степень — ПриМат

Лемма о степени произведения двух многочленов

Лемма. Степень произведения двух многочленов равна сумме степеней множителей.

$u\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$

$v\left(x\right)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0},$

$p\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=c_{n+m}x^{n+m}+c_{n+m-1}x^{n+m-1}+\ldots+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}.$ По определению произведения многочленов, коэффициенты

$p\left(x\right)$ равны

$\displaystyle c_{i}=\sum_{\alpha+\beta=i}^{}a_{\alpha}b_{\beta},\;\left(i = 0, 1, \ldots, n+m-1, n+m\right).$ Рассмотрим коэффициент многочлена

$p\left(x\right)$ при

$x^{n+m}:$

$c_{n+m}=\sum_{\alpha+\beta=n+m}a_{\alpha}b_{\beta}=a_{n}b_{m}.$ Очевидно,

$a_{n}b_{m}\neq 0,$ иначе хоть один из множителей был бы равен нулю и степени

$u\left(x\right)$ и/или

$v\left(x\right)$ были бы нарушены. Тогда

$c_{n+m}\neq 0$ и

$\deg\left(p\left(x\right)\right)=\deg\left(u\left(x\right)\right)+\deg\left(v\left(x\right)\right)=n+m.$

Примеры решения задач

Читателю предлагается решить эти примеры и сравнить своё решение с приведённым.

Вычислить $\deg\left(p\left(x\right)\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right),$ если:
$u\left(x\right)=6x^8-19x^7+40x^6-52x^5+74x^4-60x^3+34x^2+5x+50,$
$v\left(x\right)=42.$

Решение

Очевидно, умножение на число не изменит степени многочлена. Однако, убедимся в этом с помощью леммы, считая $v\left(x\right)$ многочленом нулевой степени.
$\deg\left(p\left(x\right)\right)=\deg\left(u\left(x\right)\right)+\deg\left(v\left(x\right)\right)=8+0=8.$
Определить степень произведения $u\left(x\right)\cdot v\left(x\right),$ если:
$u\left(x\right)=10x^7+26x^6+46x^5+56x^4+114x^3+80x^2+48x+70,$
$v\left(x\right)=39x^5+185x^4+193x^3+81x^2+56x+20.$

Решение

Воспользуемся леммой. Пусть $p\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right).$ Тогда:
$\deg\left(p\left(x\right)\right)=\deg\left(u\left(x\right)\right)+\deg\left(v\left(x\right)\right)=7+5=12.$

Смотрите также

А.Г. Курош Курс высшей алгебры. — Издание девятое. — Москва:Наука, 1968. — 431с. (c. 132)
Р.Галлагер Теория информации и надежная связь. -М.:»Советское радио», 1974. — 720с. (c. 232-233)
Белозёров Г.С. Конспект лекций.

Лемма о степени произведения двух многочленов

Этот тест призван проверить Ваши знания по теме «Лемма о степени произведения двух многочленов».

Задание 1 из 3

1.
Количество баллов: 1
Какая степень у произведения $u\left(x\right)\cdot v\left(x\right),$ где: $u\left(x\right)=4x^8-14x^7+32x^6-8x^5+2x^4+23x^3+96x^2+73x+30,$ $v\left(x\right)=11x^6+49x^5+35x^4+48x^3+28x^2+11x+2?$
- 14
- 13
- 12
- 2
- 8
- 6
Задание 2 из 3

2.
Количество баллов: 1
Вычислите $\deg\left(p\left(x\right)\right),$ если $p\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right),$ $\deg\left(u\left(x\right)\right)=28,$ $\deg\left(v\left(x\right)\right)=72.$ (В ответ введите только число)
Задание 3 из 3

3.
Количество баллов: 8
Дополните формулировку леммы (По 1 слову в каждом поле)
- Степень произведения двух многочленов равна (сумме) степеней .

Лемма о степени суммы двух многочленов

Лемма. Степень суммы двух многочленов меньше либо равна наибольшей из степеней слагаемых.

Рассмотрим многочлены

$u\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$

$v\left(x\right)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0},$

$s\left(x\right)=u\left(x\right)+v\left(x\right)=c_{p}x^{p}+c_{p-1}x^{p-1}+\ldots+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0},$ где

$p=\max\left(m,n\right).$ По определению суммы двух многочленов, коэффициенты

$s\left(x\right)$ равны

$c_{i}=a_{i}+b_{i},\; \left(i = 0, 1, \ldots, p-1, p\right).$ Рассмотрим коэффициент многочлена

$s\left(x\right)$ при

$x^{p}:$

$c_{p}=a_{n}+b_{m},$ если они существуют, т.е. если

$n=m.$ Если же

$n>m,$ то

$c_{p}=a_{n}.$ Иначе,

$n<m$ и

$c_{p}=b_{m}.$ Таким образом, степень

$s\left(x\right)$ не будет больше

$\max\left(m,n\right).$ В случае же

$m=n$ и

$a_{n}=-b_{m},$

$c_{p}=0$ и степень

$s\left(x\right)<p.$

Примеры решения задач

Читателю предлагается решить эти примеры и сравнить своё решение с приведённым.

Какой степени будет сумма $u\left(x\right)+v\left(x\right),$ если:
$u\left(x\right)=10x^7+26x^6+46x^5+56x^4+114x^3+80x^2+48x+70,$
$v\left(x\right)=7x^7+19x^6+39x^5+185x^4+193x^3+81x^2+56x+20?$

Решение

Воспользуемся леммой. Пусть $s\left(x\right)=u\left(x\right)+v\left(x\right).$ Поскольку $\deg\left(v\left(x\right)\right)=\deg\left(u\left(x\right)\right)=7,$ коэффициент многочлена $s\left(x\right)$ при $x^{7}$ равен $c_{7}=10+7=17\neq 0.$ Следовательно, $\deg\left(s\left(x\right)\right)=7.$
Определить степень суммы многочленов $u\left(x\right)+v\left(x\right),$ если:
$u\left(x\right)=45x^7-47x^6-x^5-140x^4+10x^3+13x^2+24x+12,$
$v\left(x\right)=-45x^7+47x^6+x^5+27x^4+12x^3+6x^2+2x+21.$

Решение

Воспользуемся леммой. Пусть $s\left(x\right)=u\left(x\right)+v\left(x\right),$ коэффициенты $u\left(x\right),$ $v\left(x\right),$ $s\left(x\right)$ равны $a_{i},$ $b_{i},$ $c_{i}$ соответственно. Аналогично предыдущему случаю, $\deg\left(v\left(x\right)\right)=\deg\left(u\left(x\right)\right)=7.$ Рассмотрим коэффициенты $s\left(x\right):$
$c_{7}=a_{7}+b_{7}=45+\left(-45\right)=0.$ Значит, $\deg\left(s\left(x\right)\right)<7.$
$c_{6}=a_{6}+b_{6}=-47+47=0,$
$c_{5}=a_{5}+b_{5}=-1+1=0,$
$c_{4}=a_{4}+b_{4}=-140+27=-113\neq 0.$ Значит, $\deg\left(s\left(x\right)\right)=4.$

Смотрите также

А.Г. Курош Курс высшей алгебры. — Издание девятое. — Москва:Наука, 1968. — 431с. (c. 132)
Р.Галлагер Теория информации и надежная связь. -М.:»Советское радио», 1974. — 720с. (c. 232-233)
Белозёров Г.С. Конспект лекций.

Лемма о степени суммы двух многочленов

Этот тест призван проверить Ваши знания по теме «Лемма о степени суммы двух многочленов».

Задание 1 из 3

1.
Количество баллов: 3
Какой степени будет многочлен $s\left(x\right),$ если: $s\left(x\right)=-u\left(x\right)+v\left(x\right)+u\left(x\right),$ где $u\left(x\right)$ — произвольный многочлен, $v\left(x\right)=2x+3?$ (В ответ введите только число)
Задание 2 из 3

2.
Количество баллов: 2
Чему будет равна $\deg \left(s\left(x\right)\right),$ если $u\left(x\right)=40x^7-34x^6+90x^5-25x^4+147x^3-27x^2+54x+88,$ $v\left(x\right)=40x^7-34x^6+90x^5-25x^4+147x^3+27x^2-54x+88,$ $s\left(x\right)=u\left(x\right)-v\left(x\right).$
- 2
- 1
- 0
- 3
- 4
Задание 3 из 3

3.
Количество баллов: 2
Вычислите $\deg\left(s\left(x\right)\right),$ если $s\left(x\right)=u\left(x\right)+v\left(x\right)$ и $\deg\left(u\left(x\right)\right)=12,$ $\deg\left(s\left(x\right)\right)=14.$ (В ответ введите только число)

Операции над многочленами

Сложение многочленов

Определение. Пусть даны многочлены

$u\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$

$v\left(x\right)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}.$ Будем считать, что

$n\geqslant m.$ Тогда их суммой является многочлен

$s\left(x\right)=u\left(x\right)+v\left(x\right)=c_{n}x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\ldots+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0},$ каждый коэффициент

$c_{i}$ которого получается сложением соответствующих коэффициентов

$a_{i}$ и

$b_{i},$

$\left(i = 0, 1, \ldots, n-1, n\right).$ Причём, если

$n\geqslant i>m,$ то считаем, что

$b_{i}=0.$

Замечание. Можно определить и многочленов, как сложение с противоположным. «Нулём» будет выступать нулевой многочлен $\left(0\right),$ а противоположный данному многочлен получается заменой всех коэффициентов на противоположные:

$u\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$

$-u\left(x\right)=-a_{n}x^{n}-a_{n-1}x^{n-1}-\ldots-a_{2}x^{2}-a_{1}x-a_{0}.$

Основные свойства сложения

1. Степень суммы. Степень суммы двух многочленов меньше либо равна наибольшей из степеней слагаемых. (Лемма)

$u\left(x\right)+v\left(x\right)=v\left(x\right)+u\left(x\right).$

Пусть

$u\left(x\right)+v\left(x\right)=s_{1}\left(x\right),\; v\left(x\right)+u\left(x\right)=s_{2}\left(x\right).$ Рассмотрим коэффициенты

$s_{1}\left(x\right)$ и

$s_{2}\left(x\right).$ Они равны в силу коммутативности сложения чисел

$\left(a_{i}+b_{i}=b_{i}+a_{i}\right),$ а значит,

$s_{1}\left(x\right)=s_{2}\left(x\right),$ что доказывает коммутативность сложения многочленов.

$\left(u\left(x\right)+v\left(x\right)\right)+w\left(x\right)=u\left(x\right)+\left(v\left(x\right)+w\left(x\right)\right).$

Пусть коэффициенты $u\left(x\right),$ $v\left(x\right)$ и $w\left(x\right)$ равны $a_{i},$ $b_{i},$ и $c_{i}$ соответственно. Зададим их суммы:

$\left(u\left(x\right)+v\left(x\right)\right)+w\left(x\right)=f\left(x\right),$

$u\left(x\right)+\left(v\left(x\right)+w\left(x\right)\right)=g\left(x\right).$ Для доказательства ассоциативности, докажем равенство

$f\left(x\right)$ и

$g\left(x\right).$ Рассмотрим общие формулы их коэффициентов:

$f_{i}=\left(a_{i}+b_{i}\right)+c_{i},$

$g_{i}=a_{i}+\left(b_{i}+c_{i}\right).$ Аналогично коммутативности, равенство этих двух многочленов следует из ассоциативности операции сложения для чисел, из чего и следует ассоциативность сложения многочленов.

Умножение многочленов

Определение. Пусть даны многочлены

$u\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$

$v\left(x\right)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}.$ Тогда их произведением является многочлен

$p\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=c_{n+m}x^{n+m}+c_{n+m-1}x^{n+m-1}+\ldots+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0},$ образующийся в результате простого умножения

$u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)$ и приведения подобных членов. Таким образом, каждый коэффициент произведения

$\displaystyle c_{i}=\sum_{\alpha+\beta=i}^{}a_{\alpha}b_{\beta},\; \left(i = 0, 1, \ldots, n+m-1, n+m\right).$

Замечание. Для многочленов операция обратная умножению (деление) не определена. Однако, существует алгоритм деления с остатком.

Основные свойства умножения

1. Степень произведения. Степень произведения двух многочленов равна сумме степеней множителей. (Лемма)

$u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=v\left(x\right)\cdot u\left(x\right).$

Рассмотрим многочлены $u\left(x\right)$ и $v\left(x\right)$ из определения произведения. Пусть

$f\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=c_{n+m}x^{n+m}+c_{n+m-1}x^{n+m-1}+\ldots+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0},$

$g\left(x\right)=v\left(x\right)\cdot u\left(x\right)=d_{n+m}x^{n+m}+d_{n+m-1}x^{n+m-1}+\ldots+d_{2}x^{2}+d_{1}x+d_{0}.$ Тогда, коэффициенты многочлена

$f\left(x\right)$ равны

$\displaystyle c_{i}=\sum_{\alpha+\beta=i}^{}a_{\alpha}b_{\beta},$ а многочлена

$g\left(x\right)$ —

$\displaystyle d_{i}=\sum_{\alpha+\beta=i}^{}b_{\beta}a_{\alpha}.$ Из очевидного равенства этих сумм вытекает равенство

$f\left(x\right)$ и

$g\left(x\right),$ а значит,

$u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=v\left(x\right)\cdot u\left(x\right)$ и коммутативность доказана.

$\left(u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\right)\cdot w\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot \left(v\left(x\right)\cdot w\left(x\right)\right).$

Пусть коэффициенты $u\left(x\right),$ $v\left(x\right)$ и $w\left(x\right)$ равны $a_{i},$ $b_{i},$ и $c_{i}$ соответственно, а именно:

$u\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$

$v\left(x\right)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0},$

$w\left(x\right)=c_{s}x^{s}+c_{s-1}x^{s-1}+\ldots+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}.$ Теперь, зададим их произведения в нужном порядке:

$f\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=d_{n+m}x^{n+m}+d_{n+m-1}x^{n+m-1}+\ldots+d_{2}x^{2}+d_{1}x+d_{0},$

$g\left(x\right)=v\left(x\right)\cdot w\left(x\right)=r_{m+s}x^{m+s}+r_{m+s-1}x^{m+s-1}+\ldots+r_{2}x^{2}+r_{1}x+r_{0},$

$h\left(x\right)=\left(u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\right)\cdot w\left(x\right)=k_{n+m+s}x^{n+m+s}+\ldots+k_{2}x^{2}+k_{1}x+k_{0},$

$l\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot \left(v\left(x\right)\cdot w\left(x\right)\right)=p_{n+m+s}x^{n+m+s}+\ldots+p_{2}x^{2}+p_{1}x+p_{0}.$ Для доказательства ассоциативности, докажем равенство многочленов

$h\left(x\right)$ и

$l\left(x\right).$ Рассмотрим общую формулу коэффициента

$h\left(x\right):$

$\displaystyle k_{i}=\sum_{q+\gamma =i}d_{q}c_{\gamma }=\sum_{q+\gamma =i}\left( \sum_{\alpha +\beta =q}^{}\left(a_{\alpha }b_{\beta }\right)\cdot c_{\gamma }\right) = \sum_{\alpha +\beta +\gamma=i}a_{\alpha }b_{\beta }c_{\gamma }.$ Теперь покажем, что общую формулу коэффициента

$l\left(x\right)$ можно привести к такому же виду:

$\displaystyle p_{i}=\sum_{\alpha+q=i}a_{\alpha}r_{q}=\sum_{\alpha+q=i}\left( a_{\alpha}\cdot \sum_{\beta+\gamma=q}b_{\beta}c_{\gamma} \right)= \sum_{\alpha +\beta +\gamma=i}a_{\alpha }b_{\beta }c_{\gamma }.$ Из равенства коэффициентов следует равенство многочленов, что и доказывает ассоциативность.

Примеры решения задач

Читателю предлагается решить эти примеры и сравнить своё решение с приведённым.

Сложить многочлены $3x^4+2x^3-4x^2-8x+10$ и $8x^3-4x^2-9x-10.$

Решение

Воспользуемся определением суммы многочленов:
$\left(3x^4+2x^3-4x^2-8x+10\right)+\left(8x^3-4x^2-9x-10\right)=$
$=\left(3+0\right)x^4+\left(2+8\right)x^3+\left(-4+\left(-4\right)\right)x^2+\left(-8+\left(-9\right)\right)x+\left(10-10\right)=$
$=3x^4+10x^3-8x^2-17x.$
Найти разность $7x^7+10x^6-20x^5+10x^4-13x^3+8x^2+11x+19$ и $5x^7-10x^5+7x^4+x^3+11x^2+20x+11.$

Решение

Сложим первый многочлен с противоположным второму:
$7x^7+10x^6-20x^5+10x^4-13x^3+8x^2+11x+19 +$
$+\left(-5x^7+10x^5-7x^4-x^3-11x^2-20x-11\right)=$
$=\left(7-5\right)x^7+\left(10+0\right)x^6+\left(-20+10\right)x^5+\left(10-7\right)x^4+$
$+\left(-13-1\right)x^3+\left(8-11\right)x^2+\left(11-20\right)x+\left(19-11\right)=$
$=2x^7+10x^6-10x^5+3x^4-14x^3-3x^2-9x+8.$
Найти произведение $2x^2+5x-1$ и $4x^2-x+3.$

Решение

Умножим два многочлена и приведём подобные:
$\left(2x^2+5x-1\right)\cdot \left(4x^2-x+3\right)=$
$=8x^4-2x^3+6x^2+20x^3-5x^2+15x-4x^2+x-3=$
$=8x^4+\left(20-2\right)x^3+\left(6-5-4\right)x^2+\left(15+1\right)x-3=$
$=8x^4+18x^3-3x^2+16x-3.$
Найти произведение $-3x^2+7x+9$ и $6x^2+2x+8.$

Решение

На этот раз, воспользуемся общей формулой коэффициента из определения произведения многочленов. Тогда:
$u\left(x\right)=-3x^2+7x+9,\;a_{2}=-3,a_{1}=7,a_{0}=9,$
$v\left(x\right)=6x^2+2x+8,\;b_{2}=6,b_{1}=2,b_{0}=8,$
$p\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=c_{4}x^4+c_{3}x^3+c_{2}x^2+c_{1}x+c_{0}.$ По определению, $\displaystyle c_{i}=\sum_{\alpha+\beta=i}^{}a_{\alpha}b_{\beta},$ $\left(i=0,1,2,3,4\right).$ Вычислим их.
$c_{0}=\sum_{\alpha+\beta=0}^{}a_{\alpha}b_{\beta}=a_{0}b_{0}=9\cdot 8=72,$
$c_{1}=\sum_{\alpha+\beta=1}^{}a_{\alpha}b_{\beta}=a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}=9\cdot 2 + 7\cdot 8=74,$
$c_{2}=\sum_{\alpha+\beta=2}^{}a_{\alpha}b_{\beta}=a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0}=9\cdot 6+7\cdot 2+\left(-3\right)\cdot 8=44,$
$c_{3}=\sum_{\alpha+\beta=3}^{}a_{\alpha}b_{\beta}=a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}=7\cdot 6+\left(-3\right)\cdot 2=36,$
$c_{4}=\sum_{\alpha+\beta=4}^{}a_{\alpha}b_{\beta}=a_{2}b_{2}=-3\cdot 6=-18.$ Имеем:
$p\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=-18x^4+36x^3+44x^2+74x+72.$

Смотрите также

А.Г. Курош Курс высшей алгебры. — Издание девятое. — Москва: Наука, 1968. — 431с. (c. 130-134)
К.Д. Фадеев Лекции по алгебре. — Москва: Наука, 1984. — 416с. (c. 54-55)
А.И. Кострикин Введение в алгебру. Основы алгебры. — Москва: Физматлит, 1994. -320с. (с. 211-212)
Белозёров Г.С. Конспект лекций.

Операции над многочленами

Этот тест призван проверить Ваши знания по теме «Операции над многочленами».

Бином Ньютона

— формула, представляющая выражение $(a+b)^{n}$ при $n>0$ в виде:

$(a+b)^{n}=a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}b+C_{n}^{2}a^{n-2}b^{2}+$

$C_{n}^{3}a^{n-3}b^{3}+\cdots+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}+b^{n}$ ,

где $C_{a}^{b}$ — число сочетаний из $a$ элементов по $b$ элементов.

$C_{n}^{k}=\frac {n!}{k!(n-k)!}$ .

Докажем верность данного утверждения:

$\square$ Доказательство методом математической индукции.

$1)$ Для $n= 1$ :

$a+b=C_{1}^{0}a^{1-0}b^{0}+C_{1}^{1}a^{1-1}b^{1}=$

$a*1+b*1=a+b.$

Для $n=1$ утверждение выполняется.

$2)$ Предположим, что утверждение выполняется для $n=k$ .

$(a+b)^{k}=C_{k}^{0}a^{k-0}b^{0}+C_{k}^{1}a^{k-1}b^{1}+$

$C_{k}^{2}a^{k-2}b^{2}+\cdots+C_{k}^{k-1}a^{1}b^{k-1}+C_{k}^{k}a^{0}b^{k}=$

$a^{k}+C_{k}^{1}a^{k-1}b+C_{k}^{2}a^{k-2}b^{2}+\cdots+$

$C_{k}^{k-1}a^{1}b^{k-1}+b^{k}=\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i}.$

$3)$ Докажем верность формулы для $n=k+1$ .

Докажем, что $(a+b)^{k+1}=\sum\limits_{i=0}^{k+1}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i}$ .

$(a+b)^{k+1}=(a+b)(a+b)^{k}=$

$(a+b)\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i}=$

$\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i}+\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i+1}$

Вынесем слагаемое при $i=0$ из первой суммы:

$\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i} = a^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i}$

Вынесем слагаемое при $i=k$ из последней суммы:

$\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i+1}=$

$b^{k+1} + \sum\limits_{i=0}^{k-1}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i+1}=$

$b^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k-1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}$

Прибавим данные суммы:

$=a^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i}+$

$b^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k-1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}=$

$=a^{k+1}+b^{k+1}+$

$\sum\limits_{i=1}^{k}(C_{k}^{i}+C_{k}^{i-1})a^{k-i+1}b^{i}=$

$=\sum\limits_{i=0}^{0}C_{k+1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}+$

$\sum\limits_{i=k+1}^{k+1}C_{k+1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}+$

$\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k+1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}=$

$=\sum\limits_{i=0}^{k+1}C_{k+1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}$ $\blacksquare$

Также с помощью бинома Ньютона строится треугольник Паскаля, в котором числа в строке обозначают коэффициенты при соответствующих степенях:

Примеры:

$1)$ $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+\frac{3!}{1!*2!}ab^{2}+b{3}=$

$a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}.$

$2)$ $(a+b+c)^{4}=?$

$(a+b+c)^{4}=(a+(b+c))^{4}=$

$a^{4}+a^{3}(b+c)\frac{4!}{3!}+a^{2}(b+c)^{2}\frac{4!}{2!2}+$

$a(b+c)^{3}\frac{4!}{3!}+(b+c)^{4}=$

$a^{4}+a^{3}b\frac{4!}{3!}+a^{3}c\frac{4!}{3!}+a^{2}b^{2}\frac{4!}{2!2!}+2a^{2}bc\frac{4!}{2!}+$

$a^{2}c^{2}\frac{4!}{2!2!}+ab^{3}\frac{4!}{3!}+3ab^{2}c\frac{4!}{1*2*3}+$

$+3abc^{2}\frac{4!}{1*2*3}+ac^{3}\frac{4!}{3!}+$

$b^{4}+b^{3}c\frac{4!}{3!}+b^{2}c^{2}\frac{4!}{2!2!}+bc^{3}\frac{4!}{3!}+c^{4}=$

$=a^{4}+b^{4}+c^{4}+4(a^{3}b+a^{3}c+b^{3}c)+$

$6(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})+4(b^{3}a+c^{3}a+ c^{3}b)+$

$12(a^{2}bc+b^{2}ac+c^{2}ab).$

Список литературы:

Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.
В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.5.

Тест "Бином Ньютона"

Тестовые вопросы по вышеизложенной теме.

Таблица лучших: Тест "Бином Ньютона"

максимум из 3 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Средний результат
Ваш результат

Примеры решения задач

Смотрите также

Лемма о степени произведения двух многочленов

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Примеры решения задач

Смотрите также

Лемма о степени суммы двух многочленов

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Сложение многочленов

Основные свойства сложения

Умножение многочленов

Основные свойства умножения

Примеры решения задач

Смотрите также

Операции над многочленами

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Элементы сортировки

6.

Тест "Бином Ньютона"

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Таблица лучших: Тест "Бином Ньютона"