Определение стационарной точки(для функции многих переменных)
В терминах частных производных
Стационарными называются точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль. fx1′(x1,x2,…,xn)=0fx2′(x1,x2,…,xn)=0…………………….fxn′(x1,x2,…,xn)=0}
В терминах дифференциалов
Если функция f(x) дифференцируема в точке x0 и df(x0)=0, то точка x0 называется стационарной точкой функции f(x).
Точка экстремума дифференцируемой функции в силу необходимых условий экстремума будет стационарной точкой. Обратное утверждение не верно. Стационарная точка может не быть точкой экстремума.
Функции, достигающие стационарную точку не в экстремуме
Пример
Показать, что (0,0) является стационарной точкой функции f(x,y)=xy, но (0,0) не есть точка экстремума этой функции.
График функции z=xy.
Так как df(x,y)=ydx+xdy, то df(0,0)=0 и (0,0) есть стационарная точка функции f(x,y). Но для любого δ>0 точки (δ,δ,) и (δ,−δ,) лежат в круге S2δ(0,0) и
f(δ,δ)=δ2>f(0,0)=0,
f(δ,−δ)=−δ2<f(0,0)=0.
Поэтому (0,0) не есть точка экстремума функции f(x,y).
Экстремумом функции называется максимальное (минимальное) значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум называется точкой экстремума.
Точка x0 называется точкой локального максимума функции f(x), если выполняется условие: ∃Uδ(x0):∀x∈Uδ(x0)f(x0)≥f(x).
Аналогично точка x0 называется точкой локального минимума функции f(x) , если выполняется условие: ∃Uδ(x0):∀x∈Uδ(x0)f(x0)≤f(x).
Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками. Точки, в которых функция непрерывна, а её производная либо равна нулю, либо не существует, называются критическими точками.
Теорема (необходимое условие экстремума)
Если точка x0 — точка экстремума функции f(x), то она критическая.
Доказательство
По условию точка x0 — точка экстремума функции f(x)⇒по теореме Ферма производная f′(x0)=0⇒ точка x0 является критической.
Пример:
Найти экстремум функции f(x)=x3−6x2+9x−4.
Найдем производную этой функции:f′=3x2−12x+9⇒ критические точки задаются уравнением 3x2−12x+9=0. Корни этого уравнения x1=3 и x2=1.
Как видно по рисунку функция имеет максимум в точке 1, а минимум в точке 3.
Подставим эти значения чтобы убедиться в исходную функцию: f(3)=27−54+27−4=−4 и f(1)=1−6+9−4=0⇒ в точке x1=3 функция имеет минимум, равный -4, а в точке x2=1 функция имеет максимум, равный 0.
Замечания:
Не всякая критическая точка является точкой экстремума.
Пример:
Рассмотрим функцию f(x)=x3. Построим график этой функции:
Производная данной функции в точке x0=0f′(0)=0⇒x0 по определению является критической точкой, однако в этой точке функция не имеет экстремума.
Теорема (первое достаточное условие экстремума в терминах первой производной)
Пусть функция f(x) определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может, самой точки x0 и непрерывна в этой точке. Тогда:
Если производная f′ меняет знак с «-» на «+» при переходе через точку x0: ∀x∈(x0−δ;x0)f′(x)<0 и ∀x∈(x0;x0+δ)f′(x)>0, то x0 — точка строго минимума функции f(x).
Если производная f′ меняет знак с «+» на «-» при переходе через точку x0: ∀x∈(x0−δ;x0)f′(x)>0 и ∀x∈(x0;x0+δ)f′(x)<0, то x0 — точка строго максимума функции f(x).
Доказательство
Пусть, например, f′ меняет знак с «-» на «+». Рассмотрим точку x0 на сегменте [x;x0]. Воспользуемся теоремой о конечных приращениях Лагранжа: f(x)−f(x0)=f′(ξ)(x−x0), ξ∈(x;x0). Поскольку при переходе через точку x0 функция меняет знак с «-» на «+», то f′(ξ)<0 и x<x0, то x−x0<0f(x)−f(x0)>0.
Аналогично рассмотрим сегмент [x0;x], получим f(x)−f(x0)>0⇒f(x0)<f(x)⇒x0 — точка строгого минимума функции.
Замечания:
Если x0 — точка строго экстремума, то из этого не следует, что производная f′(x) меняет знак при переходе через точку x0.
Теорема (второе достаточное условие строгого экстремума в терминах второй производной)
Пусть дана функция f(x), она определена в некоторой окрестности точки x0, ее первая производнаяf′(x0)=0 и пусть ∃f»(x0), тогда:
Если f»(x0)>0, то точка x0 — точка строгого минимума;
Если f»(x0)<0, то точка x0 — точка строгого максимума.
Доказательство
Докажем теорему для первого случая, когда f»(x0)>0. По скольку f»(x0) непрерывна, то на достаточно малом интервале (x0−δ;x0+δ), т.к f»(x0)>0, то f′(x0) возрастает в этом интервале. f′(x0)=0, значит f′(x0)<0 на интервале (x0−δ;x0) и f′(x0)>0 на интервале (x0;x0+δ).
Таким образом функция f(x) убывает на интервале (x0−δ;x0) и возрастает на интервале (x0;x0+δ)⇒ по первому достаточному условию экстремума функция в точке x0 имеет минимум.
Аналогично доказывается второй случай теоремы.
Замечания:
Если f′(x)=0 и f»(x)=0, то функция f(x) может и не иметь экстремум в точке x0.
Теорема (третье достаточное условие строгого экстремума в терминах производных порядка больше двух)
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0, и в этой точке существуют производные до n-го порядка пусть ∃f(n)(x0), n>2 и f′(x0)=f»(x0)=…=f(n−1)(x0)=0, f(n)(x0)≠0. Тогда:
Если n=2k (т.е n — четное), то x0 — точка экстремума:
если f(n)(x0)<0, то x0 — точка локального максимума;
если f(n)(x0)>0, то x0 — точка локального минимума;
Если n=2k+1 (т.е n — нечетное), то x0 — не является точкой экстремума.
Доказательство
Воспользуемся формулой Тейлора в окрестности точки x0 с остатком в форме Пеано: f(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x−x0)+…+f(n−1)(x0)(n−1)!(x−x0)n−1+f(n)(x0)n!(x−x0)n+o((x−x0)n),x→x0.
По скольку все производные до (n−1) порядка включительно равны нулю получим: f(x)−f(x0)=fn(x0)n!(x−x0)n+o((x−x0)n),x→x0. Запишем полученное выражение в виде: f(x)−f(x0)=f(n)(x0)n!(x−x0)[1+o((x−x0)n)(x−x0)n]. Выражение [1+o((x−x0)n)(x−x0)n)]>1. Пусть n=2k⇒(x−x0)n>0, sign(f(x)−f(x0))=sign(f(n)(x0)n!(x−x0)n). Отсюда следует, что сохранение или изменение знака приращения функции во время перехода через точку x0 зависит от четности n. Последний факт и доказывает теорему.
Список литературы:
В.А.Ильин, Э. Г. Позняк «Основы математического анализа» (часть 1) 4-е издание, 1982, стр. 295;
Лысенко З. М. Конспект по математическому анализу.
Вартанян Г. М. Конспект по математическому анализу.
