Теорема об умножении определителей

Определитель произведения двух квадратных матриц порядка $n$ равен произведению определителей этих матриц:

$\det (A \cdot B)=\det (A) \cdot \det (B)$ или полная формула:

$\det\left (\prod_{i=1}^{k}A_i\right )= \prod_{i=1}^{k}\det A_i, A_i\in\left(P\right), i=1, \ldots, k.$

Для доказательства рассмотрим случай $k=2$ . Допустим заданы две матрицы $A=\left \| a_{ij} \right \|\in M_n\left ( P \right )$ и $B=\left \| b_{ij} \right \|\in M_n\left ( P \right )$ . Воспользуемся вспомогательной блочной матрицей $C=\begin{Vmatrix}A & 0\\-E & B\end{Vmatrix}$ размера $2n\times 2n$ , определитель которой имеет вид:

$\Delta = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} &\cdots & a_{1n} &0 & 0 & \cdots & 0\\ a_{21}&a_{22} &\cdots & a_{2n} &0 & 0 & \cdots & 0 \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &\cdot & \cdot & \cdot\\ a_{n1}&a_{n2} &\cdots & a_{nn} &0 & 0 & \cdots & 0\\ -1& 0 & \cdots & 0 & b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\\ 0 & -1 & \cdots & 0 & b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &\cdot & \cdot & \cdot\\ 0 & 0 & \cdots & -1 & b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn} \end{vmatrix}$
Вычислим

$\Delta$ используя теорему Лапласа. Замечаем, что отличным от нуля будет только

$det(A)$ . Следовательно,

$\Delta=\det(A) \cdot \det(B)$ . Теперь с помощью элементарных преобразований изменим

$\Delta$ так, что в итоге получим определитель вида

$\begin{vmatrix}A & C\\ -E & O\end{vmatrix}$ . Где

$C$ является произведением матриц

$A$ и

$B$ . Первый столбец умножим на

$b_{11}$ и прибавим к

$\left ( n+1 \right)$ -му столбцу, второй на элемент

$b_{21}$ и вновь прибавим к

$\left ( n+1 \right )$ -му столбцу. Так же обнулим остальные элементы матрицы

$B$ . Записав подробнее полученный определитель имеем:

$\Delta = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} &\cdots & a_{1n} & c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n}\\ a_{21}&a_{22} &\cdots & a_{2n} & c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n}\\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &\cdot & \cdot & \cdot\\ a_{n1}&a_{n2} &\cdots & a_{nn} & c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \\ -1& 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & -1 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &\cdot & \cdot & \cdot\\ 0 & 0 & \cdots & -1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{vmatrix}$ Снова вычислим определитель

$\Delta$ , разложением по последним

$n$ столбцам. В этом случае отличным от нуля минором

$n-$ го порядка будет определитель матрицы

$C$ . Поэтому

$\Delta= \det C\cdot\det\left (-E\right )=\det C\cdot\left ( -1 \right )^{n}\cdot\left (-1\right )^{S_1+S_2},$ где

$S_1=\sum_{k=n+1}^{2n}k, \textrm{ a } S_2=\sum_{k=1}^{n}k.$ В результате получаем

$\Delta=\det C\cdot\left ( -1 \right )^{2n\left ( n^{2}+n \right )}=\det C.$ Теперь, подставляя имеем доказательство теоремы:

$\Delta=\det C=\det (A \cdot B)=\det (A) \cdot \det (B).$

Известно, что произведение матриц в общем случае не коммутативно, т.е. $AB \neq BA$ . Но определитель это действительное число, а произведение действительных чисел коммутативно. Следовательно,

$\det(AB) = \det A \cdot \det B = \det B\cdot\det A = \det(BA)$

Теорема об умножении определителей является следствием формулы Бине-Коши. Это теорема об определителе произведения прямоугольных матриц, в случае если это произведение дает квадратную матрицу. Справедлива для матриц с элементами любого коммутативного кольца.

Пусть даны две матрицы $A$ и $B$ размеров $\left ( m\times n \right )$ и $\left ( n\times m \right )$ соответственно. Определитель матрицы равен нулю, если $m > n$ , и равен сумме произведений всех соответствующих миноров $m$ -го порядка мaтрицы $A$ на соответствующие миноры $m$ -го порядка матрицы $B$ , если $m \leqslant n$ . Миноры матриц $A$ и $B$ одинакового порядка, равного наименьшему из чисел n и m, называются соответствующими друг другу, если они стоят в столбцах матрицы $A$ и строках матрицы $B$ с одинаковыми номерами:

$\det AB=\sum_{\gamma_1<\gamma_2<\cdots<\gamma_m }A_{\gamma_1<\gamma_2<\cdots<\gamma_m }B_{\gamma_1<\gamma_2<\cdots<\gamma_m },$
где

$A_{\gamma_1<\gamma_2<\cdots<\gamma_m }$ — минор матрицы

$A$ , составленный из столбцов с номерами

$\gamma_1<\gamma_2<\cdots<\gamma_m$ , и

$B_{\gamma_1<\gamma_2<\cdots<\gamma_m }$ — минор матрицы

$B$ , составленный из строк с номерами

$\gamma_1<\gamma_2<\cdots<\gamma_m$ .

Допустим $C=AB$ , $c_{ij}=\sum_{\gamma=1}^{m}{a_{i\gamma }b_{\gamma i}}$ . Значит

$\det C=\sum_{\sigma}{(-1)^\sigma} \sum_{\gamma_1}{a_{1\gamma_1}b_{\gamma_{1}\sigma(1)}}\ldots \sum_{\gamma_n}{a_{n\gamma_n}b_{\gamma_{n}\sigma(n)}}=$

$=\sum_{\gamma_1,\ldots,\gamma_n=1}^{m}{a_{1\gamma_{1}}}\ldots a_{n_n}\sum_{\sigma}{(-1)^\sigma}b_{\gamma_1\sigma(1)}\ldots b_{\gamma_n\sigma(n)}=\sum_{\gamma_1,\ldots,\gamma_n=1}{a_{1\gamma_{1}}\ldots a_{n\gamma_n} B^{\gamma_1\ldots \gamma_n}}.$ Минор

$B^{\gamma_1\ldots \gamma_n}$ не равен нулю только в том случае, когда

$\gamma_1, \ldots, \gamma_n$ попарно различны, значит и суммировать можно по парно различные номера

$\gamma_1, \ldots, \gamma_n$ . Для любой перестановки

$\tau$ этих номеров справедливо

$B^{\tau(\gamma_1)\ldots\tau(\gamma_n)}=(-1)^{\tau}B^{\gamma_1\ldots\gamma_n},$ из чего следует

$\sum_{\gamma_1,\ldots,\gamma_n=1}{a_{1\gamma_{1}}\ldots a_{n\gamma_n} B_{\gamma_1\ldots \gamma_n}}=\sum_{\gamma_1<\gamma_2<\ldots<\gamma_n}{(-1)^\tau a_{1\tau(1)}\ldots a_{n\tau(n)}B_{\gamma_1\ldots\gamma_n}}=$

$=\sum_{\gamma_1<\gamma_2<\ldots<\gamma_m}{A_{\gamma_1<\gamma_2<\ldots<\gamma_m}B_{\gamma_1<\gamma_2<\ldots<\gamma_m}}.$

Примеры решения задач

Рассмотрим примеры решения задач связанных с рассмотренной теоремой. Читателю рекомендовано попытаться решить задачи самостоятельно, а затем сверить свое решение с приведенным ниже.

1. Найти определитель произведения матриц:
  $A=\begin{Vmatrix}3 & 4\\ 1 & -8\end{Vmatrix}, B=\begin{Vmatrix}2 & 9\\ -1 & 5\end{Vmatrix}$
  
  Решение
  
  Находим определители данных матриц второго порядка: $\begin{vmatrix}3 & -4\\ 1 & -6\end{vmatrix}=-18+4=-14$ и $\begin{vmatrix}2 & 7\\ 1 & 5\end{vmatrix}=10-7=3$ . По теореме об определителе произведения матриц получаем:
  $\det (A \cdot B)=\det \left (A \right ) \cdot \det \left ( B \right )=\left ( -14\right )\cdot\left ( 3 \right )=-42.$ Вычислим этот же определитель, находя произведение матриц:
  $A\cdot B=\begin{vmatrix}3 & -4\\ 1 & -6\end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}2 & 7\\ 1 & 5\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2 & 1\\ -4 & -23\end{vmatrix}$ Следовательно, $\det \left (A\cdot B\right )=-46+4=-42$ . Результаты совпадают.
2. Найти определитель матрицы пятого порядка:
  $M=\begin{Vmatrix} 1 & 2 & u & v & w\\3 & 4 & x & y & z\\0 & 0 & 3 & 2 & 1\\0 & 0 & 2 & 5 & 3\\0 & 0 & 3 & 4 & 2 \end{Vmatrix}$
  
  Решение
  
  Разобьём данную матрицу на 4 блока, $M=\begin{Vmatrix}A & B\\ O & C\end{Vmatrix}$ где $A=\begin{Vmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\end{Vmatrix}$ ,
  $B=\begin{Vmatrix}u & v & w\\ x & y & z\end{Vmatrix}$ , $O=\begin{Vmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\\ 0 & 0\end{Vmatrix}$ , $C=\begin{Vmatrix}3 & 2 & 1\\ 2 & 5 & 3 \\3 & 4 & 2\end{Vmatrix}$ .
  Представим блочную матрицу как произведение (в справедливости этого представления можно убедиться, найдя произведение по правилам умножения блочных матриц).
  $D=\begin{Vmatrix} A & B\\C & D \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix} E_2 & O^T\\ O & C \end{Vmatrix} \cdot \begin{Vmatrix} E_2 & B\\ O & E_3 \end{Vmatrix} \cdot \begin{Vmatrix} A & O^T\\ O & E_3 \end{Vmatrix} ,$ где $E_2,E_3$ — единичные матрицы соответствующих порядков.
  $\begin{vmatrix} A & O^T\\ O & E_3 \end{vmatrix} = \det A =\left | A \right |$ , $\begin{vmatrix} E_2 & O^T\\ O & C \end{vmatrix} = \det C =\left | C \right|$ .
  Матрица $\begin{Vmatrix} E_2 & B\\ O & E_3 \end{Vmatrix}$ — треугольная с единицами на главной диагонали, следовательно ее определитель равен $1$ По теореме об определителе произведения получаем:
  
  $\begin{vmatrix} A & B\\ O & C \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} E_2 & O^T\\ O & C \end{vmatrix}\ \cdot \begin{vmatrix} E_2 & B\\ O & E_3 \end{vmatrix}\ \cdot\begin{vmatrix} A & O^T\\ O & E_3 \end{vmatrix}=\left | C \right |\cdot 1\cdot\left | A \right |=\left | A \right |\cdot\left | C \right |$ Найдем $\det A$ и $\det C$ . $\begin{vmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\end{vmatrix}=-2$ $\begin{vmatrix}3 & 2 & 1\\ 2 & 5 & 3 \\3 & 4 & 2\end{vmatrix}=-15-8-36+30+18=-3$ . Подставляя, получаем, $\det M=-2\cdot -3=-6$
3. Представьте в виде определителя произведение определителей:
  $\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 & 1\\ -1& 2 & 1 & 1\\ -1& -1& 2 & 1\\ -1&-1&-1& 2 \end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix} 4& 1\\ 1& 4 \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix} -3 & 1\\ -1 & 3 \end{vmatrix}$
  
  Решение
  
  По теореме об определителе ступенчатой матрицы имеем:
  
  $\begin{vmatrix} 4& 1\\ 1& 4 \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix} -3 & 1\\ -1 & 3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 4 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -3 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 3 \end{vmatrix}$ Предположим
  $A=\begin{Vmatrix} 2 & 1 & 1 & 1\\ -1& 2 & 1 & 1\\ -1& -1& 2 & 1\\ -1&-1&-1& 2 \end{Vmatrix}, B=\begin{Vmatrix} 4 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -3 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 3 \end{Vmatrix},$
  тогда
  $AB=\begin{Vmatrix} 9 & 6 & -4 & 4\\ -2 & 7 & -4 & 4\\ -5 & -5 & -7 & 5\\ -5 & -5 & 1 & 5 \end{Vmatrix},$ по теореме об определителе произведения получаем искомый определитель
  $\det (A\cdot B)=\begin{vmatrix} 9 & 6 & -4 & 4\\ -2 & 7 & -4 & 4\\ -5 & -5 & -7 & 5\\ -5 & -5 & 1 & 5 \end{vmatrix}.$

Литература

Белозеров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре.
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Линейная алгебра; 5-е изд., стереотипное. ФИЗМАТЛИТ. — 2002. С. 38-39
А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры С.138-139
Курош А.Г. Курс высшей алгебры М.: Наука, 1968, С.93-95
Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре: Учебное пособие для вузов.— M.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.— 416 с. C. 130-134

Теорема об умножении определителей

Тест на знание темы «Теорема об умножении определителей».

Задание 1 из 3

1.
Чему равен определитель произведения нескольких квадратных матриц?
- Произведению определителей этих матриц.
- Сумме определителей этих матриц.
- Произведению определителей этих матриц с противоположным знаком.
Правильно

Неправильно

Задание 2 из 3

2.

Сопоставьте, если даны прямоугольные матрицы $D$ $K$ $\left ( m\times n \right )$ и $\left ( n\times m \right )$ размеров соответственно

Элементы сортировки

$\textrm{det}DK$ равен сумме произведений всех соответствующих миноров
$\textrm{det}DK$ равен произведению определителей матриц $D$ и $K$
$\textrm{det}DK$ равен нулю

если

$m < n$

если

$m = n$

если

$m > n$

Задание 3 из 3

3.
Заполните пропуски.
- Обобщением теоремы об определителе произведения матриц служит формула , которая выражает определитель произведения прямоугольных матриц через (сумму) произведений всевозможных миноров матрицы A на (соответствующие) миноры того же порядка матрицы B.
Правильно

Неправильно

Основная теорема арифметики

Теорема. Любое натуральное число больше единицы может быть разложено в виде простых множителей и это разложение единственно (если не учитывать порядок множителей).

Докажем существование такого разложения и то, что оно единственно.

. Пусть $n \in N, n > 1$ и мы имеем два варианта.Если $n$ простое, и тогда разложение уже получено, либо $n$ составное, а значит может быть представлено в виде $n=p_{0}a_{0}$ , где $p_0$ — наименьший делитель $n$ . Допустим $a_{0}>1$ , а значит у нас снова два варианта. Либо $a_{0}$ — простое, либо оно составное и может быть представлено как $a_{0}=p_{1}a_{1}$ , где $p_1$ — наименьший делитель $a_{0}$ . Таким образом мы дойдем до $a_{m-1}=p_{m}a_{m}$ , где $a_{m}=1$ . Тогда $n=p_{0}p_{1}p_{2}\ldots p_{m}$ , где $p_{i}, i=\overline{0, m}$ является простым по лемме (1) о простоте наименьшего делителя.

. Пусть существуют два разложения числа $n\in N, n > 1$ на простые множители. Тогда $p_{1}p_{2}\ldots p_{n}=q_{1}q_{2}\ldots q_{m}$ . Так как $p_{1}p_{2}\ldots p_{n}$ разложение $n$ , а значит является его делителем, то $p_{1} \mid q_{1}q_{2}\ldots q_{m}$ . Если точнее, оно делит $q_{j}, j= \overline{1, m}$ .Но так как $q_{j}$ и $p_{1}$ — простые, то это возможно только в том случае, если $p_{1}=q_{i}$ . Так как порядок множителей не имеет значения, пусть это будет $q_{1}$ . И тогда мы можем сократить равенство на $p_{1}$ и получим $p_{2}\ldots p_{n}=q_{2}\ldots q_{m}$ . Повторяя рассуждения, мы придем к тому, что кончатся множители одного разложения (предположим что $n < m$ ) и мы получим такое равенство $1= q_{n}q_{n+1} \ldots q_{m}$ . Однако, так как все множители — простые, а значит (по определению простого числа) найдено противоречие. Это доказывает единственность.

Так как в разложении целого числа могут оказаться одинаковые множители, то можно обозначить количество вхождений множителя его степенью :

$n=p^{a_{1}}_{1}p^{a_{2}}_{2}\ldots p^{a_{n}}_{n},$ где

$p_{i} \neq p_{j}$ при

$i, j = \overline{1, n}, i \neq j$ . Это называется каноническим разложением числа.

Примеры

Каноническим разложением числа $100$ будет $2^{2} \cdot 5^{2}$ .
Каноническим разложением числа $255$ будет $3^{1} \cdot 5^{1} \cdot 17^{1}$ .
Каноническим разложением числа $53$ будет $53^{1}$ .

Тест на канонические разложения

Тест для проверки понимания изложенной выше темы.

Разделите данные ниже разложения на канонические и неканонические.

Элементы сортировки

$2^{2}\cdot 5^{3}$
$2^{6}$
$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$
$2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5$
$2^{4} \cdot 3$

Каноническое разложение

$500$

Каноническое разложение числа

$64$

Неканоническое разложение числа

$64$

Неканоническое разложение числа

$100$

Каноническое разложение числа

$48$

Литература

Электронный конспект по алгебре. Автор Белозеров.Г.С.
И.М.Виноградов. Основы теории чисел. 6-ое издание, 1952 год. стр.20-22.
Д.К.Фадеев. Лекции по алгебре. 1984 год. стр. 14-15.

Критерий совместности СЛАУ Кронекера-Капелли

Теорема Кронекера-Капелли. Критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений. СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. То есть, если в СЛАУ $r=\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}\widetilde{A}$ , где $\operatorname{rang}A$ — обозначает ранг матрицы системы, а $\operatorname{rang}\widetilde{A}$ — ранг расширенной матрицы, тогда данная матрица совместна, причём система имеет единственное решение, если $\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}\widetilde{A}=n$ , где $n$ — число неизвестных, и бесконечное число решений, если $\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}\widetilde{A}<n$ .

Пусть задана расширенная матрица $\widetilde{A}$ :

$\widetilde{A}=\left\{\begin{matrix} a_{11}x_{1} \; + \; a_{12}x_{2} \; + \; \cdots \; + \; a_{1n}x_{n} \; = \; b_{1} \\a_{21}x_{1} \; + \; a_{22}x_{2} \; + \; \cdots \; + \; a_{2n}x_{n} \; = \; b_{2} \\ \cdots \quad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \\a_{m1}x_{1} \; + \; a_{m2}x_{2} \; + \; \cdots \; + \; a_{mn}x_{n} \; = \; b_{m} \end{matrix}\right.$

Скажем, что данная система совместна, в таком случае существуют числа $\left(c_{1},c_{2},\dots,c_{n}\right)$ , которые являются частным решением матрицы, при подстановке их в систему. Мы получим равенство:

$\begin{Vmatrix} b_{1}\\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n}\\ \end{Vmatrix} = c_{1}\begin{Vmatrix} a_{11}\\ a_{21} \\\vdots\\ a_{m1} \end{Vmatrix} + c_{2}\begin{Vmatrix} a_{12}\\ a_{22} \\\vdots\\ a_{m2} \end{Vmatrix} + \dots+ c_{n}\begin{Vmatrix} a_{1n}\\ a_{2n} \\\vdots\\ a_{mn} \end{Vmatrix}$

Следовательно, вектор-столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов $\left(a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\right),$ матрицы $A.$ Так же, мы можем заметить, что сколько бы мы раз не приписали или не вычеркнули строку(столбец), от этого не меняется ранг системы, из этого следует, что $\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}\widetilde{A}$ .

Если $\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}\widetilde{A}$ , то это означает, что у них один и тот же базисный минор. Тогда, согласно теореме о базисном миноре, последний столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора.

Следствие:

$\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}\widetilde{A}=n$ единственное решение.
$\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}\widetilde{A}<n$ бесконечное число решений.
Количество главных переменных равно рангу системы.

Примеры решения задач

Рассмотрим примеры задач, в которых используеться критерий совместности $\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}\widetilde{A}.$

$\left\{\begin{matrix} 2x_{1} \; — \; x_{2} \; + \; 5x_{3} \; = \; 4 \\3x_{1} \; — \; x_{2} \; + \; 5x_{3} \; = \; 0 \\5x_{1} \; — \; 2x_{2} \; + \; 3x_{3} \; = \; 2 \end{matrix}\right.$

Решение

Сначала, приведем матрицу к треугольному виду.

$\left(\begin{matrix} 2 & -1 & 5 & 4 \\ 3 & -1 & 5 & 0 \\ 5 & -2 & 3 & 2 \end{matrix} \right)\sim \left(\begin{matrix} -1 & 2 & 5 & 4\\ -1 & 3 & 5 & 0 \\ -2 & 5 & 3 & 2 \end{matrix} \right)\sim$

$\left(\begin{matrix} -1 & 1 & 5 & 4\\ 0 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & -7 & -7 \end{matrix} \right)\sim \left(\begin{matrix} -1 & 1 & 5 & 4\\ 0 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & -7 & -3 \end{matrix} \right)$

Элементарные преобразования не меняют ранга матриц, поэтому в результате выполненных действий, получены эквивалентные исходнной матрице системы $A=\left(\begin{matrix} -1 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -7\end{matrix}\right)$ и расширенная матрица системы $\widetilde{A}=\left(\begin{matrix} -1 & 1 & 5 & 4\\ 0 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & -7 & -3 \end{matrix} \right)$

$\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}\widetilde{A}=3$ значит, по теореме Кронекера-Капелли система совместна.
$\left\{\begin{matrix} x_{1} \; + \; x_{2} \; — \; x_{3} \; = \; 7 \\x_{1} \; + \; 2x_{2} \; — \; 3x_{3} \; = \; 1 \\-2x_{1} \; — \; 2x_{3} \; = \; 3 \end{matrix}\right.$

Решение

Приведем матрицу к ступенчистому виду:

$\left(\begin{matrix} 1 & 1 & -1 & -4 \\ 1 & 2 & -3 & 0 \\ -2 & 0 & -2 & 3 \end{matrix} \right)\sim \left(\begin{matrix} 1 & 1 & -1 & -4 \\ 0 & 1 & -2 & 4 \\ 0 & 2 & -4 & -5 \end{matrix} \right)\sim \left(\begin{matrix} 1 & 1 & -1 & -4 \\ 0 & 1 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & -13 \end{matrix} \right)$

$\Rightarrow \widetilde{A}=\left(\begin{matrix} 1 & 1 & -1 & -4 \\ 0 & 1 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & -13 \end{matrix} \right)=\operatorname{rang}\widetilde{A}=3$

$\Rightarrow A=\left(\begin{matrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right)=\operatorname{rang}A=2$

$\operatorname{rang}A\neq \operatorname{rang}\widetilde{A}$ . По теореме Кронекера-Капелли система линейных уравнений несовместна.
$\left\{\begin{matrix} 5x_{1} \; — \; 3x_{2} \; + \; 2x_{3} \; + \; 4x_{4} = \; 3 \\4x_{1} \; — \; 2x_{2} \; + \; 3x_{3} \; + \; 7x_{4} = \; 1 \\8x_{1} \; — \; 6x_{2} \; — \; x_{3} \; — \; 5x_{4} = \; 9 \\7x_{1} \; — \; 3x_{2} \; + \; 7x_{3} \; + \; 17x_{4} = \; \lambda \end{matrix}\right.$

Решение

Очевидно, что от значения $\lambda$ зависит, будет ли матрица совместна или нет.

Сначала приведем матрицу к треугольному ввиду:

$\widetilde{A}=\left(\begin{matrix} 5 & -3 & 2 & 4 & 3\\ 4 & -2 & 3 & 7 & 1\\ 8 & -6 & -1 & -5 & 9 \\ 7 & -3 & 7 & 17 & \lambda \end{matrix} \right)\sim \left(\begin{matrix} 1 & -1 & -1 & -3 & 2\\ 4 & -2 & 3 & 7 & 1\\ 0 & -2 & -7 & -19 & 7 \\ 7 & -3 & 7 & 17 & \lambda \end{matrix} \right)\sim$

$\left(\begin{matrix} 1 & -1 & -1 & -3 & 2\\ 0 & 2 & 7 & 19 & -7\\ 0 & -2 & -7 & -19 & 7 \\ 0 & 4 & 14 & 38 & \lambda — 14 \end{matrix} \right)\sim\left(\begin{matrix} 1 & -1 & -1 & -3 & 2\\ 0 & 2 & 7 & 19 & -7\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda \end{matrix} \right)$

При $\lambda\neq0$ : $\operatorname{rang}\widetilde{A}=3$ , $\operatorname{rang}A=2$ . По теореме Кронекера-Капелли система линейных уравнений несовместна.

При $\lambda=0$ : $\operatorname{rang}\widetilde{A}=2$ , $\operatorname{rang}A=2$ . По теореме Кронекера-Капелли система линейных уравнений совместна.

Критерий совместности СЛАУ Кронекера-Капелли

Тест на закрепление материала «Критерий совместности СЛАУ Кронекера-Капелли».

Задание 1 из 4

1.
матрица совместима, если…
- ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы
- ранг основной матрицы больше расширенной матрицы
- ранг основной матрицы меньше расширенной матрицы
Задание 2 из 4

2.
Впишите пропущенные слова.
- Система имеет единственное решение, если ранг (равен) числу неизвестных, и бесконечное число решений, если ранг (меньше) числа неизвестных.
Задание 3 из 4

3.
Является ли система совместной
$\left\{\begin{matrix} 3x \; + \; 2y \; — \; 5z \; = \; -1 \\2x \; — \; 1y \; + \; 3z \; = \; 13 \\ 1x \; + \; 2y \; — \; z \; = \; 9 \end{matrix}\right.$
- да
- нет
Задание 4 из 4

4.
При каких значениях $\lambda$ система
$\left\{\begin{matrix} 2x_{1} \; + \; 3x_{2} \; — \; x_{3} \; = \; 1 \\4x_{1} \; + \; 6x_{2} \; — \; 3x_{3} \; = \; 3 \\8x_{1} \; + \; 12x_{2} \; — \; 9x_{3} \; = \; \lambda \end{matrix}\right.$
будет совместной?
- $\lambda$ =9
- $\lambda$ =4
- $\lambda$ =0

Литература

Личный конспект, составленный на основе лекций Белозерова Г.С.
Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.-416 с. стр 119.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984.-384 с. стр 101-103.

Теорема об аддитивной группе матриц

Пусть $M_{m\times n} \left ( P\right )$ — множество матриц размеров $m\times n$ над полем $P,$ « $+$ » — операция сложения матриц. Тогда пара $\left ( M_{m\times n} \left ( P \right ),\,+\right )$ — абелева группа.

Для доказательства теоремы необходимо проверить аксиомы группы и коммутативность операции сложения матриц.

Для записи аксиом и свойств в общем виде будем использовать следующие обозначения:

« $\ast$ » — Бинарная алгебраическая операция (БАО);
« $G$ » — множество, на котором определена соответствующая БАО;
« $g_{1}$ », « $g_{2}$ », « $g_{3}$ », « ${g}’$ » — элементы множества $G.$

Ассоциативность

В общем виде аксиома ассоциативности группы выглядит так:

$\forall g_{1},\,g_{2},\,g_{3}\in G\;\left (g_{1}\ast g_{2}\right )\ast g_{3}=g_{1}\ast \left (g_{2}\ast g_{3}\right ).$ Запишем ее для множества матриц размеров

$m\times n:$

$\forall A,B,C\in M_{m\times n}\left ( P \right )\;\left ( A+B \right )+C=A+\left ( B+C \right ).$

Пусть

$A=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12} & \cdots &a_{1n} \\a_{21}&a_{22} & \cdots &a_{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn} \end{matrix}\right),\; B=\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12} & \cdots &b_{1n} \\b_{21}&b_{22} & \cdots &b_{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn} \end{matrix}\right),$

$C=\left(\begin{matrix}c_{11}&c_{12} & \cdots &c_{1n} \\c_{21}&c_{22} & \cdots &c_{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\c_{m1}&c_{m2}&\cdots &c_{mn} \end{matrix}\right);$

$\left (A+B\right )+C=\left( \left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12} & \cdots &a_{1n} \\a_{21}&a_{22} & \cdots &a_{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn} \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12} & \cdots &b_{1n} \\b_{21}&b_{22} & \cdots &b_{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn} \end{matrix}\right) \right) +$

$+\left(\begin{matrix}c_{11}&c_{12} & \cdots &c_{1n} \\c_{21}&c_{22} & \cdots &c_{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\c_{m1}&c_{m2}&\cdots &c_{mn}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12} & \cdots &a_{1n}+b_{1n} \\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22} & \cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\end{matrix}\right)+$

$+\left(\begin{matrix}c_{11}&c_{12} & \cdots &c_{1n} \\c_{21}&c_{22} & \cdots &c_{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\c_{m1}&c_{m2}&\cdots &c_{mn} &\end{matrix}\right)=$

$=\left(\begin{matrix}a_{11}+b_{11}+c_{11}&a_{12}+b_{12}+c_{12} & \cdots &a_{1n}+b_{1n}+c_{1n} \\a_{21}+b_{21}+c_{21}&a_{22}+b_{22}+c_{22} & \cdots &a_{2n}+b_{2n}+c_{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\a_{m1}+b_{m1}+c_{m1}&a_{m2}+b_{m2}+c_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}+c_{mn} \end{matrix}\right);$

$A+\left ( B+C \right )=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12} & \cdots &a_{1n} \\a_{21}&a_{22} & \cdots &a_{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn} \end{matrix}\right)+$

$+\left(\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12} & \cdots &b_{1n} \\b_{21}&b_{22} & \cdots &b_{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn} \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}c_{11}&c_{12} & \cdots &c_{1n} \\c_{21}&c_{22} & \cdots &c_{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\c_{m1}&c_{m2}&\cdots &c_{mn} \end{matrix}\right) \right)=$

$=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12} & \cdots &a_{1n} \\a_{21}&a_{22} & \cdots &a_{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn} \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}b_{11}+c_{11}&b_{12}+c_{12} & \cdots &b_{1n}+c_{1n} \\b_{21}+c_{21}&b_{22}+c_{22} & \cdots &b_{2n}+c_{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\b_{m1}+c_{m1}&b_{m2}+c_{m2}&\cdots &b_{mn}+c_{mn} \end{matrix}\right)=$

$=\left(\begin{matrix}a_{11}+b_{11}+c_{11}&a_{12}+b_{12}+c_{12} & \cdots &a_{1n}+b_{1n}+c_{1n} \\a_{21}+b_{21}+c_{21}&a_{22}+b_{22}+c_{22} & \cdots &a_{2n}+b_{2n}+c_{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot\\a_{m1}+b_{m1}+c_{m1}&a_{m2}+b_{m2}+c_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}+c_{mn} \end{matrix}\right).$

$\left ( A+B \right )+C=A+\left ( B+C \right )\Rightarrow$ операция ассоциативна.

Аксиома нейтрального элемента

В общем виде аксиома нейтрального элемента группы выглядит так:

$\exists e\in G:\;\forall g\in G\;g\ast e=e\ast g=g.$ Запишем ее для множества матриц размеров

$m\times n:$

$\exists O\in M_{m\times n}\left ( P \right ):\;\forall A\in M_{m\times n}\left ( P \right )\;A+O=O+A=A.$ В нашем случае нейтральным элементом является нулевая матрица

$O\in M_{m\times n}\left ( P \right ).$

Пусть

$A=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12} & \cdots &a_{1n} \\a_{21}&a_{22} & \cdots &a_{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn} \end{matrix}\right),\; O =\left(\begin{matrix}0&0 & \cdots &0 \\0&0 & \cdots &0\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\0&0&\cdots &0 \end{matrix}\right).$

$A+O=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12} & \cdots &a_{1n} \\a_{21}&a_{22} & \cdots &a_{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn} \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}0&0 & \cdots &0 \\0&0 & \cdots &0\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\0&0&\cdots &0 \end{matrix}\right)=$

$=\left(\begin{matrix}a_{11}+0&a_{12}+0 & \cdots &a_{1n}+0 \\a_{21}+0&a_{22}+0 & \cdots &a_{2n}+0\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\a_{m1}+0&a_{m2}+0&\cdots &a_{mn}+0 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12} & \cdots &a_{1n} \\a_{21}&a_{22} & \cdots &a_{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn} \end{matrix}\right)=A.$

$O+A=\left(\begin{matrix}0&0 & \cdots &0 \\0&0 & \cdots &0\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\0&0&\cdots &0 \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12} & \cdots &a_{1n} \\a_{21}&a_{22} & \cdots &a_{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn} \end{matrix}\right)=$

$=\left(\begin{matrix}0+a_{11}&0+a_{12} & \cdots &0+a_{1n} \\0+a_{21}&0+a_{22} & \cdots &0+a_{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\0+a_{m1}&0+a_{m2}&\cdots &0+a_{mn} \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12} & \cdots &a_{1n} \\a_{21}&a_{22} & \cdots &a_{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn} \end{matrix}\right)=A.$

$A+O=O+A=A\Rightarrow$ $O$ — нейтральный элемент.

Аксиома симметричных элементов

В общем виде аксиома симметричных элементов группы выглядит так:

$\forall g\in G\;\exists{g}’\in G:\;g\ast{g}’={g}’\ast g=e.$ Запишем ее для множества матриц размеров

$m\times n:$

$\forall A\in M_{m\times n}\left ( P \right )\;\exists\left ( -A \right )\in M_{m\times n}\left ( P \right ):\;A+\left ( -A \right )=-A+A=O.$

Пусть

$A=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12} & \cdots &a_{1n} \\a_{21}&a_{22} & \cdots &a_{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn} \end{matrix}\right);$

$-A=-\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12} & \cdots &a_{1n} \\a_{21}&a_{22} & \cdots &a_{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn} \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-a_{11}&-a_{12} & \cdots &-a_{1n} \\-a_{21}&-a_{22} & \cdots &-a_{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\-a_{m1}&-a_{m2}&\cdots &-a_{mn} \end{matrix}\right).$

$A+\left ( -A \right )=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12} & \cdots &a_{1n} \\a_{21}&a_{22} & \cdots &a_{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn} \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}-a_{11}&-a_{12} & \cdots &-a_{1n} \\-a_{21}&-a_{22} & \cdots &-a_{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\-a_{m1}&-a_{m2}&\cdots &-a_{mn} \end{matrix}\right)=$

$=\left(\begin{matrix}a_{11}-a_{11}&a_{12}-a_{12} & \cdots &a_{1n}-a_{1n} \\a_{21}-a_{21}&a_{22}-a_{22} & \cdots &a_{2n}-a_{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\a_{m1}-a_{m1}&a_{m2}-a_{m2}&\cdots &a_{mn}-a_{mn} \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0&0 & \cdots &0 \\0&0 & \cdots &0\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\0&0&\cdots &0 \end{matrix}\right)=O;$

$-A+A=\left(\begin{matrix}-a_{11}&-a_{12} & \cdots &-a_{1n} \\-a_{21}&-a_{22} & \cdots &-a_{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\-a_{m1}&-a_{m2}&\cdots &-a_{mn} \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12} & \cdots &a_{1n} \\a_{21}&a_{22} & \cdots &a_{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn} \end{matrix}\right)=$

$=\left(\begin{matrix} -a_{11}+a_{11}&-a_{12}+a_{12} & \cdots &-a_{1n}+a_{1n} \\-a_{21}+a_{21}&-a_{22}+a_{22} & \cdots &-a_{2n}+a_{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\-a_{m1}+a_{m1}& -a_{m2}+a_{m2}&\cdots &-a_{mn}+a_{mn} \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0&0 & \cdots &0 \\0&0 & \cdots &0\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\0&0&\cdots &0 \end{matrix}\right)=O.$

$A+\left ( -A \right )=-A+A=O \Rightarrow$ $A$ и $-A$ — симметричные элементы.

Коммутативность

Проверив все аксиомы, мы доказали, что $\left ( M_{m\times n} \left ( P \right ),\,+\right )$ — группа. Чтобы доказать, что она абелева, проверим коммутативность опреации.

Общий вид:

$\forall g_{1},g_{2}\in G\;g_{1}\ast g_{2}=g_{2}\ast g_{1}.$ Для множества матриц размеров

$m\times n:$

$\forall A,B\in M_{m\times n}\left ( P \right )\;A+B=B+A.$

Пусть

$A+B=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12} & \cdots &a_{1n} \\a_{21}&a_{22} & \cdots &a_{2n}\\ \cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn} \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12} & \cdots &b_{1n} \\b_{21}&b_{22} & \cdots &b_{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn} \end{matrix}\right)=$

$=\left(\begin{matrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12} & \cdots &a_{1n}+b_{1n} \\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22} & \cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\end{matrix}\right);$

$B+A=\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12} & \cdots &b_{1n} \\b_{21}&b_{22} & \cdots &b_{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn} \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12} & \cdots &a_{1n} \\a_{21}&a_{22} & \cdots &a_{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn} \end{matrix}\right)=$

$=\left(\begin{matrix}b_{11}+a_{11}&b_{12}+a_{12} & \cdots &b_{1n}+a_{1n} \\b_{21}+a_{21}&b_{22}+a_{22} & \cdots &b_{2n}+a_{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\b_{m1}+a_{m1}&b_{m2}+a_{m2}&\cdots &b_{mn}+a_{mn} \end{matrix}\right)=$

$A+B=B+A\Rightarrow$ операция коммутативна.

Доказав три аксиомы группы и коммутативность, мы доказали теорему об аддитивной группе матриц.

Литература

Белозеров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре.
Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980.-400 с., стр. 23-26
Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.-416 с., стр. 242-244

Теорема Лапласа (без доказательства)

Итак, прежде чем перейти к методу использования теоремы Лапласа, необходимо рассмотреть несколько важных определений.

Пусть дана матрица $A \in M_{m \times n}(P).$ Возьмем в ней любые $i$ строк и $i$ столбцов, причем $i > 0$ и $i$ меньше минимального из $m$ и $n.$ Элементы, которые располагаются на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют матрицу $i-$ го порядка. Определитель этой матрицы называется минором $i-$ го порядка исходной матрицы. Если порядок минора равен единице, то минор является элементом исходной матрицы.

Пример 1 Пусть дан определитель четвертого порядка

$\begin{vmatrix} -8 & -5 & 2 & 7 \\ 1 & 3 & -9 & -3 \\ 4 & -4 & -1 & 9 \\ -5 & 3 & -4 & 8 \end{vmatrix}.$ Выберем, например,

$2$ -й и

$4$ -й столбцы и

$1$ -ю и

$3$ -ю строки. Таким образом, элементы, стоящие на пересечении этих столбцов и строк образуют минор

$2-$ го порядка:

$\begin{vmatrix} -5 & 7 \\ -4 & 9 \end{vmatrix} = -45 + 28 = -17.$ Также мы можем выбрать любые строки и столбцы для получения миноров.

Пусть дана матрица $A \in M_m(P).$ Выберем в ней минор $i-$ го порядка, такой, что $i > 0$ и $i < m.$ Если мы вычеркнем строки и столбцы матрицы, в которых лежит данный минор, то мы получим новую матрицу. Определитель новой матрицы называется дополнительным минором к исходному.

Возьмем определитель и его минор $2-$ го порядка из первого примера. Дополнительным минором к нему будет

$\begin{vmatrix} 1 & -9 \\ -5 & -4 \end{vmatrix} = -4-45 = -49.$

Пусть дана матрица $A \in M_m(P).$ Выберем в ней минор $i-$ го порядка, такой, что $i > 0$ и $i < m.$ Если мы умножим дополнительный к нему минор на число $(-1)^{S_1 + S_2}$ , в котором $S_1$ — это сумма номеров строк, а $S_2$ — это сумма номеров столбцов, в которых лежит исходный минор, то мы получим алгебраическое дополнение к этому минору.

Пример 3 Пусть дан определитель пятого порядка

$\begin{vmatrix} -7 & 5 & 3 & -2 & 6 \\ 9 & -8 & 7 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & -5 & 9 \\ -3 & 2 & -2 & -4 & -8 \\ 4 & 9 & 5 & -1 & 1 \end{vmatrix}.$ Выберем в нем, к примеру

$1-$ ю и

$4-$ ю строки, а также

$2-$ й и

$5-$ й столбцы. Тогда на пересечении выбранных строк и столбцов образуется минор

$2-$ го порядка

$\begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 2 & -8 \end{vmatrix} = -40-12 = -52.$ Дополнительным минором к нему будет

$\begin{vmatrix} 9 & 7 & 3 \\ 0 & -1 & -5 \\ 4 & 5 & -1 \end{vmatrix} = 9 + 0-140 + 12 + 0 + 225 = 106.$ Наконец, алгебраическим дополнением к минору будет

$\begin{vmatrix} 9 & 7 & 3 \\ 0 & -1 & -5 \\ 4 & 5 & -1 \end{vmatrix} \cdot (-1)^{(1 + 4) + (2 + 5)} = 106 \cdot (-1)^{12} = 106,$ где степени

$-1$ являются таковыми, так как элементы минора исходного определителя располагаются в

$1-$ й и

$4-$ й строках и во

$2-$ м и в

$5-$ м столбцах.

Итак, разобравшись с приведенными выше определениями, можно приступать к формулированию теоремы.

Если в определителе порядка $m$ выбрать $i$ строк (столбцов), где $i > 0$ и $i < m,$ то данный определитель будет равняться сумме миноров, которые расположены в этих строках (столбцах), умноженных на их алгебраические дополнения. Эти миноры будут иметь $i-$ й порядок.

Таким образом, благодаря теореме Лапласа, при вычислении определителя $m-$ го порядка, мы можем вычислить несколько определителей более малых порядков ( $i$ ), что упрощает нам задачу.

Следствием (а также частным случаем, для которого $i = 1$ ) из теоремы Лапласа является Теорема о разложении определителя по строке.

Примеры решения задач

Пример 4 Найти определитель матрицы $4-$ го порядка

$\begin{pmatrix} 3 & 5 & 6 & 9 \\ -1 & 7 & 2 & -5 \\ 0 & 4 & 1 & 2 \\ -3 & -6 & 5 & 0 \end{pmatrix}.$ Разложим определитель этой матрицы по теореме Лапласа, выбрав

$1-$ ю и

$3-$ ю строки:

$\begin{vmatrix} 3 & 5 & 6 & 9 \\ -1 & 7 & 2 & -5 \\ 0 & 4 & 1 & 2 \\ -3 & -6 & 5 & 0 \end{vmatrix} = (-1)^{(1 + 3) + (1 + 2)} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 2 & -5 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} +$

$+ (-1)^{(1 + 3) + (1 + 3)} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 6 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 7 & -5 \\ -6 & 0 \end{vmatrix} + (-1)^{(1 + 3) + (1 + 4)} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 9 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 7 & 2 \\ -6 & 5 \end{vmatrix} +$

$+ (-1)^{(1 + 3) + (2 + 4)} \cdot \begin{vmatrix} 5 & 9 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 5 \end{vmatrix} + (-1)^{(1 + 3) + (3 + 4)} \cdot \begin{vmatrix} 6 & 9 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} -1 & 7 \\ -3 & -6 \end{vmatrix} +$

$+ (-1)^{(1 + 3) + (2 + 3)} \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} -1 & -5 \\ -3 & 0 \end{vmatrix} = (-1)^7 \cdot (12-0) \cdot (0 + 25) +$

$+ (-1)^8 \cdot (3-0) \cdot (0-30) + (-1)^9 \cdot (6-0) \cdot (35 + 12) +$

$+ (-1)^{10} \cdot (10-36) \cdot (-5 + 6) + (-1)^{11} \cdot (12-9) \cdot (6 + 21) +$

$+ (-1)^9 \cdot (5-24) \cdot (0-15) = -(12 \cdot 25)-3 \cdot 30-6 \cdot 47-26 \cdot 1-3 \cdot 27-$

$-(19 \cdot 15) = -300-90-282-26-81-285 = -1064.$

Как мы могли заметить, для нахождения определителя $4-$ го порядка нам понадобилось искать лишь определители $2-$ го порядка, что намного легче. Разберем этот пример подробнее.

Для начала, вторым множителем каждого слагаемого является минор, расположенный в выбранных в начале решения строках. Мы берем все существующие в данных строках миноры. Далее, первым множителем каждого слагаемого является $(-1)$ в степени, которая является суммой номеров строк и столбцов, в которых расположен соответствующий минор. Третьим же множителем является дополнительный минор к соответствующему. Произведение дополнительного минора и $(-1)$ в соответствующей степени образует алгебраическое дополнение к своему минору.

Таким образом мы расписываем все миноры, находящиеся в выбранных строках, умножаем на их алгебраические дополнения и суммируем полученные произведения. После этого решаем полученное выражение, приходя к ответу, который является значением определителя исходной матрицы.

Пример 5 Найти определитель матрицы $4-$ го порядка

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 & 0 \\ 5 & -2 & 1 & 7 \\ 0 & 2 & -6 & 4 \\ -5 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}.$

Решение

Разложим определитель данной матрицы по теореме Лапласа по $2-$ му и $3-$ му столбцам: $\begin{vmatrix} 1 & 4 & -3 & 0 \\ 5 & -2 & 1 & 7 \\ 0 & 2 & -6 & 4 \\ -5 & 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = (-1)^{(1 + 2) + (2 + 3)} \cdot \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ -5 & 2 \end{vmatrix} +$ $+ (-1)^{(1 + 3) + (2 + 3)} \cdot \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ 2 & -6 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 5 & 7 \\ -5 & 2 \end{vmatrix} + (-1)^{(1 + 4) + (2 + 3)} \cdot \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 5 & 7 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} +$ $+ (-1)^{(2 + 3) + (2 + 3)} \cdot \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 2 & -6 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -5 & 2 \end{vmatrix} + (-1)^{(2 + 4) + (2 + 3)} \cdot \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} +$ $+ (-1)^{(3 + 4) + (2 + 3)} \cdot \begin{vmatrix} 2 & -6 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 7 \end{vmatrix} = (-1)^8 \cdot (4-6) \cdot (0 + 20) +$ $+ (-1)^9 \cdot (-24 + 6) \cdot (10 + 35) + (-1)^{10} \cdot (0 + 3) \cdot (20-0) +$ $+ (-1)^{10} \cdot (12-2) \cdot (2-0) + (-1)^{11} \cdot (0-1) \cdot (4-0) +$ $+ (-1)^{12} \cdot (0 + 6) \cdot (7-0) = -2 \cdot 20 + 18 \cdot 45 + 3 \cdot 20 + 10 \cdot 2 + 1 \cdot 4 +$ $+ 6 \cdot 7 = -40 + 810 + 60 + 20 + 4 + 42 = 896.$

[свернуть]

Пример 6 Найти определитель матрицы $4-$ го порядка

$\begin{pmatrix} 7 & 9 & 12 & 0 \\ 4 & 5 & -3 & 1 \\ 0 & 2 & 4 & -5 \\ 11 & -7 & 9 & 8 \end{pmatrix}.$

Решение

Разложим определитель данной матрицы по теореме Лапласа по $2-$ й и $4-$ й строкам: $\begin{vmatrix} 7 & 9 & 12 & 0 \\ 4 & 5 & -3 & 1 \\ 0 & 2 & 4 & -5 \\ 11 & -7 & 9 & 8 \end{vmatrix} = (-1)^{(2 + 4) + (1 + 2)} \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 11 & -7 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 12 & 0 \\ 4 & -5 \end{vmatrix} +$ $+ (-1)^{(2 + 4) + (1 + 3)} \cdot \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ 11 & 9 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 9 & 0 \\ 2 & -5 \end{vmatrix} + (-1)^{(2 + 4) + (1 + 4)} \cdot \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 11 & 8 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 9 & 12 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} +$ $+ (-1)^{(2 + 4) + (2 + 3)} \cdot \begin{vmatrix} 5 & -3 \\ -7 & 9 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 7 & 0 \\ 0 & -5 \end{vmatrix} +$ $+ (-1)^{(2 + 4) + ( 2 + 4)} \cdot \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ -7 & 8 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 7 & 12 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} + (-1)^{(2 + 4) + (3 + 4)} \cdot \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 9 & 8 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 7 & 9 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} =$ $= (-1)^9 \cdot (-28-55) \cdot (-60-0) + (-1)^{10} \cdot (36 + 33) \cdot (-45-0) +$ $+ (-1)^{11} \cdot (32-11) \cdot (36-24) + (-1)^{11} \cdot (45-21) \cdot (-35-0) +$ $+ (-1)^{12} \cdot (40 + 7) \cdot (28-0) + (-1)^{13} \cdot (-24-9) \cdot (14-0) = -83 \cdot 60-69 \cdot$ $\cdot 45-21 \cdot 12 + 24 \cdot 35 + 47 \cdot 28 + 33 \cdot 14 = -4980-3105-252 + 840 +$ $+ 1316 + 462 = -5719.$

[свернуть]

Пример 7 Найти определитель матрицы $4-$ го порядка

$\begin{pmatrix} -5 & 7 & 12 & 0 \\ 11 & -2 & 6 & 10 \\ 2 & 15 & 1 & -3 \\ 4 & -1 & 14 & 5 \end{pmatrix}.$

Решение

Разложим определитель данной матрицы по теореме Лапласа по $1-$ му и $2-$ му столбцам: $\begin{vmatrix} -5 & 7 & 12 & 0 \\ 11 & -2 & 6 & 10 \\ 2 & 15 & 1 & -3 \\ 4 & -1 & 14 & 5 \end{vmatrix} = (-1)^{(1 + 2) + (1 + 2)} \cdot \begin{vmatrix} -5 & 7 \\ 11 & -2 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 14 & 5 \end{vmatrix} +$ $+ (-1)^{(1 + 3) + (1 + 2)} \cdot \begin{vmatrix} -5 & 7 \\ 2 & 15 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 6 & 10 \\ 14 & 5 \end{vmatrix} +$ $+ (-1)^{(1 + 4) + (1 + 2)} \cdot \begin{vmatrix} -5 & 7 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 6 & 10 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} +$ $+ (-1)^{(2 + 3) + (1 + 2)} \cdot \begin{vmatrix} 11 & -2 \\ 2 & 15 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 12 & 0 \\ 14 & 5 \end{vmatrix} +$ $+ (-1)^{(2 + 4) + (1 + 2)} \cdot \begin{vmatrix} 11 & -2 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 12 & 0 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} +$ $+ (-1)^{(3 + 4) + (1 + 2)} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 15 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 12 & 0 \\ 6 & 10 \end{vmatrix} = (-1)^6 \cdot (10-77) \cdot (5 + 42) +$ $+ (-1)^7 \cdot (-75-14) \cdot (30-144) + (-1)^8 \cdot (5-28) \cdot (-18-10) +$ $+ (-1)^8 \cdot (165 + 4) \cdot (60-0) + (-1)^9 \cdot (-11 + 8) \cdot (-36-0) +$ $+ (-1)^{10} \cdot (-2-60) \cdot (120-0) = -67 \cdot 47-89 \cdot 110 + 23 \cdot 28 + 169 \cdot 60-$ $-3 \cdot 36-62 \cdot 120 = -3149-9790 + 644 + 10140-108-7440 = -9703.$

[свернуть]

Смотрите также

А. И. Кострикин Введение в алгебру М.: Наука, 1994, Глава 3, §3, «Упражнения» (стр. 150)
Курош А.Г. Курс высшей алгебры М.: Наука, 1968, Глава 1, §6, «Вычисление определителей» (стр. 51)
Личный конспект, составленный на основе лекций Г. С. Белозерова.

Теорема Лапласа

Тест на проверку знаний о теореме Лапласа и определений, необходимых для формулировки данной теоремы.

Задание 1 из 5

1.
Количество баллов: 1
Что означают числа $S_1$ и $S_2$ в множителе алгебраического дополнения, который имеет вид $(-1)^{S_1 + S_2}$ ?
- Сумма номеров строк и сумма номеров столбцов исходной матрицы.
- Сумма номеров строк и сумма номеров столбцов, в которых располагается соответствующий данному алгебраическому дополнению минор.
- Сумма номеров строк и сумма номеров столбцов, в которых располагается дополнительный минор к минору, соответствующему данному алгебраическому дополнению.
- Номер строки и номер столбца, в которых располагается первый элемент в миноре, который соответствует данному алгебраическому дополнению.
Задание 2 из 5

2.
Количество баллов: 3
Дан определитель $\begin{vmatrix} 5 & 7 & 1 & 0 \\ 4 & 9 & -2 & 1 \\ -7 & 11 & 8 & -4 \\ 0 & 2 & -9 & 4\end{vmatrix}.$ При условии, что мы раскладываем его по $1-$ й и $3-$ й строкам, каковыми могут быть дополнительные миноры?
- $\begin{vmatrix} 9 & 1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}$
- $\begin{vmatrix} 7 & 0 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}$
- $\begin{vmatrix} 5 & 1 \\ -7 & 8 \end{vmatrix}$
- $\begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 0 & -9 \end{vmatrix}$
Задание 3 из 5

3.
Количество баллов: 4
Вставьте пропущенные слова. В каждом пропуске может быть до двух слов включительно. Также ответом могут служить цифры.
- Выберем в произвольной матрице 2 строки и 2 столбца. Тогда элементы, стоящие на пересечении этих строк образуют матрицу порядка. Определитель этой матрицы называется 2-го порядка исходной матрицы. Если мы вычеркнем все строки и столбцы, в которых лежит данный минор, то мы получим новую . Определитель этой матрицы называется к исходному.
Задание 4 из 5

4.
Количество баллов: 7
Расположите определители в порядке возрастания их значений.
- $\begin{vmatrix} 1 & -7 & 4 & 3 \\ 0 & 2 & -1 & 5 \\ -9 & 7 & -2 & 4 \\ 6 & 0 & 1& 2 \end{vmatrix}$
- $\begin{vmatrix} 0 & 1 & -2 & 7 \\ 9 & 8 & -3 & 4 \\ 0 & 2 & -5 & -6 \\ 2 & -4 & 7& 0 \end{vmatrix}$
- $\begin{vmatrix} -5 & 9 & 7 & -3 \\ 0 & 1 & -5 & 8 \\ 9 & -3 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & -6 & 1 \end{vmatrix}$

Задание 5 из 5

5.

Количество баллов: 10

Сопоставьте определители с их значениями.

Элементы сортировки

$1767$
$-912$
$-3330$
$636$

$\begin{vmatrix} 7 & 1 & 9 & 0 \\ -2 & 4 & 3 & 6 \\ -4 & 5 & -7 & 1 \\ -2 & 1 & 0 & -4 \end{vmatrix} =$

$\begin{vmatrix} 2 & 9 & -8 & 7 \\ 0 & 1 & -2 & 3 \\ 4 & 7 & -9 & 2 \\ 8 & 5 & 6 & -1 \end{vmatrix} =$

$\begin{vmatrix} 9 & 2 & 4 & 6 \\ -1 & 8 & 0 & -1 \\ -3 & 4 & 5 & 0 \\ -2 & 0 & 4 & -7 \end{vmatrix} =$

$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 4 & -2 \\ -3 & 5 & 9 & 0 \\ 7 & 0 & -8 & 1 \\ -1 & 2 & 3 & -6 \end{vmatrix} =$

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Примеры решения задач

Литература

Теорема об умножении определителей

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Элементы сортировки

3.

Примеры

Тест на канонические разложения

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Элементы сортировки

Литература

Следствие:

Примеры решения задач

Критерий совместности СЛАУ Кронекера-Капелли

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Литература

Ассоциативность

Аксиома нейтрального элемента

Аксиома симметричных элементов

Коммутативность

Литература

Примеры решения задач

Смотрите также

Теорема Лапласа

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Элементы сортировки