Решение матричных уравнений

Матричные уравнения бывают трех типов.

1. $A \cdot X=B$

2. $X \cdot A=B$

3. $C \cdot X \cdot A=B$

Пример 1. Чтобы решить уравнение первого типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице $A$ слева.
$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \cdot X=$ $\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix}$, $\det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}=-2$
$A_{11}=(-1)^{1+1} \cdot 4=4$
$A_{12}=(-1)^{1+2} \cdot 3=-3$
$A_{21}=(-1)^{2+1} \cdot 2=-2$
$A_{22}=(-1)^{2+2} \cdot 1=1$
$\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 1 \\ \end{pmatrix}$, полученную матрицу транспонируем и умножим на $\det^{-1} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}=-1/2$. Обратная матрица к $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}$ равна $\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end{pmatrix}$.
$X=\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end{pmatrix} \cdot$ $\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix}$, $X= \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix}$. Сделаем проверку $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix}=$$\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix}$. Уравнение решили правильно.
Пример 2. Чтобы решить уравнение второго типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице $A$ справа.
$X \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -4 \\ \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 6 \\ \end{pmatrix}.$ Матрица обратная к $\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -4 \\ \end{pmatrix}$ равна $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5/2 & -3/2 \\ \end{pmatrix}.$ $X=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 6 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5/2 & -3/2 \\ \end{pmatrix},$ $X=\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -4 \\ \end{pmatrix}$.
Пример 3. Чтобы решить уравнение третьего типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице $A$ справа и на обратную матрице $C$ слева.
$\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -2 \\ \end{pmatrix} \cdot X \cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} 14 & 16 \\ 9 & 10 \\ \end{pmatrix}$. Обратная матрица к $\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -2 \\ \end{pmatrix}$ равна $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{pmatrix},$ обратная матрица к $\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix}$ равна $\begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 7/2 & -5/2 \\ \end{pmatrix}$. $X=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 14 & 16 \\ 9 & 10 \\ \end{pmatrix} \cdot$$\begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 7/2 & -5/2 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}$.
Проверка $\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -2 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} 14 & 16 \\ 9 & 10 \\ \end{pmatrix}$.
Пример 4. Случай когда обратная матрица не существует.
$X \cdot \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 8 \\ \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 9 & 18 \\ \end{pmatrix}$.
Матрицу $X$ запишем как $\begin{pmatrix} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \\ \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2} & 6 \cdot x_{1}+8 \cdot x_{2} \\ 3 \cdot x_{3}+4 \cdot x_{4} & 6 \cdot x_{3}+8 \cdot x_{4} \\ \end{pmatrix}=$$\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 9 & 18 \\ \end{pmatrix}$.

$$\begin{cases} 3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2} = 2\\ 6 \cdot x_{1}+8 \cdot x_{2} = 4\\ 3 \cdot x_{3}+4 \cdot x_{4} = 9\\ 6 \cdot x_{3}+8 \cdot x_{4}=18 \end{cases}$$
Эта система эквивалентна
$$\begin{cases} 3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2} = 2\\ 3 \cdot x_{3}+4 \cdot x_{4} = 9 \end{cases}$$
Решив данную систему получим общей вид решения $X=\begin{pmatrix} x_{1} & (2-3x_{1})/4 \\ x_{3} & (9-4x_{1})/3 \\ \end{pmatrix}$
Литература

1. Белозёров Г. С. Конспект по алгебре и геометрии

2. Линейная алгебра. Воеводин. В. В. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980 год, стр. 211-213.

Сборник задач по линейной алгебре. Проскуряков. И. В. М. 1961 год, стр. 118-119.

Действия над матрицами

Примеры:

1. Выполнить сложение матриц:
$\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 2& 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 &1 \\ 4& 5 \end{pmatrix}$.
Для сложения матриц нам необходимо каждый элемент первой матрицы сложить с соответствующим элементом из второй:
$\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 2& 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 &1 \\ 4& 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 &1 \\ 6& 6 \end{pmatrix}$.

Следует также отметить, что операция сложения матриц коммутативна и ассоциативна. Например, пусть даны матрицы $A=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}$ и $C=\begin{pmatrix} 5 &0\\ 0&1 \end{pmatrix}$. Тогда:

$A+B=$ $\begin{pmatrix} 1 &2\\ 1&0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}=$ $B+A=$ $\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 &2\\ 1&0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2&1 \end{pmatrix}$.

Покажем выполнение ассоциативности сложения матриц:

$A+B= \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2&1 \end{pmatrix}$;
$(A+B)+C= \begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2&1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 5&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&2 \end{pmatrix}$.
$B+C= \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 5&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 &1 \\ 1&2 \end{pmatrix}$;
$A+(B+C)= \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 5&1 \\ 1&2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&2 \end{pmatrix}$.

Как видим, $A+(B+C)=(A+B)+C$.

2. Выполнить умножение матрицы на число:
$\begin{pmatrix} a &b \\ c&d \end{pmatrix} \cdot e$.
Для умножения матрицы на число мы умножаем каждый элемент матрицы на данное число:
$\begin{pmatrix} a &b \\ c&d \end{pmatrix} \cdot e = \begin{pmatrix} ae &be \\ ce& de \end{pmatrix}$.

Операция умножения матрицы на число ассоциативна, то есть $\alpha( \beta A)=( \alpha \beta) A$, $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{P}$. Покажем это на конкретном примере:
Пусть дана матрица $A=\begin{pmatrix} 1 &1 \\ 1 &1 \end{pmatrix}$ и $\alpha = 3, \beta =2$.
Тогда $\beta A= \begin{pmatrix} 2 &2 \\ 2 &2 \end{pmatrix}$;
$\alpha ( \beta A)= \begin{pmatrix} 6 &6 \\ 6 &6 \end{pmatrix}$.
$\alpha \beta =6$;
$( \alpha \beta) A= \begin{pmatrix} 6 &6 \\ 6 &6 \end{pmatrix}$.
Как видим, $\alpha( \beta A)=( \alpha \beta) A$.

3. Вычислить произведение матриц:
$\begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix}$.
Для удобства будем называть первую матрицу $A$ а вторую матрицу $B$. Для начала убедимся, что произведение данных матриц возможно. Даны матрицы размерностей $3 \times 3$ и $3 \times 2$, следовательно умножение возможно, так как количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй. Для вычисления первого элемента результирующей матрицы умножим каждый элемент первой строки матрицы $A$ на соответствующие элементы первого столбца матрицы $B$. Полученные значения сложим. Данную последовательность действий можно проиллюстрировать следующим образом:

Получим следующее:
$\begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix} =$ $\begin{pmatrix} 27 &? \\ ?&? \\ ?&? \end{pmatrix}$.
Далее вычисляем первый элемент второго столбца результирующей матрицы. Умножаем все элементы первой строки матрицы $A$ на соответствующие им элементы из второго столбца матрицы $B$ и складываем полученные значения:
$\begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix} =$ $\begin{pmatrix} 27 &27 \\ ?&? \\ ?&? \end{pmatrix}$.
Для вычисления первого элемента второй строки результирующей матрицы мы будем аналогично умножать элементы второй строки матрицы $A$ на элементы первого столбца матрицы $B$, складывая результаты:
$\begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix} =$ $\begin{pmatrix} 27 &27 \\ 26&? \\ ?&? \end{pmatrix}$.
Оставшиеся элементы вычисляются аналогично:
$\begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix} =$ $\begin{pmatrix} 27 &27 \\ 26&16 \\ 34&50 \end{pmatrix}$.
Отметим, что произведение матриц в общем случае некоммутативно и покажем это на примере.
Пусть даны матрицы $A=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}$.
Тогда $A \cdot B= \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2&3 \\ 0&1 \end{pmatrix}$.
$B \cdot A=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 2&2 \end{pmatrix}$.
Как видим, $A \cdot B \ne B \cdot A$.

4. Возвести матрицу в степень:
$\begin{pmatrix} 1 &0 &2 \\ 3&1 &0 \\ 1& 0 &1 \end{pmatrix}$.
Для возведения в степень необходимо данную матрицу умножить саму на себя. Заметим, что возводить в степень можно только квадратные матрицы.
$\begin{pmatrix} 1 &0 &2 \\ 3&1 &0 \\ 1& 0 &1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 &0 &2 \\ 3&1 &0 \\ 1& 0 &1 \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} 3 & 0 &4 \\ 6&1 &6 \\ 2& 0 &3 \end{pmatrix}$.

5. Транспонировать матрицу:
$\begin{pmatrix} 1 &2 &0 &1 \\ 0&1 &0 &2 \end{pmatrix}$.
Для транспонирования матрицы достаточно записать строки столбцами, а столбцы строками:
$\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 2&1 \\ 0&0 \\ 1&2 \end{pmatrix}$.

Источники:

1. Г. С. Белозеров. Конспект лекций.
2. В. В. Воеводин «Линейная алгебра» (Издание второе, переработанное и дополненное, 1980г.), стр. 194-197.
3. А. Г. Курош  «Курс высшей алгебры» (Издание девятое, 1968 г.), стр. 99-102.
4. И. В. Проскуряков.   «Сборник задач по линейной алгебре» (1984 г.), стр. 112-115.