{-1}{x^{2}}},$ $\ldots$ ${f}^{\left(k\right)}\left(x\right)=e^{\frac{-1}{x^{2}}}Q_{3k}\left(\frac{1}{x}\right).$

Рассмотрим производные функции в нуле. Докажем по индукции, что ${f}^{\left(k\right)}\left(0 \right)=0 \;\;\; \forall k \in N.$ Имеем,

${f}^{\left(1\right)}\left(0 \right)=\lim\limits_{ n \to 0}\frac{e^{\frac{-1}{x^{2}}}}{x}=0.$
${f}^{\left(n\right)}\left(0 \right)=0 \;\;\; \forall n \in N.$
${f}^{\left(n+1\right)}\left(0 \right)=$ $\lim\limits_{ n \to 0}\frac{{f}^{n}\left(x \right)-{f}^{n}\left(0 \right)}{x}=$ $\lim\limits_{ n \to 0}\frac{1}{x}e^{\frac{-1}{x^{2}}}Q_{3k}\left(\frac{1}{x} \right)=$ $0.$

Следовательно, для данной функции коэффициенты формулы Тейлора в точке $x_{0}$ равны нулю. Но, с другой стороны, $f\left(x \right)=e^{\frac{-1}{x^{2}}}\neq0,\;\;\; x\neq0$ . Таким образом, функция не представима в виде своего ряда Тейлора.

[свернуть]

Сходимость ряда Тейлора к функции

Пусть функция $f\left(x\right)$ бесконечно дифференцируема в точке $x_{0}$ . Поставим ей в соответствие формулу Тейлора: $f\left(x\right)=\sum\limits_{n=0}^{n}\frac{{f}^{\left(n\right)}\left(x_{0}\right)}{n!}\left(x-x_{0}\right)^{n}+r_{n}\left(x\right),$ где $r_{n}\left(x \right)$ — остаток в формуле Тейлора. Обозначим, $S_{n}\left(x\right)=\sum\limits_{n=0}^{n}\frac{{f}^{\left(n \right)}\left(x_{0} \right)}{n!}\left(x-x_{0}\right)^{n},$ где $S_{n}\left(x\right)$ — частичная сумма данного ряда Тейлора данной функции. Следовательно, можем записать равенство: $f\left(x \right)=S_{n}\left(x \right)+r_{n}\left(x \right).$ Тогда для того, чтобы $\lim\limits_{ n \to \infty}s_{n}\left(x \right)=f\left(x\right)$ , функция $f\left(x\right)$ на заданном интервале должна быть равной сумме своего ряда Тейлора.

Таким образом, для сходимости ряда Тейлора функции $f\left(x\right)$ к функции $f\left(x\right)$ на некотором интервале необходимо и достаточно , чтобы для всех $x$ из этого интервала ее остаточный член в формуле Тейлора стремился к нулю: $\lim\limits_{ n \to \infty}r_{n}\left(x \right)=0.$

Литература

Лысенко З.М. Конспекты лекций.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 2. стр 116-125.
Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа»: Учеб. пособие для вузов. 3-е издание, 2001 г. стр 434-438
В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу, часть 2. стр 67-75

Коэффициенты Тейлора

Предлагаю пройти Вам данный тест на закрепление материала по данной статье.

Задание 1 из 2

1.
Дан степенной ряд вида $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}(x-x_{0})^n. (1)$ Вставьте пропущенные слова
- Если функция $f$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$ и является то степенной ряд вида (1) называется функции $f$ в окрестности точки $x_0$ .
Правильно

Неправильно

Задание 2 из 2

2.

Укажите соответствие между функцией и ее рядом Тейлора.

Элементы сортировки

$x+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left ( -1 \right )^{n+1}\frac{x^{n+1}}{n\left ( n+1 \right )}$
$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n+1}}{4n+1} \;\;\;\left ( -1<x<1 \right )$
$\arctan 2 + \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\left ( -1 \right )^{n}2^{2n-1}}{2n-1}x^{2n-1}$

$f\left ( x \right )=\left ( 1+x \right )\ln \left ( 1+x \right )$

$f\left ( x \right )=\frac{1}{4}\ln \left ( \frac{1+x}{1-x} \right )+\frac{1}{2}\arctan x$

$f\left ( x \right )=\arctan\frac{2-2x}{1+4x}$

Таблица лучших: Коэффициенты Тейлора

максимум из 3 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Формула Тейлора с остатком в форме Пеано

Формулировка:

Если существует $f^{(n)}(x_{0})$ , то $f(x)$ представима в следующем виде:

$f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}}{k!}(x-x_{0})^{k}+o((x-x_{0})^{n})_{x\to x_{0}}$

Это выражение $f(x)$ называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (или локальной формулой Тейлора)

Доказательство:

Для начала докажем Лемму

Пусть функции $\varphi(x),\psi(x)$ определены в $\delta$ окрестности точки $x_{0}$ и удовлетворяют следующим условиям:

$\forall x \in U_{\delta} \exists \varphi^{(n+1)}(x),\psi^{(n+1)}(x);$
$\varphi(x_{0})=\varphi'(x_{0})=…=\varphi^{(n)}(x_{0})=0$ , $\psi(x_{0})=\psi'(x_{0})=…=\psi^{(n)}(x_{0})=0$
$\psi(x)\neq0,\psi^{k}(x)\neq 0 \forall x\in U_{\delta}(x_{0}),k=\overline{1,n+1}$

Тогда $\forall x\in U_{\delta}(x_{0})$ существует точка $\xi$ , принадлежащая интервалу с концами $x_{0}$ и $x$ такая, что $\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi^{n+1}(\xi)}{\psi^{n+1}(\xi)}$

Доказательство

Пусть, например, $x \in (x_{0},x_{0}+\delta)$ . Тогда применяя к функциям $\varphi$ и $\psi$ на отрезке $[x_{0},x]$ теорему Коши и учитывая, что $\varphi(x)=\psi(x)=0$ по условию, получаем

$\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi(x)-\varphi(x_{0})}{\psi(x)-\psi(x_{0})}=\frac{\varphi'(\xi_{1})}{\psi'(\xi_{1})}$, $ x_{0}<\xi_{1}<x$

Аналогично, применяя к функциям $\varphi’$ и $\psi’$ на отрезке $[x_{0},\xi_{1}]$ теорему Коши, находим

$\frac{\varphi'(\xi_{1})}{\psi'(\xi_{1})}=\frac{\varphi'(\xi_{1})-\varphi'(x_{0})}{\psi'(\xi_{1})-\psi'(x_{0})}=\frac{\varphi»(\xi_{2})}{\psi»(\xi_{2})},$ $x_{0}<\xi_{2}<\xi_{1}$

Из этих двух равенств следует, что

$\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi'(\xi_{1})}{\psi'(\xi_{1})}=\frac{\varphi»(\xi_{2})}{\psi»(\xi_{2})},$ $x_{0}<\xi_{2}<\xi_{1}<x<x_{0}+\delta$

Применяя теорему Коши последовательно к функциям $\varphi»$ и $\psi»$ , $\varphi^{(3)}$ и $\psi^{(3)}$ ,…, $\varphi^{(n)}$ и $\psi^{(n)}$ на соответствующих отрезках получаем

$\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi'(\xi_{1})}{\psi'(\xi_{1})}=…=\frac{\varphi^{n}(\xi_{n})}{\psi^{n}(\xi_{n})}=\frac{\varphi^{n+1}(\xi)}{\psi^{n+1}(\xi)}$

где $x_{0}<\xi<\xi_{n}<…<\xi_{2}<\xi_{1}<x<x_{0}+\delta$

Равенство доказано для случая, когда $x \in(x_{0},x_0+\delta)$ , аналогично рассматривается случай, когда $x \in(x_0-\delta,x_{0})$ .

Теперь, когда лемма доказана, приступим к доказательству самой теоремы:

Из существования $f^{(n)}(x_{0})$ следует, что функция $f(x_{0})$ определена и имеет производные до $(n-1)$ порядка включительно в $\delta$ окрестности точки $x_{0}$

Обозначим $\varphi(x)=r_{n}(x),\psi(x)=(x-x_{0})^{n}$ , где $r_{n}(x)=f(x)-P_{n}(x)$ .

Функции $\varphi(x)$ и $\psi(x)$ удовлетворяют условиям леммы, если заменить номер $n+1$ на $n-1$

Используя ранее доказанную лемму и учитывая, что $r_{n}^{(n-1)}(x_{0})=0$ получаем

$\frac{r_{n}(x)}{(x-x_{0})^{n}}=\frac{r_{n}^{n-1}(\xi)-r_{n}^{(n-1)}(x_{0})}{n!(\xi-x_{0})},$ $\xi=\xi(x)(*)$

где $x_{0}<\xi<x<x_{0}<x_{0}+\delta$ или $x_{0}-\delta<x<\xi<x_{0}$ .

Пусть $x\to x_{0}$ , тогда из неравенств следует, что $\xi \to x_{0}$ , и в силу существования $f^{(n)}(x_{0})$ существует

$\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{r_{n}^{(n-1)}(x)-r_{n}^{(n-1)}(x_{0)}}{x-x_0}=$

$=\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{r_{n}^{(n-1)}(\xi)-r_{n}^{(n-1)}(x_{0)}}{\xi-x_{0}}=r_{n}^{(n)}(x_{0})=0$

Так как выполняются равенства $r_{n}(x_{0})=r_{n}'(x_{0})=…=r_{n}^{(n)}(x_{0})=0$

Таким образом, правая часть формулы $(*)$ имеет при $x\to x_{0}$ предел, равный нулю, а поэтому существует предел левой части этой формулы, так же равный нулю. Это означает, что $r_{n}(x)=o((x-x_{0})^{n}),x\to x_{0}$ , то есть $f(x)-P_{n}(x)=o((x-x_{0})^{n})$ , что и требовалось доказать.

Пример:

Разложить функцию $y=\cos^{2}(x)$ в окрестности точки $x_{0}=0$ по Тейлору с остатком в форме Пеано.

Решение

Табличное разложение косинуса имеет следующий вид:

$\cos(x)=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-…+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})$

Представим функцию $\cos^{2}(x)$ в виде:

$\cos^{2}(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(2x)$

Заменим в табличном разложении $x$ на $2x$ и подставим представление косинуса.Получим

$\cos^{2}(x)=1-x^2+\frac{x^{4}}{3}-…+(-1)^{n} \frac{2^{2n-1}x^{2n}}{2n!}+o(x^{2n+1})$

Источники:

Конспект по курсу математического анализа Лысенко З.М.
Тер-Крикоровв А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа -М.:ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.-672 с. гл. IV §18 с. 161.

Тест на знание формулы Тейлора(ост.Пеано)

Проверьте себя на знание доказательства и применения формулы Тейлора с остатком в форме Пеано.

Метка: разложение

Основная теорема арифметики

Примеры

Тест на канонические разложения

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Элементы сортировки

Литература

Коэффициенты Тейлора, ряд Тейлора

Определение

Сходимость ряда Тейлора к функции

Литература

Коэффициенты Тейлора

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Элементы сортировки

Таблица лучших: Коэффициенты Тейлора

Формула Тейлора с остатком в форме Пеано

Тест на знание формулы Тейлора(ост.Пеано)

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Элементы сортировки

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат